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必修5数学《2.1正弦定理与余弦定理》习题精选（北师大版带答案）
北师大版必修5数学《2.1正弦定理与余弦定理》习题精选含答案
资料简介
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1.2 余弦定理
课后篇巩固探究
A组
1.在△ABC中,已知a=2,b=3,cos C=,则边c长为 ( )
A.2 B.3 C. D.
解析:因为c2=a2+b2-2abcos C=22+32-2×2×3×=9,所以c=3.
答案:B
2.在△ABC中,若C=60°,c2=ab,则三角形的形状为 ( )
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等边三角形 D.钝角三角形
解析:因为在△ABC中,C=60°,c2=ab,所以c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2-ab=ab,所以a=b,所以a=b=c,所以三角形的形状为等边三角形,故选C.
答案:C
3.已知△ABC的三边满足a2+b2=c2-ab,则△ABC的最大内角为( )
A.60° B.90° C.120° D.150°
解析:由已知得,c2=a2+b2+ab,所以c>a,c>b,故C为最大内角.由cos C==-,得C=150°,故选D.
答案:D
4.在△ABC中,若a=1,B=45°,S△ABC=2,则△ABC外接圆的直径为( )
A.4 B.6 C.5 D.6
解析:因为S△ABC=acsin B=·c·sin 45°=c=2,
所以c=4.
由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B=1+32-2×1×4=25,所以b=5.
所以△ABC外接圆直径2R==5.
答案:C
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5.已知在△ABC中,a比b大2,b比c大2,最大角的正弦值是,则△ABC的面积是( )
A. B. C. D.
解析:因为a=b+2,b=c+2,所以a=c+4,A为最大角,所以sin A=.
又A>B>C,所以A=120°,
所以cos A=-,即=-,
所以(c+2)2+c2-(c+4)2=-c(c+2),解得c=3.
所以a=7,b=5,c=3,A=120°.
S△ABC=bcsin A=×5×3×.
答案:A
6.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c=2a,b=4,cos B=,则c= .
解析:因为cos B=,由余弦定理得42=a2+(2a)2-2a×2a×,解得a=2,所以c=4.
答案:4
7.设△ABC的内角A,B,C所对边长分别为a,b,c,且3b2+3c2-3a2=4bc,则sin A的值为 .
解析:由已知得b2+c2-a2=bc,于是cos A=,从而sin A=.
答案:
8.已知在△ABC中,AB=7,BC=5,CA=6,则= .
解析:在△ABC中,分别用a,b,c表示边BC,CA,AB,
则=ca·cos B=ca·
=(a2+c2-b2)=(52+72-62)=19.
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答案:19
9.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a+c=6,b=2,cos B=.
(1)求a,c的值;
(2)求sin(A-B)的值.
解(1)由b2=a2+c2-2accos B,
得b2=(a+c)2-2ac(1+cos B),又b=2,a+c=6,cos B=,所以ac=9,解得a=3,c=3.
(2)在△ABC中,sin B=,
由正弦定理得sin A=.
因为a=c,所以A为锐角,
所以cos A=.
因此sin(A-B)=sin Acos B-cos Asin B=.
10.导学号33194039已知在△ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量p=(sin A-cos A,1-sin A),q=(2+2sin A,sin A+cos A),p与q是共线向量,且≤A≤.
(1)求角A的大小;
(2)若sin C=2sin B,且a=,试判断△ABC的形状,并说明理由.
解(1)因为p∥q,所以(sin A-cos A)(sin A+cos A)-2(1-sin A)(1+sin A)=-cos 2A-2cos2A=0,所以1+2cos 2A=0,所以cos 2A=-.
因为≤A≤,所以≤2A≤π,所以2A=,所以A=.
(2)△ABC是直角三角形.理由如下:
由cos A=,a=及余弦定理得b2+c2-bc=3.
又sin C=2sin B,由正弦定理得c=2b.
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联立可得解得
所以a2+b2=()2+12=4=c2,所以△ABC是直角三角形.
B组
1.在△ABC中,若△ABC的面积S=(a2+b2-c2),则C=( )
A. B. C. D.
解析:由S=(a2+b2-c2),得absin C=×2abcos C,
所以tan C=1,又C∈(0,π),所以C=.
答案:A
2.在△ABC中,若sin A-sin A·cos C=cos Asin C,则△ABC的形状是( )
A.正三角形 B.等腰三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
解析:由正弦定理、余弦定理,知sin A-sin Acos C=cos Asin C可化为a·c,整理,得a=b,所以△ABC是等腰三角形,选B.
答案:B
3.已知△ABC各角的对边分别为a,b,c,满足≥1,则角A的范围是( )
A. B.
C. D.
解析:将不等式≥1两边同乘以(a+c)(a+b)整理得,b2+c2-a2≥bc,所以cos A=,所以00),从而a=,b=k,c=k,由余弦定理得cos C=,又因为C∈(0,π),所以C=,所以角C的大小是.
答案:
7.导学号33194041在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,tan C=3.
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(1)求cos C的值;
(2)若,且a+b=9,求c.
解(1)因为tan C=3,所以=3,
又因为sin2C+cos2C=1,解得cos C=±,
由tan C>0知,C为锐角,所以cos C=.
(2)由,得abcos C=,即ab=20.
又因为a+b=9,则a2+2ab+b2=81,所以a2+b2=41.
由余弦定理得,c2=a2+b2-2abcos C=41-2×20×=36,故c=6.
8.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且=-.
(1)求角B的大小;
(2)若b=,a+c=4,求△ABC的面积.
解(1)由余弦定理知,cos B=,cos C=.
将上式代入=-,得=-,整理得a2+c2-b2=-ac.
所以cos B==-=-.
因为B为三角形的内角,所以B=.
(2)将b=,a+c=4,B=代入b2=a2+c2-2accos B,即b2=(a+c)2-2ac-2accos B得,
13=16-2ac,所以ac=3.
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所以S△ABC=acsin B=.
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