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杭州余杭区2018-2019九年级数学上学期期末模拟试卷（附答案浙教版）
资料简介
浙江省杭州市余杭区2018-2019学年九年级（上）
期末数学模拟试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．2cos60°=（ ）
A．1 B． C． D．
2．下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．三角形的外心到三边的距离相等
B．某射击运动员射击一次，命中靶心
C．任意画一个三角形，其内角和是180°
D．抛一枚硬币，落地后正面朝上
3．抛物线y=3（x﹣2）2+5的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，5） B．（﹣2，﹣5） C．（2，5） D．（2，﹣5）
4．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若∠ABD=55°，则∠BCD的度数为（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
5．点C为线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，下列说法正确的有（ ）
①AC=AB，②AC=AB，③AB：AC=AC：BC，④AC≈0.618AB
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．已知A（﹣1，y1）、B（2，y2）、C（﹣3，y3）在函数y=﹣5（x+1）2+3的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y2＜y1
7．如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（ ）
A．①和② B．②和③ C．①和③ D．②和④
8．如图，在半径为4的⊙O中，弦AB∥OC，∠BOC=30°，则AB的长为（ ）
A．2 B． C．4 D．
9．下列说法，正确的是（ ）
A．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合
B．与三角形三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点
C．三角形一边上的中线将三角形分成周长相等的两个三角形
D．直角三角形中两锐角平分线形成的夹角是135°
10．函数y=ax2+2ax+m（a＜0）的图象过点（2，0），则使函数值y＜0成立的x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣4或x＞2 B．﹣4＜x＜2 C．x＜0或x＞2 D．0＜x＜2
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．已知a、b、c满足，a、b、c都不为0，则= ．
12．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，那么cosA= ．
13．一个不透明的盒子中装有10个黑球和若干个白球，它们除颜色不同外，其余均相同，从盒子中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回盒子中摇匀，重复上述过程，共试验400次，其中有240次摸到白球，由此估计盒子中的白球大约有 个．
14．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，交⊙O于点C，连接OA，OB，BC，若∠ABC=20°，则∠AOB的度数是 ．
15．二次函数y=x2﹣3x+2的图象与x轴的交点坐标是 ．
16．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，E为BC边上一点，且BE=2，F为AB上一点，FG⊥AE分别交AE、CD于点P、G，以PC为直径的圆交线段FG于点Q，若PF=QG，则BF= ．
三．解答题（共7小题，满分66分）
17．（6分）如图，在一个可以自由转动的转盘中，指针位置固定，三个扇形的面积都相等，且分别标有数字1，2，3．
（1）小明转动转盘一次，当转盘停止转动时，指针所指扇形中的数字是奇数的概率为 ；
（2）小明先转动转盘一次，当转盘停止转动时，记录下指针所指扇形中的数字；接着再转动转盘一次，当转盘停止转动时，再次记录下指针所指扇形中的数字，求这两个数字之和是3的倍数的概率（用画树状图或列表等方法求解）．
18．（8分）如图是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱AC的高为11米，灯杆AB与灯柱AC的夹角∠
A=120°，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域DE长为18米，从D，E两处测得路灯B的仰角分别为α和β，且tanα=6，tanβ=，求灯杆AB的长度．
19．（8分）如图，在⊙O中，弦AB所对的劣弧是圆周长的，其中圆的半径为4cm，
求：（1）求AB的长．
（2）求阴影部分的面积．
20．（10分）如图，在矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为（0，8），点C的坐标为（6，0）．抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A、C，与AB交于点D．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）点P为线段BC上一个动点（不与点C重合），点Q为线段AC上一个动点，AQ=CP，连接PQ，设CP=m，△CPQ的面积为S．
①求S关于m的函数表达式；
②当S最大时，在抛物线y=﹣x2+bx+c的对称轴l上，若存在点F，使△DFQ为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．
21．（10分）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，AE=4，AB=6，AD：AC=2：3，△ABC的角平分线AF交DE于点G，交BC于点F．
（1）请你直接写出图中所有的相似三角形；
（2）求AG与GF的比．
22．（12分）定义：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数；当x≥0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：一次函数y=x﹣1，它的相关函数为y=．
已知二次函数y=，
（1）直接写出已知二次函数的相关函数为y= ．已知点A（﹣5，8）在一次函数y=ax﹣3的相关函数的图象上，求a的值；
（2）当点B（m，）在这个二次函数的相关函数的图象上时，求m的值；
（3）当﹣3≤x≤7时，求函数y=﹣x2+6x+的相关函数的最大值和最小值．
23．（12分）已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F，切点为G，连接AG交CD于K．
（1）如图1，求证：KE=GE；
（2）如图2，连接CABG，若∠FGB=∠ACH，求证：CA∥FE；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接CG交AB于点N，若sinE=，AK=，求CN的长．
参考答案
一．选择题
1．解：2cos60°=2×=1．
故选：A．
2．解：A、三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，三角形的内心到三边的距离相等，只有三角形是等边三角形时才符合，故本选项不符合题意；
B、某射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，故本选项不符合题意；
C、三角形的内角和是180°，是必然事件，故本选项符合题意；
D、抛一枚硬币，落地后正面朝上，是随机事件，故本选项不符合题意；
故选：C．
3．解：抛物线y=3（x﹣2）2+5的顶点坐标为（2，5），
故选：C．
4．解：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
∵∠ABD=55°，
∴∠DAB=90°﹣55°=35°，
∴∠BCD=∠DAB=35°．
故选：C．
5．解：∵点C数线段AB的黄金分割点，
∴AC=AB，①正确；
AC=AB，②错误；
BC：AC=AC：AB，③正确；
AC≈0.618AB，④正确．
故选：C．
6．解：∵抛物线y=﹣5（x+1）2+3的开口向下，对称轴为直线x=﹣1，
而B（2，y2）离直线x=﹣1的距离最远，A（﹣1，y1）点离直线x=﹣1最近，
∴y2＜y3＜y1．
故选：C．
7．解：①和③相似，
∵由勾股定理求出①的三角形的各边长分别为2、、；
由勾股定理求出③的各边长分别为2、2、2，
∴=，
=，
即==，
∴两三角形的三边对应边成比例，
∴①③相似．
故选：C．
8．解：延长BO交⊙O于点D，连接AD
∵BD是直径，
∴∠BAD=90°，BD=4×2=8
∵AB∥OC，∠BOC=30°，
∴∠ABD=30°
在Rt△ADB中，
∵∠ABD=30°，
∴AD=BD=4，
AB=
=
=4
故选：D．
9．解：A、等腰三角形底边上的高、中线、顶角的角平分线互相重合，错误；
B、与三角形三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点，正确；
C、三角形一边上的中线将三角形分成面积长相等的两个三角形，错误；
D、直角三角形中两锐角平分线形成的夹角是135°或45°，错误；
故选：B．
10．解：抛物线y=ax2+2ax+m的对称轴为直线x=﹣=﹣1，
而抛物线与x轴的一个交点坐标为（2，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣4，0），
∵a＜0，
∴抛物线开口向下，
∴当x＜﹣4或x＞2时，y＜0．
故选：A．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．解：设=k，
可得：a=3k，b=4k，c=6k，
把a=3k，b=4k，c=6k代入=，
故答案为：；
12．解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，
∴∠A=30°，
∴cosA=．
故答案是：．
13．解：∵共试验400次，其中有240次摸到白球，
∴白球所占的比例为=0.6，
设盒子中共有白球x个，则=0.6，
解得：x=15，
故答案为：15．
14．解：∵OC⊥AB，
∴=，
∴∠AOC=∠BOC，
∵∠AOC=2∠ABC=40°，
∴∠AOB=2∠AOC=80°，
故答案为80°．
15．解：当y=0时，x2﹣3x+2=0，解得x1=1，x2=2，
故二次函数y=x2﹣3x+2的图象与x轴的交点坐标是（1，0），（2，0）．
故答案为：（1，0），（2，0）．
16．解：连接AC交FG于O，连接PC、CQ，延长AE交PC为直径的圆于H，连接CH．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠AFP=∠CGQ，
∵PC是直径，
∴∠CQP=∠H=90°，
∴CQ⊥FG，
∵AE⊥FG，
∴∠APF=∠CQG=90°，
在△APF和△CQG中，
，
∴△AOF≌△CQG，
∴AP=CQ，
在△AOP和△COQ中，
，
∴△AOP≌△COQ，
∴OA=OC，
在Rt△ABE中，∵AB=8，BE=2，
∴AE==2，
∵△AEB∽△CEH，
∴==，
∴CH=，EH=，
∴AH=，
∵OA=OC，OP∥CH，
∴AP=PH=，
∵△APF∽△ABE，
∴=，
∴AF=，
∴BF=AB﹣AF=8﹣=，
故答案为
三．解答题（共7小题，满分66分）
17．解：（1）∵在标有数字1、2、3的3个转盘中，奇数的有1、3这2个，
∴指针所指扇形中的数字是奇数的概率为，
故答案为：；
（2）列表如下：
1
2
3
1
（1，1）
（2，1）
（3，1）
2
（1，2）
（2，2）
（3，2）
3
（1，3）
（2，3）
（3，3）
由表可知，所有等可能的情况数为9种，其中这两个数字之和是3的倍数的有3种，
所以这两个数字之和是3的倍数的概率为=．
18．解：过点B作BF⊥CE，交CE于点F，过点A作AG⊥AF，交BF于点G，则FG=AC=11．
由题意得∠BDE=α，tan∠β=．
设BF=3x，则EF=4x
在Rt△BDF中，∵tan∠BDF=，
∴DF===x，
∵DE=18，
∴x+4x=18．
∴x=4．
∴BF=12，
∴BG=BF﹣GF=12﹣11=1，
∵∠BAC=120°，
∴∠BAG=∠BAC﹣∠CAG=120°﹣90°=30°．
∴AB=2BG=2，
答：灯杆AB的长度为2米．
19．解：（1）作OC⊥AB于C，
∵弦AB所对的劣弧是圆周长的，
∴∠AOB=120°，
∴∠AOC=60°，
∴AC=OA×sin∠AOC=2，OC=2，
∵OC⊥AB，
∴AB=2AC=4；
（2）阴影部分的面积=﹣×4×2=π﹣4．
20．解：（1）将A、C两点坐标代入抛物线，得
，
解得：，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+8；
（2）①∵OA=8，OC=6，
∴AC==10，
过点Q作QE⊥BC与E点，则sin∠ACB===，
∴=，
∴QE=（10﹣m），
∴S=•CP•QE=m×（10﹣m）=﹣m2+3m；
②∵S=•CP•QE=m×（10﹣m）=﹣m2+3m=﹣（m﹣5）2+，
∴当m=5时，S取最大值；
在抛物线对称轴l上存在点F，使△FDQ为直角三角形，
∵抛物线的解析式为y=﹣x2+x+8的对称轴为x=，
D的坐标为（3，8），Q（3，4），
当∠FDQ=90°时，F1（，8），
当∠FQD=90°时，则F2（，4），
当∠DFQ=90°时，设F（，n），
则FD2+FQ2=DQ2，
即+（8﹣n）2++（n﹣4）2=16，
解得：n=6±，
∴F3（，6+），F4（，6﹣），
满足条件的点F共有四个，坐标分别为
F1（，8），F2（，4），F3（，6+），F4（，6﹣）．
21．解：（1）△ADG∽△ACF，△AGE∽△AFB，△ADE∽△ACB；
（2）∵==， =，
∴=，
又∵∠DAE=∠CAB，
∴△ADE∽△ACB，
∴∠ADG=∠C，
∵AF为角平分线，
∴∠DAG=∠FAE
∴△ADG∽△ACF，
∴==，
∴=2．
22．解：（1）二次函数y=的相关函数为y=．
∵点A（﹣5，8）在一次函数y=ax﹣3的相关函数的图象上，
∴﹣（﹣5）a+3=8，
∴a=1．
故答案为：
（2）当m＜0时，有m2﹣6m﹣=，
解得：m1=3﹣，m2=3+（舍去）；
当m≥0时，有﹣m2+6m+=，
解得：m3=3﹣2，m4=3+2．
综上所述：m的值为3﹣、3﹣2或3+2．
（3）当﹣3≤x＜0时，y=x2﹣6x﹣=（x﹣3）2﹣，
∴抛物线的对称轴为直线x=3，在﹣3≤x＜0上，y随x的增大而减小，
∴当x=﹣3时，y取最大值，最大值为；
当0≤x≤7时，y=﹣x2+6x+=﹣（x﹣3）2+，
∴抛物线的对称轴为直线x=3，
∴当x=3时，y取最大值，最大值为，当x=7时，y取最小值，最小值为﹣．
综上所述：当﹣3≤x≤7时，所求函数的相关函数的最大值为，最小值为﹣．
23．（1）证明：连接OG．
∵EF切⊙O于G，
∴OG⊥EF，
∴∠AGO+∠AGE=90°，
∵CD⊥AB于H，
∴∠AHD=90°，
∴∠OAG=∠AKH=90°，
∵OA=OG，
∴∠AGO=∠OAG，
∴∠AGE=∠AKH，
∵∠EKG=∠AKH，
∴∠EKG=∠AGE，
∴KE=GE．
（2）设∠FGB=α，
∵AB是直径，
∴∠AGB=90°，
∴∠AGE=∠EKG=90°﹣α，
∴∠E=180°﹣∠AGE﹣∠EKG=2α，
∵∠FGB=∠ACH，
∴∠ACH=2α，
∴∠ACH=∠E，
∴CA∥FE．
（3）作NP⊥AC于P．
∵∠ACH=∠E，
∴sin∠E=sin∠ACH==，设AH=3a，AC=5a，
则CH==4a，tan∠CAH==，
∵CA∥FE，
∴∠CAK=∠AGE，
∵∠AGE=∠AKH，
∴∠CAK=∠AKH，
∴AC=CK=5a，HK=CK﹣CH=4a，tan∠AKH==3，AK==a，
∵AK=，
∴a=，
∴a=1．AC=5，
∵∠BHD=∠AGB=90°，
∴∠BHD+∠AGB=180°，
在四边形BGKH中，∠BHD+∠HKG+∠AGB+∠ABG=360°，
∴∠ABG+∠HKG=180°，∵∠AKH+∠HKG=180°，
∴∠AKH=∠ABG，
∵∠ACN=∠ABG，
∴∠AKH=∠ACN，
∴tan∠AKH=tan∠ACN=3，
∵NP⊥AC于P，
∴∠APN=∠CPN=90°，
在Rt△APN中，tan∠CAH==，设PN=12b，则AP=9b，
在Rt△CPN中，tan∠ACN==3，
∴CP=4b，
∴AC=AP+CP=13b，
∵AC=5，
∴13b=5，
∴b=，
∴CN==4b=．
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