资料简介
浙江省杭州市余杭区2018-2019学年九年级(上)
期末数学模拟试卷
一.选择题(共10小题,满分30分,每小题3分)
1.2cos60°=( )
A.1 B. C. D.
2.下列事件中,属于必然事件的是( )
A.三角形的外心到三边的距离相等
B.某射击运动员射击一次,命中靶心
C.任意画一个三角形,其内角和是180°
D.抛一枚硬币,落地后正面朝上
3.抛物线y=3(x﹣2)2+5的顶点坐标是( )
A.(﹣2,5) B.(﹣2,﹣5) C.(2,5) D.(2,﹣5)
4.如图,AB是⊙O的直径,点C,D在⊙O上.若∠ABD=55°,则∠BCD的度数为( )
A.25° B.30° C.35° D.40°
5.点C为线段AB的黄金分割点,且AC>BC,下列说法正确的有( )
①AC=AB,②AC=AB,③AB:AC=AC:BC,④AC≈0.618AB
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
6.已知A(﹣1,y1)、B(2,y2)、C(﹣3,y3)在函数y=﹣5(x+1)2+3的图象上,则y1、y2、y3的大小关系是( )
A.y1<y2<y3 B.y1<y3<y2 C.y2<y3<y1 D.y3<y2<y1
7.如图,在大小为4×4的正方形网格中,是相似三角形的是( )
A.①和② B.②和③ C.①和③ D.②和④
8.如图,在半径为4的⊙O中,弦AB∥OC,∠BOC=30°,则AB的长为( )
A.2 B. C.4 D.
9.下列说法,正确的是( )
A.等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合
B.与三角形三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点
C.三角形一边上的中线将三角形分成周长相等的两个三角形
D.直角三角形中两锐角平分线形成的夹角是135°
10.函数y=ax2+2ax+m(a<0)的图象过点(2,0),则使函数值y<0成立的x的取值范围是( )
A.x<﹣4或x>2 B.﹣4<x<2 C.x<0或x>2 D.0<x<2
二.填空题(共6小题,满分24分,每小题4分)
11.已知a、b、c满足,a、b、c都不为0,则= .
12.在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=,那么cosA= .
13.一个不透明的盒子中装有10个黑球和若干个白球,它们除颜色不同外,其余均相同,从盒子中随机摸出一球记下其颜色,再把它放回盒子中摇匀,重复上述过程,共试验400次,其中有240次摸到白球,由此估计盒子中的白球大约有 个.
14.如图,AB是⊙O的弦,OC⊥AB,交⊙O于点C,连接OA,OB,BC,若∠ABC=20°,则∠AOB的度数是 .
15.二次函数y=x2﹣3x+2的图象与x轴的交点坐标是 .
16.如图,矩形ABCD中,AB=8,BC=6,E为BC边上一点,且BE=2,F为AB上一点,FG⊥AE分别交AE、CD于点P、G,以PC为直径的圆交线段FG于点Q,若PF=QG,则BF= .
三.解答题(共7小题,满分66分)
17.(6分)如图,在一个可以自由转动的转盘中,指针位置固定,三个扇形的面积都相等,且分别标有数字1,2,3.
(1)小明转动转盘一次,当转盘停止转动时,指针所指扇形中的数字是奇数的概率为 ;
(2)小明先转动转盘一次,当转盘停止转动时,记录下指针所指扇形中的数字;接着再转动转盘一次,当转盘停止转动时,再次记录下指针所指扇形中的数字,求这两个数字之和是3的倍数的概率(用画树状图或列表等方法求解).
18.(8分)如图是某路灯在铅垂面内的示意图,灯柱AC的高为11米,灯杆AB与灯柱AC的夹角∠
A=120°,路灯采用锥形灯罩,在地面上的照射区域DE长为18米,从D,E两处测得路灯B的仰角分别为α和β,且tanα=6,tanβ=,求灯杆AB的长度.
19.(8分)如图,在⊙O中,弦AB所对的劣弧是圆周长的,其中圆的半径为4cm,
求:(1)求AB的长.
(2)求阴影部分的面积.
20.(10分)如图,在矩形OABC中,点O为原点,点A的坐标为(0,8),点C的坐标为(6,0).抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A、C,与AB交于点D.
(1)求抛物线的函数解析式;
(2)点P为线段BC上一个动点(不与点C重合),点Q为线段AC上一个动点,AQ=CP,连接PQ,设CP=m,△CPQ的面积为S.
①求S关于m的函数表达式;
②当S最大时,在抛物线y=﹣x2+bx+c的对称轴l上,若存在点F,使△DFQ为直角三角形,请直接写出所有符合条件的点F的坐标;若不存在,请说明理由.
21.(10分)如图,在△ABC中,D、E分别是AB、AC上的点,AE=4,AB=6,AD:AC=2:3,△ABC的角平分线AF交DE于点G,交BC于点F.
(1)请你直接写出图中所有的相似三角形;
(2)求AG与GF的比.
22.(12分)定义:对于给定的两个函数,任取自变量x的一个值,当x<0时,它们对应的函数值互为相反数;当x≥0时,它们对应的函数值相等,我们称这样的两个函数互为相关函数.例如:一次函数y=x﹣1,它的相关函数为y=.
已知二次函数y=,
(1)直接写出已知二次函数的相关函数为y= .已知点A(﹣5,8)在一次函数y=ax﹣3的相关函数的图象上,求a的值;
(2)当点B(m,)在这个二次函数的相关函数的图象上时,求m的值;
(3)当﹣3≤x≤7时,求函数y=﹣x2+6x+的相关函数的最大值和最小值.
23.(12分)已知AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于H,过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F,切点为G,连接AG交CD于K.
(1)如图1,求证:KE=GE;
(2)如图2,连接CABG,若∠FGB=∠ACH,求证:CA∥FE;
(3)如图3,在(2)的条件下,连接CG交AB于点N,若sinE=,AK=,求CN的长.
参考答案
一.选择题
1.解:2cos60°=2×=1.
故选:A.
2.解:A、三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等,三角形的内心到三边的距离相等,只有三角形是等边三角形时才符合,故本选项不符合题意;
B、某射击运动员射击一次,命中靶心是随机事件,故本选项不符合题意;
C、三角形的内角和是180°,是必然事件,故本选项符合题意;
D、抛一枚硬币,落地后正面朝上,是随机事件,故本选项不符合题意;
故选:C.
3.解:抛物线y=3(x﹣2)2+5的顶点坐标为(2,5),
故选:C.
4.解:连接AD,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°.
∵∠ABD=55°,
∴∠DAB=90°﹣55°=35°,
∴∠BCD=∠DAB=35°.
故选:C.
5.解:∵点C数线段AB的黄金分割点,
∴AC=AB,①正确;
AC=AB,②错误;
BC:AC=AC:AB,③正确;
AC≈0.618AB,④正确.
故选:C.
6.解:∵抛物线y=﹣5(x+1)2+3的开口向下,对称轴为直线x=﹣1,
而B(2,y2)离直线x=﹣1的距离最远,A(﹣1,y1)点离直线x=﹣1最近,
∴y2<y3<y1.
故选:C.
7.解:①和③相似,
∵由勾股定理求出①的三角形的各边长分别为2、、;
由勾股定理求出③的各边长分别为2、2、2,
∴=,
=,
即==,
∴两三角形的三边对应边成比例,
∴①③相似.
故选:C.
8.解:延长BO交⊙O于点D,连接AD
∵BD是直径,
∴∠BAD=90°,BD=4×2=8
∵AB∥OC,∠BOC=30°,
∴∠ABD=30°
在Rt△ADB中,
∵∠ABD=30°,
∴AD=BD=4,
AB=
=
=4
故选:D.
9.解:A、等腰三角形底边上的高、中线、顶角的角平分线互相重合,错误;
B、与三角形三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点,正确;
C、三角形一边上的中线将三角形分成面积长相等的两个三角形,错误;
D、直角三角形中两锐角平分线形成的夹角是135°或45°,错误;
故选:B.
10.解:抛物线y=ax2+2ax+m的对称轴为直线x=﹣=﹣1,
而抛物线与x轴的一个交点坐标为(2,0),
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(﹣4,0),
∵a<0,
∴抛物线开口向下,
∴当x<﹣4或x>2时,y<0.
故选:A.
二.填空题(共6小题,满分24分,每小题4分)
11.解:设=k,
可得:a=3k,b=4k,c=6k,
把a=3k,b=4k,c=6k代入=,
故答案为:;
12.解:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=,
∴∠A=30°,
∴cosA=.
故答案是:.
13.解:∵共试验400次,其中有240次摸到白球,
∴白球所占的比例为=0.6,
设盒子中共有白球x个,则=0.6,
解得:x=15,
故答案为:15.
14.解:∵OC⊥AB,
∴=,
∴∠AOC=∠BOC,
∵∠AOC=2∠ABC=40°,
∴∠AOB=2∠AOC=80°,
故答案为80°.
15.解:当y=0时,x2﹣3x+2=0,解得x1=1,x2=2,
故二次函数y=x2﹣3x+2的图象与x轴的交点坐标是(1,0),(2,0).
故答案为:(1,0),(2,0).
16.解:连接AC交FG于O,连接PC、CQ,延长AE交PC为直径的圆于H,连接CH.
∵四边形ABCD是矩形,
∴AB∥CD,
∴∠AFP=∠CGQ,
∵PC是直径,
∴∠CQP=∠H=90°,
∴CQ⊥FG,
∵AE⊥FG,
∴∠APF=∠CQG=90°,
在△APF和△CQG中,
,
∴△AOF≌△CQG,
∴AP=CQ,
在△AOP和△COQ中,
,
∴△AOP≌△COQ,
∴OA=OC,
在Rt△ABE中,∵AB=8,BE=2,
∴AE==2,
∵△AEB∽△CEH,
∴==,
∴CH=,EH=,
∴AH=,
∵OA=OC,OP∥CH,
∴AP=PH=,
∵△APF∽△ABE,
∴=,
∴AF=,
∴BF=AB﹣AF=8﹣=,
故答案为
三.解答题(共7小题,满分66分)
17.解:(1)∵在标有数字1、2、3的3个转盘中,奇数的有1、3这2个,
∴指针所指扇形中的数字是奇数的概率为,
故答案为:;
(2)列表如下:
1
2
3
1
(1,1)
(2,1)
(3,1)
2
(1,2)
(2,2)
(3,2)
3
(1,3)
(2,3)
(3,3)
由表可知,所有等可能的情况数为9种,其中这两个数字之和是3的倍数的有3种,
所以这两个数字之和是3的倍数的概率为=.
18.解:过点B作BF⊥CE,交CE于点F,过点A作AG⊥AF,交BF于点G,则FG=AC=11.
由题意得∠BDE=α,tan∠β=.
设BF=3x,则EF=4x
在Rt△BDF中,∵tan∠BDF=,
∴DF===x,
∵DE=18,
∴x+4x=18.
∴x=4.
∴BF=12,
∴BG=BF﹣GF=12﹣11=1,
∵∠BAC=120°,
∴∠BAG=∠BAC﹣∠CAG=120°﹣90°=30°.
∴AB=2BG=2,
答:灯杆AB的长度为2米.
19.解:(1)作OC⊥AB于C,
∵弦AB所对的劣弧是圆周长的,
∴∠AOB=120°,
∴∠AOC=60°,
∴AC=OA×sin∠AOC=2,OC=2,
∵OC⊥AB,
∴AB=2AC=4;
(2)阴影部分的面积=﹣×4×2=π﹣4.
20.解:(1)将A、C两点坐标代入抛物线,得
,
解得:,
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+8;
(2)①∵OA=8,OC=6,
∴AC==10,
过点Q作QE⊥BC与E点,则sin∠ACB===,
∴=,
∴QE=(10﹣m),
∴S=•CP•QE=m×(10﹣m)=﹣m2+3m;
②∵S=•CP•QE=m×(10﹣m)=﹣m2+3m=﹣(m﹣5)2+,
∴当m=5时,S取最大值;
在抛物线对称轴l上存在点F,使△FDQ为直角三角形,
∵抛物线的解析式为y=﹣x2+x+8的对称轴为x=,
D的坐标为(3,8),Q(3,4),
当∠FDQ=90°时,F1(,8),
当∠FQD=90°时,则F2(,4),
当∠DFQ=90°时,设F(,n),
则FD2+FQ2=DQ2,
即+(8﹣n)2++(n﹣4)2=16,
解得:n=6±,
∴F3(,6+),F4(,6﹣),
满足条件的点F共有四个,坐标分别为
F1(,8),F2(,4),F3(,6+),F4(,6﹣).
21.解:(1)△ADG∽△ACF,△AGE∽△AFB,△ADE∽△ACB;
(2)∵==, =,
∴=,
又∵∠DAE=∠CAB,
∴△ADE∽△ACB,
∴∠ADG=∠C,
∵AF为角平分线,
∴∠DAG=∠FAE
∴△ADG∽△ACF,
∴==,
∴=2.
22.解:(1)二次函数y=的相关函数为y=.
∵点A(﹣5,8)在一次函数y=ax﹣3的相关函数的图象上,
∴﹣(﹣5)a+3=8,
∴a=1.
故答案为:
(2)当m<0时,有m2﹣6m﹣=,
解得:m1=3﹣,m2=3+(舍去);
当m≥0时,有﹣m2+6m+=,
解得:m3=3﹣2,m4=3+2.
综上所述:m的值为3﹣、3﹣2或3+2.
(3)当﹣3≤x<0时,y=x2﹣6x﹣=(x﹣3)2﹣,
∴抛物线的对称轴为直线x=3,在﹣3≤x<0上,y随x的增大而减小,
∴当x=﹣3时,y取最大值,最大值为;
当0≤x≤7时,y=﹣x2+6x+=﹣(x﹣3)2+,
∴抛物线的对称轴为直线x=3,
∴当x=3时,y取最大值,最大值为,当x=7时,y取最小值,最小值为﹣.
综上所述:当﹣3≤x≤7时,所求函数的相关函数的最大值为,最小值为﹣.
23.(1)证明:连接OG.
∵EF切⊙O于G,
∴OG⊥EF,
∴∠AGO+∠AGE=90°,
∵CD⊥AB于H,
∴∠AHD=90°,
∴∠OAG=∠AKH=90°,
∵OA=OG,
∴∠AGO=∠OAG,
∴∠AGE=∠AKH,
∵∠EKG=∠AKH,
∴∠EKG=∠AGE,
∴KE=GE.
(2)设∠FGB=α,
∵AB是直径,
∴∠AGB=90°,
∴∠AGE=∠EKG=90°﹣α,
∴∠E=180°﹣∠AGE﹣∠EKG=2α,
∵∠FGB=∠ACH,
∴∠ACH=2α,
∴∠ACH=∠E,
∴CA∥FE.
(3)作NP⊥AC于P.
∵∠ACH=∠E,
∴sin∠E=sin∠ACH==,设AH=3a,AC=5a,
则CH==4a,tan∠CAH==,
∵CA∥FE,
∴∠CAK=∠AGE,
∵∠AGE=∠AKH,
∴∠CAK=∠AKH,
∴AC=CK=5a,HK=CK﹣CH=4a,tan∠AKH==3,AK==a,
∵AK=,
∴a=,
∴a=1.AC=5,
∵∠BHD=∠AGB=90°,
∴∠BHD+∠AGB=180°,
在四边形BGKH中,∠BHD+∠HKG+∠AGB+∠ABG=360°,
∴∠ABG+∠HKG=180°,∵∠AKH+∠HKG=180°,
∴∠AKH=∠ABG,
∵∠ACN=∠ABG,
∴∠AKH=∠ACN,
∴tan∠AKH=tan∠ACN=3,
∵NP⊥AC于P,
∴∠APN=∠CPN=90°,
在Rt△APN中,tan∠CAH==,设PN=12b,则AP=9b,
在Rt△CPN中,tan∠ACN==3,
∴CP=4b,
∴AC=AP+CP=13b,
∵AC=5,
∴13b=5,
∴b=,
∴CN==4b=.
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