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浙江省杭州市余杭区2018-2019学年九年级(上)‎ 期末数学模拟试卷 一.选择题(共10小题,满分30分,每小题3分)‎ ‎1.2cos60°=(  )‎ A.1 B. C. D.‎ ‎2.下列事件中,属于必然事件的是(  )‎ A.三角形的外心到三边的距离相等 ‎ B.某射击运动员射击一次,命中靶心 ‎ C.任意画一个三角形,其内角和是180° ‎ D.抛一枚硬币,落地后正面朝上 ‎3.抛物线y=3(x﹣2)2+5的顶点坐标是(  )‎ A.(﹣2,5) B.(﹣2,﹣5) C.(2,5) D.(2,﹣5)‎ ‎4.如图,AB是⊙O的直径,点C,D在⊙O上.若∠ABD=55°,则∠BCD的度数为(  )‎ A.25° B.30° C.35° D.40°‎ ‎5.点C为线段AB的黄金分割点,且AC>BC,下列说法正确的有(  )‎ ‎①AC=AB,②AC=AB,③AB:AC=AC:BC,④AC≈0.618AB A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ‎6.已知A(﹣1,y1)、B(2,y2)、C(﹣3,y3)在函数y=﹣5(x+1)2+3的图象上,则y1、y2、y3的大小关系是(  )‎ A.y1<y2<y3 B.y1<y3<y2 C.y2<y3<y1 D.y3<y2<y1‎ ‎7.如图,在大小为4×4的正方形网格中,是相似三角形的是(  )‎ A.①和② B.②和③ C.①和③ D.②和④‎ ‎8.如图,在半径为4的⊙O中,弦AB∥OC,∠BOC=30°,则AB的长为(  )‎ A.2 B. C.4 D.‎ ‎9.下列说法,正确的是(  )‎ A.等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合 ‎ B.与三角形三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点 ‎ C.三角形一边上的中线将三角形分成周长相等的两个三角形 ‎ D.直角三角形中两锐角平分线形成的夹角是135°‎ ‎10.函数y=ax2+2ax+m(a<0)的图象过点(2,0),则使函数值y<0成立的x的取值范围是(  )‎ A.x<﹣4或x>2 B.﹣4<x<2 C.x<0或x>2 D.0<x<2‎ 二.填空题(共6小题,满分24分,每小题4分)‎ ‎11.已知a、b、c满足,a、b、c都不为0,则=   .‎ ‎12.在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=,那么cosA=   .‎ ‎13.一个不透明的盒子中装有10个黑球和若干个白球,它们除颜色不同外,其余均相同,从盒子中随机摸出一球记下其颜色,再把它放回盒子中摇匀,重复上述过程,共试验400次,其中有240次摸到白球,由此估计盒子中的白球大约有   个.‎ ‎14.如图,AB是⊙O的弦,OC⊥AB,交⊙O于点C,连接OA,OB,BC,若∠ABC=20°,则∠AOB的度数是   .‎ ‎15.二次函数y=x2﹣3x+2的图象与x轴的交点坐标是   .‎ ‎16.如图,矩形ABCD中,AB=8,BC=6,E为BC边上一点,且BE=2,F为AB上一点,FG⊥AE分别交AE、CD于点P、G,以PC为直径的圆交线段FG于点Q,若PF=QG,则BF=   .‎ 三.解答题(共7小题,满分66分)‎ ‎17.(6分)如图,在一个可以自由转动的转盘中,指针位置固定,三个扇形的面积都相等,且分别标有数字1,2,3.‎ ‎(1)小明转动转盘一次,当转盘停止转动时,指针所指扇形中的数字是奇数的概率为   ;‎ ‎(2)小明先转动转盘一次,当转盘停止转动时,记录下指针所指扇形中的数字;接着再转动转盘一次,当转盘停止转动时,再次记录下指针所指扇形中的数字,求这两个数字之和是3的倍数的概率(用画树状图或列表等方法求解).‎ ‎18.(8分)如图是某路灯在铅垂面内的示意图,灯柱AC的高为11米,灯杆AB与灯柱AC的夹角∠‎ A=120°,路灯采用锥形灯罩,在地面上的照射区域DE长为18米,从D,E两处测得路灯B的仰角分别为α和β,且tanα=6,tanβ=,求灯杆AB的长度.‎ ‎19.(8分)如图,在⊙O中,弦AB所对的劣弧是圆周长的,其中圆的半径为4cm,‎ 求:(1)求AB的长.‎ ‎(2)求阴影部分的面积.‎ ‎20.(10分)如图,在矩形OABC中,点O为原点,点A的坐标为(0,8),点C的坐标为(6,0).抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A、C,与AB交于点D.‎ ‎(1)求抛物线的函数解析式;‎ ‎(2)点P为线段BC上一个动点(不与点C重合),点Q为线段AC上一个动点,AQ=CP,连接PQ,设CP=m,△CPQ的面积为S.‎ ‎①求S关于m的函数表达式;‎ ‎②当S最大时,在抛物线y=﹣x2+bx+c的对称轴l上,若存在点F,使△DFQ为直角三角形,请直接写出所有符合条件的点F的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎21.(10分)如图,在△ABC中,D、E分别是AB、AC上的点,AE=4,AB=6,AD:AC=2:3,△ABC的角平分线AF交DE于点G,交BC于点F.‎ ‎(1)请你直接写出图中所有的相似三角形;‎ ‎(2)求AG与GF的比.‎ ‎22.(12分)定义:对于给定的两个函数,任取自变量x的一个值,当x<0时,它们对应的函数值互为相反数;当x≥0时,它们对应的函数值相等,我们称这样的两个函数互为相关函数.例如:一次函数y=x﹣1,它的相关函数为y=.‎ 已知二次函数y=,‎ ‎(1)直接写出已知二次函数的相关函数为y=   .已知点A(﹣5,8)在一次函数y=ax﹣3的相关函数的图象上,求a的值;‎ ‎(2)当点B(m,)在这个二次函数的相关函数的图象上时,求m的值;‎ ‎(3)当﹣3≤x≤7时,求函数y=﹣x2+6x+的相关函数的最大值和最小值.‎ ‎23.(12分)已知AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于H,过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F,切点为G,连接AG交CD于K.‎ ‎(1)如图1,求证:KE=GE;‎ ‎(2)如图2,连接CABG,若∠FGB=∠ACH,求证:CA∥FE;‎ ‎(3)如图3,在(2)的条件下,连接CG交AB于点N,若sinE=,AK=,求CN的长.‎ 参考答案 一.选择题 ‎1.解:2cos60°=2×=1.‎ 故选:A.‎ ‎2.解:A、三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等,三角形的内心到三边的距离相等,只有三角形是等边三角形时才符合,故本选项不符合题意;‎ B、某射击运动员射击一次,命中靶心是随机事件,故本选项不符合题意;‎ C、三角形的内角和是180°,是必然事件,故本选项符合题意;‎ D、抛一枚硬币,落地后正面朝上,是随机事件,故本选项不符合题意;‎ 故选:C.‎ ‎3.解:抛物线y=3(x﹣2)2+5的顶点坐标为(2,5),‎ 故选:C.‎ ‎4.解:连接AD,‎ ‎∵AB是⊙O的直径,‎ ‎∴∠ADB=90°.‎ ‎∵∠ABD=55°,‎ ‎∴∠DAB=90°﹣55°=35°,‎ ‎∴∠BCD=∠DAB=35°.‎ 故选:C.‎ ‎5.解:∵点C数线段AB的黄金分割点,‎ ‎∴AC=AB,①正确;‎ AC=AB,②错误;‎ BC:AC=AC:AB,③正确;‎ AC≈0.618AB,④正确.‎ 故选:C.‎ ‎6.解:∵抛物线y=﹣5(x+1)2+3的开口向下,对称轴为直线x=﹣1,‎ 而B(2,y2)离直线x=﹣1的距离最远,A(﹣1,y1)点离直线x=﹣1最近,‎ ‎∴y2<y3<y1.‎ 故选:C.‎ ‎7.解:①和③相似,‎ ‎∵由勾股定理求出①的三角形的各边长分别为2、、;‎ 由勾股定理求出③的各边长分别为2、2、2,‎ ‎∴=,‎ ‎=,‎ 即==,‎ ‎∴两三角形的三边对应边成比例,‎ ‎∴①③相似.‎ 故选:C.‎ ‎8.解:延长BO交⊙O于点D,连接AD ‎∵BD是直径,‎ ‎∴∠BAD=90°,BD=4×2=8‎ ‎∵AB∥OC,∠BOC=30°,‎ ‎∴∠ABD=30°‎ 在Rt△ADB中,‎ ‎∵∠ABD=30°,‎ ‎∴AD=BD=4,‎ AB=‎ ‎=‎ ‎=4‎ 故选:D.‎ ‎9.解:A、等腰三角形底边上的高、中线、顶角的角平分线互相重合,错误;‎ B、与三角形三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点,正确;‎ C、三角形一边上的中线将三角形分成面积长相等的两个三角形,错误;‎ D、直角三角形中两锐角平分线形成的夹角是135°或45°,错误;‎ 故选:B.‎ ‎10.解:抛物线y=ax2+2ax+m的对称轴为直线x=﹣=﹣1,‎ 而抛物线与x轴的一个交点坐标为(2,0),‎ ‎∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(﹣4,0),‎ ‎∵a<0,‎ ‎∴抛物线开口向下,‎ ‎∴当x<﹣4或x>2时,y<0.‎ 故选:A.‎ 二.填空题(共6小题,满分24分,每小题4分)‎ ‎11.解:设=k,‎ 可得:a=3k,b=4k,c=6k,‎ 把a=3k,b=4k,c=6k代入=,‎ 故答案为:;‎ ‎12.解:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=,‎ ‎∴∠A=30°,‎ ‎∴cosA=.‎ 故答案是:.‎ ‎13.解:∵共试验400次,其中有240次摸到白球,‎ ‎∴白球所占的比例为=0.6,‎ 设盒子中共有白球x个,则=0.6,‎ 解得:x=15,‎ 故答案为:15.‎ ‎14.解:∵OC⊥AB,‎ ‎∴=,‎ ‎∴∠AOC=∠BOC,‎ ‎∵∠AOC=2∠ABC=40°,‎ ‎∴∠AOB=2∠AOC=80°,‎ 故答案为80°.‎ ‎15.解:当y=0时,x2﹣3x+2=0,解得x1=1,x2=2,‎ 故二次函数y=x2﹣3x+2的图象与x轴的交点坐标是(1,0),(2,0).‎ 故答案为:(1,0),(2,0).‎ ‎16.解:连接AC交FG于O,连接PC、CQ,延长AE交PC为直径的圆于H,连接CH.‎ ‎∵四边形ABCD是矩形,‎ ‎∴AB∥CD,‎ ‎∴∠AFP=∠CGQ,‎ ‎∵PC是直径,‎ ‎∴∠CQP=∠H=90°,‎ ‎∴CQ⊥FG,‎ ‎∵AE⊥FG,‎ ‎∴∠APF=∠CQG=90°,‎ 在△APF和△CQG中,‎ ‎,‎ ‎∴△AOF≌△CQG,‎ ‎∴AP=CQ,‎ 在△AOP和△COQ中,‎ ‎,‎ ‎∴△AOP≌△COQ,‎ ‎∴OA=OC,‎ 在Rt△ABE中,∵AB=8,BE=2,‎ ‎∴AE==2,‎ ‎∵△AEB∽△CEH,‎ ‎∴==,‎ ‎∴CH=,EH=,‎ ‎∴AH=,‎ ‎∵OA=OC,OP∥CH,‎ ‎∴AP=PH=,‎ ‎∵△APF∽△ABE,‎ ‎∴=,‎ ‎∴AF=,‎ ‎∴BF=AB﹣AF=8﹣=,‎ 故答案为 三.解答题(共7小题,满分66分)‎ ‎17.解:(1)∵在标有数字1、2、3的3个转盘中,奇数的有1、3这2个,‎ ‎∴指针所指扇形中的数字是奇数的概率为,‎ 故答案为:;‎ ‎(2)列表如下:‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎(1,1)‎ ‎(2,1)‎ ‎(3,1)‎ ‎2‎ ‎(1,2)‎ ‎(2,2)‎ ‎(3,2)‎ ‎3‎ ‎(1,3)‎ ‎(2,3)‎ ‎(3,3)‎ 由表可知,所有等可能的情况数为9种,其中这两个数字之和是3的倍数的有3种,‎ 所以这两个数字之和是3的倍数的概率为=.‎ ‎18.解:过点B作BF⊥CE,交CE于点F,过点A作AG⊥AF,交BF于点G,则FG=AC=11.‎ 由题意得∠BDE=α,tan∠β=.‎ 设BF=3x,则EF=4x 在Rt△BDF中,∵tan∠BDF=,‎ ‎∴DF===x,‎ ‎∵DE=18,‎ ‎∴x+4x=18.‎ ‎∴x=4.‎ ‎∴BF=12,‎ ‎∴BG=BF﹣GF=12﹣11=1,‎ ‎∵∠BAC=120°,‎ ‎∴∠BAG=∠BAC﹣∠CAG=120°﹣90°=30°.‎ ‎∴AB=2BG=2,‎ 答:灯杆AB的长度为2米.‎ ‎19.解:(1)作OC⊥AB于C,‎ ‎∵弦AB所对的劣弧是圆周长的,‎ ‎∴∠AOB=120°,‎ ‎∴∠AOC=60°,‎ ‎∴AC=OA×sin∠AOC=2,OC=2,‎ ‎∵OC⊥AB,‎ ‎∴AB=2AC=4;‎ ‎(2)阴影部分的面积=﹣×4×2=π﹣4.‎ ‎20.解:(1)将A、C两点坐标代入抛物线,得 ‎,‎ 解得:,‎ ‎∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+8;‎ ‎(2)①∵OA=8,OC=6,‎ ‎∴AC==10,‎ 过点Q作QE⊥BC与E点,则sin∠ACB===,‎ ‎∴=,‎ ‎∴QE=(10﹣m),‎ ‎∴S=•CP•QE=m×(10﹣m)=﹣m2+3m;‎ ‎②∵S=•CP•QE=m×(10﹣m)=﹣m2+3m=﹣(m﹣5)2+,‎ ‎∴当m=5时,S取最大值;‎ 在抛物线对称轴l上存在点F,使△FDQ为直角三角形,‎ ‎∵抛物线的解析式为y=﹣x2+x+8的对称轴为x=,‎ D的坐标为(3,8),Q(3,4),‎ 当∠FDQ=90°时,F1(,8),‎ 当∠FQD=90°时,则F2(,4),‎ 当∠DFQ=90°时,设F(,n),‎ 则FD2+FQ2=DQ2,‎ 即+(8﹣n)2++(n﹣4)2=16,‎ 解得:n=6±,‎ ‎∴F3(,6+),F4(,6﹣),‎ 满足条件的点F共有四个,坐标分别为 F1(,8),F2(,4),F3(,6+),F4(,6﹣).‎ ‎21.解:(1)△ADG∽△ACF,△AGE∽△AFB,△ADE∽△ACB;‎ ‎(2)∵==, =,‎ ‎∴=,‎ 又∵∠DAE=∠CAB,‎ ‎∴△ADE∽△ACB,‎ ‎∴∠ADG=∠C,‎ ‎∵AF为角平分线,‎ ‎∴∠DAG=∠FAE ‎∴△ADG∽△ACF,‎ ‎∴==,‎ ‎∴=2.‎ ‎22.解:(1)二次函数y=的相关函数为y=.‎ ‎∵点A(﹣5,8)在一次函数y=ax﹣3的相关函数的图象上,‎ ‎∴﹣(﹣5)a+3=8,‎ ‎∴a=1.‎ 故答案为:‎ ‎(2)当m<0时,有m2﹣6m﹣=,‎ 解得:m1=3﹣,m2=3+(舍去);‎ 当m≥0时,有﹣m2+6m+=,‎ 解得:m3=3﹣2,m4=3+2.‎ 综上所述:m的值为3﹣、3﹣2或3+2.‎ ‎(3)当﹣3≤x<0时,y=x2﹣6x﹣=(x﹣3)2﹣,‎ ‎∴抛物线的对称轴为直线x=3,在﹣3≤x<0上,y随x的增大而减小,‎ ‎∴当x=﹣3时,y取最大值,最大值为;‎ 当0≤x≤7时,y=﹣x2+6x+=﹣(x﹣3)2+,‎ ‎∴抛物线的对称轴为直线x=3,‎ ‎∴当x=3时,y取最大值,最大值为,当x=7时,y取最小值,最小值为﹣.‎ 综上所述:当﹣3≤x≤7时,所求函数的相关函数的最大值为,最小值为﹣.‎ ‎23.(1)证明:连接OG.‎ ‎∵EF切⊙O于G,‎ ‎∴OG⊥EF,‎ ‎∴∠AGO+∠AGE=90°,‎ ‎∵CD⊥AB于H,‎ ‎∴∠AHD=90°,‎ ‎∴∠OAG=∠AKH=90°,‎ ‎∵OA=OG,‎ ‎∴∠AGO=∠OAG,‎ ‎∴∠AGE=∠AKH,‎ ‎∵∠EKG=∠AKH,‎ ‎∴∠EKG=∠AGE,‎ ‎∴KE=GE.‎ ‎(2)设∠FGB=α,‎ ‎∵AB是直径,‎ ‎∴∠AGB=90°,‎ ‎∴∠AGE=∠EKG=90°﹣α,‎ ‎∴∠E=180°﹣∠AGE﹣∠EKG=2α,‎ ‎∵∠FGB=∠ACH,‎ ‎∴∠ACH=2α,‎ ‎∴∠ACH=∠E,‎ ‎∴CA∥FE.‎ ‎(3)作NP⊥AC于P.‎ ‎∵∠ACH=∠E,‎ ‎∴sin∠E=sin∠ACH==,设AH=3a,AC=5a,‎ 则CH==4a,tan∠CAH==,‎ ‎∵CA∥FE,‎ ‎∴∠CAK=∠AGE,‎ ‎∵∠AGE=∠AKH,‎ ‎∴∠CAK=∠AKH,‎ ‎∴AC=CK=5a,HK=CK﹣CH=4a,tan∠AKH==3,AK==a,‎ ‎∵AK=,‎ ‎∴a=,‎ ‎∴a=1.AC=5,‎ ‎∵∠BHD=∠AGB=90°,‎ ‎∴∠BHD+∠AGB=180°,‎ 在四边形BGKH中,∠BHD+∠HKG+∠AGB+∠ABG=360°,‎ ‎∴∠ABG+∠HKG=180°,∵∠AKH+∠HKG=180°,‎ ‎∴∠AKH=∠ABG,‎ ‎∵∠ACN=∠ABG,‎ ‎∴∠AKH=∠ACN,‎ ‎∴tan∠AKH=tan∠ACN=3,‎ ‎∵NP⊥AC于P,‎ ‎∴∠APN=∠CPN=90°,‎ 在Rt△APN中,tan∠CAH==,设PN=12b,则AP=9b,‎ 在Rt△CPN中,tan∠ACN==3,‎ ‎∴CP=4b,‎ ‎∴AC=AP+CP=13b,‎ ‎∵AC=5,‎ ‎∴13b=5,‎ ‎∴b=,‎ ‎∴CN==4b=.‎ 查看更多

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