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2017年黄冈市高二数学（理）下期末试题（带答案）
黄冈市2016-2017学年第二学期高二数学（理）期末试卷及答案
资料简介
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2017学年黄冈市高二（下）期末试题
数学（理科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．）
1. 设集合S＝{x|x＞－2}，T＝{x|x2＋3x－4≤0}，则(∁RS)∪T＝( )
A．[－4，－2] B．(－∞，1] C．[1，＋∞) D．(－2，1]
2.已知复数，则复数的虚部为（ ）
A. B. C. D.
3. 随机变量～，若，则为（ ）
A. B. C. D.
4.若个人报名参加项体育比赛，每个人限报一项，则不同的报名方法的种数有（ ）
A. B. C. D.
5. 广告投入对商品的销售额有较大影响．某电商对连续5个年度的广告费和销售额进行统计，得到统计数据如下表（单位：万元）
广告费
2
3
4
5
6
销售额
29
41
50
59
71
由上表可得回归方程为，据此模型，预测广告费为8万元时的销售额约为（ ）
A. B. C. D.
6. 从中不放回地依次取个数，事件表示“第次取到的是奇数”，事件表示“第次取到的是奇数”，则（ ）
A. B. C. D.
7.已知函数，是的导函数，则的图象大致是( ）
O
C
B
A
8. 如图，长方形的四个顶点坐标为O(0,0),A(4,0),B(4,2),C(0,2),曲线经过点B,现将质点随机投入长方形OABC中，则质点落在图中阴影部分的概率为( )
A. B. C. D.
9.若且，则和的值满足（ ）
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A. 和都大于2 B. 和都小于2
C. 和中至少有一个小于2 D. 以上说法都不对
10.2013年8月,考古学家在湖北省随州市叶家山发现了大量的古墓,经过对生物体内碳14含量的测量,估计该古墓群应该形成于公元前850年左右的西周时期,已知碳14的“半衰期”为5730年(即含量大约经过5730年衰减为原来的一半)，由此可知，所测生物体内碳14的含量应最接近于（ ）
A．25﹪ B． 50﹪ C． 70﹪ D．75﹪
11. 对大于1的自然数 m的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”：.仿此，若的“分裂数”中有一个是2017，则m的值为( )
A. 44 B. 45 C. 46 D.47
12. 已知函数恰有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 数学老师从6道习题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道题才能及格。某同学只能求解其中的4道题，则他能及格的概率是______________
14. 已知函数，则曲线在处的切线方程是_________
15.设，则等于______________
16.先阅读下面的文字：“求的值时，采用了如下的方式：令，则有，两边平方，可解得=2（负值舍去）”。那么，可用类比的方法，求出的值是 ．
三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分12分）
已知定义在上的函数是奇函数．
⑴求的值，并判断函数在定义域中的单调性（不用证明）；
⑵若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
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18. （本小题满分12分）
为了增强环保意识，某社团从男生中随机抽取了60人，从女生中随机抽取了50人参加环保知识测试，统计数据如下表所示：
优秀
非优秀
总计
男生
40
20
60
女生
20
30
50
总计
60
50
110
（1）试判断是否有99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关；
（2）为参加市举办的环保知识竞赛，学校举办预选赛，现在环保测试优秀的同学中选3人参加预选赛，已知在环保测试中优秀的同学通过预选赛的概率为，若随机变量表示这3人中通过预选赛的人数，求的分布列与数学期望．
附:＝
0．500
0．400
0．100
0．010
0．001
0．455
0．708
2．706
6．635
10．828
19. （本小题满分12分）
如图,某段铁路AB长为80公里，,且公里，为将货物从A地运往C地,现在AB上的距点B为x的点M处修一公路至点C.已知铁路运费为每公里2元,公路运费为每公里4元.
B
C
M
A
（1）将总运费y表示为x的函数.
（2）如何选点M才使总运费最小？
20. （本小题满分12分）
已知数列的前项和为，且
（1）试求出，并猜想的表达式；
（2）用数学归纳法证明你的猜想，并求出的表达式。
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21.（本小题满分12分）
设函数．
（1）求的极值；
（2）当时，试证明：．
请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
22.(本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程
在极坐标系中，曲线的方程为，点．以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立直角坐标系．
（1）求直线的参数方程和曲线的直角坐标方程；
（2）若直线与曲线交于、两点，求的值．
23．（本小题满分10分）选修45：不等式选讲
设函数，不等式的解集是．
（1）求实数的值；
（2）若对一切恒成立，求的范围．
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黄冈市2017年春季高二期末试题数学（理科）
参考答案及评分标准
一、选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
C
B
D
A
D
A
A
C
C
C
B
二、填空题：
13. 14. 15. 135 16.
部分题解析：
9. 【答案】C
【解析】假设和都不小于2.
因为x＞0，y＞0，所以1+x≥2y，且1+y≥2x，两式相加得1+x+1+y≥2(x+y)，
即x+y≤2，这与x+y＞2相矛盾，因此1+xy与1+yx中至少有一个小于2.故选C.
10. 【答案】C
【解析】依题意知，生物体内碳14含量P与死亡年数t的关系为：，而生物体距发掘时有约2863年，故可得,选C
三、解答题：
.17. 【答案】⑴；⑵.
【解析】⑴∵是定义在上的奇函数，
∴，∴ ……………………1分
∴，
∴， ……………………3分
即对一切实数都成立．
∴，∴． ……………………5分
是上的减函数。 ……………………6分
⑵不等式等价于．
又是上的减函数，∴． ……………………8分
∴对恒成立， ……………………10分
∴．即实数的取值范围是． ……………………12分
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18. 【答案】（1）有%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关；（2）分布列见解析，
【解析】（1） ……………………3分
因为
所以有99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关． ……………………6分
（2）的可能取值为0，1，2，3 ……………………7分
，
所以的分布列为：
X
0
1
2
3
P
……………………10分
因为， 所以 ……………………12分
19. 【答案】（1）；（2）当在距离点为公里时的点处修筑公路至时总运费最省．
【解析】（1）依题意，铁路上的运费为,公路上的运费为,
则由到的总运费为.……………………6分
（2）, ……………………8分
令,解得,或（舍）. ……………………10分
当时, ；当时, ；
故当时, 取得最小值, 即当在距离点为公里时的点处修筑公路至时总运费最省. ……………………12分
20. 【答案】（1）；（2）见解析.
【解析】（1）解：
` ……………………3分
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猜想 ……………………5分
（2）证明：（1）当时， 等式成立。
假设当时，等式成立，即。
当时，，∴ ……………………8分
时，等式也成立。
综上1）2）知，对于任意， 都成立。 ……………………10分
又 ……………………12分
21. 【答案】（1）极大值=；（2）证明见解析．
【解析】（1）函数定义域为，
……………………2分
当时，， ……………………4分
所以当时，极大值=．函数无极小值。 ……………………5分
（Ⅱ）要证，只需证， ……………………6分
只需证 ……………………7分
设，则 ……………………10分
由（1）知在单调递减
即在上是减函数，而
，故原不等式成立 ……………………12分
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22. 【答案】（1）（为参数），；（2）.
【解析】（1）∵化为直角坐标可得，， ……………………1分
∴直线的参数方程为： ……………………3分
∵，
∴曲线的直角坐标方程：， ……………………5分
（2）将直线的参数方程代入曲线C的方程，得 ，
……………………7分
∴，，
∴． ……………………10分
考点：极坐标和参数方程等有关知识的综合运用．
23.【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由题意可知，，解得，
……………………2分
∵不等式的解集是，
∴解得． ……………………5分
（2）∵，
∴ ……………………6分
， ……………………8分
当时，，
∴． ……………………10分
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或解
当时，，∴．
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