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2017年高二下学期数学（文）期中试题(醴陵二中、四中含答案)
醴陵二中、四中2016-2017年高二下学期期中数学（文）试卷及答案
资料简介
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醴陵二中、四中高二文科数学期中考试试题卷
命题学校：醴陵二中 命题人： 审题人：
时量：120分钟 满分150分
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确选项）
1．若，则( )；
A． B. C． D.
2. 设有一个回归方程＝6－6.5x，变量x每增加一个单位时，变量平均( )
A．增加6.5个单位 B．增加6个单位
C．减少6.5个单位 D．减少6个单
3. 已知函数的定义域为 （ ）
A． B．
C ． D．
4. 已知，，，则三者的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
5．函数的实数解落在的区间是( )
A B C D
6．函数，满足的的取值范围（ ）
A． B C． D．
7. 已知某几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸
(单位：cm)，可得这个几何体的体积是( )
A. cm3 B. cm3
C. cm3 D. cm3
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8. 一长方体，其长、宽、高分别为3，1，，，则该长方体的外接球的表面积是( )
A．16π B．64π C. D.
9. 为考察数学成绩与物理成绩的关系，在高二随机抽取了300名学生．得到下面列联表：
数学
物理
85～100分
85分以下
合计
85～100分
37
85
122
85分以下
35
143
178
合计
72
228
300
附表：
k＝
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
现判断数学成绩与物理成绩有关系，则判断的出错率为( )
A．0.5 B．1% C．2% D．5%
10．两条直线y＝ax－2与y＝(a＋2)x＋1互相垂直，则a等于( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
11. 如图，在四面体ABCD中，E，F分别是AC与BD的中点，
若CD＝2AB＝4，EF⊥BA，则EF与CD所成的角为( )
A．90° B．45°
C．60° D．30°
12．当点P在圆x2＋y2＝1上变动时，它与定点Q(3,0)的连结线段PQ的中点的轨迹方程是( )
A．(x＋3)2＋y2＝4 B．(x－3)2＋y2＝1
C．(2x－3)2＋4y2＝1 D．(2x＋3)2＋4y2＝1
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 在复平面内，复数z=i(2－i),则|z|=________
14．如图，已知正方体ABCD A1B1C1D1，
则二面角C1BD C的正切值为________．
15．已知函数是定义在上的奇函数，
当时，，则的值为________
16．把正偶数数列{2n}的各项从小到大依次排成如图的三角形数阵，记M(r，t)表示该数阵中第r行的第t个数，则数阵中的数2 018对应于________．
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三、解答题（本大题共6小题，共70分,请写出文字说明，证明或演算步骤）
17．(10分)已知直线l经过点P(－2,5)且斜率为－，
(1)求直线l的方程；
(2)若直线m平行于直线l，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程．
18、（12分)求下列表达式的值
（1）（a>0,b>0） (2) lg-lg+lg
19．(12分)如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC＝BC＝EB＝2DC＝2，∠ACB＝120°，P，Q分别为AE，AB的中点．
(1)证明：PQ∥平面ACD；
(2)求AD与平面ABE所成角的正弦值
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20.（12分）设函数
（1）试证明在上为单调递减函数；
（2）若函数，且在区间上没有零点，求实数的取值范围。
21． (12分)如图所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，底面边长为a，E是PC的中点．
(1)求证：平面PAC⊥平面BDE；
(2)若二面角E－BD－C为30°，求四棱锥P－ABCD的体积．
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22. （12分）已知圆，直线，圆与轴相交于点（如图），点是圆内一点，点为圆上任一点（异于点），直线与相交于点．
（1）若过点的直线与圆相交所得弦长等于，求直线的方程；
（2）设直线的斜率分别为，求证：为定值。
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醴陵二中、四中高二文科数学期中考试参考答案
命题学校：醴陵二中 命题人： 审题人：
时量：120分钟 满分150分
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确选项）
1．若，则( D )；
A. B C D
2. 设有一个回归方程＝6－6.5x，变量x每增加一个单位时，变量平均( C )
A．增加6.5个单位 B．增加6个单位
C．减少6.5个单位 D．减少6个单
3. 已知函数的定义域为 （ D ）
A． B．
C ． D．
4. 已知，，，则三者的大小关系是（ A ）
A． B． C． D．
5．函数的实数解落在的区间是( B )
A B C D
6．函数，满足的的取值范围（ D ）
A． B C． D．
7. 已知某几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸
(单位：cm)，可得这个几何体的体积是( C )
A. cm3 B. cm3
C. cm3 D. cm3
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8. 一长方体，其长、宽、高分别为3，1，，，则该长方体的外接球的表面积是( A )
A．16π B．64π C. D.
9. 为考察数学成绩与物理成绩的关系，在高二随机抽取了300名学生．得到下面列联表：
数学
物理
85～100分
85分以下
合计
85～100分
37
85
122
85分以下
35
143
178
合计
72
228
300
附表：
k＝
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
现判断数学成绩与物理成绩有关系，则判断的出错率为( D )
A．0.5 B．1% C．2% D．5%
10．两条直线y＝ax－2与y＝(a＋2)x＋1互相垂直，则a等于( A )
A．－1 B．0 C．1 D．2
11. 如图，在四面体ABCD中，E，F分别是AC与BD的中点，
若CD＝2AB＝4，EF⊥BA，则EF与CD所成的角为( D )
A．90° B．45°
C．60° D．30°
12．当点P在圆x2＋y2＝1上变动时，它与定点Q(3,0)的连结线段PQ的中点的轨迹方程是( C )
A．(x＋3)2＋y2＝4 B．(x－3)2＋y2＝1
C．(2x－3)2＋4y2＝1 D．(2x＋3)2＋4y2＝1
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 在复平面内，复数z=i(2－i),则|z|=________
14．如图，已知正方体ABCD A1B1C1D1，
则二面角C1BD C的正切值为________．
15．已知函数是定义在上的奇函数，
当时，，则的值为_____-2___
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16．把正偶数数列{2n}的各项从小到大依次排成如图的三角形数阵，记M(r，t)表示该数阵中第r行的第t个数，则数阵中的数2 018对应于__(45，19)______．
三、解答题（本大题共6小题，共70分,请写出文字说明，证明或演算步骤）
17．(10分)已知直线l经过点P(－2,5)且斜率为－，
(1)求直线l的方程；
(2)若直线m平行于直线l，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程．
解 (1)直线l的方程为：y－5＝－(x＋2)整理得
3x＋4y－14＝0.----------------------------5分
(2)设直线m的方程为3x＋4y＋n＝0，
d＝＝3，
解得n＝1或－29.
∴直线m的方程为3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－29＝0. ----------------------------10分
18、（12分)求下列表达式的值
（1）（a>0,b>0） (2) lg-lg+lg
解（1）原式=------------6分
（2）原式=（lg32-lg49）-lg8+lg245
= (5lg2-2lg7)-×+ (2lg7+lg5)
=lg2-lg7-2lg2+lg7+lg5=lg2+lg5
=lg(2×5)= lg10=-----------------12分
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19．(12分)如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC＝BC＝EB＝2DC＝2，∠ACB＝120°，P，Q分别为AE，AB的中点．
(1)证明：PQ∥平面ACD；
(2)求AD与平面ABE所成角的正弦值
(1)证明：因为P，Q分别为AE，AB的中点，
所以PQ∥EB.又DC∥EB，因此PQ∥DC，
又PQ⊄平面ACD，
从而PQ∥平面ACD.-----------------6分
(2)如图，连接CQ，DP，因为Q为AB的中点，且AC＝BC，所以CQ⊥AB.
因为DC⊥平面ABC，
EB∥DC，
所以EB⊥平面ABC，因此CQ⊥EB.
故CQ⊥平面ABE.
由(1)有PQ∥DC，又PQ＝EB＝DC，
所以四边形CQPD为平行四边形，故DP∥CQ.
因此DP⊥平面ABE，∠DAP为AD和平面ABE所成的角，--------------------------10分
在Rt△DPA中，AD＝，DP＝1，
sin∠DAP＝，
因此AD和平面ABE所成角的正弦值为.--------------12分
20.（12分）设函数
（1）试证明在上为单调递减函数；
（2）若函数，且在区间上没有零点，求实数的取值范围。
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解（1）设，则（3分）
即
所以在上的单调递减函数 ---------- 6分
（2） 因是上的单调递减函数
所以在区间上是单调递增函数----------8分
所以，当时，的值域是，即-----------10分
由在区间上没有零点得 或
所以 或 ----------- 12分
21． (12分)如图所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，底面边长为a，E是PC的中点．
(1)求证：平面PAC⊥平面BDE；
(2)若二面角E－BD－C为30°，求四棱锥P－ABCD的体积．
(1)证明 连接OE，如图所示．
∵PO⊥面ABCD，∴PO⊥BD．在正方形ABCD中，BD⊥AC，
又∵PO∩AC＝0，∴BD⊥面PAC．
又∵BD⊂面BDE，∴面PAC⊥面BDE．-------------6分
(2)解 取OC中点F，连接EF．
∵E为PC中点，
∴EF为△POC的中位线，∴EF∥PO．
又∵PO⊥面ABCD，
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∴EF⊥面ABCD
∵OF⊥BD，∴OE⊥BD．
∴∠EOF为二面角E－BD－C的平面角，----------------10分
∴∠EOF＝30°．
在Rt△OEF中，OF＝OC＝AC＝a，∴EF＝OF·tan 30°＝a，∴OP＝2EF＝a．
∴VP－ABCD＝×a2×a＝a3．----------------12分
22. （12分）已知圆，直线，圆与轴相交于点（如图），点是圆内一点，点为圆上任一点（异于点），直线与相交于点．
（1）若过点的直线与圆相交所得弦长等于，求直线的方程；
（2）设直线的斜率分别为，求证：为定值。
解：（1）因直线与圆相交所得弦长等于，所以圆心到直线的距离
设直线的方程为，即
由 解得
又过点P且与轴垂直的直线显然符合要求
所以直线的方程是或 ---------6分
（2）方法1：设点的坐标为，则直线的方程为
由 解得
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从而得点
所以 ----------12分
方法2：设点的坐标为，
若 ，则
所以
当时，同理可得
所以为定值
方法3：设点的坐标为, 则
则三点A、Q、C三点共线及直线的方程得点
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