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2017届高三数学下第二次月考试题（武城县文附答案）
资料简介
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高三年级下学期第二次月考
数学（文）试题
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1．已知i为虚数单位，a为正实数，若||=2，则a=（ ）
A．1 B．2 C． D．
2．已知全集U=R，集合A={﹣1，1，3，5}，集合B={x∈R|x≤2}，则图中阴影部分表示的集合（ ）
U
A．{﹣1，1} B．{3，5} C．{﹣1，1} D．{﹣1，1}
3．若命题p：∀x∈（0，+∞），x+＞2，命题q：∃x0∈R，2x0＜0，则下列为真命题的是（ ）
A．p∧q B．￢p∨q
C．p∨q D．￢ p∧q
4．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则（ ）
A．a=3 B．a=4
C．a=5 D．a=6
5．将函数f（x）=sin（2x+θ）（﹣＜θ＜）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度后得到函数g（x）的图象，若f（x），g（x）的图象都经过点P（0，），则φ的值可以是（ ）
A． B． C． D．
甲
乙
1 6
3
9 7
2 8
1
2
3
4
5
8 6
4 3 0
4
6．甲、乙两名篮球运动员在7场比赛中的得分情况如茎叶所示，甲、乙分别表示甲、乙两人的平均得分，则下列判断正确的是（ ）
A．甲＞乙，甲比乙得分稳定
B．甲＞乙，乙比甲得分稳定
C．甲＜乙，甲比乙得分稳定
D．甲＜乙，乙比甲得分稳定
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7．已知变量x、y满足的不等式组表示的平面区域是一个直角三角形，则实数k=（ ）
A． B． C．0 D．0或﹣
8．已知函数f（x）的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，若对任意的x都有f（x）+f（﹣x）=0，当x＞0时，f（x）=log2x，则不等式f（x）＞1的解集为（ ）
A．（2，+∞） B．（1，+∞）
C．（，0）∪（2，+∞） D．（﹣1，0）∪（1，+∞）
9．设F1、F2分别为双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P，使得|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|•|PF2|=ab，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x
10．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，给出下列结论：
①函数f（x）与x轴一定存在交点；
②当a2﹣3b＞0时，函数f（x）既有极大值也有极小值；
③若x0是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（﹣∞，x0）单调递减；
④若f′（x0）=0，则x0是f（x）的极值点．
其中确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：本大题共有5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在答题卡的相应位置．
2
2
2
11．在区间[﹣2，4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则实数m= ．
12．一空间几何体的三视图如图所示，
则该几何体的体积为 ．
4
4
俯视图
俯视图
正视图
13．在△ABC中，|+|=|﹣|，AB=2，AC=1，E，F为BC的三等分点，则•= ．
14．若一个圆的圆心为抛物线y=x2的焦点，且此圆与直线3x+4y﹣1=0相切，则该圆的方程是 ．
15．给定min{a，b}=，已知函数f（x）=min{x，x2﹣4x+4}+4，若动直线y=m与函数y=f（x）的图象有3个交点，它们的横坐标分别为x1，x2，x3，则x1+x2+x3的范围为 ．
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三、解答题：本大题共6个小题，共75分，解答时要求写出必要的文字说明、证明过稈或推理步驟.
16．为了调查某区中学教师的工资水平，用分层抽样的方法从初级、中级、高级三个 职称系列的相关教师中抽取若干人，有关数据见下表：
职称类型
相关人数
抽取人数
初级
27
x
中级
99
y
高级
18
2
（1）求x，y值；
（2）若从抽取的初级和高级教师中任选2人，求这2人都是初级教师的概率．
17．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=3，sinC=2sinB，求b、c 的值．
18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面为矩形，平面PCD丄平面ABCD，PC丄PD，PD=AD，E为PA的中点．
（1）求证：PC∥平面BDE．
（2）求证DE丄平面PAC．
19．若数列{an}的前n项和为Sn，且对任意正整数n都有2an﹣Sn=4．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令bn=（﹣1）n•，求数列{bn}的前n项和Tn．
20．设函数 f（x）=lnx﹣ax2﹣bx．
（1）当a=，b=时，求函数f（x）的单调区间；
（2）令F（x）=f（x）+ax2+bx+（0＜x＜3），其图象上任意一点P（x0，y0）处切线的斜率k≤恒成立，求实数a的取值范围；
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（3）当a=0，b=﹣1时，方程f（x）=mx在区间[1，e2]内恰有两个实数解，求实数m的取值范围．
21．已知椭圆C： +=1，（a＞b＞0）的离心率为，且经过点P（0，﹣1）．
（1）求椭圆的方程；
（2）如果过点Q（0，）的直线与椭圆交于A，B两点（A，B点与P点不重合）．
①求•的值；
②当△PAB为等腰直角三角形时，求直线AB的方程．
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高三年级下学期第二次月考
数学（文）试题答案
1．【考点】复数代数形式的混合运算．
【分析】根据查复数的基本概念，的计算即可求出．
【解答】解：i为虚数单位，a为正实数，
||=|﹣1﹣ai|═|1+ai|=2，
∴1+a2=4，
解得a=，
故选：C．
2．【考点】Venn图表达集合的关系及运算．
【分析】根据Venn图和集合之间的关系进行判断．
【解答】解：由Venn图可知，阴影部分的元素为属于A当不属于B的元素构成，所以用集合表示为A∩（∁UB）．
∵集合A={﹣1，1，3，5}，集合B={x∈R|x≤2}，
∴∁UB={x|x＞2}，
则A∩（∁UB={3，5}
故选：B．
3．【考点】复合命题的真假．
【分析】分别判断出p，q的真假，从而判断出复合命题的真假即可．
【解答】解：命题p：∀x∈（0，+∞），x+＞2是假命题，
命题q：∃x0∈R，2x0＜0是真命题，
故￢p∧q是真命题，
故选：D．
4．【考点】程序框图．
【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的S，k的值，当S=，k=4时，由题意此时满足条件4＞a，退出循环，输出S的值为，结合选项即可得解．
【解答】解：模拟执行程序，可得
S=1，k=1
不满足条件k＞a，S=，k=2
不满足条件k＞a，S=，k=3
不满足条件k＞a，S=，k=4
由题意，此时满足条件4＞a，退出循环，输出S的值为，
故选：A．
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5．【考点】正弦函数的图象．
【分析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得θ的值，可得φ的值．
【解答】解：将函数f（x）=sin（2x+θ）（﹣＜θ＜）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度后得到函数g（x）=sin（2x﹣2φ+θ）的图象，
若f（x），g（x）的图象都经过点P（0，），则sinθ=，∴θ=，
再根据sin（﹣2φ+θ）=sin（﹣2φ+）=，
则φ的值可以是，
故选：B．
6．【考点】茎叶图．
【分析】由茎叶图，得出5场比赛甲、乙的得分，再计算平均数与方差，即可得到结论．
【解答】解：7场比赛甲的得分为11、16、23、37、39、42、48，
7场比赛乙的得分为15、26、28、30、33、34、44，
∴=（11+16+23+37+39+42+48）≈30.86，
=（15+26+28+30+33+34+44）=30，
通过比较数据的波动情况，得：＜
∴＞，乙比甲得分稳定．
故选：B．
7．【考点】简单线性规划．
【分析】由题意结合不等式组表示的平面区域是一个直角三角形画出过定点（0，1）的直线kx﹣y+1=0，由此可确定其斜率k的值．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
直线kx﹣y+1=0过定点B（0，1），
∵不等式组表示的平面区域是一个直角三角形，
∴当k=0时，平面区域为直角三角形OBC及其内部区域；
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当k=﹣时，平面区域为直角三角形OAB及其内部区域．
∴k的值应为0或﹣．
故选：D．
8．【考点】对数函数的图象与性质．
【分析】首先令x＜0，则﹣x＞0，根据函数f（x）为奇函数，求出f（x）的解析式；又f（0）=0，故f（x）在R上的解析式即可求出，然后分x＞0和x＜0两种情况分别求出不等式f（x）＞1的解集，最后求其并集即可．
【解答】解：∵f（x）+f（﹣x）=0，
∴f（﹣x）=﹣f（x），
当x＜0时，﹣x＞0时，f（﹣x）=log2（﹣x）=﹣f（x），
即f（x）=﹣log2（﹣x），
当x=0时，f（0）=0，
∴f（x）=；
①当x＞0时，由log2x＞1，解得x＞2，
②当x＜0时，由﹣log2（﹣x）＞1，解得x＞﹣，
综上，得x＞2或x＞﹣，
故不等式f（x）＞1的解集为：（，0）∪（2，+∞）．
故选：C．
9．【考点】双曲线的简单性质．
【分析】由双曲线的定义可得，||PF1|﹣|PF2||=2a，两边平方，再由条件，即可得到a，b的关系，即可求得双曲线的渐近线方程．
【解答】解：由双曲线的定义可得，||PF1|﹣|PF2||=2a，
由|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|•|PF2|=ab，
则有（|PF1|+|PF2|）2﹣4|PF1|•|PF2|=9b2﹣9ab=4a2，
即有（3b﹣4a）（3b+a）=0，
即有3b=4a，
所以该双曲线的渐近线方程为y=±x．
故选：A．
10．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．
【分析】根据函数的单调性判断①③，根据导函数的根的情况判断②，特殊值法判断④．
【解答】解：函数f（x）=x3+ax2+bx+c，f′（x）=3x2+2ax+b，△=4（a2﹣3b），
若△≤0，则f（x）单调递增或单调递减，若△＞0，f（x）可能递减、递增、递减，或递增、递减、递增；
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①函数f（x）与x轴一定存在交点；①正确；
②当a2﹣3b＞0时，即△＞0，函数f（x）既有极大值也有极小值；②正确；
③若x0是f（x）的极小值点，可能f（x）递减、递增、递减，则f（x）在区间（﹣∞，x0）不一定单调递减；③错误；
④若f′（x0）=0，则x0是f（x）的极值点；④错误，比如a=b=c=0时，f（x）=x3，f（0）=0，却不是极值点；
故选：B．
11．【考点】几何概型．
【分析】根据几何概型的概率公式建立方程关系进行求解即可．
【解答】解：若x满足|x|≤m的概率为，则m＞0，
且﹣m≤x≤m，
则对应的概率P=，
则m=1，
故答案为：1．
12.【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】根据三视图可知几何体是一个组合体：上面是半球、下面是圆锥，由三视图求出几何元素的长度，由球体、锥体的体积公式求出几何体的体积．
【解答】解：根据三视图可知几何体是一个组合体：上面是半球、下面是圆锥，且球的半径为1；圆锥的底面半径为1、高为4，
∴几何体的体积V=
=，
故答案为：2π．，
13．【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】根据题意，得到三角形为直角三角形，由、求出，，即可求出•的值．
【解答】解：由于在△ABC中，|+|=|﹣|，
则∠BAC=90°，
由于E，F为BC的三等分点，
则=﹣， =，，
又有=， =，
则=， =，
又由AB=2，AC=1，
故•==
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故答案为：．
14．【考点】抛物线的简单性质．
【分析】根据抛物线的焦点确定圆心为（0，﹣1）；由于圆与直线相切，圆心到直线3x+4y﹣1=0的距离等于半径，根据点与直线的距离公式确定圆的半径，从而确定出圆的方程
【解答】解：抛物线y=x2，可化为x2=﹣4y，所以焦点坐标为（0，﹣1），
则圆心坐标为（0，﹣1）；
又圆与已知直线3x+4y﹣1=0相切，则圆心到直线的距离d=r=，
所以圆的标准方程为x2+（y+1）2=1，
故答案为：x2+（y+1）2=1．
15．【考点】函数的图象．
【分析】画出函数f（x）的图象以及直线y=k的图象，根据条件数形结合求得k的范围．
【解答】解：设g（x）=min{x，x2﹣4x+4}，则f（x）=g（x）+4，
故把g（x）的图象向上平移4各单位，
可得f（x）的图象，
函数f（x）=min{x，x2﹣4x+4}+4的图象如图所示：
由于直线y=m与函数y=f（x）的图象有3个交点，
数形结合可得k的范围为（4，5）．
故答案为：（4，5）．
16.【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布表．
【分析】（1）根据频率=，由已知条件能求出x，y．
（2）记从高中初级教师中抽取的3人为b1，b2，b3，从高中教师中抽取的2人为c1，c2，先求出从这两个系列中抽取的5人中选2人的基本事件总数，再由列举法求出抽取的这2人都是初级教师包含的基本事件个数，由此能求出抽取的这2人都是初级教师的概率．
【解答】解：（1）由题意，根据频率=，得=，
解得x=3，y=11．……………………………………………………4分
（2）记从高中初级教师中抽取的3人为b1，b2，b3，
从高中教师中抽取的2人为c1，c2，
则从这两个系列中抽取的5人中选2人的基本事件有，共3个.……………………8分
抽取的这2人都是初级教师包含的基本事件有：
{b1，b2}，{b1，b3}，{b2，b3}，共3个，………………………………11分
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∴抽取的这2人都是初级教师的概率p=．…………………………12分
17．【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】（Ⅰ）由已知及正弦定理可得abcosB=（2c﹣b）bcosA，结合余弦定理可得bc=b2+c2﹣a2，由余弦定理可解得cosA=，结合A的范围即可求A的值．
（Ⅱ）由已知及正弦定理可得c=2b，由余弦定理可得：a2=9=b2+c2﹣2bccosA=b2+4b2﹣2b×，从而可解得b，c的值．
【解答】解：（Ⅰ）∵．
∴由正弦定理可得： =，即abcosB=（2c﹣b）bcosA，
………………………………2分
∴由余弦定理可得：ab=（2c﹣b）•b，
∴整理可得：bc=b2+c2﹣a2，
∴由余弦定理可得：cosA==，
∴结合0＜A＜π，可解得：A=．………………………………………6分
（Ⅱ）∵sinC=2sinB，
∴由正弦定理可得：c=2b，………………………………………8分
∴由余弦定理可得：a2=9=b2+c2﹣2bccosA=b2+4b2﹣2b×，
可解得：b=，…………………………………………………………10分
∴c=2b=2．…………………………………………………………12分
18．【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．
【分析】（1）设AC，BD交于点O，连结OE，则由中位线定理得出OE∥PC，故PC∥平面BDE；
（2）由面面垂直的性质得出AD⊥平面PCD，得出PC⊥AD，又PC⊥PD，故而PC⊥平面PAD，于是PC⊥DE，又由三线合一得出DE⊥PA，故DE⊥平面PAC．
【解答】解：（1）设AC∩BD=O，连结OE，
∵底面ABCD是矩形，∴O是AC的中点，
∴OE是△PAC的中位线，
∴PC∥OE，又PC⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，
∴PC∥平面BDE．…………………………………………………………6分
（2）∵平面PCD丄平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，AD⊥CD，AD⊂平面ABCD，
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∴AD⊥平面PCD，∵PC⊂平面PCD，
∴PC⊥AD，
又PC⊥PD，PD⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，PD∩AD=D，
∴PC⊥平面PAD，∵DE⊂平面PAD，
∴PC⊥DE，
∵PD=AD，E是PA中点，
∴DE⊥PA，又PA⊂平面PAC，PC⊂平面PAC，PA∩PC=P，
∴DE⊥平面PAC．………………………………………………………12分
19．【考点】数列的求和；数列递推式．
【分析】（1）利用递推关系、等比数列的通项公式即可得出；
（2）利用“裂项求和”、分类讨论方法即可得出．
【解答】解：（1）∵对任意正整数n都有2an﹣Sn=4，
∴2a1﹣a1=4，解得a1=4；………………………………………………2分
当n≥2时，2an﹣1﹣Sn﹣1=4，可得：2an﹣2an﹣1﹣an=0，
化为an=2an﹣1，……………………………………………………………4分
∴数列{an}是等比数列，首项为4，公比为2，
∴an=4×2n﹣1=2n+1．………………………………………………………5分
（2）bn=（﹣1）n•=
（﹣1）n=（﹣1）n，………………………7分
∴当n=2k（k∈N*）时，数列{bn}的前n项和
Tn=T2k=+﹣…+=﹣=．……9分
当n=2k﹣1（k∈N*）时，数列{bn}的前n项和
Tn=T2k﹣1=+﹣…﹣=﹣﹣=﹣．
……………………………………………11分
∴Tn=．…………………………………………12分
20．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．
【分析】（1）将a，b的值代入f（x），求出其导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）求出F（x），求导得到≤在（0，3）上恒成立，分离参数求出a的范围即可；
（3）得到m=1+，只需m=1+在区间[1，e2]内恰有两个实数解，令g（x）=1+（x＞0），根据函数的单调性求出m的范围即可．
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【解答】解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），
当a=，b=时，f（x）=lnx﹣x2+x，f′（x）=，
…………………………………………………………2分
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜2，令f′（x）＜0，解得：x＞2，
故f（x）在（0，2）递增，在（2，+∞）递减；……………………4分
（2）F（x）=lnx+，（0＜x＜3），
则有K=F′（x）=≤在（0，3）上恒成立，………………6分
∴a≥，x0=1时， =，
故a≥；………………………………………………………………8分
（3）a=0，b=﹣1时，f（x）=lnx+x，
由f（x）=mx得lnx+x=mx，
又x＞0，∴m=1+，…………………………………………10分
要使方程f（x）=mx在区间[1，e2]内恰有两个实数解，
只需m=1+在区间[1，e2]内恰有两个实数解，
令g（x）=1+（x＞0），∴g′（x）=，
令g′（x）＞0，解得：0＜x＜e，令g′（x）＜0，解得：x＞e，
∴g（x）在[1，e]递增，在[e，e2]递减，
g（1）=1，g（e2）=1+，g（e）=1+，……………………12分
∴1+≤m＜1+．……………………………………………13分
21．【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1）由椭圆离心率为，且经过点P（0，﹣1），列出方程式组，由此能求出椭圆方程．
（2）①设直线方程为y=kx+，与椭圆联立，得（4k2+1）x2+=0，由此利用韦达定理、向量的数量积能求出•的值．
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②由∠APB=90°，设AB的中点为M，则PM⊥AB，当k=0时，直线AB方程为y=；当k≠0时，kPM=﹣，解得k=，由此能求出直线AB的方程．
【解答】解：（1）∵椭圆C： +=1，（a＞b＞0）的离心率为，且经过点P（0，﹣1），
∴，解得a2=4，
∴椭圆方程为．…………………………………………4分
（2）①若过点P的直线的斜率不存在，则点A，B中必有一点与点P重合，
不满足题意，∴直线AB的斜率存在，设为k，则直线方程为y=kx+，
……………………………………………………5分
联立，得（4k2+1）x2+=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，
……………………………………………………7分
=，
∵P（0，﹣1），∴=（x1，y1+1）•（x2，y2+1）=x1x2+y1y2+（y1+y2）+1=﹣++1=0．………………10分
②由①知，∠APB=90°，
若△PAB为等腰直角三角形，设AB的中点为M，则PM⊥AB，
且M（﹣，），………………………………11分
当k=0时，则M（0，），满足条件，此时直线AB方程为y=，
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当k≠0时，kPM=﹣，有﹣，……………………12分
解得k=，
∴直线方程为y=，
即或，
故直线AB为y=或或．…………………14分
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