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2016年中考数学二模试题(泰州市姜堰市含答案和解析)
资料简介
2016年江苏省泰州市姜堰市中考数学二模试卷
一、选择题（共6小题，每小题3分，计18分）
1．4的算术平方根是（ ）
A．±2 B． C．2 D．﹣2
2．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．小王参加某企业招聘测试，他的笔试、面试、技能操作得分分别为80分、85分、90分，若依次按照2：3：5的比例确定成绩，则小王的成绩是（ ）
A．255分 B．84.5分 C．85.5分 D．86.5分
4．如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE交于点F，下列三角形中，外心不是点O的是（ ）
A．△ABE B．△ACF C．△ABD D．△ADE
5．如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF=12，AB=10，则AE的长为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
6．如图，抛物线y=﹣2x2﹣8x﹣6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向左平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y=﹣x+
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m与C1，C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（ ）
A．﹣3＜m＜﹣ B． C．﹣2＜m＜ D．﹣3＜m＜﹣2
二、填空题（共10小题，每小题3分，计30分）
7．函数中，自变量x的取值范围是 ．
8．钓鱼诸岛是中国的固有领土，位于中国东海，面积约6344000平方米，数据6344000用科学记数法表示为 ．
9．若直线y=2x+3b+c与x轴交于点（﹣2，0），则代数式2﹣6b﹣2c的值为 ．
10．已知，则= ．
11．将一张宽为5cm的长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，则这个三角形面积的最小值是 ．
12．已知一个不透明的布袋里装有2个红球和a个黄球，这些球除颜色外其余都相同．若从该布袋里任意摸出1个球，是红球的概率为，则a等于 ．
13．如图，A点为反比例函数图象上一点，过A点作AB⊥y轴，B为垂足，点P为x轴上任意一点，且△ABP的面积为2，则k= ．
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14．根据图中所标注的数据，计算此圆锥的侧面积 cm2（结果保留π）．
15．某服装店购进单价为15元童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，当每件的定价为 元时，该服装店平均每天的销售利润最大．
16．在平面直角坐标系中，⊙P的圆心P的坐标为（a，4），半径为2，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值为 ．
三、解答题（共10小题，计102分）
17．（1）计算：
（2）解不等式组．
18．先化简，再求值：（1+）÷（m﹣），其中实数m使关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m=0有两个相等的实数根．
19．国家环保局统一规定，空气质量分为5级．当空气污染指数达0﹣50时为1级，质量为优；51﹣100时为2级，质量为良；101﹣200时为3级，轻度污染；201﹣300时为4级，中度污染；300以上时为5级，重度污染．某城市随机抽取了2016年某些天的空气质量检测结果，并整理绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据图中信息，解答下列各题：
（1）本次调查共抽取了 天的空气质量检测结果进行统计；
（2）扇形统计图中3级空气质量所对应的圆心角为 °；
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（3）如果空气污染达到中度污染或者以上，将不适宜进行户外活动，根据目前的统计，请你估计2016年该城市有多少天不适宜开展户外活动．
20．在▱ABCD中，AB=2BC=4，E、F分别为AB、CD的中点
①求证：△ADE≌△CBF；
②若四边形DEBF为菱形，求四边形ABCD的面积．
21．某校九年级两个班，各选派10名学生参加学校举行的“数学奥林匹克”大赛预赛．各参赛选手的成绩如下：
九（1）班：88，91，92，93，93，93，94，98，98，100
九（2）班：89，93，93，93，95，96，96，98，98，99
通过整理，得到数据分析表如下：
班级
最高分
平均分
中位数
众数
方差
九（1）班
100
94
b
93
12
九（2）班
99
a
95.5
93
8.4
（1）直接写出表中a、b的值；
（2）依据数据分析表，有人说：“最高分在（1）班，（1）班的成绩比（2）班好”，但也有人说（2）班的成绩要好，请给出两条支持九（2）班成绩好的理由；
（3）若从两班的参赛选手中选四名同学参加决赛，其中两个班的第一名直接进入决赛，另外两个名额在四个“98分”的学生中任选二个，求另外两个决赛名额落在不同班级的概率．
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22．某服装公司招工广告承诺：熟练工人每月工资至少3000元．每天工作8小时，一个月工作25天．月工资底薪800元，另加计件工资．加工1件A型服装计酬16元，加工1件B型服装计酬12元．在工作中发现一名熟练工加工1件A型服装和2件B型服装需4小时，加工3件A型服装和1件B型服装需7小时．（工人月工资=底薪+计件工资）
（1）一名熟练工加工1件A型服装和1件B型服装各需要多少小时？
（2）一段时间后，公司规定：“每名工人每月必须加工A，B两种型号的服装，且加工A型服装数量不少于B型服装的一半”．设一名熟练工人每月加工A型服装a件，工资总额为W元．请你运用所学知识判断该公司在执行规定后是否违背了广告承诺？
23．如图，AC是某市环城路的一段，AE，BF，CD都是南北方向的街道，其与环城路AC的交叉路口分别是A，B，C．经测量花卉世界D位于点A的北偏东45°方向、点B的北偏东30°方向上，AB=2km，∠DAC=15°．
（1）求∠DBC的度数；
（2）求C，D之间的距离．
24．如图，△ABC中，以AC为直径的⊙O与边AB交于点D，点E为⊙O上一点，连接CE并延长交AB于点F，连接ED．
（1）若∠B+∠FED=90°，求证：BC是⊙O的切线；
（2）若FC=6，DE=3，FD=2，求⊙O的直径．
25．如图，已知直线y=﹣x+
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1与x轴交于A点，与y轴交于B点，P（a，b）为双曲线y=（x＞0）上一动点，过P点分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为C、D，交直线AB于点E、F
（1）用含b的代数式表示E点的坐标
用含a的代数式表示F点的坐标
（2）求证：△AOE∽△BFO
（3）当点P在双曲线y=（x＞0）上移动时，∠EOF也随之变化，试问∠EOF的大小是否变化，如果不变，求出其值，如果变化，说明理由．
26．如图，二次函数y=a（x2﹣4x+3）（a＞0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点
（1）若△ABD为直角三角形，求此二次函数的解析式；
（2）P为抛物线对称轴上一点，且P点的纵坐标t是大于3的常数，试问是否存在一个正数a，使得四边形PA、PB、PC、PD与一个平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段能构成平行四边形）？请说明理由．
（3）是否存在实数a，使得△OAC沿AC翻折后，点O的对应点O′落在△ABC的外部？若存在，求出a的范围，若不存在，请说明理由．
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2016年江苏省泰州市姜堰市中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共6小题，每小题3分，计18分）
1．4的算术平方根是（ ）
A．±2 B． C．2 D．﹣2
【考点】算术平方根．
【分析】根据算术平方根的定义即可得出答案．
【解答】解：4的算术平方根是2，
故选C．
2．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【解答】解：A、是轴对称图形，故A符合题意；
B、不是轴对称图形，故B不符合题意；
C、不是轴对称图形，故C不符合题意；
D、不是轴对称图形，故D不符合题意．
故选：A．
3．小王参加某企业招聘测试，他的笔试、面试、技能操作得分分别为80分、85分、90分，若依次按照2：3：5的比例确定成绩，则小王的成绩是（ ）
A．255分 B．84.5分 C．85.5分 D．86.5分
【考点】加权平均数．
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【分析】根据加权平均数的计算公式列出算式，再进行计算即可．
【解答】解：2+3+5=10
根据题意得：
80×+85×+90×
=16+25.5+45
=86.5（分）
答：小王的成绩是86.5分．
故选：D．
4．如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE交于点F，下列三角形中，外心不是点O的是（ ）
A．△ABE B．△ACF C．△ABD D．△ADE
【考点】三角形的外接圆与外心．
【分析】利用外心的定义，外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，进而判断得出即可．
【解答】解：如图所示：只有△ACF的三个顶点不都在圆上，故外心不是点O的是△ACF．
故选：B．
5．如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF=12，AB=10，则AE的长为（ ）
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A．8 B．12 C．16 D．20
【考点】平行四边形的性质．
【分析】由基本作图得到AB=AF，加上AO平分∠BAD，则根据等腰三角形的性质得到AO⊥BF，BO=FO=BF=6，再根据平行四边形的性质得AF∥BE，所以∠1=∠3，于是得到∠2=∠3，根据等腰三角形的判定得AB=EB，然后再根据等腰三角形的性质得到AO=OE，最后利用勾股定理计算出AO，从而得到AE的长．
【解答】解：连结EF，AE与BF交于点O，如图，
∵AB=AF，AO平分∠BAD，
∴AO⊥BF，BO=FO=BF=6，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AF∥BE，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴AB=EB，
而BO⊥AE，
∴AO=OE，
在Rt△AOB中，AO==8，
∴AE=2AO=16．
故选C．
6．如图，抛物线y=﹣2x2﹣8x﹣6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向左平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y=﹣x+m与C1，C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（ ）
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A．﹣3＜m＜﹣ B． C．﹣2＜m＜ D．﹣3＜m＜﹣2
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】首先求出点A和点B的坐标，然后求出C2解析式，分别求出直线y=x+m与抛物线C2相切时m的值以及直线y=x+m过点B时m的值，结合图形即可得到答案．
【解答】解：令y=﹣2x2﹣8x﹣6=0，
即x2+4x+3=0，
解得x=﹣1或﹣3，
则点A（﹣1，0），B（﹣3，0），
由于将C1向左平移2个长度单位得C2，
则C2解析式为y=﹣2（x+4）2+2（﹣5≤x≤﹣3），
当y=﹣x+m1与C2相切时，
令y=﹣x+m1=y=﹣2（x+4）2+2，
即2x2+15x+30+m1=0，
△=﹣8m1﹣15=0，
解得m1=﹣，
当y=﹣x+m2过点B时，
即0=3+m2，
m2=﹣3，
当﹣3＜m＜﹣时直线y=﹣x+m与C1、C2共有3个不同的交点，
故选：A．
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二、填空题（共10小题，每小题3分，计30分）
7．函数中，自变量x的取值范围是 x≠1 ．
【考点】函数自变量的取值范围；分式有意义的条件．
【分析】分式的意义可知分母：就可以求出x的范围．
【解答】解：根据题意得：x﹣1≠0，
解得：x≠1．
故答案为：x≠1．
8．钓鱼诸岛是中国的固有领土，位于中国东海，面积约6344000平方米，数据6344000用科学记数法表示为 6.344×106 ．
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：6344000=6.344×106．
故答案为：6.344×106．
9．若直线y=2x+3b+c与x轴交于点（﹣2，0），则代数式2﹣6b﹣2c的值为 ﹣6 ．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征．
【分析】先将（﹣2，0）代入y=2x+3b+c，得到3b+
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c=4，再将2﹣6b﹣2c变形为2﹣2（3b+c），然后把3b+c=4代入计算即可．
【解答】解：∵直线y=2x+3b+c与x轴交于点（﹣2，0），
∴0=2×（﹣2）+3b+c，
∴3b+c=4，
∴2﹣6b﹣2c=2﹣2（3b+c）=2﹣2×4=﹣6．
故答案为﹣6．
10．已知，则= ﹣ ．
【考点】比例的性质．
【分析】根据等式的性质，可得a=b，根据分式的性质，可得答案．
【解答】解：两边都乘以b，得
a=b．
==﹣，
故答案为：﹣．
11．将一张宽为5cm的长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，则这个三角形面积的最小值是 cm2 ．
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】当AC⊥AB时，重叠三角形面积最小，此时△ABC是等腰直角三角形，利用三角形面积公式即可求解．
【解答】解：如图，当AC⊥AB时，三角形面积最小，
∵∠BAC=90°∠ACB=45°
∴AB=AC=5cm，
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∴S△ABC=×5×5=cm2．
故答案是： cm2．
12．已知一个不透明的布袋里装有2个红球和a个黄球，这些球除颜色外其余都相同．若从该布袋里任意摸出1个球，是红球的概率为，则a等于 6 ．
【考点】概率公式．
【分析】由一个不透明的布袋里装有2个红球和a个黄球，这些球除颜色外其余都相同．若从该布袋里任意摸出1个球，是红球的概率为，根据概率公式可得：，解此分式方程即可求得答案．
【解答】解：根据题意得：，解得：a=6，
经检验，a=6是原分式方程的解，
所以a=6．
故答案为6．
13．如图，A点为反比例函数图象上一点，过A点作AB⊥y轴，B为垂足，点P为x轴上任意一点，且△ABP的面积为2，则k= ﹣4 ．
【考点】反比例函数系数k的几何意义．
【分析】由于同底等高的两个三角形面积相等，所以△AOB的面积=△ABP的面积=2，然后根据反比例函数y=中k的几何意义，知△AOB的面积=|k|
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，从而确定k的值，求出反比例函数的解析式．
【解答】解：如图，连接AO，
设反比例函数的解析式为y=．
∵△AOB的面积=△ABP的面积=2，△AOB的面积=|k|，
∴|k|=2，
∴k=±4；
又∵反比例函数的图象的一支位于第二象限，
∴k＜0．
∴k=﹣4．
故答案为：﹣4．
14．根据图中所标注的数据，计算此圆锥的侧面积 15π cm2（结果保留π）．
【考点】圆锥的计算．
【分析】先利用勾股定理计算出圆锥的母线长为5cm，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算此圆锥的侧面积．
【解答】解：圆锥的高为4cm，圆锥的底面圆的半径为3cm，
所以圆锥的母线长==5（cm），
所以此圆锥的侧面积=•2π•3•5=15（cm2）．
故答案为15π．
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15．某服装店购进单价为15元童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，当每件的定价为 22 元时，该服装店平均每天的销售利润最大．
【考点】二次函数的应用．
【分析】根据“利润=（售价﹣成本）×销售量”列出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；把二次函数解析式转化为顶点式方程，利用二次函数图象的性质进行解答．
【解答】解：设定价为x元，
根据题意得：y=（x﹣15）[8+2（25﹣x）]
=﹣2x2+88x﹣870
∴y=﹣2x2+88x﹣870，
=﹣2（x﹣22）2+98
∵a=﹣2＜0，
∴抛物线开口向下，
∴当x=22时，y最大值=98．
故答案为：22．
16．在平面直角坐标系中，⊙P的圆心P的坐标为（a，4），半径为2，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值为 4﹣或4+ ．
【考点】垂径定理；一次函数图象上点的坐标特征；勾股定理．
【分析】分为两种情况：①当P在直线y=x的左边时，过P1D⊥AB于D，由垂径定理求出AD、由勾股定理求出P1D，过P1作P1D∥直线y=x，交y轴于D，过D作DB⊥直线y=x于B，得出DB=P1D=1，OB=DB=1，由勾股定理求出DO，得出直线P1D的解析式是y=x+，把P（a，4）代入求出a即可；②与①
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解法类似，当P在直线y=x的右边时，同法得出直线的解析式y=x﹣，把p（a，4）代入求出a的另一个值．
【解答】解：分为两种情况：
①当P在直线y=x的左边时，过P1D′⊥AB于D′，
由垂径定理得：AD′=×2=，
∵P1A=2，由勾股定理得：P1D′=1，
过P1作P1D∥直线y=x，交y轴于D，过D作DB⊥直线y=x于B，则DB=P1D=1，
∵直线y=x，
∴∠DOB=45°，
∴OB=DB=1，由勾股定理得：DO=，
∵直线P1D∥直线y=x，
∴直线P1D的解析式是y=x+（即把直线y=x相上平移个单位），
∴把P（a，4）代入得：4=a+，
∴a=4﹣，
②当P在直线y=x的右边时，与①解法类似，P2M=ON=1，
由勾股定理得OH=，
把直线y=x向下平移个单位得出直线y=x﹣，
把p（a，4）代入求出a的另一个值是4+．
故答案为：4﹣或4+．
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三、解答题（共10小题，计102分）
17．（1）计算：
（2）解不等式组．
【考点】解一元一次不等式组；实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
【分析】（1）根据零指数幂，负整数指数幂，二次根式的性质，特殊角的三角函数值分别求出每一部分的值，再合并即可；
（2）先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可．
【解答】解：（1）原式=1+9+2﹣2|﹣1|
=10+2﹣2+
=8+3；
（2）
∵解不等式①得：x≥﹣1，
解不等式②得：x＜2，
∴不等式组的解集为﹣1≤x＜2．
18．先化简，再求值：（1+）÷（m﹣
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），其中实数m使关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m=0有两个相等的实数根．
【考点】分式的化简求值；根的判别式．
【分析】先算括号里面的，再算除法，根据实数m使关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m=0有两个相等的实数根求出m的值，代入分式进行计算即可．
【解答】解：原式=÷
=•
=，
∵实数m使关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m=0有两个相等的实数根，
∴△=0，即（﹣4）2+4m=0，解得m=﹣4，
∴原式=﹣．
19．国家环保局统一规定，空气质量分为5级．当空气污染指数达0﹣50时为1级，质量为优；51﹣100时为2级，质量为良；101﹣200时为3级，轻度污染；201﹣300时为4级，中度污染；300以上时为5级，重度污染．某城市随机抽取了2016年某些天的空气质量检测结果，并整理绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据图中信息，解答下列各题：
（1）本次调查共抽取了 50 天的空气质量检测结果进行统计；
（2）扇形统计图中3级空气质量所对应的圆心角为 72 °；
（3）如果空气污染达到中度污染或者以上，将不适宜进行户外活动，根据目前的统计，请你估计2016年该城市有多少天不适宜开展户外活动．
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【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
【分析】（1）根据4级的天数数除以4级所占的百分比，可得答案；
（2）根据圆周角乘以3级所占的百分比，可得答案；
（3）根据有理数的减法，可得5级的天数，根据5级的天数，再根据样本数据估计总体，可得答案．
【解答】解：（1）本次调查共抽取了24÷48%=50（天），
故答案为：50；
（2）360°×=72°，
故答案为：72；
（3）5级抽取的天数50﹣3﹣7﹣10﹣24=6天，
365××100%=219（天），
答：2015年该城市有219天不适宜开展户外活动．
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20．在▱ABCD中，AB=2BC=4，E、F分别为AB、CD的中点
①求证：△ADE≌△CBF；
②若四边形DEBF为菱形，求四边形ABCD的面积．
【考点】菱形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【分析】①欲证明△ADE≌△CBF，只要证明AD=BC，∠A=∠C，AE=CF即可．
②连接BD，根据S四边形ABCD=2S△ABD，只要证明△ADB是直角三角形，求出AD、BD即可解决问题．
【解答】①证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，∠A=∠C，
∵E、F分别为AB、CD的中点，
∵AE=EB，DF=FC，
∴AE=CF，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF，
②连接BD，
由①有AE=EB，
∵四边形DEBF是菱形，
∴DE=EB=AE，
∴△ADB是直角三角形，
在RT△ADB中，∵∠ADB=90°，AD=BC=2，AB=4，
∴BD==2，
∵四边形ABCD是平行四边形，
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∴S平行四边形ABCD=2•S△ADB=2××2×2=4．
21．某校九年级两个班，各选派10名学生参加学校举行的“数学奥林匹克”大赛预赛．各参赛选手的成绩如下：
九（1）班：88，91，92，93，93，93，94，98，98，100
九（2）班：89，93，93，93，95，96，96，98，98，99
通过整理，得到数据分析表如下：
班级
最高分
平均分
中位数
众数
方差
九（1）班
100
94
b
93
12
九（2）班
99
a
95.5
93
8.4
（1）直接写出表中a、b的值；
（2）依据数据分析表，有人说：“最高分在（1）班，（1）班的成绩比（2）班好”，但也有人说（2）班的成绩要好，请给出两条支持九（2）班成绩好的理由；
（3）若从两班的参赛选手中选四名同学参加决赛，其中两个班的第一名直接进入决赛，另外两个名额在四个“98分”的学生中任选二个，求另外两个决赛名额落在不同班级的概率．
【考点】列表法与树状图法；算术平均数；中位数；众数；方差．
【分析】（1）根据平均数的定义计算（2）班的平均数，根据中位数的定义确定（1）班的中位数；
（2）可利用平均数或中位数或方差的意义说明九（2）班成绩好；
（3）设九（1）班中98分的两名学生分别用A、B表示，九（2）班中98分的两名学生分别用a、b表示，画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出另外两个决赛名额落在不同班级的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）a=95，b=93；
（2）九（2）班成绩好的理由为：（2）班的平均数比（1）高；（2）班的方差比（1）班小，（2）班的成绩比（1）班稳定；
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（3）设九（1）班中98分的两名学生分别用A、B表示，九（2）班中98分的两名学生分别用a、b表示，
画树状图为：
共有9种等可能的结果数，其中另外两个决赛名额落在不同班级的结果数为8，
所以另外两个决赛名额落在不同班级的概率==．
22．某服装公司招工广告承诺：熟练工人每月工资至少3000元．每天工作8小时，一个月工作25天．月工资底薪800元，另加计件工资．加工1件A型服装计酬16元，加工1件B型服装计酬12元．在工作中发现一名熟练工加工1件A型服装和2件B型服装需4小时，加工3件A型服装和1件B型服装需7小时．（工人月工资=底薪+计件工资）
（1）一名熟练工加工1件A型服装和1件B型服装各需要多少小时？
（2）一段时间后，公司规定：“每名工人每月必须加工A，B两种型号的服装，且加工A型服装数量不少于B型服装的一半”．设一名熟练工人每月加工A型服装a件，工资总额为W元．请你运用所学知识判断该公司在执行规定后是否违背了广告承诺？
【考点】一次函数的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用．
【分析】（1）设熟练工加工1件A型服装需要x小时，加工1件B型服装需要y小时，根据“一名熟练工加工1件A型服装和2件B型服装需4小时，加工3件A型服装和1件B型服装需7小时”，列出方程组，即可解答．
（2）当一名熟练工一个月加工A型服装a件时，则还可以加工B型服装（25×8﹣2a）件．从而得到W=﹣8a+3200，再根据“加工A型服装数量不少于B型服装的一半”，得到a≥50，利用一次函数的性质，即可解答．
【解答】解：（1）设熟练工加工1件A型服装需要x小时，加工1件B型服装需要y小时．
由题意得：，
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解得：
答：熟练工加工1件A型服装需要2小时，加工1件B型服装需要1小时．
（2）当一名熟练工一个月加工A型服装a件时，则还可以加工B型服装（25×8﹣2a）件．
∴W=16a+12（25×8﹣2a）+800，
∴W=﹣8a+3200，
又∵a≥，
解得：a≥50，
∵﹣8＜0，
∴W随着a的增大则减小，
∴当a=50时，W有最大值2800．
∵2800＜3000，
∴该服装公司执行规定后违背了广告承诺．
23．如图，AC是某市环城路的一段，AE，BF，CD都是南北方向的街道，其与环城路AC的交叉路口分别是A，B，C．经测量花卉世界D位于点A的北偏东45°方向、点B的北偏东30°方向上，AB=2km，∠DAC=15°．
（1）求∠DBC的度数；
（2）求C，D之间的距离．
【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．
【分析】由各方向角得出：∠EAD=45°，FBD=30°，又∠DAC=15°，则∠EAC=60°，∠FBC=60°，∠DBC=30°，△ABD是等腰三角形，∠ADB的大小，即可；
（2）过B作BO⊥DC，交其延长线于点O，把求CD的问题转化为求DO和CO的问题
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【解答】解：（1）由示意图可得：∠EAD=45°，∠FBD=30°，
又∵∠DAC=15°，
∴∠EAC=60°，
∵AE∥BF，
∴∠FBC=∠EAB=60°，
∴∠DBC=30°，
∴∠BDA=∠DBC﹣∠DAB=30°﹣15°=15°，
∴∠BDA=∠DAB，
∴AB=DB=2km，
∴∠ADB=15°，
∴∠DBC=∠ADB+∠DAC=15°+15°=30°；
（2）如图，
过B作BO⊥DC，交其延长线于点O，
在Rt△DBO中，BD=2，∠DBO=60°，
∴DO=2×sin60°=，BO=2×cos60°=1．
在Rt△CBO中，∠CBO=30°，CO=BOtan30°=，
∴CD=DO﹣CO=﹣=（km）．
即C，D之间的距离km．
24．如图，△ABC中，以AC为直径的⊙O与边AB交于点D，点E为⊙O上一点，连接CE并延长交AB于点F，连接ED．
（1）若∠B+∠FED=90°，求证：BC是⊙O的切线；
（2）若FC=6，DE=3，FD=2，求⊙O的直径．
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【考点】切线的判定．
【分析】（1）利用圆内接四边形对角互补以及邻补角的定义得出∠FED=∠A，进而得出∠B+∠A=90°，求出答案；
（2）利用相似三角形的判定与性质首先得出△FED∽△FAC，进而求出即可．
【解答】（1）证明：∵∠A+∠DEC=180°，∠FED+∠DEC=180°，
∴∠FED=∠A，
∵∠B+∠FED=90°，
∴∠B+∠A=90°，
∴∠BCA=90°，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：∵∠CFA=∠DFE，∠FED=∠A，
∴△FED∽△FAC，
∴=，
∴=，
解得：AC=9，即⊙O的直径为9．
25．如图，已知直线y=﹣x+1与x轴交于A点，与y轴交于B点，P（a，b）为双曲线y=（x＞0）上一动点，过P点分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为C、D，交直线AB于点E、F
（1）用含b的代数式表示E点的坐标 （1﹣b，b）
用含a的代数式表示F点的坐标 （a，1﹣a）
（2）求证：△AOE∽△BFO
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（3）当点P在双曲线y=（x＞0）上移动时，∠EOF也随之变化，试问∠EOF的大小是否变化，如果不变，求出其值，如果变化，说明理由．
【考点】反比例函数综合题．
【分析】（1）易得点E的纵坐标为b，点F的横坐标为a，代入直线的解析式y=﹣x+1，即可用a，b的式子表示出E、F两点的坐标；
（2）由直线y=﹣x+1与x，y轴分别交于A、B两点可得OA=OB=1，从而得到∠OAB=45°，将OE2、EF、EA分别用a、b的代数式表示，可得OE2=EF•EA，可证明△EOF∽△EAO，可得到∠EOA=∠EFO，又∠EAO=∠FBO，可证明△AOE∽△BFO；
（3）由（2）可得∠EOF=∠OAE=45°，其值不变．
【解答】解：（1）如图1，
∵PM⊥x轴与M，交线段AB于F，
∴xF=xM=xP=a，
∵PN⊥y轴于N，交线段AB于E，
∴yE=yN=yP=b，
∵点E、F在直线AB上，
∴yE=﹣xE+1=b，yF=﹣xF+1=﹣a+1，
∴xE=1﹣b，yF=1﹣a，
∴点E的坐标为（1﹣b，b），点F的坐标为（a，1﹣a）．
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故答案为：（1﹣b，b）；（a，1﹣a）；
（2）证明：
过点E作EH⊥OM，垂足为H，如图2，
∵EN⊥ON，
∴OE2=ON2+EN2=b2+（1﹣b）2=2b2+1﹣2b，
∵EH⊥OM，EH=b，AH=1﹣（1﹣b）=b，
∴EA==b，
同理可得：FA=（1﹣a），
∴EF=EA﹣FA=b﹣（1﹣a）=（b+a﹣1），
∵2ab=1，
∴EF•EA=（b+a﹣1）b=2（b2+ab﹣b）=2b2+2ab﹣2b=2b2+1﹣2b，
∴OE2=EF•EA，
∴=，
∵∠OEF=∠AEO，
∴△OEF∽△AEO，
∴∠EFO=∠AOE，
∵OA=OB=1，∠AOB=90°，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
∴△AOE∽△BFO；
（3）由（2）可知△OEF∽△AEO，
∴∠EOF=∠EAO=45°，
∴∠EOF的大小不变，始终等于45°．
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26．如图，二次函数y=a（x2﹣4x+3）（a＞0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点
（1）若△ABD为直角三角形，求此二次函数的解析式；
（2）P为抛物线对称轴上一点，且P点的纵坐标t是大于3的常数，试问是否存在一个正数a，使得四边形PA、PB、PC、PD与一个平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段能构成平行四边形）？请说明理由．
（3）是否存在实数a，使得△OAC沿AC翻折后，点O的对应点O′落在△ABC的外部？若存在，求出a的范围，若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）求出A、B、D坐标，理由等腰直角三角形性质即可解决问题．
（2）存在．先求出直线CD解析式，再求出线段CD的垂直平分线的解析式，即可求出点P坐标，观察点P纵坐标即可解决问题．
（3）存在．如图2中，作AF⊥BC，垂足为F，求出OA=AF时，OC的长即可解决问题．
【解答】解：（1）令y=0，则x2﹣4x+3=0，
解得x=3或1，
∴A（1，0）．B（3，0），
又∵y=a（x﹣2）2﹣a，
∴顶点D（2，﹣a），
∵△ABD是直角三角形，DA=DB，
∴|﹣a|=AB，
|﹣a|=1，
∵a＞0，
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∴a=1，
∴二次函数解析式为y=x2﹣4x+3，
（2）存在．
理由：如图1中，∵点P在对称轴上，
∴PA=PB，
∵四边形PA、PB、PC、PD与一个平行四边形的四条边对应相等，
∴PC=PD，设点P（2，t），
∵C（0，3a），D（2，﹣a），
∴直线CD解析式为y=﹣2ax+3a，线段CD的垂直平分线的解析式为y=x+a﹣，
∴点P的纵坐标t=+a，
∴当a=3时，t＞3，
∴存在一个正数a，使得四边形PA、PB、PC、PD与一个平行四边形的四条边对应相等．
（3）如图2中，作AF⊥BC，垂足为F，
当OA=AF=1时，在RT△AFB中，∵AB=2，AF=1，
∴AB=2AF，
∴∠ABF=30°，
∴在RT△BOC中，∵∠BOC=90°，∠OBC=30°，OB=3，
∴OC=OB•tan30°=3×=，
由图象可知当0＜3a＜时，即0＜a时，点O的对应点O′落在△ABC的外部．
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2017年2月26日
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