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2016年中考数学一模试题（南通市通州区附答案和解析）
资料简介
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2016年江苏省南通市通州区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．计算6÷（﹣2）的结果是（ ）
A．﹣3 B．﹣ C．3 D．﹣12
2．中国国家图书馆是亚洲最大的图书馆，截止到今年初馆藏图书达3119万册，将3119万用科学记数法表示为
（ ）
A．31.19×106 B．3.119×107 C．3.119×108 D．0.3119×108
3．计算（﹣a）2•a3的结果是（ ）
A．a5 B．a6 C．﹣a5 D．﹣a6
4．如图，∠1=50°，如果AB∥DE，那么∠D=（ ）
A．40° B．50° C．130° D．140°
5．用5个完全相同的小正方体组合成如图所示的立方体图形，它的主视图为（ ）
A． B． C． D．
6．已知一块扇形铁皮，用它做一个圆锥形烟囱帽（接缝忽略不计），烟囱帽的底面圆的直径为80cm，母线长为50cm，则所需扇形铁皮的圆心角为（ ）
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A．144° B．288° C．120° D．216°
7．在一个不透明的盒子中装有n个小球，它们除了颜色不同外，其余都相同，其中有4个白球，每次试验前，将盒子中的小球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中．大量重复上述试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.4，那么可以推算出n大约是（ ）
A．10 B．14 C．16 D．40
8．如图，表示甲、乙两人以相同路线前往离学校12千米的地方参加植树活动．甲、乙两人前往目的地所行驶的路程s（km）随时间t（min）变化的函数图象，则每分钟乙比甲多行驶的路程为（ ）
A．1.5千米 B．2千米 C．0.5千米 D．1千米
9．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：
①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；
②作直线MN交AB于点D，连接CD．
若CD=AC，∠A=50°，则∠ACB的度数为（ ）
A．90° B．95° C．100° D．105°
10．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CM为AB边上的中线，AN⊥CM，交BC于点N．若CM=3，AN=4，则tan∠CAN的值为 ．
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二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11．一组数据1，4，﹣3，3，4的众数为 ．
12．计算（a+b）（a2﹣ab+b2）= ．
13．不等式的解集是 ．
14．点P（﹣3，2）关于直线x=1对称的点的坐标为 ．
15．关于x、y的二元一次方程组，则4x2﹣4xy+y2的值为 ．
16．如图，利用标杆BE测量建筑物的高度．若标杆BE的高为1.2m，测得AB=1.6m，BC=12.4m，则楼高CD为 m．
17．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D．若AB=，∠BAC=30°，则图中阴影部分的面积为 ．
18．如图，矩形ABCD中，AB=2AD，点A（0，1），点C、D在反比例函数y=（k＞0）的图象上，AB与x轴的正半轴相交于点E，若E为AB的中点，则k的值为 ．
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三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．计算：
（1）﹣+﹣+2cos60°；
（2）（m+2﹣）÷．
20．已知关于x的方程x2+px+q=0根的判别式的值为0，且x=1是方程的一个根，求p和q的值．
21．几个小伙伴打算去某景区游玩，他们准备用360元钱购买门票．下面是其中两人的对话：
根据对话中的信息，请你求出这些小伙伴的人数．
22．如图，AE是⊙O的直径，半径OD垂直于弦AB，垂足为C，AB=8cm，CD=2cm，求BE的长．
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23．学校为了解学生“自主学习、合作交流”的情况，对某班部分同学进行了一段时间的跟踪调查，将调查结果（A：特别好；B：好；C：一般；D：较差）绘制成以下两幅不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）补全条形统计图；
（2）扇形统计图中，D类所占圆心角为 度；
（3）学校想从被调查的A类（1名男生2名女生）和D类（男女生各占一半）中分别选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用画树形图或列表的方法求所选的两位同学恰好是一男一女的概率．
24．如图，已知∠ABM=37°，AB=20，C是射线BM上一点．
（1）在下列条件中，可以唯一确定BC长的是 ；（填写所有符合条件的序号）
①AC=13；②tan∠ACB=； ③连接AC，△ABC的面积为126．
（2）在（1）的答案中，选择一个作为条件，画出草图，求BC．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）
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25．如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，交BF于点C，BD平分∠ABC，交AE于点D，连接CD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB=5，AC=6，求AE，BF之间的距离．
26．己知代数式﹣2x+4
（1）﹣2x+4 x的函数（填“是”或≤“不是”）；
（2）当x取3﹣a时，请你以a的取值为横坐标，对应的﹣2x+4的值为纵坐标，画出其图象；
（3）若（2）中的图象与横轴、纵轴分别相交于点A、B，点P在线段AB上（不与A，B重合），P到横轴、纵轴的距离分别为d1、d2，求d1，d2的取值范围．
27．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△APQ，点C的对应点Q落在AB边上．连接BP，过点P作PH垂直于射线CA，垂足为H．
（1）如图1，若点H与点A重合，求∠BPQ的度数；
（2）如图2，若点H在CA边上（不与点A重合），BC=x，请用含x的代数式表示AH；
（3）若∠APB=∠PAH，求AB的长．
28．已知抛物线y=ax2+bx﹣3a的对称轴为直线x=1，且经过点（0，3）．
（1）求a，b的值；
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（2）若抛物线与直线y=﹣（x﹣3）（m≠0）两交点的横坐标为x1，x2，n=x1+x2﹣2，P（1，y0），Q（x0，）两点在动点M（m，n）所形成的曲线上，求直线PQ的解析式；
（3）若抛物线与x轴交于A，B两点，C是x轴下方抛物线上的一点，∠ACB=45°，求点C的坐标．
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2016年江苏省南通市通州区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．计算6÷（﹣2）的结果是（ ）
A．﹣3 B．﹣ C．3 D．﹣12
【考点】有理数的除法．
【分析】根据有理数的除法，即可解答．
【解答】解：6÷（﹣2）=﹣3，故选：A．
2．中国国家图书馆是亚洲最大的图书馆，截止到今年初馆藏图书达3119万册，将3119万用科学记数法表示为
（ ）
A．31.19×106 B．3.119×107 C．3.119×108 D．0.3119×108
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：3119万用科学记数法表示为3.119×107，
故选：B．
3．计算（﹣a）2•a3的结果是（ ）
A．a5 B．a6 C．﹣a5 D．﹣a6
【考点】幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法．
【分析】
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利用同底数幂的乘法运算，即可求得答案；注意同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
【解答】解：（﹣a）2•a3=a2•a3=a5．
故选A．
4．如图，∠1=50°，如果AB∥DE，那么∠D=（ ）
A．40° B．50° C．130° D．140°
【考点】平行线的性质．
【分析】由对顶角相等求出∠2的度数，再利用两直线平行同旁内角互补求出所求角度数即可．
【解答】解：∵∠1与∠2为对顶角，
∴∠1=∠2=50°，
∵AB∥DE，
∴∠2+∠D=180°，
则∠D=130°，
故选C
5．用5个完全相同的小正方体组合成如图所示的立方体图形，它的主视图为（ ）
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A． B． C． D．
【考点】简单组合体的三视图．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：从正面看易得第一层有1个正方形，第二层有3个正方形．
故选A．
6．已知一块扇形铁皮，用它做一个圆锥形烟囱帽（接缝忽略不计），烟囱帽的底面圆的直径为80cm，母线长为50cm，则所需扇形铁皮的圆心角为（ ）
A．144° B．288° C．120° D．216°
【考点】圆锥的计算．
【分析】利用底面周长=圆锥展开图的弧长可列式计算．
【解答】解：设圆心角的度数为n°，
故80π=，
解得n=288°．
故选B．
7．在一个不透明的盒子中装有n个小球，它们除了颜色不同外，其余都相同，其中有4个白球，每次试验前，将盒子中的小球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中．大量重复上述试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.4，那么可以推算出n大约是（ ）
A．10 B．14 C．16 D．40
【考点】利用频率估计概率．
【分析】利用大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
【解答】解：∵通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定于0.4，
∴=0.4，
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解得：n=10．
故选A．
8．如图，表示甲、乙两人以相同路线前往离学校12千米的地方参加植树活动．甲、乙两人前往目的地所行驶的路程s（km）随时间t（min）变化的函数图象，则每分钟乙比甲多行驶的路程为（ ）
A．1.5千米 B．2千米 C．0.5千米 D．1千米
【考点】一次函数的应用．
【分析】分别根据甲、乙的图象计算出各自的速度即可求出每分钟乙比甲多行驶的路程．
【解答】解：由图可知甲的行驶速度为：12÷24=0.5（km/min），
乙的行驶速度为：12÷（18﹣6）=1（km/min），
故每分钟乙比甲多行驶的路程为0.5km，
故选：C．
9．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：
①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；
②作直线MN交AB于点D，连接CD．
若CD=AC，∠A=50°，则∠ACB的度数为（ ）
A．90° B．95° C．100° D．105°
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【考点】线段垂直平分线的性质；作图—基本作图．
【分析】由CD=AC，∠A=50°，根据等腰三角形的性质，可求得∠ADC的度数，又由题意可得：MN是BC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得：CD=BD，则可求得∠B的度数，继而求得答案．
【解答】解：∵CD=AC，∠A=50°，
∴∠ADC=∠A=50°，
根据题意得：MN是BC的垂直平分线，
∴CD=BD，
∴∠BCD=∠B，
∴∠B=∠ADC=25°，
∴∠ACB=180°﹣∠A﹣∠B=105°．
故选D．
10．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CM为AB边上的中线，AN⊥CM，交BC于点N．若CM=3，AN=4，则tan∠CAN的值为 ．
【考点】解直角三角形．
【分析】根据直角三角形的性质得到AB=2CM=6，根据等腰三角形的性质得到∠B=∠MCB，根据余角的性质得到∠MCB=∠CAN，推出△CAN∽△ABC，根据相似三角形的性质得到==，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：∵∠ACB=90°，CM为AB边上的中线，
∴AB=2CM=6，
∴∠B=∠MCB，
∵AN⊥CM，
∴∠MCB=∠CAN，
∴∠B=∠CAN，
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∴△CAN∽△ABC，
∴==，
∴tan∠CAN==．
故答案为：．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11．一组数据1，4，﹣3，3，4的众数为 4 ．
【考点】众数．
【分析】根据众数的概念求解．
【解答】解：这组数据中，4出现的次数最多，
故众数为4．
故答案为：4．
12．计算（a+b）（a2﹣ab+b2）= a3+b3 ．
【考点】多项式乘多项式．
【分析】直接利用多项式乘以多项式运算法则求出答案．
【解答】解：（a+b）（a2﹣ab+b2）
=a3﹣a2b+ab2+a2b﹣ab2+b3
=a3+b3．
故答案为：a3+b3．
13．不等式的解集是 x≤8 ．
【考点】解一元一次不等式．
【分析】根据不等式的基本性质进行解题．
【解答】解：由原不等式，得
6+3x≥4x﹣2，
移项，得
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﹣x≥﹣8，
化系数为1，得
x≤8．
故答案是：x≤8．
14．点P（﹣3，2）关于直线x=1对称的点的坐标为 （5，2） ．
【考点】坐标与图形变化-对称．
【分析】点P（﹣3，2）与关于直线x=1对称的点纵坐标不变，两点到x=1的距离相等，据此可得其横坐标．
【解答】解：点P（﹣3，2）关于直线x=1对称的点的坐标为（5，2），
故答案为：（5，2）．
15．关于x、y的二元一次方程组，则4x2﹣4xy+y2的值为 25 ．
【考点】解二元一次方程组．
【分析】方程组两方程相加求出2x﹣y的值，所求式子利用完全平方公式变形，将2x﹣y的值代入计算即可求出值．
【解答】解：，
①+②得：2x﹣y=5，
则原式=（2x﹣y）2=25．
故答案为：25．
16．如图，利用标杆BE测量建筑物的高度．若标杆BE的高为1.2m，测得AB=1.6m，BC=12.4m，则楼高CD为 10.5 m．
【考点】相似三角形的应用．
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【分析】先证明∴△ABE∽△ACD，则利用相似三角形的性质得=，然后利用比例性质求出CD即可．
【解答】解：∵EB∥CD，
∴△ABE∽△ACD，
∴=，即=，
∴CD=10.5（米）．
故答案为10.5．
17．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D．若AB=，∠BAC=30°，则图中阴影部分的面积为 ﹣π ．
【考点】切线的性质；扇形面积的计算．
【分析】AD交⊙O于E，连结OE、OC、CE，如图，先利用等腰三角形的性质得∠BAC=∠ACO=30°，再根据切线的性质和平行线的判定得OC∥AD，则∠DAC=∠ACO=30°，根据圆周角定理有∠EOC=2∠DAC=60°，于是可判断△OCE为等边三角形，所以∠EOC=∠OCE=60°，CE=OC=AB=接着在Rt△CDE中，利用含30度的直角三角形三边的关系计算出DE和CD的长，然后根据他想和扇形的面积公式，利用S阴影部分=S梯形DEOC﹣S扇形EOC进行计算即可．
【解答】解：AD交⊙O于E，连结OE、OC、CE，如图，
∵OA=OC，
∴∠BAC=∠ACO=30°，
∵CD为切线，
∴OC⊥CD，
∵AD⊥CD，
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∴OC∥AD，
∴∠DAC=∠ACO=30°，
∴∠EOC=2∠DAC=60°，
∵OC=OE，
∴△OCE为等边三角形，
∴∠EOC=∠OCE=60°，CE=OC=AB=
在Rt△CDE中，∵∠DCE=90°﹣60°=30°，
∴DE=CE=，
CD=DE=，
∴S阴影部分=S梯形DEOC﹣S扇形EOC
=×（+）×﹣
=﹣π．
故答案为﹣π．
18．如图，矩形ABCD中，AB=2AD，点A（0，1），点C、D在反比例函数y=（k＞0）的图象上，AB与x轴的正半轴相交于点E，若E为AB的中点，则k的值为 ．
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【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】证得△AOE≌△BHE≌△DFA≌△BGC，得出BH=BG=DF=OA=1，EH=CG=OE=AF=k﹣1，即可求得D和C的坐标，然后由反比例函数图象上点的横纵坐标的乘积等于k列出方程组，通过解方程组可以求得k的值．
【解答】解：如图，作DF⊥y轴于F，过B点作x轴的平行线与过C点垂直与x轴的直线交于G，CG交x轴于K，作BH⊥x轴于H，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
∴∠DAF+∠OAE=90°，
∵∠AEO+∠OAE=90°，
∴∠DAF=∠AEO，
∵AB=2AD，E为AB的中点，
∴AD=AE，
在△ADF和△EAO中，
∴△ADF≌△EAO（AAS），
∴DF=OA=1，AF=OE，
∴D（1，k），
∴AF=k﹣1，
同理；△AOE≌△BHE，△ADF≌△CBG，
∴BH=BG=DF=OA=1，EH=CG=OE=AF=k﹣1，
∴OK=2（k﹣1）+1=2k﹣1，CK=k﹣2
∴C（2k﹣1，k﹣2），
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∴（2k﹣1）（k﹣2）=1•k，
解得k1=，k2=，
∵k﹣1＞0，
∴k=
故答案是：．
三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．计算：
（1）﹣+﹣+2cos60°；
（2）（m+2﹣）÷．
【考点】实数的运算；分式的混合运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
【分析】（1）原式利用负整数指数幂法则，二次根式性质，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果；
（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
【解答】解：（1）原式=﹣3+2﹣﹣3+2×=﹣4；
（2）原式=•=2（m+3）=2m+6．
20．已知关于x的方程x2+px+q=0根的判别式的值为0，且x=1是方程的一个根，求p和q的值．
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【考点】根的判别式．
【分析】由x=1是方程的一个根，结合方程的根的判别式可得出关于p、q的二元二次方程组，解方程组即可得出结论．
【解答】解：由已知得：，
解得：．
21．几个小伙伴打算去某景区游玩，他们准备用360元钱购买门票．下面是其中两人的对话：
根据对话中的信息，请你求出这些小伙伴的人数．
【考点】分式方程的应用．
【分析】设小伙伴的人数为x人，根据小伙伴的人数不变，列方程分式方程即可．
【解答】解：设小伙伴的人数为x人，
根据题意，得+2=．
解得 x=8．
经检验x=8是原方程的根且符合题意．
答：小伙伴的人数为8人．
22．如图，AE是⊙O的直径，半径OD垂直于弦AB，垂足为C，AB=8cm，CD=2cm，求BE的长．
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【考点】垂径定理；勾股定理；三角形中位线定理．
【分析】根据垂径定理可得AC=4cm，然后设CO=xcm，则DO=AO=（x+2）cm，再利用勾股定理可得（x+2）2=42+x2，解出x的值，再根据三角形中位线定理可得答案．
【解答】解：∵半径OD垂直于弦AB，垂足为C，AB=8cm，
∴AC=4cm，
设CO=xcm，则DO=AO=（x+2）cm，
在Rt△AOC中：AO2=CO2+AC2，
∴（x+2）2=42+x2，
解得：x=3，
∵AO=EO，AC=CB，
∴BE=2CO=6cm．
23．学校为了解学生“自主学习、合作交流”的情况，对某班部分同学进行了一段时间的跟踪调查，将调查结果（A：特别好；B：好；C：一般；D：较差）绘制成以下两幅不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）补全条形统计图；
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（2）扇形统计图中，D类所占圆心角为 36 度；
（3）学校想从被调查的A类（1名男生2名女生）和D类（男女生各占一半）中分别选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用画树形图或列表的方法求所选的两位同学恰好是一男一女的概率．
【考点】列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图．
【分析】（1）由条形统计图与扇形统计图，可求得C，D的人数，继而补全统计图；
（2）由D占10%，即可求得扇形统计图中，D类所占圆心角；
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与所选的两位同学恰好是一男一女的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：（1）∵B有10人，占50%，
∴总人数：10÷50%=20（人），
A占：3÷20=15%，
D占：1﹣25%﹣15%﹣50%=10%，
∴C类：20×25%=5人，D类：20×10%=2人，
补全统计图：
（2）D类所占圆心角为：10%×360°=36°；
故答案为：36；
（3）画树状图得：
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∵共有6种等可能的结果，所选的两位同学恰好是一男一女的有3种情况，
∴所选的两位同学恰好是一男一女的概率为： =．
24．如图，已知∠ABM=37°，AB=20，C是射线BM上一点．
（1）在下列条件中，可以唯一确定BC长的是 ②③ ；（填写所有符合条件的序号）
①AC=13；②tan∠ACB=； ③连接AC，△ABC的面积为126．
（2）在（1）的答案中，选择一个作为条件，画出草图，求BC．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）
【考点】解直角三角形．
【分析】根据给出的条件作出辅助线，根据锐角三角函数的概念和勾股定理求出BC的长，得到（1）（2）的答案．
【解答】解：（1）②③；
（2）方案一：选②
作AD⊥BC于D，
则∠ADB=∠ADC=90°．
在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，
∴AD=AB•sinB=12，BD=AB•cosB=16，
在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，
∴CD==5，
∴BC=BD+CD=21．
方案二：选③
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作CE⊥AB于E，则∠BEC=90°，
由S△ABC=AB•CE得CE=12.6，
在Rt△BEC中，∵∠BEC=90°，
∴BC==21．
25．如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，交BF于点C，BD平分∠ABC，交AE于点D，连接CD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB=5，AC=6，求AE，BF之间的距离．
【考点】菱形的判定．
【分析】（1）根据平行线的性质得出∠ADB=∠DBC，∠DAC=∠BCA，根据角平分线定义得出∠DAC=∠BAC，∠ABD=∠DBC，求出∠BAC=∠ACB，∠ABD=∠ADB，根据等腰三角形的判定得出AB=BC=AD，根据平行四边形的判定得出四边形ABCD是平行四边形，即可得出答案；
（2）先求出BD的长，求出菱形的面积，即可求出答案．
【解答】（1）证明：∵AE∥BF，
∴∠ADB=∠DBC，∠DAC=∠BCA，
∵AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线，
∴∠DAC=∠BAC，∠ABD=∠DBC，
∴∠BAC=∠ACB，∠ABD=∠ADB，
∴AB=BC，AB=AD
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∴AD=BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD=AB，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：过A作AM⊥BC于M，则AM的长是AE，BF之间的距离，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=OC=AC=×6=3，
∵AB=5，
∴在Rt△AOB中，由勾股定理得：BO=4，
∴BD=2BO=8，
∴菱形ABCD的面积为×AC×BD=×6×8=24，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=AB=5，
∴5×AM=24，
∴AM=，
即AE，BF之间的距离是．
26．己知代数式﹣2x+4
（1）﹣2x+4 是 x的函数（填“是”或≤“不是”）；
（2）当x取3﹣a时，请你以a的取值为横坐标，对应的﹣2x+4的值为纵坐标，画出其图象；
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（3）若（2）中的图象与横轴、纵轴分别相交于点A、B，点P在线段AB上（不与A，B重合），P到横轴、纵轴的距离分别为d1、d2，求d1，d2的取值范围．
【考点】一次函数的性质；一次函数的图象．
【分析】（1）根据函数的定义即可判定．
（2）先写出函数解析式，然后画出图象即可．
（3）利用函数图象即可解决问题．
【解答】解：（1））﹣2x+4是x的函数．
故答案为：是．
（2）由题意y=﹣2（3﹣a）+4，y=2a﹣2，图象如图所示，
（3）由图象可知，0＜d1＜2，0＜d2＜1．
27．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△APQ，点C的对应点Q落在AB边上．连接BP，过点P作PH垂直于射线CA，垂足为H．
（1）如图1，若点H与点A重合，求∠BPQ的度数；
（2）如图2，若点H在CA边上（不与点A重合），BC=x，请用含x的代数式表示AH；
（3）若∠APB=∠PAH，求AB的长．
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【考点】几何变换综合题．
【分析】（1）由旋转得到△ABC≌APQ，再判断出△APQ为等腰直角三角形，最后进行计算即可；
（2）先求出AB=，再用△ABC∽△PMQ，表示出AM，最后△AMH∽△ABC求出AH，
（3）先判断出△PAB和△ABD是等腰三角形，用△APB∽△DPA得到比例式列出方程，求解即可．
【解答】解：（1）由旋转得，△ABC≌APQ，
∴∠PAQ=∠BAC，AP=AB，AQ=AC，PQ=BC，PQ⊥AB，
∵PH⊥AC，
∴∠PAC=90°，
∴∠PAQ=∠BAC=45°，
∴△APQ为等腰直角三角形，
∴∠APQ=45°，
∵AP=AB，
∴∠APB=∠ABP=67.5°，
∴∠BPQ=∠APB﹣∠APQ=22.5°，
（2）由旋转得，AQ=AC=1，PQ=BC=x，
∴AB=，
设PH交AB于M，
∴△ABC∽△PMQ，
∴，
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∴，
∴MQ=x2，
∴AM=1﹣x2，
∵△AMH∽△ABC，
∴，
∴，
∴AH=，
（3）①当点H在线段AC上时，如图1，
延长PD交AC延长线于D，
∴∠PAB=∠BAC=∠PAH，∠APB=∠ABP，
∵∠PAH=∠APB，
∴∠APB=∠ABP=2∠PAB，
∴∠PAB=∠BAC=36°，∠APB=∠PAH=72°，
∴∠D=∠BAC=36°，
∴△PAB和△ABD是等腰三角形，
∴AP=AB=BD，AD=PD，
∵BC⊥AC，
∴PD=AD=2AC=2，
设AB=x，
∵△APB∽△DPA，
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∴，
∴，
∴PB=x2，
∵BD=PD﹣PB，
∴x=2﹣x2，
∴x=﹣1+或x=﹣1﹣（舍），
∴AB=﹣1+．
②当点H在射线CA上时，如图2，
∵∠APB=∠PAH，
∴PB∥HC，
∵∠H=∠C=90°，PA=AB，
∴△PAH≌△BAC，
∴AH=AC=1，
∵PA=BA，
∴∠APB=∠ABP=∠PAB，
∴△ADP∽△PAB，
设AB=x，
∴，
∴，
∴PB=x2，
∵BD=PB﹣PD，
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∴x=x2﹣2，
∴x=1+或x=1﹣（舍），
∴AB=1+．
∴AB=﹣1+或1+．
28．已知抛物线y=ax2+bx﹣3a的对称轴为直线x=1，且经过点（0，3）．
（1）求a，b的值；
（2）若抛物线与直线y=﹣（x﹣3）（m≠0）两交点的横坐标为x1，x2，n=x1+x2﹣2，P（1，y0），Q（x0，）两点在动点M（m，n）所形成的曲线上，求直线PQ的解析式；
（3）若抛物线与x轴交于A，B两点，C是x轴下方抛物线上的一点，∠ACB=45°，求点C的坐标．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）利用二次函数的对称轴的公式，和图象上点满足抛物线解析式，列方程求解即可；
（2）利用求两个函数图象的交点坐标是联立方程组求解，根据n=x1+x2﹣2求出m，n的函数关系式，再由点P，Q的坐标即可；
（3）根据△ABC的面积的两种求法，建立方程即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣3a经过点（0，3），
∴﹣3a=3，
∴a=﹣1
∵抛物线y=ax2+bx﹣3a的对称轴为直线x=1，
∴﹣=1，
∴b=2，
即：a=﹣1，b=2；
（2）由（1）有，a=﹣1，b=1，
∴抛物线y=﹣x2+2x+3，
∵抛物线与直线y=﹣（x﹣3）（m≠0）两交点的横坐标为x1，x2，
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∴﹣x2+2x+3=﹣（x﹣3），
∴x1=3，x2=﹣1，
∵n=x1+x2﹣2，
∴n=3+﹣1﹣2=，
∵P（1，y0），Q（x0，）两点在动点M（m，n）所形成的曲线上，
∴y0=1，x0=2，
∴P（1，1），Q（2，），
∴直线PQ的解析式为y=﹣x+；
（3）∵抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
设点C（c，d），
∴AB=4，AC=，BC=，
∴S△ABC=AB×|yc|=×4×|d|=2|d|，
S△ABC=AC×BCsin∠ACB=××，
∴2|d|=××①，
∵点C在抛物线y=﹣x2+2x+3上，
∴d=﹣c2+2c+3②
①②联立解得，d=0（舍）或d=﹣3，
∴c=1±，
∴C（1﹣，﹣3）或C（1+，﹣3）
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2017年2月22日
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