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2016年燕山区中考数学一模试题(含答案和解析)
资料简介
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2016年北京市燕山区中考数学一模试卷
一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．从2015年秋季学期起，北京110 000名初一新生通过“北京市初中实践活动管理服务平台”进行选课，参加“开放性科学实践活动”课程．将110 000用科学记数法表示应为（ ）
A．11×104 B．1.1×105 C．1.1×106 D．0.11×106
2．实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，其中互为相反数的两个数是（ ）
A．a和d B．a和c C．b和d D．b和c
3．2016年是中国农历丙申猴年，下列四个猴子头像中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．学校组织知识竞赛，共设有20道试题，其中有关中国优秀传统文化的试题10道，实践应用试题6道，创新能力试题4道．小捷从中任选一道试题作答，他选中创新能力试题的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，直线m∥n，∠1=70°，∠2=30°，则∠A等于（ ）
A．30° B．35° C．40° D．50°
6．为了解某种电动汽车一次充电后行驶的里程数，对其进行了抽检，统计结果如图所示，则在一次充电后行驶的里程数这组数据中，众数和中位数分别是（ ）
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A．220，220 B．220，210 C．200，220 D．230，210
7．为了加强视力保护意识，小明要在书房里挂一张视力表．由于书房空间狭小，他想根据测试距离为5m的大视力表制作一个测试距离为3m的小视力表．如图，如果大视力表中“E”的高度是3.5cm，那么小视力表中相应“E”的高度是（ ）
A．3cm B．2.5cm C．2.3cm D．2.1cm
8．象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏．如图，是一局象棋残局，已知表示棋子“馬”和“車”的点的坐标分别为（4，3），（﹣2，1），则表示棋子“炮”的点的坐标为（ ）
A．（﹣3，3） B．（3，2） C．（0，3） D．（1，3）
9．手工课上，老师将同学们分成A，B两个小组制作两个汽车模型，每个模型先由A组同学完成打磨工作，再由B组同学进行组装完成制作，两个模型每道工序所需时间如下：
工序
时间
模型
打磨（A组）
组装（B组）
模型甲
9分钟
5分钟
模型乙
6分钟
11分钟
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则这两个模型都制作完成所需的最短时间为（ ）
A．20分钟 B．22分钟 C．26分钟 D．31分钟
10．如图1，△ABC是一块等边三角形场地，点D，E分别是AC，BC边上靠近C点的三等分点．现有一个机器人（点P）从A点出发沿AB边运动，观察员选择了一个固定的位置记录机器人的运动情况．设AP=x，观察员与机器人之间的距离为y，若表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则观察员所处的位置可能是图1的（ ）
A．点B B．点C C．点D D．点E
二、填空题（本题共18分，每小题3分）
11．因式分解：a3﹣ab2= ．
12．如图，一个正n边形纸片被撕掉了一部分，已知它的中心角是40°，那么n= ．
13．关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根．请你写出一个满足条件的m值：m= ．
14．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，记有许多有趣而又不乏技巧的算术程式．其中记载：“今有甲、乙二人，持钱各不知数．甲得乙中半，可满四十八．乙得甲太半，亦满四十八．问甲、乙二人原持钱各几何？”
译文：“甲，乙两人各有若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文．如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱48文．问甲，乙二人原来各有多少钱？”
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设甲原有x文钱，乙原有y文钱，可列方程组为 ．
15．我国2010﹣2015年高铁运营里程情况统计如图所示，根据统计图提供的信息，预估2016年我国高铁运营里程约为 万公里，你的预估理由是 ．
16．阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
小敏的作法如下：
老师说：“小敏的作法正确．”
请回答：小敏的作图依据是 ．
三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
17．计算：（）﹣1+|﹣2|﹣2cos60°+（1﹣π）0．
18．解不等式组：．
19．如图，点C为AB中点，AD∥CE，AD=CE．求证：∠D=∠E．
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20．已知x2﹣4x﹣1=0，求代数式（2x﹣3）2﹣（x+1）（x﹣1）的值．
21．为应对雾霾天气，使师生有一个更加舒适的教学环境，学校决定为南北两幢教学楼安装空气净化器．南楼安装的55台由甲队完成，北楼安装的50台由乙队完成．已知甲队比乙队每天多安装两台，且两队同时开工，恰好同时完成任务．甲、乙两队每天各安装空气净化器多少台？
22．如图，△ABC中，AD是BC边的中线，分别过点B，D作AD，AB的平行线交于点E，且ED交AC于点F，AD=2DF．
（1）求证：四边形ABED为菱形；
（2）若BD=6，∠E=60°，求四边形ABED的面积．
23．如图，直线y=2x+n与双曲线y=（m≠0）交于A，B两点，且点A的坐标为（1，4）．
（1）求m，n的值；
（2）过x轴上一点M作平行于y轴的直线l，分别与直线y=2x+n和双曲线y=（m≠0）交于点P，Q，若PQ=2QM，求点M的坐标．
24．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上不同于A，B的两点，过点C作⊙
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O的切线CF交直线AB于点F，直线DB⊥CF于点E．
（1）求证：∠ABD=2∠CAB；
（2）若BF=5，sin∠F=，求BD的长．
25．阅读下列材料：
数学课程内容分为“数与代数”、“图形与几何”、“统计与概率”、“综合与实践”四个领域，其中“综合与实践”领域通过探讨一些具有挑战性的研究问题，给我们创造了可以动手操作、探究学习、认识数学知识间的联系、发展应用数学知识解决问题的意识和能力的机会．“综合与实践”领域在人教版七﹣九年级6册数学教材中共安排了约40课时的内容，主要有“数学制作与设计”、“数学探究与实验”、“数学调查与测量”、“数学建模”等活动类型，所占比例大约为30%，20%，40%，10%．这些活动以“课题学习”、“数学活动”和“拓广探索类习题”等形式分散于各章之中．“数学活动”几乎每章后都有2～3个，共60个，其中七年级22个，八年级19个；“课题学习”共7个，其中只有八年级下册安排了“选择方案”和“体质健康测试中的数据分析”2个内容，其他5册书中都各有1个；七上﹣九下共6册书中“拓广探索类习题”数量分别为44，39，46，35，37，23．
根据以上材料回答下列问题：
（1）人教版七﹣九年级数学教材中，“数学调查与测量”类活动约占 课时；
（2）选择统计表或统计图，将人教版七﹣九年级数学教材中“课题学习”、“数学活动”和“拓广探索类习题”的数量表示出来．
26．如图1，四边形ABCD中，AB=AD，BC=CD，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．请探究“筝形”的性质和判定方法．小聪根据学习四边形的经验，对“筝形”的判定和性质进行了探究．
下面是小聪的探究过程，请补充完整：
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（1）如图2，连接筝形ABCD的对角线AC，BD交于点O，通过测量边、角或沿一条对角线所在直线折叠等方法探究发现筝形有一组对角相等，请写出筝形的其他性质（一条即可）： ，这条性质可用符号表示为： ；
（2）从边、角、对角线或性质的逆命题等角度进行探究，写出筝形的一个判定方法（定义除外），并证明你的结论．
27．抛物线C1：y=a（x+1）（x﹣3a）（a＞0）与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线C1的解析式及A，B点坐标；
（2）将抛物线C1向上平移3个单位长度，再向左平移n（n＞0）个单位长度，得到抛物线C2，若抛物线C2的顶点在△ABC内，求n的取值范围．
28．在等边△ABC外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为D，连接AD，BD，CD，其中CD交直线AP于点E．设∠PAB=α，∠ACE=β，∠AEC=γ．
（1）依题意补全图1；
（2）若α=15°，直接写出β和γ的度数；
（3）如图2，若60°＜α＜120°，
①判断α，β的数量关系并加以证明；
②请写出求γ大小的思路．（可以不写出计算结果）
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29．在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：若点P在图形M上，点Q在图形N上，称线段PQ长度的最小值为图形M，N的密距，记为d（M，N）．特别地，若图形M，N有公共点，规定d（M，N）=0．
（1）如图1，⊙O的半径为2，
①点A（0，1），B（4，3），则d（A，⊙O）= ，d（B，⊙O）= ．
②已知直线l：y=与⊙O的密距d（l，⊙O）=，求b的值．
（2）如图2，C为x轴正半轴上一点，⊙C的半径为1，直线y=﹣与x轴交于点D，与y轴交于点E，线段DE与⊙C的密距d（DE，⊙C）＜．请直接写出圆心C的横坐标m的取值范围．
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参考答案与试题解析
一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．从2015年秋季学期起，北京110 000名初一新生通过“北京市初中实践活动管理服务平台”进行选课，参加“开放性科学实践活动”课程．将110 000用科学记数法表示应为（ ）
A．11×104 B．1.1×105 C．1.1×106 D．0.11×106
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：110 000用科学记数法表示应为1.1×105，
故选B．
2．实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，其中互为相反数的两个数是（ ）
A．a和d B．a和c C．b和d D．b和c
【考点】实数与数轴．
【分析】根据相反数位于原点的两侧且到原点的距离相等，可得答案．
【解答】解：由相反数位于原点的两侧且到原点的距离相等，得
a与d互为相反数，
故选：A．
3．2016年是中国农历丙申猴年，下列四个猴子头像中，是轴对称图形的是（ ）
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A． B． C． D．
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，故此选项正确；
D、不是轴对称图形，故此选项错误；
故选：C．
4．学校组织知识竞赛，共设有20道试题，其中有关中国优秀传统文化的试题10道，实践应用试题6道，创新能力试题4道．小捷从中任选一道试题作答，他选中创新能力试题的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】概率公式．
【分析】根据共设有20道试题，其中创新能力试题4道，再根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：∵共设有20道试题，其中创新能力试题4道，
∴他选中创新能力试题的概率是=；
故选D．
5．如图，直线m∥n，∠1=70°，∠2=30°，则∠A等于（ ）
A．30° B．35° C．40° D．50°
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【考点】平行线的性质．
【分析】首先根据平行线的性质求出∠3的度数，然后根据三角形的外角的知识求出∠A的度数．
【解答】解：如图，∵直线m∥n，
∴∠1=∠3，
∵∠1=70°，
∴∠3=70°，
∵∠3=∠2+∠A，∠2=30°，
∴∠A=40°，
故选C．
6．为了解某种电动汽车一次充电后行驶的里程数，对其进行了抽检，统计结果如图所示，则在一次充电后行驶的里程数这组数据中，众数和中位数分别是（ ）
A．220，220 B．220，210 C．200，220 D．230，210
【考点】众数；条形统计图；中位数．
【分析】根据众数与中位数的定义，找出出现次数最多的数，把这组数据从小到大排列，求出最中间两个数的平均数即可．
【解答】解：数据220出现了4次，最多，
故众数为220，
共1+2+3+4=10个数，
排序后位于第5和第6位的数均为220，
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故中位数为220，
故选A．
7．为了加强视力保护意识，小明要在书房里挂一张视力表．由于书房空间狭小，他想根据测试距离为5m的大视力表制作一个测试距离为3m的小视力表．如图，如果大视力表中“E”的高度是3.5cm，那么小视力表中相应“E”的高度是（ ）
A．3cm B．2.5cm C．2.3cm D．2.1cm
【考点】相似三角形的应用．
【分析】直接利用平行线分线段成比例定理列比例式，代入可得结论．
【解答】解：由题意得：CD∥AB，
∴=，
∵AB=3.5cm，BE=5m，DE=3m，
∴，
∴CD=2.1cm，
故选D．
8．象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏．如图，是一局象棋残局，已知表示棋子“馬”和“車”的点的坐标分别为（4，3），（﹣2，1），则表示棋子“炮”的点的坐标为（ ）
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A．（﹣3，3） B．（3，2） C．（0，3） D．（1，3）
【考点】坐标确定位置．
【分析】根据棋子“馬”和“車”的点的坐标可得出原点的位置，进而得出答案．
【解答】解：如图所示：棋子“炮”的点的坐标为：（1，3）．
故选：D．
9．手工课上，老师将同学们分成A，B两个小组制作两个汽车模型，每个模型先由A组同学完成打磨工作，再由B组同学进行组装完成制作，两个模型每道工序所需时间如下：
工序
时间
模型
打磨（A组）
组装（B组）
模型甲
9分钟
5分钟
模型乙
6分钟
11分钟
则这两个模型都制作完成所需的最短时间为（ ）
A．20分钟 B．22分钟 C．26分钟 D．31分钟
【考点】推理与论证．
【分析】分两种情况，①当A组先打磨模型甲共需26分钟．②当A组先打磨模型乙共需22分钟．再比较大小即可．
【解答】解：①
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当A组先打磨模型甲需要9分钟，然后B组装模型甲需要5分钟，在这5分钟内，A组已打磨模型乙用了5分钟，还需等1分钟，B才能组装模型乙，之后B组在组装模型乙需要11分钟，则整个过程用时9+5+1+11=26分钟．
②当A组先打磨模型乙需要6分钟，然后B组装模型乙需要9分钟，在这11分钟内，A组已打磨好模型甲，因为A组打磨模型甲只需要9分钟，之后B组在组装模型甲需要5分钟，则整个过程用时6+11+5=22分钟．
而26＞22，
∴这两个模型都制作完成所需的最短时间为22分钟，
故选B．
10．如图1，△ABC是一块等边三角形场地，点D，E分别是AC，BC边上靠近C点的三等分点．现有一个机器人（点P）从A点出发沿AB边运动，观察员选择了一个固定的位置记录机器人的运动情况．设AP=x，观察员与机器人之间的距离为y，若表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则观察员所处的位置可能是图1的（ ）
A．点B B．点C C．点D D．点E
【考点】动点问题的函数图象．
【分析】根据题意可以得到当观察员分别处于选项中的各点时，y随x的增大如何变化，从而可以得到哪个选项是正确的．
【解答】解：当观察员所处的位置在点B时，y随x的增大而减小，与图2不符，故选项A错误；
当观察员所处的位置在点C时，y随x的增大先减小再增大，且减小与增大的距离相等，故选B错误；
当观察员所处的位置在点D时，y随x的增大先减小再增大，由大变小的距离小于由小变大的距离，故选项C正确；
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当观察员所处的位置在点E时，y随x的增大先减小再增大，由大变小的距离大于由小变大的距离，故选项D错误；
故选C．
二、填空题（本题共18分，每小题3分）
11．因式分解：a3﹣ab2= a（a+b）（a﹣b） ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】观察原式a3﹣ab2，找到公因式a，提出公因式后发现a2﹣b2是平方差公式，利用平方差公式继续分解可得．
【解答】解：a3﹣ab2=a（a2﹣b2）=a（a+b）（a﹣b）．
12．如图，一个正n边形纸片被撕掉了一部分，已知它的中心角是40°，那么n= 9 ．
【考点】正多边形和圆．
【分析】利用360度除以中心角的度数即可求得．
【解答】解：∵正n边形的中心角==40°，
n==9．
故答案为：9．
13．关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根．请你写出一个满足条件的m值：m= 0 ．
【考点】根的判别式．
【分析】若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△=b2﹣4ac＞0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．
【解答】解：∵方程有两个不相等的实数根，a=1，b=﹣2，c=m，
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∴△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×m＞0，
解得m＜1，
故答案是：0．
14．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，记有许多有趣而又不乏技巧的算术程式．其中记载：“今有甲、乙二人，持钱各不知数．甲得乙中半，可满四十八．乙得甲太半，亦满四十八．问甲、乙二人原持钱各几何？”
译文：“甲，乙两人各有若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文．如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱48文．问甲，乙二人原来各有多少钱？”
设甲原有x文钱，乙原有y文钱，可列方程组为 ．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【分析】设甲原有x文钱，乙原有y文钱，根据题意可得，甲的钱+乙的钱的一半=48文钱，乙的钱+甲所有钱的=48文钱，据此列方程组可得．
【解答】解：设甲原有x文钱，乙原有y文钱，
根据题意，得：，
故答案为：．
15．我国2010﹣2015年高铁运营里程情况统计如图所示，根据统计图提供的信息，预估2016年我国高铁运营里程约为 2.2 万公里，你的预估理由是 每年平均增长量近似相等 ．
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【考点】用样本估计总体；折线统计图．
【分析】根据折线统计图可以预估2016年我国高铁运营里程约为多少公里，以及预估的理由，本题得以解决．
【解答】解：由折线统计图可得，
预估2016年我国高铁运营里程约为：1.9+（1.9﹣1.6）=1.9+0.3=2.2万公里，理由是：每年平均增长量近似相等，
故答案为：2.2，每年平均增长量近似相等．
16．阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
小敏的作法如下：
老师说：“小敏的作法正确．”
请回答：小敏的作图依据是 对角线互相平分的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形 ．
【考点】作图—复杂作图．
【分析】直接利用平行四边形的判定方法结合矩形的判定进而得出答案．
【解答】
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解：小敏的作图依据是：对角线互相平分的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形．
故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形．
三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
17．计算：（）﹣1+|﹣2|﹣2cos60°+（1﹣π）0．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
【分析】本题涉及负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：（）﹣1+|﹣2|﹣2cos60°+（1﹣π）0
=2+2﹣2×+1
=2+2﹣1+1
=4．
18．解不等式组：．
【考点】解一元一次不等式组．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式x+1≤5，得：x≤4，
解不等式7﹣4x＜1，得：x＞，
∴原不等式组的解集为＜x≤4．
19．如图，点C为AB中点，AD∥CE，AD=CE．求证：∠D=∠E．
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【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】根据题意证明△ADC≌△CEB，得到∠D=∠E即可解决问题．
【解答】证明：∵点C为AB中点，
∴AC=CB，
∵AD∥CE，
∴∠A=∠ECB，
在△ADC与△ECB中，
，
∴△ADC≌△ECB（SAS），
∴∠D=∠E．
20．已知x2﹣4x﹣1=0，求代数式（2x﹣3）2﹣（x+1）（x﹣1）的值．
【考点】整式的混合运算—化简求值．
【分析】原式利用完全平方公式，平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．
【解答】解：原式=4x2﹣12x+9﹣x2+1=3x2﹣12x+10=3（x2﹣4x）+10，
由x2﹣4x﹣1=0，得到x2﹣4x=1，
则原式=3+10=13．
21．为应对雾霾天气，使师生有一个更加舒适的教学环境，学校决定为南北两幢教学楼安装空气净化器．南楼安装的55台由甲队完成，北楼安装的50台由乙队完成．已知甲队比乙队每天多安装两台，且两队同时开工，恰好同时完成任务．甲、乙两队每天各安装空气净化器多少台？
【考点】分式方程的应用．
【分析】设乙队每天安装x台，则甲队每天安装（x+
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2）台，根据两队同时开工，恰好同时完成任务，即所用的时间相等，即可列方程求解．
【解答】解：设乙队每天安装x台，则甲队每天安装（x+2）台．
由题意得：，解得：x=20．
经检验：x=20是原方程的根，
则x+2=22．
答：甲队每天安装22台，乙队每天安装20台．
22．如图，△ABC中，AD是BC边的中线，分别过点B，D作AD，AB的平行线交于点E，且ED交AC于点F，AD=2DF．
（1）求证：四边形ABED为菱形；
（2）若BD=6，∠E=60°，求四边形ABED的面积．
【考点】菱形的判定．
【分析】（1）先证明四边形ABED是平行四边形，利用三角形中位线定理可以证明AD=AB即可．
（2）求出菱形的对角线即可求面积．
【解答】（1）证明：∵AD是BC边中线，
∴DC=DB，DF∥AB，
∴CF=FA，
∴AB=2DF，
∵AD=2DF，
∴AB=AD，
∵AD∥BE，DE∥AB，
∴四边形ABED是平行四边形，∵AD=AB，
∴四边形ABED是菱形．
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（2）连接AE交BD于O，∵∠DEB=60°，四边形ABED是菱形，
∴△BDE、△ABD是等边三角形，DO=BO=3，
在RT△DOE中，∵DO=3，∠EDO=60°，DE=6，
∴EO===3，
∴AE=2EO=6，
∴S菱形ABED=•AE•BD=×6×6=18．
23．如图，直线y=2x+n与双曲线y=（m≠0）交于A，B两点，且点A的坐标为（1，4）．
（1）求m，n的值；
（2）过x轴上一点M作平行于y轴的直线l，分别与直线y=2x+n和双曲线y=（m≠0）交于点P，Q，若PQ=2QM，求点M的坐标．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）把点A的坐标为（1，4）代入y=（m≠0），求得m=4，代入y=2x+n中得n=2；
（2）设M（a，0），表示出P（a，2a+2），Q（a，），根据PQ=2QD，列方程|2a+2﹣
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|=|2×，解得a=2，a=﹣3，即可得到结果．
【解答】解：（1）∵直线y=2x+n与双曲线y=（m≠0）交于A，B两点，
∴把A（1，4）代入y=（m≠0），得m=4，
把A（1，4）代入y=2x+n中得n=2；
（2）设M（a，0），
∵l∥y轴，
∴P（a，2a+2），Q（a，），
∵PQ=2QD，
∴|2a+2﹣|=|2×|，
解得：a=2或a=﹣3，
∴M（﹣3，0）或（2，0）．
24．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上不同于A，B的两点，过点C作⊙O的切线CF交直线AB于点F，直线DB⊥CF于点E．
（1）求证：∠ABD=2∠CAB；
（2）若BF=5，sin∠F=，求BD的长．
【考点】切线的性质．
【分析】（1）连接OC，根据等腰三角形性质和外角的性质得出∠2=2∠CAB，根据切线的性质得出OC⊥CF，即可证得OC∥DB，根据平行线的性质得出∠ABD=∠2，即可证得∠ABD=2∠CAB；
（2）连接AD，根据圆周角定理得出AD⊥DE，即可证得AD∥CF，根据平行线的性质得出∠3=∠F，从而证得△FBE∽△FOC，根据三角形相似的性质求得半径，然后通过解直角三角形即可求得BD的长．
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【解答】（1）证明：连接OC，
∵OA=OC，
∴∠CAB=∠1，
∴∠2=∠CAB+∠1=2∠CAB，
∵CF切⊙O于C，OC是⊙O的半径，
∴OC⊥CF，
∵DB⊥CF，
∴OC∥DB，
∴∠ABD=∠2，
∴∠ABD=2∠CAB；
（2）解：连接AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥DE，
∵DE⊥CF，
∴AD∥CF，
∴∠3=∠F，
在RT△BEF中，∵∠BEF=90°，BF=5，sin∠F=，
∴BE=BF•sin∠F=5×=3，
∵OC∥BE，
∴△FBE∽△FOC，
∴=，
设⊙O的半径为r，则=，
解得r=，
在RT△ABD中，∠ADB=90°，AB=2r=15，sin∠3=sin∠F=，
∴BD=AB•sin∠3=15×=9．
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25．阅读下列材料：
数学课程内容分为“数与代数”、“图形与几何”、“统计与概率”、“综合与实践”四个领域，其中“综合与实践”领域通过探讨一些具有挑战性的研究问题，给我们创造了可以动手操作、探究学习、认识数学知识间的联系、发展应用数学知识解决问题的意识和能力的机会．“综合与实践”领域在人教版七﹣九年级6册数学教材中共安排了约40课时的内容，主要有“数学制作与设计”、“数学探究与实验”、“数学调查与测量”、“数学建模”等活动类型，所占比例大约为30%，20%，40%，10%．这些活动以“课题学习”、“数学活动”和“拓广探索类习题”等形式分散于各章之中．“数学活动”几乎每章后都有2～3个，共60个，其中七年级22个，八年级19个；“课题学习”共7个，其中只有八年级下册安排了“选择方案”和“体质健康测试中的数据分析”2个内容，其他5册书中都各有1个；七上﹣九下共6册书中“拓广探索类习题”数量分别为44，39，46，35，37，23．
根据以上材料回答下列问题：
（1）人教版七﹣九年级数学教材中，“数学调查与测量”类活动约占 16 课时；
（2）选择统计表或统计图，将人教版七﹣九年级数学教材中“课题学习”、“数学活动”和“拓广探索类习题”的数量表示出来．
【考点】统计图的选择；统计表．
【分析】（1）用“数学调查与测量”类活动课时数=总课时×该活动所占百分比；
（2）列表可得．
【解答】解：（1）“数学调查与测量”类活动约为：40×40%=16（课时）；
（2）列表如图：
课题学习
数学活动
拓展探究类习题
七年级
2
22
83
八年级
3
19
81
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九年级
2
19
60
故答案为：（1）16．
26．如图1，四边形ABCD中，AB=AD，BC=CD，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．请探究“筝形”的性质和判定方法．小聪根据学习四边形的经验，对“筝形”的判定和性质进行了探究．
下面是小聪的探究过程，请补充完整：
（1）如图2，连接筝形ABCD的对角线AC，BD交于点O，通过测量边、角或沿一条对角线所在直线折叠等方法探究发现筝形有一组对角相等，请写出筝形的其他性质（一条即可）： 对角线互相垂直 ，这条性质可用符号表示为： 已知四边形ABCD是筝形，则AC⊥BD． ；
（2）从边、角、对角线或性质的逆命题等角度进行探究，写出筝形的一个判定方法（定义除外），并证明你的结论．
【考点】翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）根据筝形的定义可以证明△BAC≌△DAC，依据全等三角形的性质即可证得边和对角线的关系；
（2）利用△BAC≌△DAC，根据边、角、对角线的性质证得．
【解答】解：（1）筝形的性质：两组邻边分别相等；
对角线互相垂直，即已知四边形ABCD是筝形，则AC⊥BD；
有一条对角线被另一条平分；
有一条对角线平分对角；
是轴对称图形．（写出一条即可）；
故答案是：对角线互相垂直；已知四边形ABCD是筝形，则AC⊥BD；
（2）筝形的判定方法：有一条对角线平分一组对角的四边形是筝形．
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已知：四边形ABCD中，AC是一条对角线，∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA．
求证：四边形ABCD是筝形．
证明：在△BAC和△DAC中，
，
∴△BAC≌△DAC，
∴AB=AD，BC=CD，即四边形ABCD是筝形．
其他正确的判定方法：
有一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形是筝形；
有一组邻边相等且互相垂直的四边形是筝形．
27．抛物线C1：y=a（x+1）（x﹣3a）（a＞0）与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线C1的解析式及A，B点坐标；
（2）将抛物线C1向上平移3个单位长度，再向左平移n（n＞0）个单位长度，得到抛物线C2，若抛物线C2的顶点在△ABC内，求n的取值范围．
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】（1）根据已知点的坐标代入已知的函数的解析式即可利用待定系数法确定二次函数的解析式；
（2）首先根据平移确定平移后的函数的解析式，然后确定抛物线C2的顶点坐标；结合图形确定n的取值范围即可．
【解答】解：（1）∵抛物线C1：y=a（x+1）（x﹣3a）y轴交于点C（0，﹣3），
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∴﹣3=a（0+1）（0﹣3a），
解得a=1（舍去负值）．
∴抛物线C1的解析式为：y=（x+1）（x﹣3）．
∴A（﹣1，0），B（3，0）；
（2）∵y=（x+1）（x﹣3）=（x﹣1）2﹣4，
∴该抛物线的解析式为y=（x﹣1）2﹣4，则该抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）．
将（1）中求得的抛物线向上平移3个单位长度，
再向左平移n（n＞0）个单位长度得到新抛物线y=（x﹣1+n）2﹣1，
∴平移后抛物线的顶点坐标是（1﹣n，﹣1），
∴﹣1＜1﹣n＜3，
解得﹣2＜n＜2．
28．在等边△ABC外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为D，连接AD，BD，CD，其中CD交直线AP于点E．设∠PAB=α，∠ACE=β，∠AEC=γ．
（1）依题意补全图1；
（2）若α=15°，直接写出β和γ的度数；
（3）如图2，若60°＜α＜120°，
①判断α，β的数量关系并加以证明；
②请写出求γ大小的思路．（可以不写出计算结果）
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【考点】三角形综合题．
【分析】（1）由题意补全图形即可；
（2）利用对称的性质计算出∠DAP，再利用等边三角形的性质，利用三角形的内角和计算即可；
（3）先判断出，点B，C，D，在以A为圆心的圆上，再利用圆周角的特点计算即可．
【解答】解：（1）补全图形，如图1所示，
（2）∵点B关于直线AP的对称点为D，
∴∠DAP=∠BAP=15°，AD=AC
∴∠DAB=30°，
∵∠BAC=60°，
∴∠DAC=90°，
∴β=∠ACE=∠ADE=45°，
∵∠BAP=15°，∠BAC=60°，
∴γ=∠AEC=180°﹣（∠BAP+∠BAC）﹣∠ACE=60°；
（3）①α=β+60°；
理由如下：
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∵点D与点B关于直线AP对称，
∴AD=AB，∠PAD=∠PAB=α，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，AB=AC，
∴AD=AB=AC，
∴点B，C，D，在以A为圆心的圆上，
∴∠BAD=2∠BCD，
∵∠BAD=∠PAD+∠PAB=2α，
∠BCD=∠ACE+∠BCA=β+60°，
∴2α=2（β+60°），
∴α=β+60°；
②由②知，∠PAB=∠BCD，
∴A，B，C，E四点共圆，
∴∠AEC+∠ABC=180°，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∴∠AEC=180°﹣∠ABC=120°
∴γ=∠AEC=120°．
29．在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：若点P在图形M上，点Q在图形N上，称线段PQ长度的最小值为图形M，N的密距，记为d（M，N）．特别地，若图形M，N有公共点，规定d（M，N）=0．
（1）如图1，⊙O的半径为2，
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①点A（0，1），B（4，3），则d（A，⊙O）= 1 ，d（B，⊙O）= 3 ．
②已知直线l：y=与⊙O的密距d（l，⊙O）=，求b的值．
（2）如图2，C为x轴正半轴上一点，⊙C的半径为1，直线y=﹣与x轴交于点D，与y轴交于点E，线段DE与⊙C的密距d（DE，⊙C）＜．请直接写出圆心C的横坐标m的取值范围．
【考点】圆的综合题．
【分析】（1）①连接OB，如图1①，只需求出OA、OB就可解决问题；
②设直线l：y=与x轴、y轴分别交于点P、Q，过点O作OH⊥PQ于H，设OH与⊙O交于点G，如图1②，可用面积法求出OH，然后根据条件建立关于b的方程，然后解这个方程就可解决问题；
（2）过点C作CN⊥DE于N，如图2．易求出点D、E的坐标，从而可得到OD、OE，然后运用三角函数可求出∠ODE，然后分三种情况（①点C在点D的左边，②点C与点D重合，③点C在点D的右边）讨论，就可解决问题．
【解答】解：（1）①连接OB，过点B作BT⊥x轴于T，如图1①，
∵⊙O的半径为2，点A（0，1），
∴d（A，⊙O）=2﹣1=1．
∵B（4，3），
∴OB==5，
∴d（B，⊙O）=5﹣2=3．
故答案为1，3；
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②设直线l：y=与x轴、y轴分别交于点P、Q，过点O作OH⊥PQ于H，设OH与⊙O交于点G，如图1②，
∴P（﹣b，0），Q（0，b），
∴OP=|b|，OQ=|b|，
∴PQ=|b|．
∵S△OPQ=OP•OQ=PQ•OH，
∴OH==|b|．
∵直线l：y=与⊙O的密距d（l，⊙O）=，
∴|b|=2+=，
∴b=±4；
（2）过点C作CN⊥DE于N，如图2．
∵点D、E分别是直线y=﹣与x轴、y轴的交点，
∴D（4，0），E（0，），
∴OD=4，OE=，
∴tan∠ODE==，
∴∠ODE=30°．
①当点C在点D左边时，m＜4．
∵xC=m，
∴CD=4﹣m，
∴CN=CD•sin∠CDN=（4﹣m）=2﹣m．
∵线段DE与⊙C的密距d（DE，⊙C）＜，
∴0＜2﹣m＜+1，
∴1＜m＜4；
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②当点C与点D重合时，m=4．
此时d（DE，⊙C）=0．
③当点C在点D的右边时，m＞4．
∵线段DE与⊙C的密距d（DE，⊙C）＜，
∴CD＜，
∴m﹣4＜+1，
∴m＜
∴4＜m＜．
综上所述：1＜m＜．
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2017年2月22日
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