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2016中考数学二模试题（北京市燕山区带答案和解析）
资料简介
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2016年北京市燕山区中考数学二模试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．抛物线y=（x﹣3）2﹣1的顶点坐标是（ ）
A．（3，1） B．（3，﹣1） C．（﹣3，1） D．（﹣3，﹣1）
2．在下列四组线段中，不能组成直角三角形的是 （ ）
A．a=2 b=3 c=4 B．a=6 b=8 c=10 C．a=3 b=4 c=5 D．a=1 b= c=2
3．如图，在▱ABCD中，CE⊥AB，且E为垂足．如果∠D=75°，则∠BCE=（ ）
A．105° B．15° C．30° D．25°
4．二次函数y=﹣x2+2x+4的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．已知一次函数y=3x+3，当函数值y＞0 时，自变量的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m=0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m≥﹣1 B．m＜1 C．m≤1 D．m≤﹣1
7．园林队在某公园进行绿化，中间休息了一段时间．已知绿化面积S（单位：平方米）与工作时间t（单位：小时）的函数关系的图象如图，则休息后园林队每小时绿化面积为（ ）
A．40平方米 B．50平方米 C．80平方米 D．100平方米
8．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于E，AE=EB=EC=a，且a是一元二次方程x2+
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2x﹣3=0的根，则▱ABCD的周长为（ ）
A．4+2 B．12+6 C．2+2 D．2+或12+6
9．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的关系式为（ ）
A．y=60 B．y=（60﹣x）
C．y=300（60﹣20x） D．y=（60﹣x）
10．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过点A（1，0），且当x=0和x=5时所对应的函数值相等．则一次函数y=bx+c的图象是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）
11．若有意义，则x的取值范围是 ．
12．若把函数y=x2﹣2x﹣3化为y=（x﹣m）2+k的形式，其中m，k为常数，则m+k= ．
13．如图，在平行四边形ABCD中，AB=3，BC=5，∠B的平分线BE交AD于点E，则DE的长为 ．
14．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=mx2﹣2mx﹣2（m≠0）与y轴交于点 A，其对称轴与x轴交于点B．则点A，B 的坐标分别为 ， ．
15．关于x的一元二次方程ax2+bx+=0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，b的值：a= ，b= ．
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16．某地中国移动“全球通”与“神州行”收费标准如下表：
品牌
月租费
本地话费（元/分钟）
长途话费（元/分钟）
全球通
13元
0.35
0.15
神州行
0元
0.60
0.30
如果小明每月拨打本地电话时间是长途电话时间的2倍，且每月总通话时间在65～70分钟之间，那么他选择 较为省钱（填“全球通”或“神州行”）．
计算
17．计算：
（1）﹣；
（2）（+5）．
解方程
18．2x2﹣5x+2=0（配方法）
19．已知：如图，E，F是▱ABCD的对角线AC上的两点，BE∥DF，求证：AF=CE．
六、解答题（共1小题，满分4分）
20．已知：点P是一次函数y=﹣2x+8的图象上一点，如果图象与x轴交于Q点，且△OPQ的面积等于6，求P点的坐标．
21．已知抛物线 y=x2﹣2x﹣3
（1）此抛物线的顶点坐标是 ，与x轴的交点坐标是 ，
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，与y轴交点坐标是 ，对称轴是
（2）在平面直角坐标系中画出y=x2﹣2x﹣3的图象；
（3）结合图象，当x取何值时，y随x的增大而减小．
22．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+1（k≠0）与y轴交于点A．直线y=x+5与y=kx+1（k≠0）交于点B，与y轴交于点C，点B的横坐标为﹣1．
（1）求直线y=kx+1的表达式；
（2）直线y=x+5、直线y=kx+1与y轴围成的△ABC的面积等于多少？
23．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k=0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）当方程有一个根为5时，求k的值．
24．已知：如图，菱形ABCD 中，过AD 的中点 E作AC 的垂线EF，交AB 于点 M，交CB 的延长线于点F．如果FB的长是，∠AEM=30°．求菱形ABCD 的周长和面积．
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25．2002 年国际数学家大会在中国北京举行，这是21 世纪全世界数学家的第一次大聚会．这次大会的会徽就是如图，选定的是我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图，可以说是充分肯定了我国数学的成就，也弘扬了我国古代的数学文化．弦图是由四个全等的直角三角形和中间的 小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，那么你能求出（a+b）2 的值吗？
26．如图，四边形ABCD是矩形，点E在BC边上，点F在BC延长线上，且∠CDF=∠BAE．
（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；
（2）若DF=3，DE=4，AD=5，求CD的长度．
27．已知抛物线y=x2+（m﹣2）x+2m﹣6的对称轴为直线x=1，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求m的值；
（2）直线l经过B、C两点，求直线l的解析式．
28．如图，△ABC中，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于D，BD=4，DC=6，求AD的长．
小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题．
请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：
（1）分别以AB、AC为对称轴，画出△ABD、△ACD的轴对称图形，D点的对称点为E、F，延长EB、FC相交于G点，证明四边形AEGF是正方形；
（2）设AD=x，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出x的值．
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29．如图，点P（x，y1）与Q（x，y2）分别是两个函数图象C1与C2上的任一点．当a≤x≤b时，有﹣1≤y1﹣y2≤1成立，则称这两个函数在a≤x≤b上是“相邻函数”，否则称它们在a≤x≤b上是“非相邻函数”．例如，点P（x，y1）与Q （x，y2）分别是两个函数y=3x+1与y=2x﹣1图象上的任一点，当﹣3≤x≤﹣1时，y1﹣y2=（3x+1）﹣（2x﹣1）=x+2，通过构造函数y=x+2并研究它在﹣3≤x≤﹣1上的性质，得到该函数值的范围是﹣1≤y≤1，所以﹣1≤y1﹣y2≤1成立，因此这两个函数在﹣3≤x≤﹣1上是“相邻函数”．
（1）判断函数y=3x+1与y=2x+2在0≤x≤2上是否为“相邻函数”，并说明理由；
（2）若函数y=x2﹣x与y=x•a在0≤x≤2上是“相邻函数”，求a的取值范围．
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2016年北京市燕山区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．抛物线y=（x﹣3）2﹣1的顶点坐标是（ ）
A．（3，1） B．（3，﹣1） C．（﹣3，1） D．（﹣3，﹣1）
【考点】二次函数的性质．
【分析】根据二次函数的顶点式，可得顶点坐标．
【解答】解：由y=（x﹣3）2﹣1得顶点坐标是（3，﹣1），
故选：B．
2．在下列四组线段中，不能组成直角三角形的是 （ ）
A．a=2 b=3 c=4 B．a=6 b=8 c=10 C．a=3 b=4 c=5 D．a=1 b= c=2
【考点】勾股定理的逆定理．
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【解答】解：A、22+32≠42，故不能组成直角三角形，符合题意；
B、62+82=102，故是直角三角形，不符合题意；
C、32+42=52，故是直角三角形，不符合题意；
D、12+（）2=22，故是直角三角形，不符合题意．
故选A．
3．如图，在▱ABCD中，CE⊥AB，且E为垂足．如果∠D=75°，则∠BCE=（ ）
A．105° B．15° C．30° D．25°
【考点】平行四边形的性质．
【分析】由平行四边形ABCD的性质得出∠B=75°，又由CE⊥
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AB，即可求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D=75°，
∵CE⊥AB，
∴∠BCE=90°﹣∠B=15°．
故选：B．
4．二次函数y=﹣x2+2x+4的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】二次函数的最值．
【分析】先利用配方法得到y=﹣（x﹣1）2+5，然后根据二次函数的最值问题求解．
【解答】解：y=﹣（x﹣1）2+5，
∵a=﹣1＜0，
∴当x=1时，y有最大值，最大值为5．
故选：C．
5．已知一次函数y=3x+3，当函数值y＞0 时，自变量的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】一次函数的性质；在数轴上表示不等式的解集．
【分析】首先根据一次函数值y＞0可得不等式3x+3＞0，求出不等式的解，进而可得答案．
【解答】解：∵y=3x+3，
∴函数值y＞0 时，3x+3＞0，
解得：x＞﹣1，
在数轴上表示为：，
故选：D．
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6．若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m=0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m≥﹣1 B．m＜1 C．m≤1 D．m≤﹣1
【考点】根的判别式．
【分析】方程有实数根，则△≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．
【解答】解：△=4+4m≥0，
∴m≥﹣1．
故选A
7．园林队在某公园进行绿化，中间休息了一段时间．已知绿化面积S（单位：平方米）与工作时间t（单位：小时）的函数关系的图象如图，则休息后园林队每小时绿化面积为（ ）
A．40平方米 B．50平方米 C．80平方米 D．100平方米
【考点】函数的图象．
【分析】根据图象可得，休息后园林队2小时绿化面积为160﹣60=100平方米，然后可得绿化速度．
【解答】解：根据图象可得，休息后园林队2小时绿化面积为160﹣60=100平方米，
每小时绿化面积为100÷2=50（平方米）．
故选：B．
8．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于E，AE=EB=EC=a，且a是一元二次方程x2+2x﹣3=0的根，则▱ABCD的周长为（ ）
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A．4+2 B．12+6 C．2+2 D．2+或12+6
【考点】平行四边形的性质；解一元二次方程-因式分解法．
【分析】先解方程求得a，再根据勾股定理求得AB，从而计算出▱ABCD的周长即可．
【解答】解：∵a是一元二次方程x2+2x﹣3=0的根，
∴a2+2a﹣3=0，即（a﹣1）（a+3）=0，
解得，a=1或a=﹣3（不合题意，舍去）．
∴AE=EB=EC=a=1．
在Rt△ABE中，AB===，
∴BC=EB+EC=2，
∴▱ABCD的周长═2（AB+BC）=2（+2）=4+2．
故选A．
9．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的关系式为（ ）
A．y=60 B．y=（60﹣x）
C．y=300（60﹣20x） D．y=（60﹣x）
【考点】根据实际问题列二次函数关系式．
【分析】根据降价x元，则售价为（60﹣x）元，销售量为件，由题意可得等量关系：总销售额为y=销量×售价，根据等量关系列出函数解析式即可．
【解答】解：降价x元，则售价为（60﹣x）元，销售量为件，
根据题意得，y=（60﹣x），
故选：B．
10．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=﹣x2+bx+
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c的图象经过点A（1，0），且当x=0和x=5时所对应的函数值相等．则一次函数y=bx+c的图象是（ ）
A． B． C． D．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征；一次函数的图象．
【分析】根据当x=0和x=5时所对应的函数值相等，可得（5，c），根据待定系数法，可得b、c的值，然后关键一次函数的性质即可判定．
【解答】解：当x=0时，y=c，即（0，c）．
由当x=0和x=5时所对应的函数值相等，得（5，c）．
将（5，c）（1，0）代入函数解析式，得
，
解得，
所以函数y=bx+c的图象经过一三四象限，
故选C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）
11．若有意义，则x的取值范围是 x≥6 ．
【考点】二次根式有意义的条件．
【分析】根据二次根式有意义的条件得到x﹣6≥0，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得x﹣6≥0，
解得x≥6，
所以x的取值范围是x≥6．
故答案为x≥6．
12．若把函数y=x2﹣2x﹣3化为y=（x﹣m）2+k的形式，其中m，k为常数，则m+k= ﹣3 ．
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【考点】二次函数的三种形式．
【分析】利用配方法操作整理，然后根据对应系数相等求出m、k，再相加即可．
【解答】解：y=x2﹣2x﹣3，
=（x2﹣2x+1）﹣1﹣3，
=（x﹣1）2﹣4，
所以，m=1，k=﹣4，
所以，m+k=1+（﹣4）=﹣3．
故答案为：﹣3．
13．如图，在平行四边形ABCD中，AB=3，BC=5，∠B的平分线BE交AD于点E，则DE的长为 2 ．
【考点】平行四边形的性质．
【分析】根据平行四边形的性质，可得出AD∥BC，则∠AEB=∠CBE，再由∠ABE=∠CBE，则∠AEB=∠ABE，则AE=AB，从而求出DE．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB=∠CBE，
∵∠B的平分线BE交AD于点E，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠AEB=∠ABE，
∴AE=AB，
∵AB=3，BC=5，
∴DE=AD﹣AE=BC﹣AB=5﹣3=2．
故答案为2．
14．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=mx2﹣2mx﹣2（m≠0）与y轴交于点
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A，其对称轴与x轴交于点B．则点A，B 的坐标分别为 （0，﹣2） ， （1，0） ．
【考点】二次函数的性质．
【分析】根据y轴上点的坐标特征、抛物线的对称轴方程解答即可．
【解答】解：当x=0时，y=﹣2，
∴点A的坐标为（0，﹣2），
抛物线的对称轴为：x=﹣=1，
∴点B 的坐标为（1，0），
故答案为：（0，﹣2）；（1，0）．
15．关于x的一元二次方程ax2+bx+=0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，b的值：a= 4 ，b= 2 ．
【考点】根的判别式．
【分析】由于关于x的一元二次方程ax2+bx+=0有两个相等的实数根，得到a=b2，找一组满足条件的数据即可．
【解答】关于x的一元二次方程ax2+bx+=0有两个相等的实数根，
∴△=b2﹣4×a=b2﹣a=0，
∴a=b2，
当b=2时，a=4，
故b=2，a=4时满足条件．
故答案为：4，2．
16．某地中国移动“全球通”与“神州行”收费标准如下表：
品牌
月租费
本地话费（元/分钟）
长途话费（元/分钟）
全球通
13元
0.35
0.15
神州行
0元
0.60
0.30
如果小明每月拨打本地电话时间是长途电话时间的2倍，且每月总通话时间在65～70分钟之间，那么他选择 全球通 较为省钱（填“全球通”或“神州行”）．
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【考点】有理数的混合运算．
【分析】设小明打长途电话的时间为x分钟，则打本地电话的时间为2x分钟，根据表格中计费规则分别表示出全球通和神州行所需的总费用，再分类讨论求得x的范围，结合“每月总通话时间在65～70分钟之间“可得答案．
【解答】解：设小明打长途电话的时间为x分钟，则打本地电话的时间为2x分钟，
∴选择“全球通”所需总费用为13+0.15x+0.35×2x=0.85x+13，
选择“神州行”所需总费用为0.3x+0.6×2x=1.5x，
当0.85x+13＞1.5x，即0＜x＜20时，选择神州行较为省钱；
当0.85x+13=1.5x，即x=20时，都一样省钱；
当0.85x+13＜1.5x，即x＞20时，选择全球通较为省钱；
∵每月总通话时间在65～70分钟之间，
∴选择全球通较为省钱，
故答案为：全球通．
计算
17．计算：
（1）﹣；
（2）（+5）．
【考点】二次根式的混合运算．
【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）根据二次根式的乘法法则运算．
【解答】解：（1）原式=3﹣
=；
（2）原式=+5
=6+10．
解方程
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18．2x2﹣5x+2=0（配方法）
【考点】解一元二次方程-配方法．
【分析】方程二次项系数化为，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并后，开方即可求出解．
【解答】解：方程变形得：x2﹣x=﹣1，
配方得：x2﹣x+=，即（x﹣）2=，
开方得：x﹣=±，
解得：x1=2，x2=．
19．已知：如图，E，F是▱ABCD的对角线AC上的两点，BE∥DF，求证：AF=CE．
【考点】平行四边形的性质．
【分析】先证∠ACB=∠CAD，再证出△BEC≌△DFA，从而得出结论．
【解答】证明：在平行四边形ABCD中，
∵AD∥BC，AD=BC，
∴∠ACB=∠CAD．
又∵BE∥DF，
∴∠BEC=∠DFA，
在△BEC与△DFA中，，
∴△BEC≌△DFA，
∴AF=CE．
六、解答题（共1小题，满分4分）
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20．已知：点P是一次函数y=﹣2x+8的图象上一点，如果图象与x轴交于Q点，且△OPQ的面积等于6，求P点的坐标．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征．
【分析】先求出Q点坐标，根据一次函数图象上点的坐标特征设P（x，﹣2x+8），则根据三角形面积公式得到•4•|﹣2x+8|=6，然后解方程求出x即可得到P点坐标．
【解答】解：当y=0时，﹣2x+8=0，解得x=4，则Q（4，0），
设P（x，﹣2x+8），
所以•4•|﹣2x+8|=6，解得x=或x=，
所以P点坐标为（，3），（，﹣3）．
21．已知抛物线 y=x2﹣2x﹣3
（1）此抛物线的顶点坐标是 （1，﹣4） ，与x轴的交点坐标是 （3，0） ， （﹣1，0） ，与y轴交点坐标是 （0，﹣3） ，对称轴是 x=1
（2）在平面直角坐标系中画出y=x2﹣2x﹣3的图象；
（3）结合图象，当x取何值时，y随x的增大而减小．
【考点】二次函数的性质；二次函数的图象．
【分析】（1）把解析式化为顶点式，则可求得其顶点坐标及其对称轴，令y=0可求得x，则可求得与x轴的交点坐标，令x=0可求得与y轴的交点坐标；
（2）利用（1）中确定的几个关键点可作出函数图象；
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（3）结合图象可求得答案．
【解答】解：
（1）∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线顶点坐标为（1，﹣4），对称轴为x=1，
令y=0可得x2﹣2x﹣3=0，解得x=3或﹣1，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（3，0）和（﹣1，0），
令x=0可得y=﹣3，
∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣3），
故答案为：（1，﹣4）；（3，0）；（﹣1，0）；（0，﹣3）；x=1；
（2）利用（1）所求的四个点，结合对称轴画出其图象，如图，
（3）由图象可知当x＜1时，y随x的增大而减小．
22．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+1（k≠0）与y轴交于点A．直线y=x+5与y=kx+1（k≠0）交于点B，与y轴交于点C，点B的横坐标为﹣1．
（1）求直线y=kx+1的表达式；
（2）直线y=x+5、直线y=kx+1与y轴围成的△ABC的面积等于多少？
【考点】两条直线相交或平行问题．
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【分析】（1）将点B的横坐标代入直线y=x+5求出点B的纵坐标，从而得到点B的坐标，再代入直线求出k的值，即可得解；
（2）令x=0利用两直线解析式求出点A、C的坐标，然后求出AC，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
【解答】解：（1）∵点B的横坐标为﹣1，
∴y=﹣1+5=4，
∴点B的坐标为（﹣1，4），
代入y=kx+1得，﹣k+1=4，
解得k=﹣3，
所以，直线y=kx+1的表达式为y=﹣3x+1；
（2）令x=0，则y=5，点C的坐标为（0，5），
y=1，点A的坐标为（0，1），
所以，AC=5﹣1=4，
∵B（﹣1，4），
∴点B到AC的距离为1，
∴△ABC的面积=×4×1=2．
23．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k=0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）当方程有一个根为5时，求k的值．
【考点】根的判别式．
【分析】（1）套入数据求出△=b2﹣4ac的值，再与0作比较，由于△=1＞0，从而证出方程有两个不相等的实数根；
（2）将x=5代入原方程，得出关于k的一元二次方程，解方程即可求出k的值．
【解答】（1）证明：△=b2﹣4ac，
=[﹣（2k+1）]2﹣4（k2+k），
=4k2+4k+1﹣4k2﹣4k，
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=1＞0．
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）∵方程有一个根为5，
∴52﹣5（2k+1）+k2+k=0，即k2﹣9k+20=0，
解得：k1=4，k2=5．
24．已知：如图，菱形ABCD 中，过AD 的中点 E作AC 的垂线EF，交AB 于点 M，交CB 的延长线于点F．如果FB的长是，∠AEM=30°．求菱形ABCD 的周长和面积．
【考点】菱形的性质．
【分析】首先连接BD，易证得四边形EFBD为平行四边形，即可求得AD的长，继而求得菱形ABCD的周长，求出对角线的长度，利用菱形的面积=对角线乘积的一半求出面积．
【解答】解：连接BD．
∵在菱形ABCD中，
∴AD∥BC，AC⊥BD．
又∵EF⊥AC，
∴BD∥EF．
∴四边形EFBD为平行四边形．
∴FB=ED=．
∵∠AEM=30°
∴BD=2，AC=2，
∵E是AD的中点．
∴AD=2ED=2．
∴菱形ABCD的周长为4×2=8，
∴菱形ABCD的面积为×2×2=4．
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25．2002 年国际数学家大会在中国北京举行，这是21 世纪全世界数学家的第一次大聚会．这次大会的会徽就是如图，选定的是我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图，可以说是充分肯定了我国数学的成就，也弘扬了我国古代的数学文化．弦图是由四个全等的直角三角形和中间的 小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，那么你能求出（a+b）2 的值吗？
【考点】勾股定理的证明．
【分析】根据勾股定理可以求得a2+b2等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到ab的值，然后根据（a+b）2=a2+2ab+b2即可求解．
【解答】解：根据勾股定理可得a2+b2=13，
四个直角三角形的面积是： ab×4=13﹣1=12，即：2ab=12
则（a+b）2=a2+2ab+b2=13+12=25．
26．如图，四边形ABCD是矩形，点E在BC边上，点F在BC延长线上，且∠CDF=∠BAE．
（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；
（2）若DF=3，DE=4，AD=5，求CD的长度．
【考点】平行四边形的判定；矩形的性质．
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【分析】（1）直接利用矩形的性质结合全等三角形的判定与性质得出BE=CF，进而得出答案；
（2）利用勾股定理的逆定理得出∠EDF=90°，进而得出•ED•DF=EF•CD，求出答案即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC，∠B=∠DCF=90°，
∵∠BAE=∠CDF，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（ASA），
∴BE=CF，
∴BC=EF，
∵BC=AD，
∴EF=AD，
又∵EF∥AD，
∴四边形AEFD是平行四边形；
（2）解：由（1）知：EF=AD=5，
在△EFD中，∵DF=3，DE=4，EF=5，
∴DE2+DF2=EF2，
∴∠EDF=90°，
∴•ED•DF=EF•CD，
∴CD=．
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27．已知抛物线y=x2+（m﹣2）x+2m﹣6的对称轴为直线x=1，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求m的值；
（2）直线l经过B、C两点，求直线l的解析式．
【考点】抛物线与x轴的交点．
【分析】（1）由对称轴公式即可求出m的值；
（2）由抛物线的解析式求出A、B、C的坐标，由待定系数法求出直线l的解析式即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y=x2+（m﹣2）x+2m﹣6的对称轴为直线x=1，
∴﹣=1，
解得：m=1；
（2）∵m=1，
∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣4，
当y=0时， x2﹣x﹣4=0，
解得：x=﹣2或x=4，
∴A（﹣2，0），B（4，0），
当x=0时，y=﹣4，
∴C（0，﹣4），
设直线l的解析式为y=kx+b，
根据题意得：，
解得：，
∴直线l的解析式为y=﹣x﹣4．
28．如图，△ABC中，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于D，BD=4，DC=6，求AD的长．
小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题．
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请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：
（1）分别以AB、AC为对称轴，画出△ABD、△ACD的轴对称图形，D点的对称点为E、F，延长EB、FC相交于G点，证明四边形AEGF是正方形；
（2）设AD=x，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出x的值．
【考点】翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；勾股定理．
【分析】（1）先根据△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF，得出∠EAF=90°；再根据对称的性质得到AE=AF，从而说明四边形AEGF是正方形；
（2）利用勾股定理，建立关于x的方程模型（x﹣4）2+（x﹣6）2=102，求出AD=x=12．
【解答】（1）证明：由题意可得：△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF．
∴∠DAB=∠EAB，∠DAC=∠FAC，又∠BAC=45°，
∴∠EAF=90°．
又∵AD⊥BC
∴∠E=∠ADB=90°，∠F=∠ADC=90°．
∴四边形AEGF是矩形，
又∵AE=AD，AF=AD
∴AE=AF．
∴矩形AEGF是正方形．
（2）解：设AD=x，则AE=EG=GF=x．
∵BD=4，DC=6
∴BE=4，CF=6
∴BG=x﹣4，CG=x﹣6
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在Rt△BGC中，BG2+CG2=BC2，
∴（x﹣4）2+（x﹣6）2=102．
化简得，x2﹣10x﹣24=0
解得x1=12，x2=﹣2（舍去）
所以AD=x=12．
29．如图，点P（x，y1）与Q（x，y2）分别是两个函数图象C1与C2上的任一点．当a≤x≤b时，有﹣1≤y1﹣y2≤1成立，则称这两个函数在a≤x≤b上是“相邻函数”，否则称它们在a≤x≤b上是“非相邻函数”．例如，点P（x，y1）与Q （x，y2）分别是两个函数y=3x+1与y=2x﹣1图象上的任一点，当﹣3≤x≤﹣1时，y1﹣y2=（3x+1）﹣（2x﹣1）=x+2，通过构造函数y=x+2并研究它在﹣3≤x≤﹣1上的性质，得到该函数值的范围是﹣1≤y≤1，所以﹣1≤y1﹣y2≤1成立，因此这两个函数在﹣3≤x≤﹣1上是“相邻函数”．
（1）判断函数y=3x+1与y=2x+2在0≤x≤2上是否为“相邻函数”，并说明理由；
（2）若函数y=x2﹣x与y=x•a在0≤x≤2上是“相邻函数”，求a的取值范围．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）通过构建函数y=x﹣1，根据一次函数的性质可得出该函数在0≤x≤2上单调递增，分别代入x=0、x=2即可得出y的取值范围，由此即可得出结论；
（2）由函数y=x2﹣x与y=x•a在0≤x≤2上是“相邻函数”，构造函数y=x2﹣（a+1）x，根据抛物线的位置不同，令其最大值≤1、最小值≥﹣1，解关于a的不等式组即可得出结论．
【解答】解：（1）函数y=3x+1与y=2x+2在0≤x≤2上是“相邻函数”，理由如下：
点P（x，y1）与Q （x，y2）分别是两个函数y=3x+1与y=2x+2图象上的任一点，
当0≤x≤2时，y1﹣y2=（3x+1）﹣（2x+2）=x﹣1，
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通过构造函数y=x﹣1并研究它在0≤x≤2上的性质，得到该函数值的范围是﹣1≤y≤1，
所以﹣1≤y1﹣y2≤1成立，
因此这两个函数在0≤x≤2上是“相邻函数”．
（2）∵函数y=x2﹣x与y=x•a在0≤x≤2上是“相邻函数”，
∴构造函数y=x2﹣（a+1）x，在0≤x≤2上﹣1≤y≤1．
根据抛物线y=x2﹣（a+1）x对称轴的位置不同，来考虑：
①当≤0，即a≤﹣1时（图1），
，解得：a≥，
∴此时无解；
②当0＜≤1，即﹣1＜a≤1时（图2），
，解得：≤a≤1，
∴≤a≤1；
③当1＜≤2，即1＜a≤3时（图3），
，解得：﹣3≤a≤1，
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∴此时无解；
④当2＜，即a＞3时（图4），
，解得：a≤，
∴此时无解．
综上可知：若函数y=x2﹣x与y=x•a在0≤x≤2上是“相邻函数”，则a的取值范围为≤a≤1．
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2017年2月22日
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