资料简介
三角函数与解三角形
热点一 三角函数的图象和性质
注意对基本三角函数y＝sin x，y＝cos x的图象与性质的理解与记忆，有关三角函数的五点作图、图象的平移、由图象求解析式、周期、单调区间、最值和奇偶性等问题的求解，通常先将给出的函数转化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，然后利用整体代换的方法求解.
【例1】已知函数f(x)＝sin x－2sin2.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间上的最小值.
(1)解 因为f(x)＝sin x＋cos x－.
＝2sin－.
所以f(x)的最小正周期为2π.
(2)解 因为0≤x≤，
所以≤x＋≤π.
当x＋＝π，即x＝时，f(x)取得最小值.
所以f(x)在区间上的最小值为f＝－.
【类题通法】求函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B周期与最值的模板
第一步：三角函数式的化简，一般化成y＝Asin(ωx＋φ)＋h或y＝Acos(ωx＋φ)＋h的形式；
第二步：由T＝求最小正周期；
第三步：确定f(x)的单调性；
第四步：确定各单调区间端点处的函数值；
第五步：明确规范地表达结论.
【对点训练】 设函数f(x)＝－sin2ωx－sin ωxcos ωx(ω＞0)，且y＝f(x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为.
(1)求ω的值；
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.
解 (1)f(x)＝－sin2ωx－sin ωxcos ωx
＝－·－sin 2ωx
＝cos 2ωx－sin 2ωx＝－sin.
因为y＝f(x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，故该函数的周期T＝4×＝π.
又ω＞0，所以＝π，因此ω＝1.
(2)由(1)知f(x)＝－sin.
设t＝2x－，则函数f(x)可转化为y＝－sin t.
当π≤x≤时，≤t＝2x－≤ ，
如图所示，作出函数y＝sin t在 上的图象，
由图象可知，当t∈时，sin t∈，
故－1≤－sin t≤，因此－1≤f(x)＝－sin≤.
故f(x)在区间上的最大值和最小值分别为，－1.
热点二 解三角形
高考对解三角形的考查，以正弦定理、余弦定理的综合运用为主.其命题规律可以从以下两方面看：(1)从内容上看，主要考查正弦定理、余弦定理以及三角函数公式，一般是以三角形或其他平面图形为背景，结合三角形的边角关系考查学生利用三角函数公式处理问题的能力；(2)从命题角度看，主要是在三角恒等变换的基础上融合正弦定理、余弦定理，在知识的交汇处命题.
【例2】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且＋＝.
(1)证明：sin Asin B＝sin C；
(2)若b2＋c2－a2＝bc，求tan B.
(1)证明 在△ABC中，根据正弦定理，
可设＝＝＝k(k>0).
则a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin C.
代入＋＝中，
有＋＝，变形可得
sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B＝sin(A＋B).
在△ABC中，由A＋B＋C＝π，
有sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，
所以sin Asin B＝sin C.
(2)解 由已知，b2＋c2－a2＝bc，根据余弦定理，有
cos A＝＝.
所以sin A＝＝.
由(1)知，sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B，
所以sin B＝cos B＋sin B，
故tan B＝＝4.
【类题通法】(1)①在等式中既有边长又有角的正余弦时，往往先联想正弦定理；②出现含有边长的平方及两边之积的等式，往往想到应用余弦定理.
(2)正余弦定理与两角和(差)角公式的活用是求解该类问题的关键.
【对点训练】 四边形ABCD的内角A与C互补，且AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2.
(1)求角C的大小和线段BD的长度；
(2)求四边形ABCD的面积.
解 (1)设BD＝x，
在△ABD中，由余弦定理，得cos A＝，
在△BCD中，由余弦定理，得cos C＝，
∵A＋C＝π，∴cos A＋cos C＝0.
联立上式，解得x＝，cos C＝.
由于C∈(0，π).∴C＝，BD＝.
(2)∵A＋C＝π，C＝，∴sin A＝sin C＝.
又四边形ABCD的面积SABCD＝S△ABD＋S△BCD
＝AB·ADsin A＋CB·CDsin C＝×(1＋3)＝2，
∴四边形ABCD的面积为2.
热点三 三角函数与平面向量结合
三角函数、解三角形与平面向量的结合主要体现在以下两个方面：(1)以三角函数式作为向量的坐标，由两个向量共线、垂直、求模或求数量积获得三角函数解析式；(2)根据平面向量加法、减法的几何意义构造三角形，然后利用正、余弦定理解决问题.
【例3】已知△ABC的三内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量m＝(cos B，cos C)，n＝(2a＋c，b)，且m⊥n.
(1)求角B的大小；
(2)若b＝，求a＋c的范围.
解 (1)∵m＝(cos B，cos C)，n＝(2a＋c，b)，且m⊥n，
∴(2a＋c)cos B＋bcos C＝0，
∴cos B(2sin A＋sin C)＋sin Bcos C＝0，
∴2cos Bsin A＋cos Bsin C＋sin Bcos C＝0.
即2cos Bsin A＝－sin(B＋C)＝－sin A.
∵A∈(0，π)，∴sin A≠0，∴cos B＝－.
∵0＜B＜π，∴B＝.
(2)由余弦定理得
b2＝a2＋c2－2accosπ＝a2＋c2＋ac＝(a＋c)2－ac≥(a＋c)2－＝(a＋c)2，当且仅当a＝c时取等号.
∴(a＋c)2≤4，故a＋c≤2.
又a＋c>b＝，∴a＋c∈(，2].即a＋c的取值范围是(，2].
【类题通法】向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题.
【对点训练】 已知向量a＝(m，cos 2x)，b＝(sin 2x，n)，函数f(x)＝a·b，且y＝f(x)的图象过点和点.
(1)求m，n的值；
(2)将y＝f(x)的图象向左平移φ(0
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2018高考数学热点题型--三角函数与解三角形（理科含解析）