资料简介
3.1.1 两角差的余弦公式
一、教学目标
掌握用向量方法建立两角差的余弦公式.通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及
其功能，为建立其它和（差）公式打好基础.
二、教学重、难点
1. 教学重点：通过探索得到两角差的余弦公式；
2. 教学难点：探索过程的组织和适当引导，这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过
程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题，等等.
三、学法与教学用具
1. 学法：启发式教学
2. 教学用具：多媒体
四、教学设想：
（一）导入：我们在初中时就知道 ， ，由此我们能否得到
大家可以猜想，是不是等于 呢？
根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜想是错误的！下面我们就一起探讨两角差
的余弦公式
（二）探讨过程：
在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角 的终边与单位圆的交点为 ，
等于角 与单位圆交点的横坐标，也可以用角 的余弦线来表示，大家思考：怎样构造角
和角 ？（注意：要与它们的正弦线、余弦线联系起来.）
展示多媒体动画课件，通过正、余弦线及它们之间的几何关系探索 与 、
、 、 之间的关系，由此得到 ，认
识两角差余弦公式的结构.
思考：我们在第二章学习用向量的知识解决相关的几何问题，两角差余弦公式我们能否用向
量的知识来证明？
提示：1、结合图形，明确应该选择哪几个向量，它们是怎样表示的？
2、怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果？
展示多媒体课件
比较用几何知识和向量知识解决问题的不同之处，体会向量方法的作用与便利之处.
2cos45 2
= 3cos30 2
=
( )cos15 cos 45 30 ?= − = cos45 cos30−
( )cos ?α β− =
α 1P cosα
α α β
α β−
( )cos α β− cosα
cos β sinα sin β cos( ) cos cos sin sinα β α β α β− = +思考： ， ，再利用两角差的余弦公式得出
（三）例题讲解
例 1、利用和、差角余弦公式求 、 的值.
解：分析：把 、 构造成两个特殊角的和、差.
点 评 ： 把 一 个 具 体 角 构 造 成 两 个 角 的 和 、 差 形 式 ， 有 很 多 种 构 造 方 法 ， 例 如 ：
，要学会灵活运用.
例 2、已知 ， 是第三象限角，求 的值.
解：因为 ， 由此得
又因为 是第三象限角，所以
所以
点评：注意角 、 的象限，也就是符号问题.
（四）小结：本节我们学习了两角差的余弦公式，首先要认识公式结构的特征，了解公式的
推导过程，熟知由此衍变的两角和的余弦公式.在解题过程中注意角 、 的象限，也就是
符号问题，学会灵活运用.
（五）作业：
( )cos ?α β+ = ( ) ( )cos cosα β α β+ = − −
( ) ( ) ( ) ( )cos cos cos cos sin sin cos cos sin sinα β α β α β α β α β α β+ = − − = − + − = −
cos75 cos15
75 15
( ) 2 3 2 1 6 2cos75 cos 45 30 cos45 cos30 sin 45 sin30 2 2 2 2 4
−= + = − = × − × =
( ) 2 3 2 1 6 2cos15 cos 45 30 cos45 cos30 sin 45 sin30 2 2 2 2 4
+= − = + = × + × =
( )cos15 cos 60 45= −
4sin 5
α = 5, ,cos ,2 13
πα π β β ∈ = −
( )cos α β−
,2
πα π ∈
4sin 5
α =
2
2 4 3cos 1 sin 1 5 5
α α = − − = − − = −
5cos ,13
β β= −
2
2 5 12sin 1 cos 1 13 13
β β = − − = − − − = −
3 5 4 12 33cos( ) cos cos sin sin 5 13 5 13 65
α β α β α β − = + = − × − + × − = −
α β
α β
150 1 2.P T T−
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