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资料简介
1
平面向量的实际背景及基本概念
【学习目标】
1．了解向量的实际背景．
2．理解平面向量的含义，理解向量的几何表示的意义和方法．
3．掌握向量、零向量、单位向量、相等向量的概念，会表示向量．
4．理解两个向量共线的含义．
【要点梳理】
要点一：向量的概念
1．向量：既有大小又有方向的量叫做向量．
2．数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量。
要点诠释：
（1）本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移。
（2）看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素。
（3）向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小。
要点二：向量的表示法
1．有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度。
2．向量的表示方法：
(1)字母表示法：如 等．
(2)几何表示法：以 A 为始点，B 为终点作有向线段 （注意始点一定要写在终点的前面）。如果用一
条有向线段 表示向量，通常我们就说向量 ．
要点诠释：
（1）用字母表示向量便于向量运算；
（2）用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性。应该注意的是有向线段是向量的表示，不是说向
量就是有向线段。由于向量只含有大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，与它的始点的位置无关，
即同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。
要点三：向量的有关概念
1．向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度)．
要点诠释：
（1）向量 的模 。
（2）向量不能比较大小，但 是实数，可以比较大小。
2．零向量：长度为零的向量叫零向量．记作 ，它的方向是任意的。
3．单位向量：长度等于 1 个单位的向量．
要点诠释：
（1）在画单位向量时，长度 1 可以根据需要任意设定；
（2）将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同。
4．相等向量：长度相等且方向相同的向量．
要点诠释：
在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等。
, , ,a b c
AB
AB AB
a | | 0≥a
| |a
02
要点四：向量的共线或平行
方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量)．
规定： 与任一向量共线．
要点诠释：
1．零向量的方向是任意的，注意 与 0 的含义与书写区别．
2．平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在
同一直线上的线段的位置关系．
3．共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量。
【典型例题】
类型一：向量的基本概念
例 1．判断下列各命题是否正确：
(1)若 ，则 ；
(2)若 A、B、C、D 是不共线的四点，若 ，则四边形 为平行四边形；
(3)若 ，则
(4) 单位向量都相等。
【思路点拨】 相等向量即为长度相等且方向相同的向量．
【解析】(1)不正确，两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同，因此由 推不出 ．
(2)正确， 且 ．又 A、B、C、D 是不共线的四点，所以四边形
是平行四边形．
(3)正确， 的长度相等且方向相同；又 的长度相等且方向相同， 的长
度相等且方向相同．故 ．
(4)不正确，对于 D，需要强调的是，单位向量不仅仅指的是长度，还有方向，而向量相等不仅仅需要长
度相等而且还要求方向相同．D 错．
【总结升华】我们应该清醒的认识到，两个非零向量相等的充要条件应是长度相等且方向相同，向量相
等是可传递的．复习向量时，要注意将向量与实数、向量与线段、向量运算与实数运算区别开来．
举一反三：
【高清课堂：平面向量的实际背景及基本概念 402589 例 2】
【变式 1】判断下列命题的正误：
（1）零向量与非零向量平行；
（2）长度相等方向相反的向量共线；
（3）若向量 与向量 不共线，则 与 都是非零向量；
（4）若两个向量相等，则它们的起点、方向、长度必须相等；
（5）若两个向量的模相等，则这两个向量不是相等向量就是相反向量？
（6）若非零向量 是共线向量，则 A、B、C、D 四点共线；
（7）共线的向量一定相等；
0
0
a b= a b=
AB DC= ABCD
,a b b c= = a c=
a b= a b=
,AB DC AB DC= ∴ =
//AB DC ABCD
, ,a b a b= ∴
, ,b c b c= ∴
,a c∴
a c=
a b a b
,AB CD 3
（8）相等的向量一定共线．
【答案】√√√××××√
【变式 2】下列说法中：
①两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同；
② 若非零向量 与 共线，则 = ；
③若 = ，则 ；
④向量 与 平行，则 与 的方向相同或相反．
其中正确的个数为（ ）．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】 B
【解析】 对于①，显然是错误的；
对于②，是错误的，两个非零向量共线，是说明这两个向量方向相同或相反，而两个向量相等是说这
两个向量大小相等，方向相同，因而共线向量不一定是相等向量，但相等向量却一定是共线向量；
对于③，是正确的，因为向量相等，即大小相等、方向相同；
对于④，是错误的，这是因为若 为零向量，则 与 平行，但零向量的方向可以是任意的．
类型二：向量的表示方法
例 2．一辆汽车从 A 点出发向西行驶了 100 千米到达 B 点，然后又改变方向向西偏北 50°走了 200 千米
到达 C 点，最后又改变方向，向东行驶了 100 千米达到 D 点．
（1）作出向量 ， ， ；
（2）求 ．
【解析】 （1）如图所示．
（2）由题意，易知 与 方向相反，故 与 共线即 AB∥CD．
又 ，
∴四边形 ABCD 为平行四边形．
∴ （千米）．
【总结升华】（1）准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小
确定向量的终点．
（2）要注意能够运用向量的观点将实际问题抽象成数学模型．“数学建模”能力是今后能力培养的主要
方向，需要在平时的学习中不断积累经验．
举一反三：
【变式 1】如图，在平面四边形 ABCD 中，用有向线段表示图中向量，正确的是（ ）．
A． ， ， ， B． ， ， ，
C． ， ， ， D． ， ， ，
a b a b
a b = a b
a b a b
a a b
AB BC CD
| |AD
AB CD AB CD
| | | |AB CD=
| | | | 200AD BC= =
AD AB BC DC DA BA BC DC
DA AB BC DC DA AB CB CD4
【答案】C
【变式 2】（2016 春 安徽泗县月考）如图，D，E，F 分别是△ABC 的边 AB，BC，CA 的中点，在以 A
，B，C，D，E，F 为起点和终点的向量中，
（1）找出与向量 相等的向量；
（2）找出与向量 共线的向量．
【答案】（1） ， ；（2） ， ．
【解析】（1）∵E，F 分别为 BC，AC 的中点，
∴EF∥BA，且 ，
又 D 是 BA 的中点，
∴ ，
∴与向量 相等的向量是 ， ；
（2）∵D，F 分别为 BA，AC 的中点，
∴DF∥BC，且 ，
又 E 是 BC 的中点，
∴ ，
∴与向量 相等的向量是 ， ．
【高清课堂：平面向量的实际背景及基本概念 402589 例 6】
【变式 3】如图是 4×3 的矩形（每个方格都是单位正方形），在起点与终点都在
小方格的顶点处的向量中，
试问：（1）与 相等的向量有几个（不含 ）？
（2）与 平行且模为 的向量有几个？
（3）与 同向且模为 有几个？
【答案】（1）5（2）24（3）2
类型三：利用向量相等或共线进行证明
例 3． 如图所示，四边形 ABCD 中， ，N、M 分别是 AD、BC 上的点，且 。
求证： 。
证明：∵ ，∴ 且 AB∥CD，
∴四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ 且 DA∥CB。
又∵ 与 的方向相同，∴ 。
EF
DF
BD DA BE EC
1
2EF BA=
EF BD DA= =
EF BD DA
1
2DF BC=
DF BE EC= =
DF BE EC
AB AB
AB 2
AB 3 2
AB DC= CN MA=
DN MB=
AB DC= | | | |AB DC=
| | | |DA CB=
DA CB CB DA= 5
同理可证，四边形 CNAM 是平行四边形，∴ 。
∵ ， ，∴ ，
又 与 的方向相同，∴ 。
【总结升华】本题主要目的是应用四边形的判定定理体会向量与几何的联系。若 ，则
且 AB∥CD。
举一反三：
【变式 1】如图，在△ABC 中，已知向量 ， ，求证：
．
【解析】因为 ，所以 D 为 AB 的中点．又 ，所以 DF∥BE
且 DF=BE，所以 F 为 AC 的中点，则 DF 是△ABC 的中位线，从而 E 是 BC 的中点，所以 DE∥AF，且
DE=AF．又 DE 与 AF 不共线，所以 ．
类型四：向量知识在实际问题中的简单应用
例 4．（2015 春 杭州期中）一条宽为 km 的河，水流速度为 2 km／h，在河两岸有两个码头 A、B，
已知 km，船在水中最大航速为 4 km／h，问该船从 A 码头到 B 码头怎样安排航行速度可使它最快
到达彼岸 B 码头？用时多少？
【解析】如图所示，设 为水流速度， 为航行速度，
以 AC 和 AD 为邻边作平行四边形 ACED，且当 AE 与 AB 重合时能最快到达彼岸．
根据题意 AC⊥AE 在 Rt△ADE 和平行四边形 ACED 中，
， ，∠AED=90°．
∴ ，
∴ ，∴∠EAD=30°，用时 0.5 h．
答：船实际航行速度大小为 km／h，与水流成 120°角时能最快到达 B 码头，用时半小时．
举一反三：
【变式 1】已知下列三个位移：飞机向南飞行 50 km，飞机向西飞行 50km，飞机向东飞行 50km．下列
判断中正确的是（ ）．
A．这三个位移相等，且这三个位移的长度也相等
B．这三个位移不相等，但这三个位移的长度相等
CM NA=
| | | |CB DA= | | | |CM NA= | | | |MB DN=
DN MB DN MB=
AB DC=
| | | |AB DC=
AD DB= DF BE=
DE AF=
AD DB= DF BE=
DE AF=
3
3AB =
AC AD
| | | | 2DE AC= = | | 4AD =
2 2| | | | | | 2 3AE AD DE= − =
1sin 2EAD∠ =
2 36
C．这三个位移不相等，且这三个位移的长度不相等
【答案】B
【巩固练习】
1．下列说法中正确的有（ ）．
①向量 与 是共线向量，则 A、B、C、D 必在同一直线上；②向量 与向量 平行，则 、
方向相同或相反；③若向量 、 满足 ，且 与 同向，则 ；④若 = ，
则 ， 的长度相等且方向相同或相反；⑤由于零向量 方向不确定，故 不能与任何向量平行．
A．0 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
2．在同一平面上，把所有长度为 1 的向量的始点放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图形是
（ ）．
A．一条线段 B．一段圆弧 C．圆上一群孤立的点 D．一个半径为 1 的圆
3．（2015 春 福建晋江市期中）如图，在正六边形 ABCDEF 中，点 O 为中心，则下列判断错误的是（ ）
A． B． C． D．
4．若 是任一非零向量， 是单位向量，则下列式子正确的是（ ）．
A． ＞ B． ∥ C． ＞0 D．
5．如图，点 D 是正六边形 ABCDEF 的中心，则以 A、B、C、D、E、F、O 中的
任意一点为起点，与起点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量 外，与向
量 共线且模相等的向量共有（ ）．
A．2 个 B．3 个 C．6 个 D．7 个
6．正多边形有 n 条边，它们对应的向量依次为 ， ，…， ，则这 n 个向量（ ）．
A．都相等 B．都共线 C．都不共线 D．模都相等
7．下列说法中，正确的是（ ）．
A．若 ＞ ，则 ＞ B．若 = ，则 =
C．若 = ，则 ∥ D．若 ≠ ，则 与 不是共线向量
8．下列命题正确的是( )
A．向量 与 共线，向量 与 共线，则向量 与 共线
AB CD a b a b
AB CD | | | |AB CD> AB CD AB CD> a b
a b 0 0
AB OC= //AB DE | | | |AD BE= AD FC=
a b
a b a b a
| |
=
a b
a
OA
OA
1
a 2
a
na
a b a b a b a b
a b a b a b a b
a b b c a c7
B．向量 与 不共线，向量 与 不共线，则向量 与 不共线
C．向量 与 是共线向量，则 A、B、C、D 四点一定共线
D．向量 与 不共线，则 与 都是非零向量
9．在 Rt△ABC 中，∠BAC=90°， ， ，则 __________．
10．（2015 春 浙江安吉县期中）如图，四边形 ABCD 和 BCED 都是平行四边
形，则与 相等的向量有________．
11．若某人从点 出发向东走 3 至点 ，从点 向北走 至点 C，则
点 C 相对于点 的位置向量为 。
12．一艘船以 5 的速度出发向垂直于对岸的方向行驶，而船实际的航行方向与水流成 ，则船的实
际速度的大小为 ，水流速度的大小为 。
13．（2015 广东模拟）如图的方格纸由若干个边长为 1 的小方形并在一起组成，方格纸中有两个定点 A、
B．点 C 为小正方形的顶点，且 ．
（1）画出所有的向量 ；
（2）求 的最大值与最小值．
14．若 E、F、M、N 分别是四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 的中点，求证： ．
15．已知飞机从甲地按北偏东 30°的方向飞行 2 000 km 到达乙地，再从乙地按南偏东 30°的方向飞行 2 000
km 到达丙地，再从丙地按西南方向飞行 l 000 应 km 到达丁地，问丁地在甲地的什么方向？丁地距甲地多
远？
a b b c a c
AB CD
a b a b
| | 1AB = | | 2AC = | |BC =
BC
A km B B 3 3 km
A
/km h 030
| | 5AC =
AC
| |BC
EF NM= 8
【答案与解析】
1．【答案】A
【解析】 ①错误．把共线向量与平面几何中的共线“混淆”．
②错误．忽视了如果其中有一个是零向量，则其方向不确定．
③错误．把向量与实数混为一谈，事实上向量不能比较大小．
④错误．由 = ，只能说明 、 的长度相等，确定不了方向．
⑤错误．不清楚零向量的概念．规定零向量与任一向量平行．故选 A．
2．【答案】D
【解析】 所有的向量的终点均在半径为 1 的圆上．
3．【答案】D
【解析】由图可知， ，但 、 不共线，故 ，
故选 D．
4．【答案】C
【解析】 非零向量模长一定大于零．
5．【答案】D
【解析】 共线向量有： ， ， ， ， ， ， 7 个．
6．【答案】D
【解析】 由于正多边形的 n 条边都相等．
7．【答案】C
【解析】 向量不能比大小，故 A 错；模相等但方向不同的向量不相等，故 B 错；不相等的向量可以共
线．故 D 错．
8．【答案】D
【解析】 当 时，A 不对；如图 ＝ ， ＝ ， 与 ， 与 均不共线，但 与 共线，∴B
错．
在▱ABCD 中， 与 共线，但四点 A、B、C、D 不共线，∴C 错；
若 与 有一个为零向量，则 与 一定共线，∴ ， 不共线时，一定有 与 都是非零向量，故 D 正
确．
9．【答案】
【解析】 ，∴ ．
10．【答案】 和
【解析】在平行四边形 ABCD 中，BC∥AD，且 BC=AD，
∴ ；
a b a b
| | | |AD FC= AD FC AD FC≠
AO OD DO EF FE BC CB
0= b a AB c BC b a b c a c
AB CD
a b a b a b a b
5
2 2 2| | | | | | 1 4 5BC AB AC= + = + = | | 5BC =
AD DE
BC AD= 9
同理，在平行四边形 BCED 中， ；
∴与 相等的向量是 和 ，
故答案为： 和 ．
11．【答案】“东偏北 60°，6km”或“北偏东 30°，6km”
12．【答案】10km/h km/h
13．【解析】（1）画出所有的向量 如图所示；
（2）由（1）所画的图知，
①当点 C 在于点 或 时， 取得最小值 ；
②当点 C 在于点 或 时， 取得最大值 ．
∴ 的最大值为 ，最小值为 ．
14．【解析】如图所示，连接 AC，在△DAC 中，
∵N、M 分别是 AD、CD 的中点，
∴ ，且 与 的方向相同．同理可得 且 与 的方向
相同，故有 ，且 与 的方向相同，∴ ．
15．【解析】如图所示，A，B，C，D 分别表示甲地、乙地、丙地、丁地，依题意知，三角形 ABC 为正三
角形．
∴AC=2000 km．
又∵∠ACD=45°， ．
∴△ACD 为等腰直角三角形，即 km，∠CAD=45°．
答：丁地在甲地的东南方向，丁地距甲地 km．
BC DE=
BC AD DE
AD DE
5 3
AC
1C 2C | |BC 2 21 2 5+ =
5C 6C | |BC 2 24 5 41+ =
| |BC 41 5
//NM AC NM AC 1| | | |2EF AC= EF AC
| | | |EF NM= EF NM EF NM=
1000 2CD =
1000 2AD =
1000 210
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