资料简介
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正弦函数的图象与性质
【学习目标】
1.借助单位圆，理解正弦线的概念及意义；
2.了解作正弦函数图象的三种方法，会用“五点法”作出正弦函数的图象；
3.理解正弦函数在区间 上的性质(如单调性、周期性、最大值和最小值以及与 轴的交点等)．
【要点梳理】
要点一：单位圆中的正弦线
设任意角 的顶点在原点 O，始边与 轴非负半轴重合，终边与单位圆 O 相交于点 P（x,y），过 P 作 PM
垂直 轴于 M，则线段 MP 叫作 的正弦线.
要点诠释：
(1)由三角函数定义知，P（cos ,sin ）,故 sin =MP．
（2）正弦是用有向线段 MP 表示的，正弦线的方向表示正弦值的符号；同 轴一致，向上为正，向下
为负．M 为始点，P 是终点．
（3）当角 的终边在 轴上时，M 与 P 重合，此时正弦线变成一个点，sin =0．
要点二：正弦函数的画法
1．描点法：
按照列表、描点、连线三步法作出正弦函数图象的方法．
2．几何法
利用三角函数线作出正弦函数在 内的图象，再通过平移得到 的图象．
3．五点法
先描出正弦曲线的波峰、波谷和三个平衡位置这五个点，再利用光滑曲线把这五点连接起来，就得到
正弦曲线在一个周期内的图象．
在 确 定 正 弦 函 数 在 上 的 图 象 形 状 时 ， 起 关 键 作 用 的 五 个 点 是
要点诠释：
熟记正弦函数图象起关键作用的五点．
要点三：正弦曲线
（1）定义：正弦函数 的图象叫做正弦曲线．
（2）图象
要点诠释：
（1）由正弦曲线可以研究正弦函数的性质．
]2,0[ π x
α x
x α
α α α
y
α x α
]2,0[ π xy sin=
xy sin= ]2,0[ π
)0,2(),1,2
3(),0,(),1,2(),0,0( ππππ −
sin ( )y x x R= ∈2
（2）运用数形结合的思想研究与正弦函数有关的问题，如 ，方程 根的个数．
要点四：正弦函数的性质
正弦函数 y＝sinx
定义域：R
值域及最值：值域为[-1，1]，当 时， ，当 时， ．
奇偶性：奇函数
周期性：最小正周期
单调区间：
增区间
减区间
k∈Z
对称中心：
k∈Z
对称轴：
k∈Z
要点诠释：
（1）正弦函数的值域为 ，是指整个正弦函数或一个周期内的正弦曲线，如果定义域不是全体实
数，那么正弦函数的值域就可能不是 ，因而求正弦函数的值域时，要特别注意其定义域．
（2）求正弦函数的单调区间时，易错点有二：一是单调区间容易求反，要注意增减区间的求法，如求
的单调递增区间时，应先将 变换为 再求解，相当于求 的单调
递减区间；二是根据单调性的定义，所求的单调区间必须在函数的定义域内，因此求单调区间时，必须先
求定义域．
【典型例题】
类型一：“五点法”作正弦函数的图象
例 1．用五点法作出函数 ， 的图象．
【思路点拨】取 上五个关键的点（0，2）、（ ，1）、 、 、（2 ，2）．
【解析】 找出五点，列表如下：
x 0
0 1 0 －1 0
y=2－u 2 1 2 3 2
描点作图（如下图）．
[ ]0,2x π∈ lg sinx x=
2 2x k
ππ= + max 1y = 2 2x k
ππ= − min 1y = −
2π
( )0kπ，
2x k
ππ= +
[ ]1,1−
[ ]1,1−
sin( )y x= − sin( )y x= − siny x= − siny x=
2 siny x= − [0,2 ]x π∈
[0,2 ]π
2
π
( ,2)π 3( ,3)2
π π
2
π π 3
2
π
2π
sinu x=
[2 2 ]2 2k k
π ππ π− +，
3[2 2 ]2 2k k
π ππ π+ +，3
【总结升华】 在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接
起来，即可得到函数的简图，这种近似的“五点法”是非常实用的．
举一反三：
【变式 1】用“五点法”作出函数 y=－sin x（0≤x≤2π）的简图：
【解析】
列表：
x 0
sin x 0 1 0 －1 0
－sin x 0 －1 0 1 0
描点作图，如图：
类型二：三角函数图象的应用
【例 2】（2015 上海高考）若 sinθ= ，cosθ= ，θ∈（ ，π），则 m 的取值范围是 {8} ．
【思路点拨】通过平方关系得到关于 m 的表达式，求出 m 的值，结合三角函数的性质，判断 m 的值即
可．
【解析】∵sin2θ+cos2θ=1
∴ + =1，
∴（m﹣3）2+（4﹣2m）2=（m+5）2
即 m2﹣6m+9+16﹣16m+4m2=m2+10m+25
即 25﹣22m+4m2=10m+25
即﹣32m+4m2=0
即 m=0，或 m=8
因为 ＜θ＜π，当 m=0 时，sinθ= ，矛盾，所以 m=8.
【总结升华】本题考查同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力，象限角三角函数值的符号.
举一反三：
【变式 1】（2014 春 湖南资阳区月考）求满足 的 x 的集合．
【答案】
【解析】由 ，可得 ，k∈Z，
2
π π 3
2
π
2π
3
5
−
1sin( )4 2x
π− ≥
5 13{ | 2 2 , }12 4 12x k x k k Z
π π ππ π+ ≤ − ≤ + ∈
1sin( )4 2x
π− ≥ 52 26 4 6k x k
π π ππ π+ ≤ − ≤ +4
解得 ，k∈Z，
故不等式的解集为 ．
例 3．（1）方程 的解的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
（2）若函数 ，x∈[0，2π]的图象与直线 y=k 有且仅有两个不同的交点，求 k
的取值范围．
【答案】 （1）D （2）1＜k＜3
【 解 析 】 （ 1 ） 作 出 与 的 图 象 ， 当 时 ，
， ， 当 时 ， ， 与
再无交点．如图所示，由图知有三个交点，∴方程有三个解．
（2） ．
图象如图，由图象可知 1＜k＜3．
【总结升华】利用函数图象讨论不等式的解集和方程的实数根的个数，既直观又简捷，这就是我们常
说的“数形结合”思想在解题中的应用，请认真体会．
举一反三：
【变式 1】当 k 为何值时，方程 sin x+2|sin x|=k 有一解、两解、三解、四解？
【解析】由图象易知 k=3 时，方程有一解；1＜k＜3 时，方程有两解；k=1 或 k=0 时，
方程有三解；0＜k＜1 时，方程有四解．
类型三：正弦函数的定义域与值域
例 4．求函数 的定义域.
【解析】由 (k∈Z).
又∵-1≤cosx≤1，∴0＜cosx≤1.
故所求定义域为 .
【总结升华】求三角函数的定义域要注意三角函数本身的符号及单调性，在进行三角函数的变形时，
要注意三角函数的每一步都保持恒等，即不能改变原函数的自变量的取值范围．
举一反三：
【变式 1】已知 的定义域为［0，1)，求 的定义域.
【思路点拨】求函数的定义域：要使 0≤cosx＜1，这里的 cosx 以它的值充当角.
【解析】0≤cosx＜1 ，且 .
πππ + lgy x=
siny x=
3sin (0 )( ) sin ( 2 )
x xf x x x
π
π π
≤ ≤= − < ≤
)sin(coslg xy =
)(xf )(cos xf
2 22 2k x k
π ππ π⇒ − ≤ ≤ + ( )2x k k Zπ≠ ∈5
∴所求函数的定义域为 .
例 5．求下列函数的值域：
（1）y=|sin x|+sin x；
（2） ， ；
【解析】 （1）∵ ，
又∵－1≤sin x≤1，∴y∈[0，2]，即函数的值域为[0，2]．
（2）∵ ，∴ ．
∴ ．∴ ，
∴0≤y≤2．∴函数的值域为[0，2]．
【总结升华】 一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等，而三角函数
是函数的特殊形式，其一般方法也适用，只不过要结合三角函数本身的性质．
举一反三：
【变式 1】求函数 y=3sin2x－4sin x+1， 的值域．
【答案】
【解析】 ，
令 t=sin x，因为 ，所以 t∈[0，1]，
，t∈[0，1]，所以 ．
类型四：函数奇偶性的判断
例 6．判断下列函数的奇偶性：
（1） ．
（2） ．
【解析】
（1）由 1+sin x≠0，即 sin x≠－1，∴ （k∈Z），
∴原函数的定义域不关于原点对称，
[2 2 ) (2 2 ]2 2k k k k k Z
π ππ π π π− + ∈， ， ，
2sin 2 3y x
π = + ,6 6x
π π ∈ −
2sin (sin 0)| sin | sin 0 (sin 0)
x xy x x x
≥= + = > ≥ 5 5sin 12 20 10
xπ π= > =
2(1) 2f = (2) 1f = 2(3) 2f = (4) 0f = 2(5) 2f = − (6) 1f = −
2(7) 2f = − (8) 0f = ( )f x (1) (2) (8) 0f f f+ + =
2(1) (2) (2010) (2009) (2010) 1 2f f f f f+ + + = + = +
1 sin 01 sin
x
x
− >+
( )f x ,2x x R x k k Z
ππ ∈ ≠ + ∈ 且
1 sin (1 sin ) 2 211 sin 1 sin 1 sin
x x
x x x
− − + += = − ++ + + 0 1 sin 2x< + <
1 1
1 sin 2x
>+
2 12 11 sin 2x
> × =+
21 1 1 01 sin x
− + > − + =+ ( )f x
1 1
2 2
1 sin( ) 1 sin( ) log log1 sin( ) 1 sin
x xf x x x
− − +− = =+ − − 1 1
2 2
1 1 sinlog log ( )1 sin 1 sin
1 sin
x f xx x
x
−= = − = −− +
+
( )f x11
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