资料简介
1
三角形中的几何计算
【学习目标】
1.进一步巩固正弦定理和余弦定理，并能综合运用两个定理解决三角形的有关问题；
2.学会用方程思想解决有关三角形的问题，提高综合运用知识的能力和解题的优化意识.
【要点梳理】
要点一：正弦定理和余弦定理的概念
①正弦定理公式：
②余弦定理公式：
第一形式：
第二形式：
要点二：三角形的面积公式
要点三：利用正、余弦定理解三角形
已知两边和一边的对角或已知两角及一边时，通常选择正弦定理来解三角形；已知两边及夹角或已知
三边时，通常选择余弦定理来解三角形.特别是求角时尽量用余弦定理来求，尽量避免分类讨论.
在 中，已知 和 A 时，解的情况主要有以下几类：ABC∆ ,a b
2sin sin sin
a b c RA B C
= = =
（其中 R 表示三角形的外接圆半径）
2 2 2
2 2 2
2 2 2
cos 2
cos 2
cos 2
b c aA bc
a c bB ac
a b cC ab
+ −=
+ −=
+ −=
2 2 2
2 2 2
2 2 2
cos 2
cos 2
cos 2
b c aA bc
a c bB ac
a b cC ab
+ −=
+ −=
+ −=
1 1 1
2 2 2ABC a b cS a h b h c h∆ = ⋅ = ⋅ = ⋅
1 1 1sin sin sin2 2 2ABCS bc A ab C ac B∆ = = =2
①若 A 为锐角时：
一解 一解 两解 无解
② 若 为直角或钝角时：
要点四：三角形的形状的判定
特殊三角形的判定：
（1）直角三角形
勾股定理： ，
互余关系： ， ， ；
（2）等腰三角形： ， ；
用余弦定理判定三角形的形状（最大角 的余弦值的符号）
（1）在 中， ；
（2）在 中， ；
（3）在 中， .
要点五：解三角形时的常用结论
在 中， ，
（1）在 中 ；
（2）互补关系：
（3）互余关系：
sin
sin ( )
sin ( )
( )
a b A
a b A
b A a b
a b
<
=
< <
≥
无解
一解 直角
二解 一锐，一钝
一解 锐角
sina b A= a b≥ sinb A a b< < sina b A<
A
( )
a b
a b
≤
>
无解
一解 锐角
2 2 2a b c+ =
090A B+ = cos 0C = sin 1C =
a b= A B=
A
ABC∆
2 2 2
0 0 2 2 20 90 cos 02
b c aA A b c abc
+ −< < ⇔ = > ⇔ + >
ABC∆
2 2 2
0 2 2 290 cos 02
b c aA A b c abc
+ −= ⇔ = = ⇔ + =
ABC∆
2 2 2
0 2 2 290 cos 02
b c aA A b c abc
+ −< ⇔ = < ⇔ + <
ABC∆ 0180A B C+ + = 0902
A B C+ + =
ABC∆ sin sin cos cosA B a b A B A B> ⇔ > ⇔ > ⇔ <
0sin( ) sin(180 ) sinA B C C+ = − =
0cos( ) cos(180 ) cosA B C C+ = − = −
0tan( ) tan(180 ) tanA B C C+ = − = −3
【典型例题】
类型一：利用正、余弦定理解三角形
例 1. 中， ，求 .
【思路点拨】本题已知边边角，用正弦定理比较简单，但要注意结合三角形中大边对大角定理以及有
解、无解的图形来考虑.
【解析】
解法一 ：正弦定理
由
若 ，则 ，
若 ，则 ，
解法二：余弦定理
若 ，则 ，所以 .
若 ，则 ，所以 .
解法三：正余弦定理
，解得 .
若 ，由 ，得
∵ ，所以 ，所以 B=75°，C=60°；
若 ，由 ，得 .
∵ ，所以 ，所以 .
【总结升华】
①解三角形时，对于求解三角形的题目，一般都可有两种思路.但要注意方法的选择，同时要注意对
ABC∆ 6=c , 45 2A a= ° =， b B C和 ，
sin .sin sin sin sin
a c
A C
= °得 ，所以2 6 3= C=45 C 2
60C = ° 75B = ° 2sin sin 75 3 1,sin sin 45
ab BA
= = ° = +°
120C = ° 15B = ° 2sin sin15 3 1.sin sin 45
ab BA
= = ° = −°
2 2 2 22 cos 6 2 3 4 3 1,a b c bc A b b b= + − = + − = = ±，解得
3 1b = +
2 2 2 6 - 2cos 2 4
a c bB ac
+ −= = 75 60B C= ° = °，
3 1b = −
2 2 2 6 2cos 2 4
a c bB ac
+ − += = 15 120B C= ° = °，
2 2 2 22 cos 6 2 3 4a b c bc A b b= + − = + − = 3 1b = ±
3 1b = +
sin sin sin
a b c
A B C
= = 6 2 3sin ,sin ,4 2B C
+= =
b c a> > B C A> > 75 60B C= ° = °，
3 1b = −
sin sin sin
a b c
A B C
= = 6 - 2 3sin ,sin4 2B C= =
c a b> > C A B> > 15 120B C= ° = °，
0sin sin(90 - ) cos2 2 2
A B C C+ = =
0cos cos(90 ) sin2 2 2
A B C C+ = − =
0tan tan(90 ) cot2 2 2
A B C C+ = − =4
解的讨论.
②解三角形时，要留意三角形内角和为 180°、同一个三角形中大边对大角等性质的应用.
举一反三：
【变式 1】在 中，若 ， ， ，求角 和 ．
【答案】根据余弦定理： ，
∵ ，
∴ ， .
【变式 2】（2015 天津高考）在 中，内角 所对的边分别为 ，已知 的面
积为 ， 则 的值为 .
【答案】
因为 ，所以 ，
又 ，解方程组 得 ，由余弦定理得
，所以 .
例 2．△ABC 的内角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c．
(Ⅰ)若 a，b，c 成等差数列，证明：sinA＋sinC＝2sin(A＋C)；
(Ⅱ)若 a，b，c 成等比数列，求 cosB 的最小值．
【思路点拨】(1)因为 a，b，c 成等差数列，所以 a+c=2b,利用正弦定理用角表示边。（2）因为 a，b，c
成等比数列，所以 ac=b2,利用余弦定理用边表示角，然后利用基本不等式求解。
【答案】(Ⅰ)见解析； (Ⅱ)
【解析】(Ⅰ)∵a，b，c 成等差数列，
∴2b＝a＋c，
利用正弦定理化简得：2sinB＝sinA＋sinC，
∵sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)，
∴sinA＋sinC＝2sinB＝2sin(A＋C)；
(Ⅱ)∵a，b，c 成等比数列，
∴b2＝ac，
∴ ，
ABC∆ 2a = 2 2b = 6 2c = − A sinC
2 2 2 8 8 4 3 4 3cos 2 22 2 2 ( 6 2)
b c aA bc
+ − + − −= = =
× × −
0 180A< A B C> > 3A B C Aπ = + + <
3A
π>
2 2 2a b c< +
2 2 2
cos 02
b c aA bc
+ −= >
2A
π<
( , )3 2A
π π∈
13
1
2 3 3 3
2
1
2
13
1
2
1
2
3
π
sin sin 2 sin , 2A B C a b c+ = ∴ + =
2 1, 2 2 1,a b c c c+ + = + ∴ + = + 1c = 2.a b∴ + =
1 1 1sin sin , .2 6 3S ab C C ab= = ∴ =
2 2 2 2 2( ) 2 1cos 2 2 2
a b c a b ab cC ab ab
+ − + − −∴ = = =
3C
π∴ =
6
π
sin cos 2,B B+ =
sin( ) 1,4B
π+ =
4B
π= sin 1sin 2
a BA b
= =13
又∵
11. 答案：
解析：由正弦定理得 a＋ b＝2c，
≥ ，
当且仅当 时，取等号，
故答案为： ．
12. 解析：
∵ 且 ，∴ ， ，
∵ ， ∴ ，即 ，
又∵ ， ∴ ，
即 ，
∴ ，
∵ ， ∴ ，即 ，
故 .
13. 解析：
(I)由已知，方程 x2＋ px－p＋1＝0 的判别式
△＝( p)2－4(－p＋1)＝3p2＋4p－4≥0
所以 p≤－2 或 p≥
由韦达定理，有 tanA＋tanB＝－ p，tanAtanB＝1－p
于是 1－tanAtanB＝1－(1－p)＝p≠0
3
3
2
3
3
, , 6a b A B A
π< ∴ < ∴ =
4
26 −
2
4
2
2
2
1
4
3
2
)2(4
1
2cos
22222
222
−
+
=
+−+
=−+=
ab
ba
ab
baba
ab
cbaC
4
26
4
2
2
2
2
2
32 −=−
××
ab
ba
ba 2
2
2
3 =
4
26 −
2B A C= + 0180A B C+ + = 060B = 0120A C+ =
2b ac= 2sin sin sinB A C= ⋅ 3sin sin 4A C⋅ =
0120A C+ = 1cos( ) cos cos sin sin 2A C A C A C+ = − = −
1cos cos 4A C =
1 3cos( ) cos cos sin sin 14 4A C A C A C− = + = + =
0 0180 180A C− < − < 0A C− = A C=
a c=14
从而 tan(A＋B)＝
所以 tanC＝－tan(A＋B)＝
所以 C＝60°
(II)由正弦定理，得
sinB＝
解得 B＝45°或 B＝135°(舍去)
于是 A＝180°－B－C＝75°
则 tanA＝tan75°＝tan(45°＋30°)＝
所以 p＝－ (t anA＋tanB)＝－ (2＋ ＋1)＝－1－ .
14. 解析：（1）在 中，由正弦定理，
得 即
又因为
解得 因为 为锐角三角形，
所以
（2）在 中，由余弦定理
得 即
解得 或
当 时，因为
所以角 B 为钝角，不符合题意，舍去；
tan tan 3 31 tan tan
A B p
A B p
+ −= = −−
3
0sin 6 sin 60 2
3 2
AC C
AB
= =
0 0
0 0
31tan 45 tan30 3 2 31 tan 45 tan30 31 3
++ = = +− −
1
3
1
3
3 3
ABC∆
7 3 ,sin sinA B
= 7 sin 3sin ,B A=
7 sin sin 2 3,B A+ =
3sin ,2A = ABC∆
.3A
π=
ABC∆
2 2 2
cos ,2
b c aA bc
+ −=
21 9 7 ,2 6
c
c
+ −= 2 2 0.c c− + =
1c = 2c =
1c =
2 2 2 7cos 02 14
a c bB ac
+ −= = − , .b c b a> >
ABC∆
ABC∆ 1 1 3 3 3sin 3 22 2 2 2S bc A= = × × × =
2 sin sin 2 sin sin ( 2 )sin ,R A A R C C a b B⋅ − ⋅ = −
2 2 2sin sin ( 2 )sin , 2 ,a A c C a b B a c ab b− = − − = −
2 2 2
2 2 2 022 ,cos , 452 2
a b ca b c ab C Cab
+ −+ − = = = = 2 2 22 , 2 sin 2 , 2 2 ,sin
c R c R C R a b R abC
= = = + − =
2
2 2 2 22 2 2 ,
2 2
RR ab a b ab ab+ = + ≥ ≤
−
21 2 2 2sin ,2 4 4 2 2
RS ab C ab= = ≤ ⋅
−
2
max
2 1
2S R
+=
1 2 2sin 2 sin 2 sin2 4 4S ab C ab R A R B= = = × ×
22 2 sin 2 sin 2 sin sin4 R A R B R A B= × × =
2 12 [cos( ) cos( )]2R A B A B= × × − − +
2
2
1 22 [cos( ) ]2 2
2 2(1 )2 2
R A B
R
= × × − +
≤ × +
2
max
2 1
2S R
+∴ = A B=
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