资料简介
1
正弦定理
【学习目标】
1.通过对直角三角形边角间数量关系的研究，发现正弦定理，初步学会运用由特殊到一
般的思维方法发现数学规律；
2.会利用正弦定理解决两类解三角形的问题；
（1）已知两角和任意一边，求其他两边和一角；
（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而求出其它边角）.
【要点梳理】
要点一：学过的三角形知识
1. 中
（1）一般约定： 中角 所对的边分别为 、 、 ；
（2） ；
（3）大边对大角，大角对大边，即 ；
等边对等角，等角对等边，即 ；
（4）两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即 ， .
2. 中， ，
（1） ，
（2）
（3） ， ， ；
， ，
要点二：正弦定理及其证明
正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等，即：
直角三角形中的正弦定理的推导
证明： ， ， ，
即： ， ， ，
∴ ．
斜三角形中的正弦定理的推导
证明：
法一：向量法
ABC∆
ABC∆ A B C、 、 a b c
0180A B C+ + =
B C b c> ⇔ >
B C b c= ⇔ =
a c b+ > a c b− <
Rt ABC∆ 090C∠ =
090B A+ =
2 2 2a b c+ =
sin aA c
= sin bB c
= sin 1C =
cos bA c
= cos aB c
= cos 0C =
sin aA c
= sin bB c
= sin 1C =
sin
ac A
=
sin
bc B
=
sin
cc C
=
sin sin sin
a b c
A B C
= =
a b c= =A B Csin sin sin2
（1）当 为锐角三角形时
过 作单位向量 垂直于 ，则 + =
两边同乘以单位向量 ，得 ( + )= ，
即
∴ ，
∵ ， ， ， ， ，
∴ ， ∴ ，
同理：若过 作 垂直于 得：
∴ ，
（2）当 为钝角三角形时
设 ，过 作单位向量 垂直于向量 ，
同样可证得： ．
法二：构造直角三角形
（1）当 为锐角三角形时
如图，作 边上的高线 交 于 ，则:
在 中， ，即 ，
在 中， ，即 ，
∴ ，即 .
同理可证
∴
（2）当 为钝角三角形时
如图，作 边上的高线 交 于 ，则:
在 中， ，即 ，
在 中， ，即 ，
∴ ，即 .
ABC∆
A j AC AC CB AB
j j ⋅ AC CB j ⋅ AB
j AC j CB j AB⋅ + ⋅ = ⋅
0| | | | cos90 | | | | cos(90 ) | | | | cos(90 )j AC j CB C j AB A⋅ + ⋅ − = ⋅ −
0j AC⋅ = | | 1j = | |CB a= | |AB c= cos(90 ) sinC C− = cos(90 ) sinA A− =
sin sina C c A=
sin sin
a c
A C
=
C j CB
sin sin
b c
B C
=
sin sin sin
a b c
A B C
= =
ABC∆
90A∠ > A j AC
sin sin sin
a b c
A B C
= =
ABC∆
AB CD AB D
Rt CBD∆ sinCD Ba
= sinCD a B=
Rt ACD∆ sinCD Ab
= sinCD b A=
sin sina B b A=
sin sin
a b
A B
=
sin sin
b c
B C
=
sin sin sin
a b c
A B C
= =
ABC∆
AB CD AB D
Rt CBD∆ sinCD Ba
= sinCD a B=
Rt ACD∆ sin(180 )CD Ab
= − sin(180 ) sinoCD b A b A= − =
sin sina B b A=
sin sin
a b
A B
=3
同理可证
∴
法三：圆转化法
（1）当 为锐角三角形时
如图，圆 O 是 的外接圆，直径为 ，则 ，
∴ ，
∴ （ 为 的外接圆半径）
同理： ，
故：
（2）当 为钝角三角形时
如图， .
法四：面积法
任意斜 中，如图作 ，则
同理： ，
故 ，
两边同除以
即得：
要点诠释：
（1）正弦定理适合于任何三角形；
（2）可以证明 （ 为 的外接圆半径）；
（3）每个等式可视为一个方程：知三求一；
（4）利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：
①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角；
②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边.
要点三：解三角形的概念
一般地，我们把三角形的各内角以及它们所对的边叫做三角形的几何元素.任何一个三
sin sin
b c
B C
=
sin sin sin
a b c
A B C
= =
ABC∆
ABC∆ 2AD R= C D∠ = ∠
sin sin 2
cC D R
= =
2 sin
cR C
= R ABC∆
2 sin
aR A
= 2 sin
bR B
=
2sin sin sin
a b c RA B C
= = =
ABC∆
sin sin sin 2
aA E F R
= = =
ABC∆ CH AB⊥ sinCH AC A=
1 1 1sin sin2 2 2ABCS AB CH AB AC A bc A∆ = ⋅ = ⋅ =
1 sin2ABCS ab C∆ = 1 sin2ABCS ac B∆ =
1 1 1sin sin sin2 2 2ABCS ab C ac B bc A∆ = = =
1
2 abc
sin sin sin
a b c
A B C
= =
2sin sin sin
a b c RA B C
= = = R ABC∆4
角形都有六个元素：三边、三角.
在三角形中，由已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形.
有了关于解三角形的有关定理（如勾股定理、三角形的内角和定理、正弦定理，还有即
将学习的余弦定理等），三角学特别是测量学得到了一次飞跃，它可以由已知的三角形的边
和角来推断未知的边和角.
要点四：正弦定理在解三角形中的应用
利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：
（1）已知两角与任一边，求其他两边一角；
（2）已知两边与其中一边的对角，求另一边的对角.
要点诠释：
已知 和 ，用正弦定理求 时的各种情况；
(1)若 A 为锐角时：
如图：
(2)若 为直角或钝角时：
判断三角形形状
判断三角形形状的思路通常有以下两种：
（1）化边为角；
（2）化角为边.对条件实施转化时，通常需要考查边与边、角与角之间的关系：
考虑角之间的关系，主要有：(1)两角是否相等？(2)三个角是否相等？（3）有无
直角、钝角.
考查边之间的关系，主要有：（1）两边是否相等？（2）三边是否相等.
要点诠释：对于求解三角形的题目，一般都可有两种思路.但要注意方法的选择，同时
要注意对解的讨论，从而舍掉不合理的解.比如下面例 2 两种方法不同，因此从不同角度来
a b， A B
sin
sin ( )
sin ( )
( )
a b A
a b A
b A a b
a b
<
=
< <
≥
无解
一解 直角
二解 一锐，一钝
一解 锐角
A
( )
a b
a b
≤
>
无解
一解 锐角5
对解进行讨论.此外，有的时候还要对边角关系（例如，大边对大角）进行讨论从而舍掉不
合理的解.
【典型例题】
类型一：正弦定理的简单应用：
【高清课堂：正弦定理 376682 例 1】
例 1．已知在 中， ， ， ，求 和 .
【思路点拨】本题考查“已知两角与一边，解三角形”的问题，一般先求出剩余的角，
再利用正弦定理求其他的边. 此类题型有唯一解.
【解析】由题意， .
，
∴ ，
又 ，
∴ ．
【总结升华】
1. 在解三角形中，经常用到特殊角的三角函数值，同学们应掌握：
2. 正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题；
举一反三：
【变式 1】 中， ，BC＝3，则 的周长为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】
ABC∆ 10c = 45A = 30C = ,a b B
180 ( ) 105B A C= − + =
sin sin
a c
A C
=
sin 10 sin 45 10 2sin sin30
c Aa C
×= = =
sin sin
b c
B C
=
sin 10 sin105 6 220sin 75 20 5 6 5 2sin 4sin30
c Bb C
× += = = = × = +
ABC∆
3A
π= ABC∆
4 3sin 33B
π + + 4 3sin 36B
π + +
6sin 33B
π + + 6sin 36B
π + + 6
方法一：由正弦定理得： ，得
b＋c＝ [sinB＋sin( －B)]＝ ．
故三角形的周长为：3＋b＋c＝ ，
故选 D．
方法二：由于本题是选择题也可取△ABC 为直角三角形时，即 B＝ ，周长应为 3
＋3，故排除 A、B、C．而选 D．
【变式 2】在 中，已知 ， ， ，求 、 .
【答案】 ，
根据正弦定理 ，∴ .
【变式 3】（2016 岳阳校级模拟改编）在 中，A:B:C=1:2:3,则 a:b:c 等于（ ）
【答案】在 中，若 ，又
所以 .
由正弦定理可知： 。
【高清课堂：正弦定理 376682 例 2】
例 2．在 ，求 和 ， ．
【思路点拨】本题是已知三角形两边及其中一边的对角求解三角形的问题，一般先选用正
弦定理求对应的角，再求剩余的边与角，注意讨论.
【解析】由正弦定理得： ，
∴ ，
（方法一）∵ ， ∴ 或 ，
当 时， ，（舍去）；
当 时， ，∴ ．
（方法二）∵ ， ， ∴ ，
∴ 即 为锐角， ∴ ，
∴ ．
【总结升华】
1. 正弦定理也可用于解决“已知两边与一边的对角，求其他边和角”的问题.
3
2sin sin sin sinsin sin sin( )3 3
b c b c b c
B C B C B B
π π
+ += = = =+ + −
2 3 2
3
π
6sin( )6B
π+
6sin 36B
π + +
6
π
3
ABC∆ 075B = 060C = 5c = a A
0 0 0 0 0180 ( ) 180 (75 60 ) 45A B C= − + = − + =
5
sin 45 sin 60o o
a = 5 6
3a =
ABC∆
ABC∆ =1: 2:3A B C∠ ∠ ∠： ： =A B C π∠ + ∠ + ∠
6 3 2A B C
π π π∠ = ∠ = ∠ =， ，
: : sin :sin B:sin C 1: 3 : 2a b c A= ∠ ∠ ∠ =
3, 60 , 1ABC b B c∆ = = =中， a A C
sin sin
b c
B C
=
sin 1 sin 60 1sin 23
c BC b
×= = =
0 180C<
30C = 90A = 2 2 2a b c= + =
b c> 60B = C B<
60C < C 30C = 90A =
2 2 2a b c= + =7
2. 在利用正弦定理求角 时，因为 ，所以要依据题意准确确定角
的范围，再求出角 .
3.一般依据大边对大角或三角形内角和进行角的取舍.
举一反三：
【变式 1】在 中， ， ， ，求 和 ．
【答案】∵ ， ∴ ，
∵ ， ∴ 或
∴当 时， ， ；
∴当 时， ， ；
所以， 或 ．
【变式 2】在 中， ， ， ， 求 .
【答案】由正弦定理，得 .
∵ ， ∴ ，即
∴
类型二：正弦定理的综合运用
例 3. （2015 湖南高考）设 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， ，
且 B 为钝角。
(1)证明：
（2）求 的取 值范围。
【答案】（1）详见解析；（2）（ ， ].
【思路点拨】
（1）利用正弦定理，将条件中的式子等价变形为 sinB=sin（ +A），从而得证；（2）利用
（1）中的结论，以及三角恒等变形，将 转化为只与 有关的表达式，再利用
三角函数的性质即可求解.
【解析】
（1）由 a=btanA 及正弦定理，得 ,所以 sinB=cosA，即 sinB=sin（
+A）.
ABC∆ tana b A=
2B A
π− =
sin sinA C+
2
2
9
8
2
π
CA sinsin + A
2
π
C 0sin sin(180 )C C= − C
C
ABC∆ 6c = 45A = 2a = b ,B C
sin sin
a c
A C
= sin 6 sin 45 3sin 2 2
c AC a
×= = =
0 180C< < 60C = 120C =
60C = 75B = sin 6 sin 75 3 1sin sin 60
c Bb C
= = = +
120C = 15B = sin 6 sin15 3 1sin sin 60
c Bb C
= = = −
3 1, 75 , 60b B C= + = = 3 1, 15 , 120b B C= − = =
ABC∆ 60B = 14a = 7 6b = A∠
0sin 14 sin 60 2sin 27 6
a BA b
×= = =
a b< A B< 0 60A< <
45A =
sin sin
cos sin
A a A
A b B
= =8
又 B 为钝角，因此 +A （ ，A），故 B= +A，即 B-A= ；
（ 2 ） 由 （ I ） 知 ， C= - （ A+B ） = -(2A+ )= -2A>0 ， 所 以 A ， 于 是
sinA+sinC=sinA+sin（ -2A）= sinA+cos2A=-2 A+sinA+ 1 =-2（sinA- ） + ，因为
0 A B> A B> sinA > sinB
ABC sin sin sin
a b c
A B C
+= +
sin cos cosA B C
a b c
= = ABC
30°
30°
ABC∆
2sin sin
a b cB A
+ = ABC∆
7 14 30a b A °＝ ， ＝ ， ＝
30 25 150a b A °＝ ， ＝ ， ＝
6 9 45a b A °＝ ， ＝ ， ＝
9 10 60b c B °＝ ， ＝ ， ＝
ABC 3ABCS =△ sin sin sin
a b c
A B C
+ +
+ +
ABC 3a = 2b = A C、 c13
11．在 中，若 ， ， ，求 .
12. 在 中， 求 .
13. （2016 长沙二模）在△ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c，且 ，
．
(1)求角 C 的大小；
（2）求 的最大值。
14．如图, 是直角△ 斜边 上一点, ,记∠ ,∠ .
（1）证明 ;
（2）若 ,求 的值.
15. （2015 浙江高考文）在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知
.
（1）求 的值；
（2）若 ，求△ABC 的面积.
【答案与解析】
1. 答案: B
解析： 由正弦定理得 sinB＝ ，又 a>b，所以 A>B，故 B＝30°，所以 C＝90°，故 c＝
2，选 B
2. 答案： C
解析： 由于 sin B＝ ，故 B＝60°或 120°.
当 B＝60°时，C＝90°时，c＝30°.c＝ = ；
当 B＝120°时，C＝30°，c＝a＝ .
tan( A) 24
π + =
2
sin 2
sin 2 cos
A
A A+
B , 34 a
π= =
ABC∆ 045B = 2 2c = 4 33b = A
ABC∆ 2 3 6 30 ,oa b A= = =， ， B C及
a b≥
sin 3 cos 2sin .A A B+ =
a b
c
+
D ABC BC AB AD= CAD = α ABC = β
sin cos2 0+ =α β
3AC DC= β
1
2
sin 3
2
b A
a
=
2 2a b+ 2 5
5
B D C
α
β
A14
3. 答案： B
解析： 由正弦定理知 A、C、D 正确，
而 sin 2A＝sin 2B，可得 A＝B 或 2A＋2B＝π，
∴a＝b 或 a2＋b2＝c2，故 B 错误．
4. 答案： C
解析： 在△ABC 中，由正弦定理：
a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，
代入 得：
，
∴ ＝1.
∴tan B＝tan C＝1，∴B＝C＝45°.
∴△ABC 是等腰直角三角形．
5. 答案： C
解析： ，
由 正 弦 定 理 可 得 ： ， 而 ， 当 且 仅 当
时取等号。
，即 ，又 ，故可得：
。
又 可得 ，
故三角形为等腰三角形，故选：C
6. 答案： B
解析： A 中，由正弦定理得 sin B＝ ，所以 B＝90°，故只有一解，
A 错误；B 中，由正弦定理得 sin B＝ ，又 A 为钝角，故只有一解，B 正确；
C 中，由正弦定理得 sin B＝ ，所以 B 不存在，故无解，C 错误；D 中，由
正弦定理得 sinC＝ ＝
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