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人教A版高中数学必修4讲义：复习课（一）任意角的三角函数及三角恒等变换
资料简介
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复习课(一) 任意角的三角函数及三角恒等变换
三角函数的定义
1．题型多以选择题、填空题为主，一般难度较小．主要考查三角函数的定义的应用，多与求三角函数值或角的大小有关．
2．若角α的终边上任意一点P(x，y)(原点除外)，r＝|OP|＝，则sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)．
[典例] 已知角α的终边过点P(－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈，则sin α＝________，tan α＝________.
[解析] ∵θ∈，∴cos θ＜0，∴r＝＝＝－5cos θ，故sin α＝＝－，tan α＝＝－.
[答案] － －
[类题通法]
利用三角函数定义求函数值的方法
当已知角的终边所经过的点或角的终边所在的直线时，一般先根据三角函数的定义求这个角的三角函数值，再求其他．但当角经过的点不固定时，需要进行分类讨论．
求与正切函数有关问题时，不要忽略正切函数自身的定义域．
1．已知角α的终边上一点的坐标为，则角α的最小正值为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 由三角函数的定义知：
tan α＝＝＝＝－.
又sin ＞0，cos ＜0.
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所以α是第四象限角，因此α的最小正值为.
2．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos 2θ＝( )
A．－ B．－
C. D.
解析：选B 在角θ的终边上任取一点P(a,2a)(a≠0)．
则r2＝|OP|2＝a2＋(2a)2＝5a2.
所以cos2 θ＝＝，
cos 2θ＝2cos2 θ－1＝－1＝－.
3．若θ是第四象限角，则点P(sin θ，tan θ)在第________象限．
解析：因θ是第四象限角，则sin θ＜0，tan θ＜0，
∴点P(sin θ，tan θ )在第三象限．
答案：三
同角三角函数间的基本关系及诱导关系
1．题型既有选择题、填空题，又有解答题．主要考查三角函数式的化简与求值，利用公式进行恒等变形以及基本运算能力．
2．(1)牢记两个基本关系式sin2α＋cos2α＝1及＝tan α，并能应用两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明．
(2)诱导公式可概括为k ·±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是指的奇数倍或偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．
[典例] 已知＝－4，求(sin θ－3cos θ)·(cos θ－sin θ)的值．
[解] 法一：由已知＝－4，
∴2＋tan θ＝－4(1－tan θ)，
解得tan θ＝2.
∴(sin θ－3cos θ)(cos θ－sin θ )
＝4sin θcos θ－sin2θ－3cos2θ
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＝
＝＝＝.
法二：由已知＝－4，
解得tan θ＝2.
即＝2，∴sin θ＝2cos θ.
∴(sin θ－3cos θ)(cos θ－sin θ)
＝(2cos θ－3cos θ)(cos θ－2cos θ)
＝cos2θ＝＝＝.
[类题通法]
三角函数式的求值、化简、证明的常用技巧
(1)化弦：当三角函数式中三角函数名称较多时，往往把三角函数化为弦，再化简变形．
(2)化切：当三角函数式中含有正切及其他三角函数时，有时可将三角函数名称都化为正切，再变形化简．
(3)“1”的代换：在三角函数式中，有些会含有常数1，常数1虽然非常简单，但有些三角函数式的化简却需要利用三角函数公式将“1”代换为三角函数式．
1．若sin(π－α)＝－且α∈，则sin＝( )
A．－ B．－
C. D.
解析：选A sin(π－α)＝sin α＝－，又α∈，
所以sin＝cos α＝－
＝－＝－.
2．如果tan θ＝2，那么1＋sin θcos θ＝ ( )
A. B.
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C. D.
解析：选B 1＋sin θcos θ＝
＝
＝，
又tan θ＝2，
所以1＋sin θcos θ＝＝.
3．计算：sin cos＝________.
解析：因为sin ＝sin＝－sin ＝－，
cos＝cos＝cos＝cos＝，
所以sin cos＝－×＝－.
答案：－
4．已知sin(180°＋α)＝－，0°＜α＜90°，
求的值．
解：由sin(180°＋α)＝－，0°
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