资料简介
3.4.2 基本不等式的应用(一)
项目
内容
课题
3.4.2 基本不等式的应用(1课时)
修改与创新
教学
目标
一、知识与技能
1.利用基本不等式证明一些简单不等式,巩固强化基本不等式;
2.从不等式的证明过程去体会分析法与综合法的证明思路;
3.对不等式证明过程的严谨而又规范的表达.
二、过程与方法
1.采用探究法,按照联想、类比、思考、交流、逻辑分析、抽象应用的方法进行启发式教学;
2.教师提供问题、素材,并及时点拨,发挥老师的主导作用和学生的主体作用;
3.设计较典型的具有挑战性的问题,激发学生去积极思考,从而培养他们的数学学习兴趣.
三、情感态度与价值观
1.通过具体问题的解决,让学生去感受、体验不等式的证明过程需要从理性的角度去思考,通过设置思考项,让学生探究,层层铺设,使学生感受数学、走进数学、培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维习惯;
2.学习过程中,通过对问题的探究思考,广泛参与,培养学生严谨的思维习惯,主动、积极的学习品质,从而提高学习质量;
3.通过对富有挑战性问题的解决,激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度,同时去感受数学的应用性,体会数学的奥秘,数学的简洁美,数学推理的严谨美,从而激发学生的学习兴趣.
教学重、
难点
教学重点
1.利用基本不等式证明一些简单不等式,巩固强化基本不等式;
2.对不等式证明过程的严谨而又规范的表达;
3.从不等式的证明过程去体会分析法与综合法的证明思路.
教学难点
1.利用基本不等式证明一些简单不等式,巩固强化基本不等式;
2.对不等式证明过程的严谨而又规范的表达;
3.从不等式的证明过程去体会分析法与综合法的证明思路.
教学
准备
投影仪、胶片、三角板、刻度尺
教学过程
导入新课
师 前一节课,我们通过问题背景,抽象出了不等式a2+b2≥2ab(a、b∈R),然后以数形结合思想为指导,从代数、几何两个背景推导出基本不等式.本节课,我们将利用基本不等式 来尝试证明一些简单的不等式.
(此时,老师用投影仪给出下列问题)
推进新课
问题1.已知x、y都是正数,求证:
(1);
(2)(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥8x3y3.
师 前面我们研究了可以用不等式和实数的基本性质来证明不等式,请同学们思考一下,第一小问是否可以用不等式和实数的基本性质来证明此不等式呢?
(思考两分钟)
生 不可以证明.
师 是否可以用基本不等式证明呢?
生 可以.
(让学生板演,老师根据学生的完成情况作点评)
解:∵x、y都是正数,∴,.∴,即.
师 这位同学板演得很好.下面的同学都完成了吗?
(齐声:完成)
[合作探究]
师 请同学继续思考第二小问该如何证明?它是否能用一次基本不等式就能证明呢?
(引导同学们积极思考)
生 可以用三次基本不等式再结合不等式的基本性质.
师 这位同学分析得非常好.他对要证不等式的特征观察的很细致、到位.
生 ∵x,y都是正数,∴x2>0,y2>0,x3>0,y3>0.∴x+y≥2>0,x2+y2≥2x2y2>0, x3+y3≥2x3y3>0.∴可得(x+y)(x 2+y2)(x3+y3)≥2xy·2·2=8x3y3,即(x+y)(x2+y 2)(x 3+y3)≥8x 3y3.
师 这位同学表达得非常好,思维即严谨又周到.
(在表达过程中,对条件x,y都是正数往往忽视)
师 在运用定理:时,注意条件a、b均为正数,往往可以激发我们想到解题思路,再结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件)进行变形,进而可以得证.
(此时,老师用投影仪给出下列问题)
问题3.求证:.
(此处留的时间可以长一些,意在激发学生自主探究问题,把探究的思维空间切实留给学生)
师 利用完全平方公式,结合重要不等式:a2+b 2≥2ab,恰当变形,是证明本题的关键.
(让学生板演,老师根据学生的完成情况作点评)
解:∵a2+b2≥2ab,∴2(a2+b2)≥a2+b2+2ab=(a+b)2.∴2(a 2+b2)≥(a+b)2.
不等式两边同除以4,得≥,即.
师 下面同学都是用这种思路解答的吗?
生 也可由结论到条件去证明,即用作差法.
师 这位同学答得非常好,思维很活跃,具体的过程让同学们课后去完成.
[课堂练习]
1.已知a、b、c都是正数,求证:(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc.
分析:对于此类题目,选择定理:(a>0,b>0)灵活变形,可求得结果.
∵a、b、c都是正数,
∴a+b≥2>0,b+c≥2>0,c+a≥2>0.
∴(a+b)(b+c)(c+a)≥2·2·2=8abc,
即(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc.
[合作探究]
2.已知(a+b)(x+y)>2(ay+bx),求证:.
(老师先分析,再让学生完成)
师 本题结论中,注意互为倒数,它们的积为1,可利用公式a+b≥2ab,但要注意条件a、b为正数.故此题应从已知条件出发,经过变形,说明为正数开始证题.
(在教师引导下,学生积极参与下列证题过程)
生 ∵(a+b)(x+y)>2(ay+bx),
∴ax+ay+bx+by>2ay+2bx.
∴ax-ay+by-bx>0.
∴(ax-bx)-(ay-by)>0.
∴(a-b)(x-y)>0,
即a-b与x-y同号.
∴均为正数.
∴ (当且仅当时取“=”).
∴.
师生共析 我们在运用重要不等式a 2+b2≥2ab时,只要求a、b为实数就可以了.而运用定理:“≥ab”时,必须使a、b满足同为正数.本题通过对已知条件变形(恰当地因式分解),从讨论因式乘积的符号来判断是正还是负,是我们今后解题中常用的方法.
课堂小结
师 本节课我们研究了什么问题?同学们在本节课的研究过程中有什么收获呢?
生 我们以基本不等式为基础,证明了另外一些重要、常用的不等式,并且在证明过程中进一步巩固了证明不等式常用的思想方法.(教师提出对重要、常用不等式的掌握要求)
师 本节课我们用到重要不等式a 2+b 2≥2ab;两正数a、b的算术平均数(),几何平均数(ab)及它们的关系证明了一些不等式,它们成立的条件不同,前者只要求a、b都是实数,而后者要求a、b都是正数.它们既是不等式变形的基本工具,又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).
我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题:,.
师 同学们课后要进一步领会这些重要不等式成立的前提条件如何用.为下一节课基本不等式的实际应用打下坚实的基础.
布置作业
课本第116页,B组第1题.
板书设计
基本不等式的应用(一)
复习引入 例1 方法归纳
基本不等式 例2
方法引导 小结
实例剖析(知识方法应用)
示范解题
教学反思
利用基本不等式证明一些简单不等式,巩固强化基本不等式.以数学知识为载体,对学生的逻辑思维能力,各种思想方法的掌握,进而提高学生的数学素质与数学素养,这是高中数学教学的一项主要任务.在本节课的教学过程中,对一些不等式的证明不是直接给出,而是以设问方式的变化,引导学生思考,通过由特殊到一般的探索规律去解决问题.
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