资料简介
长丰县实验高中2016 ~2017学年第一学期高二年级数学（文科）
集 体 备 课 教 案
项目
内容
课题
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
（1课时）
修改与创新
教学
目标
1.正确理解空间中直线与直线的位置关系,特别是两直线的异面关系.
2.以公理4和等角定理为基础，正确理解两异面直线所成角的概念以及它们的应用.
3.进一步培养学生的空间想象能力，以及有根有据、实事求是等严肃的科学态度和品质.
教学重、
难点
两直线异面的判定方法，以及两异面直线所成角的求法.
教学
准备
多媒体课件
教学过程
导入新课
观察长方体（图1），你能发现长方体ABCD—A′B′C′D′中，线段A′B所在的直线与线段C′C所在直线的位置关系如何？
图1
提出问题
①什么叫做异面直线？
②总结空间中直线与直线的位置关系.
③两异面直线的画法.
④在同一平面内，如果两直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行.在空间这个结论成立吗？
⑤什么是空间等角定理？
⑥什么叫做两异面直线所成的角？
⑦什么叫做两条直线互相垂直？
活动：先让学生动手做题，再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.
讨论结果：①异面直线是指不同在任何一个平面内的两条直线.它是以否定的形式给出的，以否定形式给出的问题一般用反证法证明.
②空间两条直线的位置关系有且只有三种.结合长方体模型(图1)，引导学生得出空间的两条直线的三种位置关系：
③教师再次强调异面直线不共面的特点，作图时通常用一个或两个平面衬托，如图2.
图2
④组织学生思考：
长方体ABCD—A′B′C′D′中，如图1,
BB′∥AA′，DD′∥AA′,BB′与DD′平行吗？
通过观察得出结论：BB′与DD′平行.
再联系其他相应实例归纳出公理4.
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.
符号表示为：a∥b,b∥ca∥c.
强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用.
公理4是：判断空间两条直线平行的依据，不必证明，可直接应用.
⑤等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
⑥
怎么定义两条异面直线所成的角呢？能否转化为用共面直线所成的角来表示呢？
生：可以把异面直线所成角转化为平面内两直线所成角来表示.如图3，异面直线a、b，在空间中任取一点O，过点O分别引a′∥a，b′∥b，则a′，b′所成的锐角（或直角）叫做两条异面直线所成的角.
图3
针对这个定义，我们来思考两个问题.
问题1：这样定义两条异面直线所成的角，是否合理？对空间中的任一点O有无限制条件？
答：在这个定义中，空间中的一点是任意取的.若在空间中，再取一点O′（图4），过点O′作a″∥a，b″∥b，根据等角定理，a″与b″所成的锐角（或直角）和a′与b′所成的锐角（或直角）相等，即过空间任意一点引两条直线分别平行于两条异面直线，它们所成的锐角（或直角）都是相等的，值是唯一的、确定的，而与所取的点位置无关，这表明这样定义两条异面直线所成角的合理性.注意：有时，为了方便，可将点O取在a或b上（如图3）.
图4
问题2：这个定义与平面内两相交直线所成角是否矛盾？
答：没有矛盾.当a、b相交时，此定义仍适用，表明此定义与平面内两相交直线所成角的概念没有矛盾，是相交直线所成角概念的推广.
⑦在定义中，两条异面直线所成角的范围是（0°，90°]，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直.例如，正方体上的任一条棱和不平行于它的八条棱都是相互垂直的，其中有的和这条棱相交，有的和这条棱异面（图5）.
图5
应用示例
例1 如图6，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.
图6
求证：四边形EFGH是平行四边形.
证明：连接EH，因为EH是△ABD的中位线，所以EH∥BD，且EH=.
同理，FG∥BD，且FG=.
所以EH∥FG，且EH=FG.所以四边形EFGH为平行四边形.
变式训练
1.如图6，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点且AC=BD.
求证：四边形EFGH是菱形.
证明：连接EH，因为EH是△ABD的中位线，所以EH∥BD，且EH=.
同理，FG∥BD，EF∥AC，且FG=,EF=.
所以EH∥FG，且EH=FG.所以四边形EFGH为平行四边形.
因为AC=BD,所以EF=EH.
所以四边形EFGH为菱形.
2.如图6，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA
的中点且AC=BD，AC⊥BD.
求证：四边形EFGH是正方形.
证明：连接EH，因为EH是△ABD的中位线，
所以EH∥BD，且EH=.
同理，FG∥BD，EF∥AC，且FG=，EF=.
所以EH∥FG，且EH=FG.所以四边形EFGH为平行四边形.
因为AC=BD，所以EF=EH.
因为FG∥BD，EF∥AC，所以∠FEH为两异面直线AC与BD所成的角.又因为AC⊥BD，所以EF⊥EH.
所以四边形EFGH为正方形.
点评：“见中点找中点”构造三角形的中位线是证明平行常用的方法.
例2 如图7，已知正方体ABCD—A′B′C′D′.
图7
(1)哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？
(2)直线BA′和CC′的夹角是多少？
(3)哪些棱所在直线与直线AA′垂直？
解：(1)由异面直线的定义可知，棱AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直线分别与BA′是异面直线.
(2)由BB′∥CC′可知，∠B′BA′是异面直线BA′和CC′的夹角，∠B′BA′=45°，所以直线BA′和CC′的夹角为45°.
（3）直线AB、BC、CD、DA、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分别与直线AA′垂直.
变式训练
如图8，已知正方体ABCD—A′B′C′D′.
图8
（1）求异面直线BC′与A′B′所成的角的度数；
(2)求异面直线CD′和BC′所成的角的度数.
解：（1）由A′B′∥C′D′可知，∠BC′D′是异面直线BC′与A′B′所成的角，
∵BC′⊥C′D′，∴异面直线BC′与A′B′所成的角的度数为90°.
（2）连接AD′,AC,由AD′∥BC′可知，∠AD′C是异面直线CD′和BC′所成的角，
∵△AD′C是等边三角形.
∴∠AD′C=60°，即异面直线CD′和BC′所成的角的度数为60°.
点评：“平移法”是求两异面直线所成角的基本方法.
课堂小结
本节学习了空间两直线的三种位置关系：平行、相交、异面，其中异面关系是重点和难点.
为了准确理解两异面直线所成角的概念，我们学习了公理4和等角定理.
作业
课本习题2.1 A组3、4.
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