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长丰县实验高中2016 ~2017学年第一学期高二年级数学(文科)‎ 集 体 备 课 教 案 项目 内容 课题 ‎2.1.1‎‎ 平面 ‎(1课时)‎ 修改与创新 教学 目标 ‎1.正确理解平面的几何概念,掌握平面的基本性质.‎ ‎2.熟练掌握三种数学语言的转换与翻译,结合三个公理的应用会证明共点、共线、共面问题.‎ ‎3.通过三种语言的学习让学生感知数学语言的美,培养学生学习数学的兴趣.‎ 教学重、‎ 难点 三种数学语言的转换与翻译,利用三个公理证明共点、共线、共面问题.‎ 教学 准备 多媒体课件 教学过程 观察长方体(图1),你能发现长方体的顶点、棱所在的直线,以及侧面、底面之间的关系吗?‎ 图1‎ ‎ 长方体由上、下、前、后、左、右六个面围成.有些面是平行的,有些面是相交的;有些棱所在的直线与面平行,有些棱所在的直线与面相交;每条棱所在的直线都可以看成是某个面内的直线等等.空间中的点、直线、平面之间有哪些位置关系呢?本节我们将讨论这个问题.‎ 提出问题 ‎①怎样理解平面这一最基本的几何概念;‎ ‎②平面的画法与表示方法;‎ ‎③如何描述点与直线、平面的位置关系?‎ ‎④直线与平面有一个公共点,直线是否在平面内?直线与平面至少有几个公共点才能判断直线在平面内?‎ ‎⑤根据自己的生活经验,几个点能确定一个平面?‎ ‎⑥如果两个不重合的平面有一个公共点,它们的位置关系如何?请画图表示;‎ ‎⑦描述点、直线、平面的位置关系常用几种语言?‎ ‎⑧自己总结三个公理的有关内容.‎ 活动:让学生先思考或讨论,然后再回答,经教师提示、点拨,对回答正确的学生及时表扬,对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.对有困难的学生可提示如下:‎ ‎①回忆我们学过的最基本的概念(原始概念),如点、直线、集合等.‎ ‎②我们的桌面看起来像什么图形?表示平面和表示点、直线一样,通常用英文字母或希腊字母表示.‎ ‎③点在直线上和点在直线外;点在平面内和点在平面外.‎ ‎④确定一条直线需要几个点?‎ ‎⑤引导学生观察教室的门由几个点确定.‎ ‎⑥两个平面不可能仅有一个公共点,因为平面有无限延展性.‎ ‎⑦文字语言、图形语言、符号语言.‎ ‎⑧平面的基本性质小结.‎ 讨论结果:①平面与我们学过的点、直线、集合等概念一样都是最基本的概念(不加定义的原始概念),只能通过对它描述加以理解,可以用它定义其他概念,不能用其他概念来定义它,因为它是不加定义的.平面的基本特征是无限延展性,很像如来佛的手掌(吴承恩的立体几何一定不错).‎ ‎②我们的桌面看起来像平行四边形,因此平面通常画成平行四边形,有些时候我们也可以用圆或三角形等图形来表示平面,如图2.平行四边形的锐角通常画成45°,且横边长等于其邻边长的2倍.如果一个平面被另一个平面遮挡住,为了增强它的立体感,我们常把它遮挡的部分用虚线画出来,如图3.‎ ‎ ‎ 图2 图3‎ ‎ 平面的表示法有如下几种:(1)在一个希腊字母α、β、γ的前面加“平面”二字,如平面α、平面β、平面γ等,且字母通常写在平行四边形的一个锐角内(图4);(2)用平行四边形的四个字母表示,如平面ABCD(图5);(3)用表示平行四边形的两个相对顶点的字母来表示,如平面AC(图5).‎ ‎ ‎ 图4 图5‎ ‎③下面我们总结点与直线、平面的位置关系如下表:‎ 点A在直线a上(或直线a经过点A)‎ A∈a 元素与集合间的关系 点A在直线a外(或直线a不经过点A)‎ Aa 点A在平面α内(或平面α经过点A)‎ A∈α 点A在平面α外(或平面α不经过点A)‎ Aα ‎④直线上有一个点在平面内,直线没有全部落在平面内(图7),直线上有两个点在平面内,则直线全部落在平面内.例如用直尺紧贴着玻璃黑板,则直尺落在平面内.‎ 公理1:如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内.‎ 这是用文字语言描述,我们也可以用符号语言和图形语言(图6)描述.‎ ‎ 空间图形的基本元素是点、直线、平面.‎ 从运动的观点看,点动成线,线动成面,从而可以把直线、平面看成是点的集合,因此它们之间的关系除了用文字和图形表示外,还可借用集合中的符号语言来表示.规定直线用两个大写的英文字母或一个小写的英文字母表示,点用一个大写的英文字母表示,而平面则用一个小写的希腊字母表示.公理1也可以用符号语言表示:‎ 若A∈a,B∈a,且A∈α,B∈α,则aα.‎ ‎ ‎ 图6 图7‎ 请同学们用符号语言和图形语言描述直线与平面相交.‎ 若A∈a,B∈a,且Aα,B∈α,则aα.如图(图7).‎ ‎⑤在生活中,我们常常可以看到这样的现象:三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪等等.‎ ‎ 上述事实和类似的经验可以归纳为下面的公理.‎ 公理2:经过不在同一直线上的三点,有且只有一个平面.‎ 如图(图8).‎ 图8‎ 公理2刻画了平面特有的性质,它是确定一个平面位置的依据之一.‎ ‎⑥我们用平行四边形来表示平面,那么平面是不是只有平行四边形这么个范围呢?‎ 不是,因为平面是无限延展的.直线是可以落在平面内的,因为直线是无限延伸的,如果平面是有限的,那么无限延伸的直线又怎么能在有限的平面内呢?所以平面具有无限延展的特征.‎ 现在我们根据平面的无限延展性来观察一个现象(课件演示给学生看).‎ 问:两个平面会不会只有一个公共点?不会,因为平面是无限延展的,应当有很多公共点.正因为平面是无限延展的,所以有一个公共点,必有无数个公共点.‎ 那么这无数个公共点在什么位置呢?可见,这无数个公共点在一条直线上.‎ ‎ 这说明,如果两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.此时,就说两平面相交,交线就是公共点的集合,这就是公理3.如图(图9),用符号语言表示为:P∈α,且P∈βα∩β=l,且P∈l.‎ 图9‎ ‎ 公理3告诉我们,如果两个不重合的平面有一个公共点,那么这两个平面一定相交,且其交线一定过这个公共点.也就是说,如果两个平面有一个公共点,那么它们必定还有另外一个公共点,只要找出这两个平面的两个公共点,就找出了它们的交线.‎ ‎ 由此看出公理3不仅给出了两个平面相交的依据,还告诉我们所有交点在同一条直线上,并给出了找这条交线的方法.‎ ‎⑦描述点、直线、平面的位置关系常用3种语言:文字语言、图形语言、符号语言.‎ ‎⑧“平面的基本性质”小结:‎ 名称 作用 公理1‎ 判定直线在平面内的依据 公理2‎ 确定一个平面的依据 公理3‎ 两平面相交的依据 应用示例 例1 如图10,用符号语言表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.‎ 图10‎ 活动:学生自己思考或讨论,再写出(最好用实物投影仪展示写的正确的答案).教师在学生中巡视,发现问题及时纠正,并及时评价.‎ 解:在(1)中,α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B.‎ 在(2)中,α∩β=l,aα,bβ,a∩l=P,b∩l=P.‎ 变式训练 ‎1.画图表示下列由集合符号给出的关系:‎ ‎(1)A∈α,Bα,A∈l,B∈l;‎ ‎(2)aα,bβ,a∥c,b∩c=P,α∩β=c.‎ 解:如图11.‎ 图11‎ ‎2.根据下列条件,画出图形.‎ ‎(1)平面α∩平面β=l,直线ABα,AB∥l,E∈AB,直线EF∩β=F,Fl;‎ ‎(2)平面α∩平面β=a,△ABC的三个顶点满足条件:A∈a,B∈α,Ba,C∈β,Ca.‎ 答案:如图12.‎ 图12‎ 点评:图形语言与符号语言的转换是本节的重点,主要有两种题型:‎ ‎(1)根据图形,先判断点、直线、平面的位置关系,然后用符号表示出来.‎ ‎(2)根据符号,想象出点、直线、平面的位置关系,然后用图形表示出来.‎ 例2 已知直线a和直线b相交于点A.求证:过直线a和直线b有且只有一个平面.‎ 图13‎ 证明:如图13,点A是直线a和直线b的交点,在a上取一点B,b上取一点C,‎ 根据公理2经过不在同一直线上的三点A、B、C有一个平面α,‎ 因为A、B在平面α内,根据公理1,直线a在平面α内,‎ 同理直线b在平面α内,即平面α是经过直线a和直线b的平面.‎ 又因为A、B在a上,A、C在b上,所以经过直线a和直线b的平面一定经过点A、B、C.‎ 于是根据公理2,经过不共线的三点A、B、C的平面有且只有一个,‎ 所以经过直线a和直线b的平面有且只有一个.‎ 变式训练 求证:两两相交且不共点的四条直线在同一平面内.‎ 证明:如图14,直线a、b、c、d两两相交,交点分别为A、B、C、D、E、F,‎ 图14‎ ‎∵直线a∩直线b=A,∴直线a和直线b确定平面设为α,即a,bα.‎ ‎∵B、C∈a,E、F∈b,∴B、C、E、F∈α.‎ 而B、F∈c,C、E∈d,∴c、dα,‎ 即a、b、c、d在同一平面内.‎ 点评:在今后的学习中经常遇到证明点和直线共面问题,除公理2外,确定平面的依据还有:‎ ‎(1)直线与直线外一点.( 2)两条相交直线.(3)两条平行直线.‎ 课堂小结 ‎1.平面是一个不加定义的原始概念,其基本特征是无限延展性.‎ ‎2.通过三个公理介绍了平面的基本性质,及作用.‎ 名称 作用 公理1‎ 判定直线在平面内的依据 公理2‎ 确定一个平面的依据 公理3‎ 两平面相交的依据 ‎3.利用三个公理证明共面、共线、共点问题.‎ 作业 课本习题‎2.1 A组5、6.‎ 板书设计 教学反思 查看更多

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