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2014年北师大版九下数学圆周角和圆心角的关系(2)教案和课件
2014年北师大版九年级下3.3圆周角和圆心角的关系(2)课件+教学设计+拓展资源
资料简介
第三节 圆周角和圆心角的关系(二)
第三章 圆
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耐心填一填，一锤定音！
A
B
C
O
1.
如图，∠
BOC
是
角， ∠
BAC
是
角。
若∠
BOC=80
°
， ∠
BAC=
。
圆心
圆周
40
°
2.
如图，点
A
，
B
，
C
都 在⊙
O
上，若∠
ABO=65
°
，则
∠
BCA=
（ ）
25
°
B. 32.5
°
C. 30
°
D. 45
°
A
B
C
O
A
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用心想一想，马到功成
观察图①，∠
ABC
， ∠
ADC
和∠
AEC
各是什么角？它们有什么共同的特征？它们的大小有什么关系？为什么？
B
A
E
C
D
O
答： ∠
ABC
， ∠
ADC
和∠
AEC
都是圆周角。
它们的共同特征是：它们都对着
AC
根据圆周角定理，∠
ABC
，∠
ADC
，∠
AEC
都等于 圆心角∠
AOC
的一半。 所以这三个角是相等的。
由此你得到什么结论？
这三个角是相等的。
理由是：
图①
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用心想一想，马到功成
B
A
E
C
D
O
结论是：
在
同
圆中，同弧所对的圆周角相等。
如果把上面的同弧改成等弧，结论成立吗？
答：成立。因为等弧所对的圆心角相等，而圆周角等于圆心角的一半，所以这些圆周角也相等。
对于等圆
,
情况也一样
.
因此
,
我们可以得到：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。
问题：若将上面推论中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”，
结论成立吗？请同学们互相议一议。
答：结论不成立。请看图。
A
B
1
2
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用心想一想，马到功成
如图，当他站在
B
，
D
，
E
的位置射球时对球门
AC
的张角的大小相等吗？为什么？
因为这三个角都对着
AC
，
所以它们相等。
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用心想一想，马到功成
观察图②，
BC
是⊙
O
的直径，它所对的圆周角是
锐角、直角、还是钝角？你是如何判断的？
A
B
C
O
答：直径
BC
所对的圆周角是直角。因为一条直径
将圆分成了两个半圆，而半圆所对的圆心角是∠
BOC=180
°
，
所以 ∠
BAC=90
°
。
图②
B
C
A
O
观察图③，圆周角∠
BAC=90
°
，弦
BC
经过圆心吗？为什么？
图③
答：弦
BC
经过圆心
O
。
因为连接
OC
、
OB
，
由∠
BAC=90
°
可得
圆心角∠
BOC=180
°
。即
B
、
O
、
C
三点在同一直线，也就是
BC
是⊙
O
的一条
直径。
由
以上我们可得到：直径所对的圆周角是直角；
90
°
的圆周角所对的弦是直径。
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放开手脚 做一做
小明想用
直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形。根据下图，你能判断哪个是半圆形？为什么？
答：图（
2
）是半圆形。理由是：
90
°
的圆周角所对的弦是直径。
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放开手脚 做一做
如
图，
AB
是⊙
O
的直径，
BD
是⊙
O
的
弦，延长
BD
到
C
，
使
AC=AB
。
BD
与
CD
的大小有什么关系？为什么？
A
B
C
D
O
分析：由于
AB
是⊙
O
的直径，故连接
AD
。
由直径所对的圆周角是直角，可得
AD
⊥
BC
.
又因为△
ABC
中，
AC=AB
，
所以由等腰三角形的三线合一，可证得
BD=CD
。
解：
BD=CD
。
理由是：连接
AD
。
∵
AB
是⊙
O
的
直径，
∴
∠
ADB=90
°
，
即
AD
⊥
BC
。
又
∵
AC=AB
。
∴
BD=CD
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教材题变形，拓展延伸
船在
航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁。
如图，
A
，
B
表示灯塔，暗礁分布在经过
A
，
B
两点的一个圆形区域内，
C
表示一个危险临界点，∠
ACB
就是“危险角”，当船与两个
灯塔的夹角大于“危险角”时，就有可能触礁。
（
1
）当船与两个灯塔的夹角
∠
α
大于“危险角”时，船位于 哪个区域？为什么？
（
2
）当船与两个灯塔的夹角
∠
α
小于“危险角”时，船位于 哪个区域？为什么？
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分析：这是一个有实际背景的问题。由题意可知：“危险角∠
ACB”
实际上就是圆周角。
船
P
与两个灯塔的夹角为∠
α
，
P
有可能在⊙
O
外，
P
有可能在⊙
O
内
.
当∠
α
＞∠
C
时，船位于暗礁区域内；当∠
α
＜∠
C
时，船位于暗礁区域外。因此
,
我们可以分情况讨论
.
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解：（
1
）当船与两个灯塔的夹角∠
α
大于“危险角” ∠
C
时，船位于暗礁区域内（即⊙
O
内）。理由是：
连接
BE
.
假设船在⊙
O
上，则有∠
α=∠C
，
这与∠
α
＞∠
C
矛盾，所以船不可能在⊙
O
上；假设船在⊙
O
外，则有∠
α
＜∠
AEB
，
即∠
α
＜∠
C
，
这与∠
α
＞∠
C
矛盾，所以船不可能在⊙
O
外。因此，船只能位于⊙
O
内。
（
1
）当船与两个灯塔的夹角
∠
α
大于“危险角”时，船位于 哪个区域？为什么？
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（
2
）当船与两个灯塔的夹角
∠
α
小于“危险角”时，船位于 哪个区域？为什么？
解：（
2
）当船与两个灯塔的夹角∠
α
小于“危险角” ∠
C
时，船位于暗礁区域外（即⊙
O
外）。理由是：
假设船在⊙
O
上，则有∠
α=∠C
，
这与∠
α
＜∠
C
矛盾，所以船不可能在⊙
O
上；假设船在⊙
O
内，则有∠
α
＞∠
AEB
，
即∠
α
＞∠
C
，
这与∠
α
＜∠
C
矛盾，所以船不可能在⊙
O
内。因此，船只能位于⊙
O
外。
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大胆尝试，练一练
1.
为什么有些电影院的坐位排列（横排）呈圆弧形？说一说这种设计的合理性。
答：有些电影院的坐位排列呈圆弧形，这样设计的理由是尽量保证同排的观众视角相等。
2.
如图，哪个角与∠
BAC
相等？
A
B
C
D
答：∠
BDC= ∠BAC
。
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3.
如图
,⊙O
的直径
AB=10 cm
，
C
为⊙
O
上的一点，∠
ABC=30
°
，求
AC
的长。
A
B
C
O
解：∵
AB
为⊙
O
的直径。
∴∠
ACB=90
°
。
又∵∠
ABC=30
°
，
∴
AC= AB= ×10=5
（
cm
）。
1
2
1
2
1
2
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课时小结
1.
要理解圆周角定理的推论。
2.
构造直径所对的圆周角是圆中的常用方法。
3.
要多观察图形，善于识别圆周角与圆心角，构造同弧所对的
圆周角也是常用方法之一。
4.
圆周角定理建立了圆心角与圆周角的关系，而同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间又存在等量关系，因此，圆中的角（圆周角和圆心角）、弦、弧等的相等关系可以互相转化。但转化过程中要注意以圆心角、弧为桥梁。如由弦相等只能得弧或圆心角相等，不能直接得圆周角相等。
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作业：
课本习题
3.5 1
、
2
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谢谢合作!
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