资料简介
第一节 等腰三角形
(
二
)
第一章 三角形的证明
想一想
,
做一做
在等腰三角形中作出一些线段
(
如角平分线、中线、高等
)
,你能发现其中一些相等的线段吗
?
你能证明你的结论吗
?
作图观察
,
我们可以发现:
等腰三角形两底角的平分线相等;两腰上的高、中线也分别相等
.
我们知道,观察或度量是不够的,感觉不可靠.这就需要以公理和已证明的定理为基础去证明它,让人们坚定不移地去承认它,相信它.
下面我们就来证明上面提到的线段中的一种:
等腰三角形两底角的平分线相等
.
已知:如图,在△
ABC
中,
AB=AC
,
BD
、
CE
是△
ABC
的角平分线.
例
1.
证明
:
等腰三角形两底角的平分线相等
.
用心想一想,马到功成
2
1
E
D
C
B
A
求证:
BD=CE
.
证明:∵
AB=AC
,∴∠
ABC=∠ACB(
等边对等角
)
.
∵∠1= ∠ABC
,∠
2= ∠ACB
,∴∠
1=∠2
.
在△
BDC
和△
CEB
中,
∵∠ACB=∠ABC
,
BC=CB
,∠
1=∠2
.
∴△BDC≌△CEB(ASA)
.
∴BD=CE(
全等三角形的对应边相等
)
.
已知:如图,在△
ABC
中,
AB=AC
,
BD
、
CE
是△
ABC
的角平分线.
例
1.
证明
:
等腰三角形两底角的平分线相等
.
用心想一想,马到功成
4
3
E
D
C
B
A
求证:
BD=CE
.
一题多解
证明:∵
AB=AC
,∴∠
ABC=∠ACB
.
∵∠3= ∠ABC
,∠
4= ∠ACB
, ∴∠
3=∠4
.
在△
ABD
和△
ACE
中,
∵∠3=∠4
,
AB=AC
,∠
A=∠A
.
∴△ABD≌△ACE(ASA)
.
∴BD=CE(
全等三角形的对应边相等
)
.
大胆尝试,练一练!
已知:如图,在△
ABC
中,
AB=AC
,
BD
、
CE
是△
ABC
的高.
1.
证明
:
等腰三角形两腰上的高相等
.
求证:
BD=CE
.
E
D
C
B
A
分析:
要证
BD=CE
,就需证
BD
和
CE
所在的两个三角形的全等.
大胆尝试,练一练!
已知:如图,在△
ABC
中,
AB=AC
,
BD
、
CE
是△
ABC
的中线.
2.
证明
:
等腰三角形两腰上的中线相等
.
求证:
BD=CE
.
E
D
C
B
A
分析:
要证
BD=CE
,就需证
BD
和
CE
所在的两个三角形的全等.
刚才,我们只是发现并证明了等腰三角形中比较特殊的线段
(
角平分线、中线、高
)
相等,还有其他的结论吗
?
你能从上述证明的过程中得到什么启示
?
把腰二等分的线段相等,把底角二等分的线段相等.如果是三等分、四等分
……
结果如何呢
?
想一想
,
做一做
议一议
1
.在等腰三角形
ABC
中,
(1)
如果∠
ABD= ∠ABC
,∠
ACE= ∠ACB
,那么
BD=CE
吗
?
如果∠
ABD= ∠ABC
,∠
ACE= ∠ACB
呢
?
由此,你能得到一个什么结论
?
(2)
如果
AD= AC
,
AE= AB
,那么
BD=CE
吗
?
如果
AD= AC
,
AE= AB
呢
?
由此你得到什么结论
?
小结
(1)在△ABC中,如果AB=AC,∠ABD= ∠ABC,∠ACE= ∠ACB,那么BD=CE.
(2)在△ABC中,如果AB=AC,AD= AC,
AE= AB,那么BD=CE.
简述为:
(1)在△ABC中,如果AB=AC,∠ABD=∠ACE,那么BD=CE.
(2)在△ABC中,如果AB=AC,AD=AE,那么BD=CE.
1.
求证:
等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于
60°.
已知:如图,在△
ABC
中,
AB=BC=AC
。
求证:∠
A=∠B=∠C=60°.
证明:在
ΔABC
中,∵
AB=AC
,
∴∠B=∠C(
等边对等角
).
同理:∠
C=∠A
,
∴∠A=∠B=∠C
(等量代换)
.
又∵∠
A+∠B+∠C
=
180°
(三角形内角和定理)
∴∠A=∠B=∠C
=
60°.
大胆尝试,练一练!
C
B
A
随堂练习 及时巩固
如图
,
已知△
ABC
和△
BDE
都是等边三角形
,
求证
:AE=CD
A
B
C
D
E
证明
:
∵ △ABC
和△
BDE
都是等边三角形
∴AB=BC,∠ABC=∠DBE=60°
,
BE=BD
∴ △ABE≌△CBD
∴AE=CD
.
将不全等的两个等边三角形
△
ABC
和等边三角形
△
DEF
任意摆放
,
请你画出
不少于
5
种
的摆放示意图
,
使得
AE=CF,
同时
满足在重合的一条直线上有且只有三个顶点
(
重合的顶点算一个
),
并说明理由
.
A
B
C
E
F
A
B
E
C
F
A
B
C
F
E
课时小结
1.
等腰三角形中
还有那些
相等的线段
?
2.等边三角形有哪些性质?
3.本节课你学到的探索问题的方法是什么?
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