资料简介
数 学
必修
②
·
人教
A
版
新课标导学
第二章
点、直线、平面之间的位置关系
2.2 直线、平面平行的判定及其性质
2.2.4 平面与平面平行的性质
1
自主预习学案
2
互动探究学案
3
课时作业学案
自主预习学案
2010
年在上海举行的世界博览会给全世界的游客留下了深刻的印象，作为东道主的中国国家馆被永久保留，成为上海市的又一标志性建筑．中国国家馆表达了
“
东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓
”
的中国文化的精神与气质．展馆共分三层，这三层给人以平行平面的感觉．
平面与平面平行的性质定理
平行
a
∥
b
[
解析
]
∵
圆台的上、下底面互相平行，
∴
平面
α
与圆台的上、下底面分别相交，所得交线
m
与
n
平行．
C
[
解析
]
根据两个平面平行的性质可知，这两个平面平行．
A
[
解析
]
∵
AD
∥
BC
，
∴
AD
与
BC
确定一个平面
γ
.
∵
α
∥
β
，
α
∩
γ
＝
AB
，
β
∩
γ
＝
DC
，
∴
AB
∥
DC
.
∴
四边形
ABCD
是平行四边形．
∴
AD
＝
BC
.
互动探究学案
命题方向
1
⇨
对面面平行性质的理解
C
①②③
[
解析
]
(1)
因为平面
α
∥
平面
β
，直线
a
⊂
α
，直线
b
⊂
β
，所以直线
a
与直线
b
无公共点．
当直线
a
与直线
b
共面时，
a
∥
b
；
当直线
a
与直线
b
异面时，
a
与
b
所成的角大小可以是
90°.
综上知，
①②③
都有可能出现，共有
3
种情形．故选
C
．
(2)
①
正确．证明如下：如图，在平面
α
内取两条相交直线
a
、
b
，分别过
a
、
b
作平面
φ
，
δ
，使它们分别与平面
β
交于两相交直线
a
′
、
b
′
，因为
α
∥
β
，所以
a
∥
a
′
，
b
∥
b
′
.
又因为
β
∥
γ
，同理在平面
γ
内存在两相交直线
a
″
，
b
″
，使得
a
′
∥
a
″
，
b
′
∥
b
″
，所以
a
∥
a
″
，
b
∥
b
″
，所以
α
∥
γ
.
②
正确．若直线
a
与平面
β
平行或直线
a
⊂
β
，则由平面
α
∥
平面
β
知
a
与
α
无公共点或
a
⊂
α
，这与直线
a
与
α
相交矛盾，所以
a
与
β
相交．
③
正确．如图，过直线
PQ
作平面
γ
，
γ
∩
α
＝
a
，
γ
∩
β
＝
b
，由
α
∥
β
得
a
∥
b
.
因为
PQ
∥
β
，
PQ
⊂
γ
，所以
PQ
∥
b
.
因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以直线
a
与直线
PQ
重合．因为
a
⊂
α
，所以
PQ
⊂
α
.
『
规律方法
』
常用的面面平行的其他几个性质：
(1)
两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．
(2)
夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等．
(3)
经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
(4)
两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．
(5)
如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．
[
解析
]
若
a
⊂
β
，则显然满足题目条件．若
a
⊄
β
，过直线
a
作平面
γ
，
γ
∩
α
＝
b
，
γ
∩
β
＝
c
，于是由直线
a
∥
平面
α
得
a
∥
b
，由
α
∥
β
得
b
∥
c
，所以
a
∥
c
，又
a
⊄
β
，
c
⊂
β
，所以
a
∥
β
.
a
⊂
β
或
a
∥
β
命题方向
2
⇨
平面与平面平行性质定理的应用
『
规律方法
』
应用平面与平面平行性质定理的基本步骤
对平面与平面平行的性质定理理解不正确，忽略
“
第三个平面
”
这一条件
[
错解
]
这个说法正确．
[
错因分析
]
忽略了
AB
，
CD
可能异面的情况．当
AB
，
CD
异面时，
AC
与
BD
不平行．
[
思路分析
]
AB
，
CD
共面时，
AC
∥
BD
；
AB
，
CD
异面时，
AC
∥
β
，但
AC
与
BD
不平行．同理
BD
∥
α
，但
BD
与
AC
不平行．
[
正解
]
这个说法错误．
转化与化归思想在线面、面面平行性质定理中的应用
[
思路分析
]
直接用判定定理证明较困难，可通过证明过
MN
的平面与平面
AA
1
B
1
B
平行，得到
MN
∥
平面
AA
1
B
1
B
.
∵
NP
⊄
平面
AA
1
B
1
B
，
AB
⊂
平面
AA
1
B
1
B
，
∴
NP
∥
平面
AA
1
B
1
B
.
∵
MP
∥
BB
1
，
MP
⊄
平面
AA
1
B
1
B
，
BB
1
⊂
平面
AA
1
B
1
B
，
∴
MP
∥
平面
AA
1
B
1
B
.
又
MP
⊂
平面
MNP
，
NP
⊂
平面
MNP
，
MP
∩
NP
＝
P
，
∴
平面
MNP
∥
平面
AA
1
B
1
B
.
∵
MN
⊂
平面
MNP
，
∴
MN
∥
平面
AA
1
B
1
B
.
『
规律方法
』
(1)
证明线面平行的方法主要有三种：
①
应用线面平行的定义；
(
反证法
)
②
应用线面平行的判定定理；
③
应用面面平行的性质，即
“
两个平面平行时，其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面．
”
(2)
应用平面与平面平行的性质证题的关键是找到过直线和已知平面平行的平面并给予证明，这时注意线线平行，线面平行和面面平行之间的相互转化．
[
解析
]
本题考查线面平行的性质．
∵
a
是一条直线，
∴
a
∥
α
或
a
与
α
相交或在平面
α
内．当
a
∥
α
时，
β
只有一个；当
a
与
α
相交或在平面
α
内时，
β
不存在，故选
D
．
D
[
解析
]
分别在平面
α
与
β
上取点
A
，
B
，以
A
为顶点
AB
为母线作圆锥，在此圆锥底面圆周上取一点
C
，则
AB
与
AC
相交，
AB
＝
AC
，平移
AC
到
EF
，则
AC
＝
EF
，且
AC
∥
EF
，
AB
与
EF
异面．
D
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