资料简介
第二章
§2.4
抛物线
2.4.1
抛物线及其标准方程
学习目标
1.
掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念
.
2
.
掌握抛物线的标准方程及其推导
.
3
.
明确抛物线标准方程中
p
的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题
.
题型探究
问题导学
内容索引
当堂训练
问题导学
知识点一 抛物线的定义
思考
1
平面内，到两定点距离相等的点的轨迹是什么？
连接两定点所得线段的垂直平分线
.
答案
思考
2
平面内
，到两个确定平行直线
l
1
，
l
2
距离相等的点的轨迹是什么？
一条直线
.
答案
思考
3
到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是什么？
抛物线
.
答案
梳理
(1)
平面内与一个定点
F
和一条定直线
l
(
l
不经过点
F
)
距离
的
点的轨迹叫做抛物线
.
点
F
叫做抛物线
的
，
直线
l
叫做抛物线
的
.
(2)
定义的实质可归纳为
“
一动三定
”
：一个动点，设为
M
；一个定点
F
(
抛物线的焦点
)
；一条定直线
(
抛物线的准线
)
；一个定值
(
即点
M
到点
F
的距离与它到定直线
l
的距离之比等于
1
∶
1).
准线
相等
焦点
知识点二 抛物线的标准方程
思考
抛物线的标准方程有何特点？
(1)
以方程的解为坐标的点在抛物线上
；
(
2)
对称轴为坐标轴
；
(
3)
p
为大于
0
的常数，其几何意义表示焦点到准线的距离
；
(
4)
准线与对称轴垂直，垂足与焦点关于原点对称
；
(
5)
焦点、准线到原点的距离都
等于
.
答案
梳理
由
于抛物线焦点位置不同，方程也就不同，故抛物线的标准方程有以下几种形式：
y
2
＝
2
px
(
p
>0)
，
y
2
＝－
2
px
(
p
>0)
，
x
2
＝
2
py
(
p
>0)
，
x
2
＝－
2
py
(
p
>0).
现将这四种抛物线对应的图形
、
标准方程
、
焦点坐标及准线方程列表如下
：
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
y
2
＝
2
px
(
p
>0)
y
2
＝－
2
px
(
p
>0)
x
2
＝
2
py
(
p
>0)
x
2
＝－
2
py
(
p
>0)
题型探究
类型一 抛物线的定义及理解
设
动点
M
(
x
，
y
)
，上式可看作动点
M
到原点的距离等于动点
M
到直线
3
x
＋
4
y
－
12
＝
0
的距离，所以动点
M
的轨迹是以原点为焦点，以直线
3
x
＋
4
y
－
12
＝
0
为准线的抛物线
.
A.
椭圆
B
.
双曲线
C
.
抛物线
D
.
以上都不对
答案
解析
设
动点
Q
(
x
′
，
y
′
)
，则有
x
′
＝
x
＋
y
，
y
′
＝
xy
，又有
x
2
＋
y
2
＝
1
，即
(
x
＋
y
)
2
－
2
xy
＝
1
，所以
x
′
2
－
2
y
′
＝
1
，故
Q
(
x
＋
y
，
xy
)
的轨迹所在的曲线是抛物线
.
(2)
已知点
P
(
x
，
y
)
在以原点为圆心的单位圆
x
2
＋
y
2
＝
1
上运动
，
则点
Q
(
x
＋
y
，
xy
)
的轨迹所在的曲线是
_______.(
在圆、抛物线、椭圆、双曲线中选择一个作答
)
答案
解析
抛物线
抛物线的判断方法
(1)
可以看动点是否符合抛物线的定义，即到定点的距离等于到定直线
(
直线不过定点
)
的距离
.
(2)
求出动点的轨迹方程，看方程是否符合抛物线的方程
.
反思与感悟
跟踪训练
1
平面上动点
P
到定点
F
(1
，
0)
的距离比点
P
到
y
轴的距离大
1
，求动点
P
的轨迹方程
.
解答
方法一 设点
P
的坐标为
(
x
，
y
)
，
两边平方并化简得
y
2
＝
2
x
＋
2|
x
|.
方法二 由题意，动点
P
到定点
F
(1
，
0)
的距离比到
y
轴的距离大
1
，
由于点
F
(1
，
0)
到
y
轴的距离为
1
，
故当
x
0)
，
抛物线的焦点坐标为
(
－
2
，
0)
，准线方程为
x
＝
2
.
跟踪训练
3
已知抛物线的顶点在原点，对称轴为
x
轴，抛物线上的点
M
(
－
3
，
m
)
到焦点的距离等于
5
，求抛物线的方程和
m
的值，并写出抛物线的焦点坐标和准线方程
.
解答
类型三 抛物线在实际生活中的应用
例
4
河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶
5 m
时，水面宽为
8 m
，一小船宽
4 m
、高
2 m
，载货后船露出水面上的部分高
0.75 m
，问：水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？
解答
反思与感悟
涉及拱桥、隧道的问题，通常需建立适当的平面直角坐标系，利用抛物线的标准方程进行求解
.
跟踪训练
4
喷灌的喷头装在直立管柱
OA
的顶点
A
处，喷出水流的最高
点
B
高
5 m
，且与
OA
所在的直线相距
4 m
，水流落在以
O
为圆心，半径为
9 m
的圆上，则管柱
OA
的长是多少？
解答
如
图所示
，
建立直角坐标系
，
设水流所形成的抛物线的方程为
x
2
＝
－
2
py
(
p
>0
)
，
因为点
C
(5
，－
5)
在抛物线上，所以
25
＝－
2
p
·(
－
5)
，因此
2
p
＝
5
，所以抛物线的方程为
x
2
＝－
5
y
，点
A
(
－
4
，
y
0
)
在抛物线上
，
所以管柱
OA
的长为
1.8 m
.
当堂训练
答案
解析
A.
y
＝－
1
B.
y
＝－
2
C.
x
＝－
1
D.
x
＝－
2
√
2
3
4
5
1
2.
已知抛物线的顶点在原点，焦点在
y
轴上，抛物线上的点
P
(
m
，－
2)
到焦点的距离为
4
，则
m
的值为
A.4
B
.
－
2
C.4
或－
4
D.12
或－
2
由题可设抛物线的标准方程为
x
2
＝－
2
py
(
p
>0)
，由定义知点
P
到准线的
距
离
为
4
，
故
＋
2
＝
4
，
∴
p
＝
4
，
∴
x
2
＝－
8
y
.
将点
P
的坐标代入
x
2
＝－
8
y
，
得
m
＝
±4.
答案
解析
√
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
因为抛物线上的动点到焦点的距离为动点到准线的距离，所以抛物线
上
的
动点到焦点的最短距离为顶点到
准线的
距离，
即
＝
1
，
p
＝
2
.
3.
若抛物线
y
2
＝
2
px
(
p
>0)
上的动点
Q
到焦点的距离的最小值为
1
，
则
p
＝
___.
2
答案
解析
4.
若抛物线
y
2
＝
2
px
(
p
>0)
的准线经过双曲线
x
2
－
y
2
＝
1
的一个焦点，则
p
＝
_____.
2
3
4
5
1
答案
解析
5.
已知
M
为抛物线
y
2
＝
4
x
上一动点，
F
为抛物线的焦点，定点
N
(2
，
3)
，则
|
MN
|
＋
|
MF
|
的最小值为
_____.
答案
解析
2
3
4
5
1
规律与方法
3.
对于抛物线上的点，利用定义可以把其到焦点的距离转化为到准线的距离，也可以把其到准线的距离转化为到焦点的距离，因此可以解决有关距离的最值问题
.
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