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2018年人教B版数学选修1-1 3.3.3导数的实际应用
资料简介
1
.
最优化问题
在经济生活中
,
人们经常遇到最优化问题
.
例如
,
为使经营利润最大、生产效率最高
,
或为使用力最省、用料最少、消耗最省等等
,
需要寻求相应的
最佳方案
或
最佳策略
,
这些都是最优化问题
.
导数是解决这类问题的方法之一
.
【做一做】
下列问题不是最优化问题的是
(
)
A
.
利润最大
B
.
用料最省
C
.
求导数
D
.
用力最省
答案
:
C
2
.
求实际问题的最大
(
小
)
值的步骤
(1)
建立实际问题的数学模型
,
写出实际问题中变量之间的函数关系
y=f
(
x
),
注明定义域
.
(2)
求函数的导数
f'
(
x
),
解方程
f'
(
x
)
=
0
,
确定极值点
.
(3)
比较函数在
区间端点
和
极值点
处的函数值的大小
,
最大
(
小
)
者为实际问题的最大
(
小
)
值
.
名师点拨
实际问题中的变量是有范围的
,
即应考虑实际问题的意义
,
注明定义域
.
利用导数解决实际问题时应注意什么
?
剖析
:(1)
写出变量之间的函数关系
y=f
(
x
)
后一定要写出定义域
.
(2)
求实际问题的最值
,
一定要从问题的实际意义去分析
,
不符合实际意义的极值点应舍去
.
(3)
在实际问题中
,
一般地
,
f'
(
x
)
=
0
在
x
的取值范围内仅有一个解
,
即函数
y=f
(
x
)
只有一个极值点
,
则该点处的值就是问题中所指的最值
.
题型
实际问题中最值的求法
【例
1
】
某商场从生产厂家以每件
20
元的进价购进一批商品
,
若该商品的售价定为
p
元
,
则销售量
Q
(
单位
:
件
)
与零售价
p
(
单位
:
元
)
有如下关系
:
Q=
8 300
-
170
p-p
2
.
问该商品零售价定为多少时利润最大
,
最大利润是多少
?
分析
:
建立销售利润关于零售价的函数
,
应用导数研究最值
.
解
:
设利润为
L
(
p
),
由题意可得
L
(
p
)
=
(
p-
20)·
Q=
(
p-
20)(8
300
-
170
p-p
2
)
=-p
3
-
150
p
2
+
11
700
p-
166
000(
p>
0),
∴
L'
(
p
)
=-
3
p
2
-
300
p+
11
700
.
令
L'
(
p
)
=
0,
得
p=
30
或
p=-
130(
舍去
)
.
则
L
(30)
=
23
000
.
∵
当
0
400
时
,
利润
f
(
x
)
=
80
000
-
20
000
-
100
x
,
∴
当
x>
400
时
,
f
(
x
)
<
20
000
.
当
0
≤
x
≤
400
时
,
f
(
x
)
=R
(
x
)
-
20
000
-
100
x=- x
2
+
300
x-
20
000,
∴
f'
(
x
)
=-x+
300
.
令
f'
(
x
)
=
0,
则
x=
300
.
∵
当
0
≤
x<
300
时
,
f'
(
x
)
>
0,
当
300
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