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平行四边形及特殊的平行四边形
1．已知：如图，四边形 ABCD 是菱形，过 AB 的中点 E 作 AC 的垂线 EF，交
AD 于点 M，交 CD 的延长线于点 F.
（1）求证：AM=DM；
（2）若 DF=2，求菱形 ABCD 的周长．
2. 如图所示，在 Rt ABC△ 中， 90ABC ∠ ．将 Rt ABC△ 绕点C 顺时针方向旋转 60得
到 DEC△ ，点 E 在 AC 上，再将 Rt ABC△ 沿着 AB 所在直线翻转180 得到 ABF△ ．连接
AD．
（1）求证：四边形 AFCD 是菱形；
（2）连接 BE 并延长交 AD 于G，连接CG，
请问：四边形 ABCG 是什么特殊平行四边形？为什么？
3．（本题满分 13 分）如图，四边形 ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对角线 BD（不含 B 点）上
任意一点，将 BM 绕点 B 逆时针旋转 60°得到 BN，连接 EN、AM、CM.
⑴ 求证：△AMB≌△ENB；
⑵ ①当 M 点在何处时，AM＋CM 的值最小；
②当 M 点在何处时，AM＋BM＋CM 的值最小，并说明理由；
⑶ 当 AM＋BM＋CM 的最小值为 13 时，求正方形的边长.
BA
CDF
M
第 1 题图
E
第 2 题图
A D
F C
E
G
B
E
A D
B C
N
M
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4. 如图， ABM 为直角，点 C 为线段 BA 的中点，点 D 是射线 BM 上的一个动点（不与点 B 重合），
连结 AD ，作 BE AD ，垂足为 E ，连结 CE ，过点 E 作 EF CE ，交 BD 于 F ．
（1）求证： BF FD ；
（2） A 在什么范围内变化时，四边形 ACFE 是梯形，并说明理由；
（3） A 在什么范围内变化时，线段 DE 上存在点 G ，满足条件 1
4DG DA ，并
说明理由
5. 如图 15，平行四边形 ABCD 中，AB AC ， 1AB ， 5BC ．对角线 AC BD， 相
交于点O ，将直线 AC 绕点 O 顺时针旋转，分别交 BC AD， 于点 E F， ．
（1）证明：当旋转角为 90 时，四边形 ABEF 是平行四边形；
（2）试说明在旋转过程中，线段 AF 与 EC 总保持相等；
（3）在旋转过程中，四边形 BEDF 可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明
理由并求出此时 AC 绕点 O 顺时针旋转的度数．
A
B C
D
O
F
E
A
B
C
DF
E
M
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6. 如图，已知平行四边形 ABCD 中，对角线 AC BD， 交于点O ，E 是 BD 延长线上的点，
且 ACE△ 是等边三角形．
（1）求证：四边形 ABCD 是菱形；
（2）若 2AED EAD ，求证：四边形 ABCD 是正方形．
E
C
D
B
A
O
7. 如图，P 是边长为 1 的正方形 ABCD 对角线 AC 上一动点（P 与 A、C 不重合），点 E 在射
线 BC 上，且 PE=PB.
（1）求证：① PE=PD ； ② PE⊥PD；
（2）设 AP=x, △PBE 的面积为 y.
① 求出 y 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围；
② 当 x 取何值时，y 取得最大值，并求出这个最大值.
A
B C
P
D
E
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8. 数学课上，张老师出示了问题：如图 1，四边形 ABCD 是正方形，点 E 是边 BC 的中点． 90AEF ，
且 EF 交正方形外角 DCG 的平行线 CF 于点 F，求证：AE=EF．
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取 AB 的中点 M，连接 ME，则 AM=EC，易证
AME ECF△ ≌△ ，所以 AE EF ．
在此基础上，同学们作了进一步的研究：
（1）小颖提出：如图 2，如果把“点 E 是边 BC 的中点”改为“点 E 是边 BC 上（除 B，C 外）的任意
一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明
过程；如果不正确，请说明理由；
（2）小华提出：如图 3，点 E 是 BC 的延长线上（除 C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”
仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由
9. 在矩形 ABCD 中，点 E 是 AD 边上一点，连接 BE，且∠ABE＝30°，BE＝DE，连接 BD．点 P
从点 E 出发沿射线 ED 运动，过点 P 作 PQ∥BD 交直线 BE 于点 Q．
(1) 当点 P 在线段 ED 上时（如图 1），求证：BE＝PD＋
3
3 PQ；
（2）若 BC＝6，设 PQ 长为 x，以 P、Q、D 三点为顶点所构成的三角形面积为 y，求 y 与 x
的函数关系式（不要求写出自变量 x 的取值范围）；
（3）在②的条件下，当点 P 运动到线段 ED 的中点时，连接 QC，过点 P 作 PF⊥QC，垂足为
F，PF 交对角线 BD 于点 G（如图 2），求线段 PG 的长。
A D
F
C GEB
图 1
A D
F
C GEB
图 2
A D
F
C GEB
图 3
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