天天资源网 / 初中数学 / 教学同步 / 华东师大版（2012） / 九年级上册 / 第24章 解直角三角形 / 华师版九年级数学上册第24章解直角三角形
资料简介
24.1 测量
第24章 解直角三角形
【学习目标】
1．复习巩固相似三角形知识，掌握测量方法；
2．通过测量旗杆高度的活动，巩固相似三角形
有关知识，累积数学活动经验，使学生初步学会
数学建模的方法；
3．通过运用相似以及已学过的知识探索解三角
形的方法，体验教学研究和发现的过程，逐渐培
养学生用数学说理的习惯，激起学生学习后续内
容的积极性．
当你走进学校，仰头望着操场旗杆上高高飘
扬的五星红旗时，你也许很想知道，操场旗杆
有多高？
你可能会想到利用
相似三角形的知识
来解决这个问题．
但是如果
天气……
自主预习
有一种可行的方法，还是利用相似三角形的知识．
如图所示，站在离旗杆BE底部10米处的D点，目测旗杆的顶部，
视线AB与水平线的夹角∠BAC为34°，并已知目高AD为1.5
米．现在若按1∶500的比例将△ABC画在纸上，并记为△A′B′C′，
用刻度直尺量出纸上B′C′的长度，便可以算出旗杆的实际高度．
你知道计算的
方法吗？
自主探究
问题：如下图所示，站在离旗杆BE底部10米处的D点，目测旗
杆的顶部，视线AB与水平线的夹角∠BAC＝34°，并已知目高
AD为1米．现在请你按1∶ 500的比例将△ABC画在纸上，并记为
△A1B1C1，用刻度尺量出纸上B1C1的长度，便可以算出旗杆的实
际高度．你知道计算的方法吗？
解：∵△ABC∽△A1B1C1，∴AC∶ A1C1＝
BC∶ B1C1＝500∶ 1，∴只要用刻度尺量出纸
上B1C1的长度，就可以计算出BC的长度，加
上AD长即为旗杆的高度．若量得B1C1＝a cm，
则BC＝500a cm＝5a m.故旗杆高(1＋5a)m.
自主探究
仿例1：小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端的绳
子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下
端刚好接触地面，求旗杆的高度．
合作探究
解：设旗杆的高度为xm，
则 ，
解得x＝12.
答：旗杆的高度为12m.
仿例2：如图，小明站在C处看甲乙两楼楼顶上的点A和点E，
点C、E、A在同一条直线上，点B、D分别在点E、A的正下方，
且点D、B、C在同一条直线上，点B、C相距20米，点D、C相
距40米，乙楼高BE为15米，求甲楼AD的高．(小明的身高忽略
不计)
∴AD＝30(米)．
合作探究
解：由题意知BC＝20，CD＝40，
△CBE∽△CDA.
答：甲楼AD高30米．
∴ ，
如图，为测量某建筑的高度，在离该建筑底部30．
0米处，目测其顶，视线与水平线的夹角为40°，目
高1．5米．试利用相似三角形的知识，求出该建筑
的度．（精确到0．1米）
练一练
（1）小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发
现下端刚好接触地面，求旗杆的高度．
练一练
（2）如图，一条河的两岸有一段是平行的，
两岸岸边各有一排树，每排树相邻两棵的
间距都是10米，在这岸离开岸边16米的A
处
看对岸，看到对岸两棵树B、C的树干恰好
被这岸两棵树D、E的树干遮住，这岸的两
棵树D、E之间有一棵树，B、C之间有四棵
树，求河C、D的宽。
A
BC
D E
w到目前为止,你一定掌握了一些测量物体高度的方法。
w如果在测量旗杆时观察旗杆顶部的视线与水平所成
的角度是300，人与旗杆之间的距离是10米，观测时
目高是1.5米，你能计算出旗杆的 高度吗？
1.5米
?
10米
1米
?
10米
实际上，我们利用图中已知的数据就可以直接计算旗杆的高
度，而这一问题的解决将涉及直角三角形中的边角关系．我们
已经知道直角三角形的三条边所满足的关系（即勾股定理），
那么它的边与角又有什么关系？
1．某同学的身高为1.6米，某一时刻他在阳光下的
影长为1.2米，与他相邻的一棵树的影长为3.6米，则
这棵树的高度为( )
A．5.3米 B．4.8米
C．4.0米 D．2.7米
B
2．垂直于地面的竹杆的影长为12米，其顶端到
其影子顶端的距离为13米，如果此时测得某小树
的影长为6米，则树高为___ _米．2.5
随堂练习
3．如图，一条河的两岸有一段是平行的，两岸岸
边各有一排树，每排树相邻两棵的间距都是10米，
在这岸离开岸边16米的A处看对
岸，看到对岸两棵树B、C的树干恰好被这岸两棵树
D、E的树干遮住，这岸的两棵树D、E之间有一棵树
，B、C之间有四棵树，求河C、D的宽．
解：CD＝24米．
1、测量物体高度时一般用到的知识点有哪些？
（1）相似三角形 （2）解直角三角形
2、实际测量时，应先设计方案，选择合理方法和测
量工具，尽量减少误差.
3、平时的学习中要有转化意识，进行数学建模，灵
活运用数学知识解决实际问题.
知识梳理
24.2 直角三角形的性质
【学习目标】
1．掌握直角三角形的性质，能利用直角三角形的性质定
理进行有关的计算和证明；
2．经历“计算—探索—发现—猜想—证明”的过程，引
导学生体会合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充；
3．通过“计算—探索—发现—猜想—证明”的过程体验
数学活动中的探索与创新，感受数学的严谨性，激发学生
的好奇心和求知欲，培养学习的自信心．
我们已经知道了直角三角形的：
（1）在直角三角形中，两个锐角_______。
（2）在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜
边的平方
（___________________ ）
互余
勾股定理
知识回顾
如图：画Rt △ABC，并画出斜边AB上的中
线CD，量一量，看看CD与AB有什么关系。
D
已知：如图，在Rt △ ABC中， ∠ACB=90 °，
CD是斜边AB上的中线。
求证：CD= AB
1
2
自主预习
D
证明：延长CD至点E，使DE=CD，连AE、BE
∵ CD是斜边AB上的中线，
∴AD=DB.
又∵CD=DE
∴四边形 ACBE是平行四边形
又∵ ∠ACB=90 °
∴ 四边形ACBE是矩形
∴ CE=AB
∴CD= CE= AB
E
1
2
1
2
归纳：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
利用直角三角形的性质，可以解决某些与直角三角形
有关的问题。
A
BC
D
例：如图，在RT △ABC中， ∠ACB=90 °
， ∠A ﹦30 °
求证：BC= AB
1
2
1
2
1
2
作斜边AB上的中线CD，
则CD＝AD＝BD＝ AB(直角三角形斜边上
的中线等于斜边的一半)．
∵∠A＝30°，
∴∠B＝60°，
∴△CDB是等边三角形．
∴BC＝BD＝ AB.
课堂练习
1．直角三角形的两条直角边分别是5和12，则斜边上的中
线长是( )
A．13 B．6 C．6.5 D．无法确定
C
2．直角三角形斜边上的高与中线分别是5cm
和6cm，则它的面 积为__ __．30cm
²
3．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，且这
条高的长为a，则腰长为__ __．2
a
24.3.1 锐角三角函数
【学习目标】
1．知道锐角一定，它的三角函数值就随之确定；
2．已知直角三角形的两边(比)，会求出锐角的四
种三角函数值；
3．运用相似三角形的判定定理、性质定理理解锐
角一定，它的三角函数值就随之确定；
4．在学习合作交流中学会与人相处．
操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度，
小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视
线与水平线的夹角为34度，并已知目高为1米．然后
他很快就算出旗杆的高度了。
1米
10米
?
你想知道小明怎样算出的吗？
情境导入
我们已经知道，直角三角形ABC可以简记为Rt△ABC，
直角∠C所对的边AB称为斜边，用c表示，另两条直角
边分别叫∠A的对边与邻边，用a、b表示.
图 19.3.1
知识回顾
如图，在Rt△MNP中，∠N＝90゜.∠P的对边是
__________,∠P的邻边是_______________;
∠M的对边是__________,∠M的邻边_______________;
（第 1 题）
MN PN
PN MN
想一想：∠P的对边、
邻边与∠M的对边、
邻边有什么关系？
自主预习
• 观察图19.3.2中的Rt△AB1C1、
Rt△AB2C2和Rt△AB3C3，它们之
间有什么关系？
图 19.3.2
Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2∽Rt△AB3C3
所以 ＝__________=__ .
1
11
AC
CB
可见，在Rt△ABC中，对于锐角A的每一个确定的值，
其对边与邻边的比值是惟一确定的.
B2C2
AC2
B3C3
AC3________
锐角三角函数定义及三角函数之间的关系
任意画Rt△ABC 和Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝
∠A'＝α，那么 与 有什么关系．能解释一下吗？AB
BC
''
''
BA
CB
A
B
C A'
B'
C'
在图中，由于∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，
所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C'
这就是说，在直角三角形中，当锐角∠A的度数一定时，
不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比也是一个
固定值．
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角∠A的对边
与斜边的比叫做∠A的正弦（sine），记作sinA 即
例如，当∠A＝30°时，我们有
2
130sinsin A
当∠A＝45°时，我们有
2
245sinsin A
A
B
C
c a
b
对边
斜边
在图中
∠A的对边记作a
∠B的对边记作b
∠C的对边记作c
引出定义：
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，当锐角∠A确定时，∠A
的对边与斜边的比就随之确定，此时，其他边之间的比是
否也确定了呢？为什么？
B
对边a
A C邻边b
斜边c
自主探究
任意画Rt△ABC 和Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠B＝
∠B'＝α，那么 与 有什么关系．能解释一下吗？
A
B
C A'
B'
C'
AB
AC A' C'
A' B'
在图中，由于∠C＝∠C'＝90°，∠B＝∠B'＝α，
所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C'
这就是说，在直角三角形中，当锐角∠B的度数一定时，不管
三角形的大小如何，∠B的对边与斜边的比也是一个固定值．
当锐角∠B的大小确定时，∠B的邻边与斜边的比也是固定的，
我们把∠B的邻边与斜边的比叫做∠B的余弦（cosine），记作
cosB，即
引出定义：
归 纳
1.sinA、cosA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形
结合，构造直角三角形).
2.sinA、 cosA是一个比值（数值）.
3.sinA、 cosA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的
边长无关.
如图：在Rt △ABC中，∠C＝90°，
正弦
余弦
当直角三角形的一个锐角的大小确定时，其对边与邻
边比值也是唯一确定的吗？
自主探究
在直角三角形中，当锐角∠A的度数一定时，不管三角
形的大小如何，∠A的对边与邻边的比是一个固定值.
BC
B′C′ A′C′
AC
＝所以
如图，Rt△ABC和Rt△A′B′C′，∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′=α，
问： 有什么关系？
由于∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′=α，所以Rt△ABC ∽
Rt△A′B′C′
AC
BC
A′C′
B′C′
与
即
AC
BC
A′C′
B′C′
＝
如图,在Rt △ABC中，∠C＝90°，
我们把锐角A的对边与邻边的比叫
做∠A的 正切，记作 tanA.
一个角的正切
表示定值、比
值、正值.
,
,
.
A a
B b
C c
的对边记作
的对边记作
的对边记作
归 纳
图 19.3.2
想一想
对于锐角A的每一个确定的值，其对
边与斜边、邻边与斜边、邻边与对边
的比值也是惟一确定的 吗？
自主探究
这几个比值都是锐角∠A的函数，记作sin A、
cos A、tan A，即
sin A=
斜边
的对边A cos A=
斜边
的邻边A
tan A=
的邻边
的对边
A
A
分别叫做锐角∠A的正弦、余弦、正切，
统称为锐角∠A的三角函数.
注意：
1. 在直角三角形 ABC 中，若三边长都扩大 2 倍，
则锐角 A 的正弦值 ( )
A. 扩大 2 倍 B.不变
C. 缩小 D. 无法确定
B
1
2
2. 如图， sinA的值为 ( )
7
A C
B
3
30°
A. B.
C. D.
1
2
3
7
3
2
C
2 10
7
随堂练习
如图，在 △ABC 中， AB = BC = 5，sinA = ，求
△ABC 的面积.
D
5 5
C
B
A
4
5
解：作BD⊥AC于点D，
∵sinA = ，
4
5 4sin 5 4
5
BD AB A ，∴
2 2 2 25 4 3.AD AB BD
又∵ △ABC 为等腰△，BD⊥AC，∴ AC=2AD=6，
∴S△ABC=AC×BD÷2=12.
随堂练习
知识梳理
在Rt△ABC中
= a
b的邻边
的对边
A
A
tanA=
定义中应该注意的几个问题:
1.sinA、cosA、tanA是在直角三角形中定义的，∠A是锐
角(注意数形结合，构造直角三角形).
2.sinA、 cosA、tanA是一个比值（数值）.
3.sinA、 cosA 、tanA的大小只与∠A的大小有关，而与直角
三角形的边长无关.
24.3.3
特殊的锐角三角函数值
【学习目标】
1．掌握特殊锐角的三角函数值；
2．通过对特殊锐角三角函数值的探索，
逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力；
3．通过对锐角三角函数的学习，提高学生对几何图
形美的认识．
锐角三角函数定义
锐角A的正弦、余弦、和正切统称∠A的三角函数
sin A=
斜边
的对边A cos A=
斜边
的邻边A
tan A=
的邻边
的对边
A
A
图 19.3.1
脑中有“图”，
心中有“式”
知识回顾
w如图,观察一副三角板:
w它们其中有几个锐角?分别是多少度?
w(1)sin300等于多少?
┌┌
300
600
450
450
w(2)cos300等于多少?
w(3)tan300等于多少?
自主预习
A
B
C
30°
1
2
3
sin30°=
cos30°=
tan30°=
2
1
2
3
3
3
300角的各类三角函数值的探索
在直角三角形中，如
果一个锐角等于300，那
么它所对的直角边等于
斜边的一半。
w(4)sin450,sin600等于多少?
w(5)cos450,cos600等于多少
?w(6)tan450,tan600等于多少?
┌┌
300
600
450
450
讨论：
A
B
C
45°
1
1
Sin45 ° =
cos45°=
tan45°=
2
2
2
2
1
2
450角的各类三角函数值的探索
A C
B
60°
1
2
sin60°=
cos60°=
tan60°=
3
3
2
2
1
3
600角的各类三角函数值的探索
三角函数
锐角α
正弦sinα 余弦
cosα 正切tanα
300
450
600
2
1
2
3
3
3
2
2
2
2
1
2
3
2
1
3
归纳：
对于sinα与tanα，角度越大，函数值也越大；（α为锐角）
对于cosα，角度越大，函数值越小.
例1：求值:
sin30 ° ﹒ tan30 ° +cos60 ° ﹒ tan60 °;
解： sin30 ° ﹒ tan30 ° +cos60 ° ﹒ tan60 °
=
=
1 3 1 3
2 3 2
3 3 2 3
6 2 3
自主探究
1、30°,45°,60°角的三角函数值
2、三角函数值的计算与应用
知识梳理
1、下图中∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为D。指出∠A和
∠B的对边、邻边。
A
B
C
D
(1) tanA = =
AC
( ) CD
( )
(2) tanB= =
BC
( ) CD
( )
BC
AD
BD
AC
课堂练习
2. 计算：sin230－ sin45＋sin260°
解：原式
22
2
3
2
22
2
1
2
4
31
4
1
.0
通常我们把 (sin30°)2简记
为sin230°
3.求下列各式的值：
（1）cos260°＋sin260°
（2）
45tan
45sin
45cos
解： （1） cos260°＋sin260°
＝1
（2）
＝0
24.3.2
用计算器求锐角三角函数值
这节课我们介绍
如何利用计算器
求已知锐角的三
角函数值和由三
角函数值求对应
的锐角．
自主预习
求已知锐角的三角函数值
例 求sin63°52′41″的值．（精确到0．0001）
解 先用如下方法将角度单位状态设定为“度”：
SHIFT MODE (SETUP) 3 D显示
再按下列顺序依次按键：
sin 63 o’” 52 o’”o’” 41 =
显示结果为0．897859012．
所以sin63°52′41″≈0．8979
例 求tan19°15′的值．（精确到0．0001）
解：在角度单位状态为“度”的情况下（屏幕显示），按下列
顺序依次按键：
tan 1 9 o’” 5 o’”=
显示结果为0．349215633．
所以tan19°15′≈0．3492．
1
自主探究
1.求sin18°．
第一步：按计算器 键，sin
第二步：输入角度值18，
屏幕显示结果sin18°=0.309 016 994
（也有的计算器是先输入角度再按函数名称键）
用计算器求锐角三角函数值
tan第一步：按计算器 键，
2.求 tan30°36'.
第二步：输入角度值30，分值36 （可以使用 键），°＇ ″
屏幕显示答案：0.591 398 351
第一种方法：
第二种方法：
tan第一步：按计算器 键，
第二步：输入角度值30.6 （因为30°36'＝30.6°）
屏幕显示答案：0.591 398 351
例：已知sinA=0.501 8；用计算器求锐角A可以按照下面方法
操作：
还可以接着按 键，进一步得到
∠A＝30°7'8.97 "
第一步：按计算器 键，SHIFT sin
第二步：然后输入函数值0. 501 8
屏幕显示答案： 30.119 158 67° （按实际需要进行精确）
°＇″
典例精析
由锐角三角函数值求锐角
例 已知tanx＝0．7410，求锐角x．（精确到1′）
D
解：在角度单位状态为“度”的情况下（屏幕显
示 ），按下列顺序依次按键：
SHIFT tan 0 ● 47 01 =( 1tan )
显示结果为36．53844577．
4.182336
SHIFT o’”再按键：
显示结果为
．
所以x≈36°32′．
课堂练习
1. 已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应的锐角：
（1）sinA=0.6275，sinB＝0.0547；
（2）cosA＝0.6252，cosB＝0.1659；
（3）tanA＝4.8425，tanB＝0.8816.
∠A=38°51′57.3 ″， ∠B=3°8′8.32 ″
∠A=51°18′11.27 ″， ∠B=80°27′1.72 ″
∠A=78°19′55.74 ″， ∠B=41°23′57.84 ″
A2.下列各式中一定成立的是（ ）
A.tan75°＞tan48°＞tan15°
B. tan75°＜tan48°＜tan15°
C. cos75°＞cos48°＞cos15°
D. sin75°＜sin48°＜sin15°
课堂练习
1.我们可以用计算器求锐角三角函数值.
2.已知锐角三角函数值，可以用计算器求其相应的锐角.
3.正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）;
余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）;
正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）.
归纳总结
24.4.1 解直角三角形（一）
解直角三角形及其简单应用
【学习目标】
1．理解直角三角形的概念，并能熟练地根据题目
中的已知条件解直角三角形；
2．通过综合运用直角三角形的相关知识解直角三
角形，逐步培养学生分析问题解决问题的能力；
3．在教学中逐步培养学生分析问题、解决问题的
能力，渗透数形结合的数学思想和方法．
1.在Rt△ABE中，∠C=90°，BC= a,AC=b,AB=c,
则 SinA＝ ，sinB= ，cosA= ，
cosB= ， tanA= ， tanB= 。
2.三角形由哪些元素组成?你能说出它们具有的性质吗?
B C
A
a
c
b
知识回顾
要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端,梯子与地面所
成的角α一般要满足50°≤ α ≤75°.现有一个长6m的梯子.问:
(1)使用这个梯子最高可以安全攀上
多高的平房?(精确到0.1m)
这个问题归结为:
在Rt△ABC中,已知∠A= 75°,斜边
AB=6,求BC的长
角α越大,攀上的高度就越高.
A C
B
新课导入
要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端,梯子与地面所
成的角α一般要满足50°≤ α ≤75°.现有一个长6m的梯子.问:
(2)当梯子底端距离墙面2.4m时,梯
子与地面所成的角α等于多少(精确
到1°)?这时人能否安全使用这个梯子?
这个问题归结为:
在Rt△ABC中,已知AC=2.4m,斜边
AB=6, 求锐角α的度数?
A C
B
在Rt△ABC中,
(1)根据∠A= 75°,斜边AB=6,
你能求出这个三角形的其他元素吗?
(2)根据AC=2.4m,斜边AB=6,
你能求出这个三角形的其他元素吗?
三角形有六个元素,
分别是三条边和三
个角.
在直角三角形的六个元素中,除直角外,如
果知道两个元素,
就可以求出其余三个元素.
(3)根据∠A=60°,∠B=30°,
你能求出这个三角形的其他元素吗?
A C
B
(其中至少有一个是边),
自主预习
已知两边解直角三角形及解直角三角形的应用
比萨铁塔倾斜问题，设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直
中心线的夹角为∠A，过B点向垂直中心线引垂线，垂足为点
C（如图），在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5.2m，AB＝
54.5m.
所以∠A≈5°28′
可以求出2001年纠偏后塔身中心线与垂直
中心线的夹角．你愿意试着计算一下吗？
A
BC
A
BC
例1 如图所示，一棵大树在一次强烈的地震中于离
地面10米处折断倒下，树顶落在离树根24米处.大树在
折断之前高多少？
解：利用勾股定理可以求
出折断倒下部分的长度为:
26＋10＝36（米）.
答:大树在折断之前高为36
米.
2 210 24 26+ =
自主探究
在例1中，我们还可以利用直角三角形的边角
之间的关系求出另外两个锐角．像这样，在直角三
角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解
直角三角形．
归纳
例2：如图东西两炮台A、B相距2000米，同时
发现入侵敌舰C，炮台A测得敌舰C在它的南偏
东40゜的方向，炮台B测得敌舰C在它的正南
方，试求敌舰与两炮台的距离.（精确到1米）
自主探究
解 在Rt△ABC中，∵
∠CAB＝90゜－∠DAC＝50゜，
＝tan∠CAB,
∴ BC＝AB•tan∠CAB
=2000×tan50゜ ≈2384(米).
又∵ ，
∴
AC＝
答：敌舰与A、B两炮台的距离分别约为3111米和2384米.
AB
BC
50cos
AC
AB
)(3111
50cos
2000
50cos
米
AB
知识梳理
已知一边和一锐角解直角三角形
在图中的Rt△ABC中，
（1）根据∠A＝75°，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角
形的其他元素吗？
A
B
C
α
6
=75°
在图中的Rt△ABC中，
（2）根据AC＝2.4，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角
形的其他元素吗？
A
B
C
α
6
2.4
事实上，在直角三角形的六个元素中，
除直角外，如果再知道两个元素（其
中至少有一个是边），这个三角形就
可以确定下来，这样就可以由已知的
两个元素求出其余的三个元素．
A
Ba
b c
C
解直角三角形:在直角三角形中，由已知元素求未知元素
的过程．
1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a = 30，b = 20，根据
条件解直角三角形.
解：根据勾股定理
2 2 2 230 20 10 13c a b ，
30 3tan 1.5
20 2
aA
b
，
56.3 .A ∴
90 90 56.3 33.7 .B A ∴
A
B
Cb=20
a=30
c
随堂练习
60A ，
90 90 60 30B A ，
2 2 2.AB AC
A
BC
2
6
解：
6tan 3
2
BCA
AC
，
2.如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = ，
，解这个直角三角形.6BC
2
（2）两锐角之间的关系∠A＋∠B＝90°
（3）边角之间的关系
（1）三边之间的关系 （勾股定理）A
Ba
b c
C
在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：
归纳总结
24.4.2 解直角三角形（二）
仰角、俯角与解直角三角形的应用
【学习目标】
1．理解俯角和仰角的概念，并利用其解直角三角形；
2．综合利用仰角和俯角以及解直角三角形的知识，
逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；
3．经历数学知识的挖掘与欣赏过程，近一步感受教
学知识在图案设计中的应用，从而激发学生学习数
学的兴趣．
在直角三角形中,除直角外,由已知两元素
求其余未知元素的过程叫解直角三角形.
1.解直角三角形
(1)三边之间的关系: a2＋b2＝c2（勾股定理）；
2.解直角三角形的依据
(2)两锐角之间的关系:∠ A＋ ∠ B＝ 90º；
(3)边角之间的关系: Ａ Ｃ
Ｂ
a
b
c
tanA＝ a
bsinA＝
a
c
cosA＝ b
c
(必有一边)
知识回顾
仰角和俯角
铅
直
线
水平线
视线
视线
仰角
俯角
在进行测量时，
从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；
从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
自主预习
例 如图，为了测量电线杆的高度AB，在离电
线杆22.7米的C处，用高1.20米的测角仪CD测
得电线杆顶端B的仰角a＝22°，求电线杆AB
高．（精确到0.1米）
图 19.4.4
1.20
22.7
自主探究
仰角、俯角问题
分析：我们知道，在视线与水平线所
成的角中视线在水平线上方的是仰角，
视线在水平线下方的是俯角，因此，
在图中，α=30°,β=60°
Rt△ABD中，α=30°，AD＝120，
所以利用解直角三角形的知识求出
BD；类似地可以求出CD，进而求出BC．
A
B
C
Dα
β
仰角
水平线
俯角
热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角
为30°，看这栋高楼底部的俯 角为60°，热气球与高楼的
水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）.
解：如图，a = 30°,β= 60°， AD＝120．
tan tanBD CD,
AD AD
tan 120 tan30BD AD
340
3
3120
60tan120tan ADCD
31203120
3120340 CDBDBC
1.2773160
答：这栋楼高约为277.1m
A
B
C
Dα
β
建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的D处观
察旗杆顶部A的仰角54°，观察底部B的仰角为
45°，求旗杆的高度（精确到0.1m）.
A
B
CD 40m
54°45°解：在等腰三角形BCD中∠ACD=90°
BC=DC=40m
在Rt△ACD中
所以AB=AC－BC=55.2－40=15.2
答：旗杆的高度为15.2m.
拓展练习
1.如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，cosA = ，BC = 5，
试求AB的长.
1
3
AC
B
解： 190 cos
3
C A ， ，
1 .
3
AC
AB
设 1,
3
AB x AC x ，
2 2 2AB AC BC ，
2
2 21 5 .
3
x x
课堂练习
1 2
15 2 15 2, .
4 4
x x （舍去）
∴ AB的长为 15 2 .
4
2. 如图，沿AC方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山的
另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD =140°，
BD=520m，∠D=50°，那么开挖点E离D多远正好能使A，C，
E成一直线（精确到0.1m）
50°
140°
520m
A B C E
D
∴∠BED=∠ABD－∠D=90°
答：开挖点E离点D 332.8m正好能使A，C，E成一直线.
解：要使A、C、E在同一直线上，则
∠ABD是 △BDE 的一个外角
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是:
1.将实际问题抽象为数学问题;
(画出平面图形,转化为解直角三角形的问题)
2.根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等去解直角三角形;
3.得到数学问题的答案;
4.得到实际问题的答案.
知识梳理
24.4.2 解直角三角形（三）
坡比、坡角与解直角三角形的应用
【学习目标】
1．理解坡角、坡度的概念，并能解直角三角形；
2．通过综合运用直角三角形的相关知识解直角三角
形，逐步培养学生分析问题的能力；
3．在数学中逐步培养学生分析问题、解决问题的能
力，渗透数形结合的数学思想和方法．
1.测量高度时,仰角与俯角有何区别?
2.解答下面的问题
如图,有两建筑物,在甲建筑物上从A到E点挂一长为
30米的宣传条幅,在乙建筑物的顶部D点测得条幅顶端
A点的仰角为45°,条幅底端E点的俯角为30°.求甲、乙
两建筑物之间的水平距离BC。 A
E
D
CB
知识回顾
读一读
在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注
明斜坡的倾斜程度。
如图：坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比
叫做坡面的坡度（或坡比），记作i，即i= h
l
h
l
i=h:l
a
坡度通常写成1：m的形式，如i=1:6
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作a，有
i= =tan a
h
l
自主预习
解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根据实际情况灵活运用相
关知识，例如，当我们要测量如图所示大坝的高度h时，只要测出仰角a
和大坝的坡面长度l，就能算出h=lsina，但是，当我们要测量如图所示
的山高h时，问题就不那么简单了，这是由于不能很方便地得到仰角a和
山坡长度l
化整为零，积零为整，化曲为直，以直代曲的解决问题的策略
与测坝高相比，测山高的困难在于；坝坡是“直”的，而山坡是“曲”
的，怎样解决这样的问题呢？
h
h
αα
l
l
自主探究
我们设法“化曲为直，以直代曲”． 我们可以把山坡“化
整为零”地划分为一些小段，图表示其中一部分小段，划分小段
时，注意使每一小段上的山坡近似是“直”的，可以量出这段坡
长l1，测出相应的仰角a1，这样就可以算出这段山坡的高度
h1=l1sina1.
在每小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面的方法分别算出各段
山坡的高度h1,h2,…,hn,然后我们再“积零为整”，把h1,h2,…,hn相加，于是
得到山高h.
h
α
l
以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲”
的做法，就是高等数学中微积分的基本思想，它在数学中有重要地位，在今
后的学习中，你会更多地了解这方面的内容．
如图，一段路基的横断面是梯形，高为4.2米，上底宽为12.51
米，路基的坡面与地面的夹角分别是32 °和28 °，求路基下底的
宽（精确到0.1米）
A
D C
E F B
解：作DE ⊥ AB，CF ⊥ AB，垂足分别
为点E、F，由题意可知：
DE=CF=4.2
EF=CD=12.51
在RT △ABC中，
4.2 tan 32DE
AE AE
°
4.2
tan 28
BF
°
在RT △ABC中，同理可得
≈6.72
4.2
tan 28
BF ° ≈7.90
∴AB=AE+EF+BF
≈6.72+12.51+7.90
≈27.1
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转
化为解直角三角形的问题）；
（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数等去
解直角三角形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案．
知识梳理
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA = ，BC=6，
则AB的值为 ( )
A．4 B．6 C．8 D．10
3
5
D
随堂练习
2. 如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，EC=4，
sinB＝ ，则菱形的周长是 ( )
A．10 B．20 C．40 D．28
4
5
C
随堂练习
图①
提示：题目中没有给出图形，注意分类讨论.
3.在△ABC中，AB= ，AC=13，cos∠B= ，
求BC的长.
12 2 2
2
解：∵cos∠B = ，∴∠B=45°，
2
2
当△ABC为钝角三角形时，如图①，
=12 2 =45AB B ∵ ，∠ ，
= = cos 12.AD BD AB B ∴
∵AC=13，∴由勾股定理得CD=5
∴BC=BD-CD=12-5=7；
图②
当△ABC为锐角三角形时，如图②，
BC=BD+CD=12+5=17.
∴ BC的长为7或17.
4.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=6， ∠BAC
的平分线 ，解这个直角三角形.4 3AD
解：
6 3cos
24 3
ACCAD
AD
，
30CAD ，
∵ AD平分∠BAC，
60 30CAB B ， ，
12 6 3.AB BC ，
D
A
BC
6 4 3
6.海中有一个小岛A，它的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向到航
行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测
得小岛A在北偏到30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有
触礁的危险？
B
A
D F
解：由点A作BD的垂线
交BD的延长线于点F，垂足为F，∠AFD=90°
由题意图示可知∠DAF=30°
设DF= x , AD=2x
则在Rt△ADF中，根据勾股定理
在Rt△ABF中，
解得x=6 10.4 >8没有触礁危险
30°
60°
第24章 小结与复习
【学习目标】
1．进一步理解勾股定理、直角三角形斜边上的中
线等于斜边的一半及三角函数的意义；
2．培养学生综合、概括等逻辑思维能力及分析问
题、解决问题的能力．
【学习重点】
灵活运用解直角三角形知识解决问题．
【学习难点】
选择恰当知识解决具体问题．
1．直角三角形的两个锐角互余．
2．直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
(勾股定理)．
3．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
4．30°所对直角边等于斜边的一半．
一、直角三角形的性质
在直角三角形中的三个三角函数的求法：
二、锐角三角函数
三、特殊角三角函数值
1．仰角：从下向上看，视线与水平线的夹角．
2．俯角：从上往下向看，视线与水平线的夹角．
四、仰角、俯角、坡度与解直角三角形
3．坡度i＝ ＝tanα.
(2)∠A的余弦：cosA＝ ＝ ；
(3)∠A的正切：tanA＝ ＝ .
三边关系： ；
三角关系： ；
边角关系：sinA＝cosB＝ ，cosA＝sinB＝ ，tanA
＝ ，tanB＝ .
(2)直角三角形可解的条件和解法
条件：解直角三角形时知道其中的2个元素(至少有一个是边)，就可以求出其余
的3个未知元素．
a2＋b2＝c2
∠A＝90°－∠B
2、特殊角的三角函数值的考查
3、解直角三角形
4、 解直角三角形在实际中的应用
例4 [2010•广州] 目前世界上最高的电视塔是广州新电视
塔．如图28－5所示，新电视塔高AB为610米，远处有一栋大
楼，某人在楼底C处测得塔顶B的仰角为45°，在楼顶D处测得塔
顶B的仰角为39°.
(1)求大楼与电视塔之间的距离AC；
(2)求大楼的高度CD(精确到1米)．
(cosα，sinα)
练习1
练习2
练习3
2．如图28－10，小刚同学在綦江南州广场上观测新华书店
楼房墙上的电子屏幕CD，点A是小刚的眼睛，测得屏幕下端D处
的仰角为30°，然后他正对屏幕方向前进了6米到达B处，又测
得该屏幕上端C处的仰角为45°，延长AB与楼房垂直相交于点E，
测得BE＝21米，请你帮小刚求出该屏幕上端与下端之间的距离
CD.(结果保留根号)
图28－10
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