天天资源网 / 初中数学 / 教学同步 / 北师大版（2012） / 八年级上册 / 第七章 平行线的证明 / 北师版八年级数学上册第七章平行线的证明
资料简介
7.1 为什么要证明
第七章 平行线的证明
学习目标
1.了解推理的意义，知道要判断一个数学结论是否正
确，必须进行推理．（重点）
2.会用实验验证、举出反例、推理等方法简单地验证
一个数学结论是否正确．（难点）
导入
新课
平行线:不敢相信图中的横线是平行的,不过它们就是平行线!
你觉得观察得到的结论正确吗？
讲授
新课
数学的结论必须经过严格的论证
判断一个数学结论是否正确，仅观察、猜想、
实验还不够；
必须经过一步一步、 有根有据的推理.
请举例说明，你用到过的推理.
a
b
线段a与线段b哪个
比较长？
a b c
d
谁与线段d在
一条直线上？
能看出来吗
a
b
a b c
d
a=b
验证一下
)(16.02
1
22
1 mcc
如图，假如用一根比地球的赤道长1米的铁丝将地球赤道围
起来，那么铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大？（地球看
成球形）能放进一个红枣吗？能放进一个拳头吗？
解：设赤道周长为c，铁丝与地球赤道
之间的间隙为 ：
它们的间隙不仅能放进一个红枣，而且也能
放进一个拳头.
费 马
对于所有
自然数n，
的值都是质数.
122 n
当n=0，1，2，3，4时，
122 n
= 3，5，17，257，65 537都是质数
欧 拉
当n=5
时，
= 4 294 967 297=
641×6 700 417
举出反例是检验错误数学结论的有
效方法.
大数学家也有失误
这个故事告诉我们：
1、 学习欧拉的求实精神与严谨的科学态度.
2、没有严格的推理，仅由若干特例归纳、猜测的
结论可能潜藏着错误，未必正确.
3、要证明一个结论是错误的，举反例就是一种常用
方法.
当堂
练习
1.下列结论中你能肯定的是（ ）
A.今天下雨，明天必然还下雨
B.三个连续整数的积一定能被6整除
C.小明在数学竞赛中一定能获奖
D.两张相片看起来佷像，则肯定照的是同一个人
2.下列问题用到推理的是（ ）
A.根据a=10，b=10,得到a=b
B.观察得到三角形有三个角
C.老师告诉我们关于金字塔的许多奥秘
D.由经验可知过两点有且只有一条直线
3.顺次连接等腰梯形四边中点，所得到的四边形是（ ）
A.平行四边形 B.矩形 C.正方形 D.菱形
B
A
D
4.某超级市场失窃，大量的商品在夜间被罪犯用汽车运走，三
个嫌疑犯被警察局传讯，警察局已经掌握了以下事实：
①罪犯不在A,B,C三人之外；②C作案时总得有A作从犯；
③B不会开车.在此案中肯定的作案对象是（ ）
A．嫌疑犯A B．嫌疑犯B
C．嫌疑犯C D．嫌疑犯A和C
D
5.有红、黄、蓝三个箱子，一个苹果放入其中某个箱子内，
并且：
（1）红箱子盖上写着：“苹果在这个箱子里”；
（2）黄箱子盖上写着：“苹果不在这个箱子里”；
（3）蓝箱子盖上写着：“苹果不在红箱子里”；
已知(1),(2),(3)中只有一句是真的，苹果在哪个箱子里？
解：我们发现（1）与（3）互相矛盾，可两件矛
盾的事不能都是真的，必有一假；题设真话只有一句.这
样（2）必是假话，从而苹果在黄箱子里.
为什么要
证明
数学结论必须经过严
格的论证
课堂
小结
实验验证
举出反例
推理证明
论证方法
7.2 定义与命题
第七章 平行线的证明
第1课时 定义与命题
学习目标
1.理解定义、命题的概念，能区分命题的条件和结论，
并把命题写成“如果……那么……”的形式．（重点）
2.了解真命题和假命题的概念，能判断一个命题的真假
性，并会对假命题举反例．（难点）
导入新课
小华与小刚正在津津有味地阅读《我们爱科学》.
这个黑客终于
被逮住了.
是的,现在的因特网
广泛运用于我们的生
活中,给我们带来了
方便,但…….
这个黑客是个
小偷吧？
可能是个喜欢
穿黑衣服的贼.
坐在旁边的两个人一边听着他们的谈话，一边也在
悄悄地议论着.
小明的百米
成绩有进步，已
达到9秒9.
好！继续
努力,争取超过
10秒.
不要再抢啦！
每个人发一个球！
有一位田径教练向领导汇报训练
成绩；
相传,阎锡山在观看士兵篮球赛,双
方争抢非常激烈.于是命令:
讲授新课 定义
交流必须对某些名称和术语有共同的语言认识
才能进行.
根据上面的情境，你能得出什么结论？
要对名称和术语的含义加以描述，作出明确规
定.也就是给出它们的定义.
请你举出你所熟知的一些定义例子
例如:
1.“具有中华人民共和国国籍的人,叫做中华人民共和国
公民” 是“中华人民共和国公民”的定义;
2. “两点之间线段的长度,叫做这两点之间的距离” 是
“两点之间的距离”的定义;
3.“在一个方程中,只含有一个未知数,并且未知数的指
数是1,这样的方程叫做一元一次方程” 是“一元一次方
程”的定义.
你还能举出曾学过的“定义”吗?
1.无限不循环小数称为无理数；
2.两条边相等的三角形叫做等腰三角形；
3.能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形；
4. 一般的，如果在某个变化过程中有两个变量x和y，并且
对于变量x的每一个值，变量y有唯一确定的值与它对应，
那么我们称y是x的函数.
命题
下图表示某地的一个灌溉系统.
1.如果B处水流受到污染,那么 处水流便受到污染;
2.如果C处水流受到污染,那么 处水流便受到污染;
3.如果D处水流受到污染,那么 处水流便受到污染;
…… A
B
·C
·E
·
· F
H
·· G
D
· K
·J
·· I
C,E,F,G
E
K
上面“如果……那么……”都是对事情进行判
断的语句.像这样判断一件事情的句子,叫做命题.
例1：下列句子都是命题吗？
(1)熊猫没有翅膀.
如果一个动物是熊猫，那么它就没有翅膀.
(2)对顶角相等.
如果两个角是对顶角，那么它们就相等.
(3)平行于同一条直线的两条直线平行.
如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也
互相平行.
都是命题
命题一般都可以写成“如果……那么……”的形式. 反
之,如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断,那么
它就不是命题.
例如,下列句子都不是命题:
(1)你喜欢数学吗? (2)作线段AB=CD.
⑶清新的空气. ⑷不许讲话！
1.如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三
角形全等；
2.两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那
么这两条直线平行；
3.如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的
两个底角相等；
这些命题有什么共同的结构特征？
观察下列命题：
条件 结论
已知事项 由已知事项推断
出来的事项
如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形
全等；
命题都可以写成“如果……那么……”的形式；其中
“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结
论.
归纳:一般，每个命题都由条件和结论两部分组成.条件是
已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项.
例2：下列命题的条件是什么？结论是什么？
（1）如果两个角相等，那么它们是对顶角；
（2）如果a＞b,b＞c,那么a=c；
（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等；
（4）全等三角形的面积相等.
解:（1）条件：两个角相等，
结论：它们是对顶角.
(2)条件： a＞b,b＞c ，
结论： a=c.
(3)条件：两个三角形的两角和其中一角的对边对
应相等，结论：这两个三角形全等.
（4）条件：两个三角形全等，
结论：它们的面积相等.
我们把正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题．
这几个命题哪些是真命题？哪些是假命题？
1.如果两个角相等，那么它们是对顶角；
2.如果a＞b,b＞c,那么a=c；
3.两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等；
4. 全等三角形的面积相等.
假命题
假命题
真命题
真命题
说明假命题的方法： 举反例
使之具有命题的条件，而不具有命题的结论.
当堂练习
１．下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？
⑴对顶角相等.
⑵画一个角等于已知角.
⑶两直线平行，同位角相等.
⑷a、b两条直线平行吗？
⑸温柔的李明明.
⑹玫瑰花是动物.
⑺若a2＝4，求a的值.
⑻若a2＝ b2，则a＝b.
不是
是
不是
不是
是
不是
是
是
(9)八荣八耻是我们做人的基本准则. 是
2． 下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？
（1）正数大于一切负数吗？
（2）两点之间线段最短.
（3） 不是无理数.
（4）作一条直线和已知直线平行.
2
（ √ ）
（×）
（×）
（ √ ）
如果在同一个三角形中，有两个角相等，那么这两个角所对
的边也相等.
⑴三条边对应相等的两个三角形全等；
⑵在同一个三角形中，等角对等边；
⑶对顶角相等.
如果两个三角形有三条边对应相等，那么这两个三角形全等。
条件
条件
如果两个角是对顶角，那么这两个角相等.
条件
结论
结论
结论
定义与命
题、
定义
课堂小结
概念：判断一个
事件的句子
结构：如果……
那么……
分类：真命题、
假命题
命题
7.2 定义与命题
第七章 平行线的证明
第2课时 定理与证明
学习目标
1.了解公理、定理与证明的概念并了解本套教材所采用的公
理．（重点）
2.体会命题证明的必要性，体验数学思维的严谨性．（难点）
导入新课 如何证实一个命题是真命题呢？
用我们以前学过
的观察,实验,验
证特例等方法.
这些方法
往往并不
可靠.
那已经知道的
真命题又是如
何证实的?
能不能根据已
经知道的真命
题证实呢?
哦……那可
怎么办
讲授新课 公理与定理
如何证实一个命题是真命题呢？
其实，在数学发展史上，数学家们也遇到类似的问题，
公元前3世纪，人们已经积累了大量的数学知识，在此基
础上，古希腊数学家欧几里得(公元前300前后)
编写了一本书，书名叫《原本》，为了说明
每一个结论的正确性，他在编写这本书时进
行了大胆创造：挑选了一部分数学名词和一
部分公认的真命题作为证实其他命题的起始
依据.
了解《原本》与《几何原本》；了解古希腊数学家
欧几里得(Euclid,公元前300前后)；找出下列各个
定义并举例．
1.原名:某些数学名词称为原名.
2.公理:公认的真命题称为公理.
3.证明:除了公理外,其他真命题的正确性都通过推
理的方法证实.推理的过程称为证明.
4.定理:经过证明的真命题称为定理.
证实其他命
题的正确性
推 理
推理的过程
叫证明
经过证明的真
命题叫定理
原名、公理
一些条件
+
本套教科书选用九条，我们已经认识了其中的八条:
1.两点确定一条直线;
2.两点之间线段最短;
3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;
4.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这
两条直线平行（简述为：同位角相等，两直线平行）;
5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行;
6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等;
7.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等;
8.三边分别相等的两个三角形全等.
公理
等式的有关性质和不等式的有关性质（以后将会学到）
都可以看作公理．
“在等式或不等式中,一个量可以用它的等量来代替”.
这一性质也看作公理,简称为“等量代换”.
其他公理
证明定理“对顶角相等”
例1：如图，直线AB与直线CD相交于点O，
∠AOC与∠BOD是对顶角.
求证：∠AOC =∠BOD
证明：
∴ ∠AOB与∠COD都是平角( )
已知
平角的定义
∴ ∠AOC＋∠AOD＝180° 补角的定义
∴ ∠AOC =∠BOD ( )同角的补角相等
∵直线AB与直线CD相交于点O ( )
∠BOD＋∠AOD＝180°
( )
当堂练习
1、“两点之间，线段最短”这个语句是（ ）
A.定理 B.公理 C.定义 D.只是命题
2.“同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”这个语
句是（ ）
A.定理 B.公理 C.定义 D.只是命题
B
C
3.下列命题中，属于定义的是（ ）
A.两点确定一条直线；
B.同角的余角相等；
C.互补的两个角是邻补角；
D.点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度.
D
4、下列句子中，是定理的是（ ），是公理的是
（ ）.
A、若a=b，b=c，则a=c；
B、对顶角相等
C、全等三角形的对应边相等，对应角相等
B,C
A
命题
证明：推理的过程
课堂小结
公理：公认的真
命题
定理：经过证明
的真命题
分类
7.3 平行线的判定
第七章 平行线的证明
学习目标
1.了解并掌握平行线的判定公理和定理．（重点）
2.了解证明的一般步骤．（难点）
导入新课
请找出图中的平行线！它们为什么平行?
讲授新课 平行线的判定
公理 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，
那么这两条直线平行.
简单说成：同位角相等，两直线平行
你认为“两条直线被第三条直线所截，如果同
旁内角互补，那么这两条直线平行”这个命题
正确吗？说明理由.
a
b
c
1
3
2
例1：如图，∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的同旁内
角，且∠1与∠2互补.求证：a∥b
证明:∵ ∠1与∠2互补 (已知),
∴∠1+∠2=180°(互补的定义).
∴∠1= 180°-∠2(等式的性质).
又∵∠3+∠2=180° (平角的定义),
∴∠3= 180°-∠2(等式的性质).
∴∠1=∠3(等量代换).
∴ a∥b(同位角相等,两直线平行).
已给的公理,定义和定理以后都可以作为依据,用来证
明新的命题.
说说你所悟到的证明一个命题的方法,步骤,书写格式
以及注意事项.
定理 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，
那么这两条直线平行.
简单说成：同旁内角互补，两直线平行
∵ ∠1+ ∠2=180°
∴ a∥b
1a
b
c
2
证明一个命题的一般步骤：
(1)弄清题设和结论；
(2)根据题意画出相应的图形；
(3)根据题设和结论写出已知,求证；
(4)分析证明思路,写出证明过程.
据说,人类知识的75%是在操作中学到的.
小明用下面的方法作出平行线，你认为他的作法对吗？
为什么？
通过这个操作活动,得到了什么结论?
定理 两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那
么这两条直线平行.
这个定理可以简单说成:内错角相等,两直线平行.
你能运用所学知识来证实它是一个真命题吗?
a
b
c
1 3
2
例2：如图,∠1和∠2是直线a,b被直线c截出的内错角,且
∠1=∠2.求证:a∥b.
证明:∵∠1=∠2 (已知),
∠1+∠3=180°(平角的定义).
∴∠2+∠3 = 180°(等量代换).
∴∠2与∠3互补(互补的意义).
∴ a∥b(同旁内角互补,两直线平行).
当堂练习
1.(潜江·中考）对于图中标记的各角，下列条件能够推理
得到a∥b的是( )
A.∠1=∠2
B.∠2=∠4
C.∠3=∠4
D.∠1+∠4=180°
【解析】∠1的对顶角与∠4是同旁内角，若
∠1+∠4=180°，可以根据同旁内角互补，两
直线平行得到a∥b.
D
2.如图所示，∠1=75°，要使a∥b,则∠2等于( )
A.75°
B.95°
C.105°
D.115°
a
b
1
2
【解析】∠1的同位角与∠2互为补角，所以
∠2=180°-75°=105°.
C
3.（铜仁·中考）如图，请填写一个你认为恰当的条件
______，使AB∥CD.
【解析】此题答案不唯一，填写的条件可以是
∠CDA=∠DAB或∠PCD=∠BAC或
∠BAC+∠ACD=180°等.
答案：答案不唯一，如∠CDA=∠DAB.
平行线的
判定
判定公理：同位角相等，
两直线平行
课堂小结
内错角相等，两直
线平行
同旁内角互补，两
直线平行
判定定理
7.4 平行线的性质
第七章 平行线的证明
学习目标
1.理解并掌握平行线的性质公理和定理．（重点）
2.能熟练运用平行线的性质进行简单的推理证明．（难点）
导入
新课
一条公路两次拐弯后，和原来的方向相同，第
一次拐的角∠B是130°，第二次拐的角∠C是多少
度？
B
C
讲授新课 平行线的性质
定理：两直线平行，同位角相等.
利用这个定理，你能证明哪些熟悉的结论？
两直线平行，内错角相等.
两直线平行，同旁内角互补.
尝试来证明一下
证明的一般步骤：
第一步：根据题意，画出图形．
先根据命题的条件即已知事项，画出图形，再把命题
的结论即求证的需要在图上标出必要的字母或符号，以便
于叙述或推理过程的表达．
第二步：根据条件、结论，结合图形，写出已知、求证.
把命题的条件转化为几何符号的语言写在已知中，命
题的结论转化为几何符号的语言写在求证中．
第三步：经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证
明过程．
证明：两条直线被第三条直线所截，内错角相等.
1
2b
c
3a
已知：直线a∥b，∠1和∠2是
直线a，b被直线c截出的内错角.
求证： ∠1=∠2.
证明：∵a∥b(已知)，
∴∠2＝∠3(两条直线平行，同位角相等)
∵∠1＝∠3(对顶角相等)，
∴∠1=∠2(等量代换)
证明：两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
1
2b
c
3a
已知：直线a∥b，∠1和∠2是直
线a，b被直线c截出的同旁内角.
求证： ∠1+∠2=180°.
证明：∵a∥b (已知)
∴∠2＝∠3 (两条直线平行，同位角相等)
∵∠1+∠3 =180° (平角等于180°)
∴∠1+∠2=180 ° (等量代换)
证明：
∵a∥b，∴∠1=∠2，
同理∠2=∠3，∴∠1=∠3，∴a∥c.
如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两
条直线也互相平行.
已知：如图，直线a,b,c被直线d所截，且a∥b,c∥b.
求证：a∥c.
平行线的性质
公理:
两直线平行,同位角相等.
∵ a∥b, ∴∠1=∠2.
性质定理1:
两直线平行,内错角相等.
∵ a∥b, ∴∠1=∠2.
性质定理2:
两直线平行,同旁内角互补.
∵ a∥b, ∴ ∠1+∠2=1800 .
a
b
c
2
1
a
b
c
1
2
a
b
c
1
2
w这里的结论,以后可以直接运用.
A D
CB
例1：如图所示，已知四边形ABCD 中， AB∥CD， AD∥BC，
试问∠A与∠C，∠B与∠D 的大小关系如何？
解：∠A= ∠ C, ∠B=∠D
理由：∵AB∥CD （已知 ）
∴∠B+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补 ）
又 ∵ AD∥BC （已知）
∴∠C+∠D=180°（ 两直线平行，同旁内角互补 ）
∴∠ B=∠D （ 同角的补角相等 ）
同理 ∠A=∠C
当堂练习
1.（郴州·中考）下列图形中，由AB∥CD，能得
到∠1=∠2的是( )B
【解析】
选项A中∠1与∠2是同旁内角，∠1+∠2=180°，错误;
选项B中，∠1与∠2是相等的，正确;
选项C中，∠1与∠2是AC与BD被AD所截而得的内错角，
错误;
选项D中，∠1与∠2是AC与BD被CD所截而得的同旁内
角，错误.
2.如图所示,下列推理不正确的是( )
A.∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠C=180°
B.∵∠1=∠2，∴AD∥BC
C.∵AD∥BC，∴∠3=∠4
D.∵∠A+∠ADC=180°，∴AB∥CD
C
【解析】A选项的根据是两直线平行，同旁内角互补；B
选项的根据是内错角相等，两直线平行；D选项的根据
是同旁内角互补，两直线平行；C选项中，AD∥BC，而
∠3与∠4是AB与CD被BD所截的内错角.
3.如图，在∆ABC中，CE⊥AB于点E，DF⊥AB于
点F，AC//ED，CE是∠ACB的平分线，则
∠EDF=∠BDF，请说明理由.
解：因为CE⊥AB， DF⊥AB
所以DF//EC
所以∠BDF=∠1，∠EDF=∠3
因为ED//AC，所以∠3=∠2
所以∠EDF=∠2
又CE平分∠ACB
所以∠1=∠2
所以∠BDF=∠EDF.
平行线的
性质
两直线平行，同位角相等
课堂小结
两直线平行，内错角相等
两直线平行，同旁内角互补
平行于同一直线的两直线
平行
7.5 三角形内角和定理
第七章 平行线的证明
第1课时 三角形内角和定理
学习目标
1.理解并掌握三角形内角和定理及其证明过程．（重点）
2.能利用三角形内角和定理进行简单的计算和证明．（难点）
导入新课
内角三兄弟之争
在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟
非常团结.可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指
着 老 大 说 ： “ 你 凭 什 么 度 数 最 大 ， 我 也 要 和 你 一 样
大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们
这个家就再也围不起来了……”“为什么？” 老二很纳闷.
同学们，你们知道其中的道理吗？
讲授新课 三角形内角和定理
命题：三角形的三个内角和是180°
你能验证这个命题吗？
我们知道三角形三个内角的和等于180°.你
还记得这个结论的探索过程吗?
验证：三角形的三个内角和是180°
图1 图2
图3
A
B C
CB
A
A
B
B
C
C
B
A
B
E F
结论：三角形的内角和等于1800.
证明：过点A作EF∥BC
则∠B=∠2（两直线平行,内错角相等）
同理∠C=∠1
因为∠2+∠1+∠BAC=1800（平角定义）
所以∠B+∠C+∠BAC=1800（等量代换）
已知：△ABC.
A
B C
E F
求证：∠A +∠B +∠C =180°
F
定理：三角形的三个内角和是180°
∠A+∠B+∠C=180°的几种变形:
w∠A=180° –(∠B+∠C).
w∠B=180°–(∠A+∠C).
w∠C=180° –(∠A+∠B).
w∠A+∠B=180° –∠C.
w∠B+∠C=180° –∠A.
w∠A+∠C=180° –∠B.
A
B C
根据下面的图形,写出相应的证明.
你还能想出其它证法吗?
(1)
A
B CP
Q R
T
S N
(3)
A
B C
PQ R
M
T
S N
(2)
A
B C
PQ
R
M
当堂练习
1.（1）在△ABC中,∠A=35°,∠ B=43°，
则∠ C= .
（2）在△ABC
中,∠C=90°,∠B=50°,
则∠A = ＿＿＿＿.
（3）在△ABC中, ∠A=40°,∠A=2∠B，
则∠C = ＿＿＿＿.
102°
40°
120°
2.（口答）下列各组角是同一个三角形的内角
吗？为什么？
（2）60°， 40°， 90°
（3）30°， 60°， 50°
（1）3°， 150°， 27° 是
不是
不是
3.解答题
在△ABC中，∠A的度数是∠B的度数的3倍，
∠C 比∠B 大15°，求∠A，∠B，∠C的度数.
解 设∠B为x °
则∠A为(3x)°，∠C为(x+ 15)°
3x+x+(x+15)=180
解得 x=33
所以 3x=99 ，x+15 =48
答:∠A,∠B,∠C的度数分别为99°，33°，48°.
根据三角形的内角和等于180° 得：
三角形内
角和定理
定理：三角形的内角和等
于180°
课堂小结
定理的证明：作平行线，
将三个内角拼成一个平角
定理的应用
7.5 三角形内角和定理
第七章 平行线的证明
第2课时 三角形的外角
学习目标
1.了解并掌握三角形的外角的定义．（重点）
2.掌握三角形内角和定理的两个推l论，利用这两个推论
进行简单的证明和计算．（难点）
导入新课
问题：在一个三角形花坛的外围走一圈，在每一个拐弯的
地方都转了一个角度（∠1，∠2，∠3），那么回到原来
位置时（方向与出发时相同），一共转了多少度？
1
2
3
讲授新课 三角形的外角
A
B C D
三角形内角的一条边与另一条边的反向延长
线组成的角，叫做三角形的外角．
如图. ∠1是△ABC的一个外角, ∠1与图中的其他角有什
么关系?
A
B C D
1
2
3 4
∠1+∠4=180°；
∠1>∠2；
∠1>∠3；
∠1=∠2+∠3.
证明:∵∠2+∠3+∠4=180° (三角形内角和定理),
∠1+∠4=180° (平角的定义),
∴∠1= ∠2+∠3.(等量代换).
∴ ∠1>∠2,∠1>∠3(和大于部分).
用文字表述为:
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
在这里,我们通过三角形的内角和定理
直接推导出两个新定理.像这样,由一
个基本事实或定理直接推出的定理,
叫做这个基本事实或定理的推论.
推论可以当做定理使用.
A
B C D
1
2
3 4
三角形内角和定理的推论:
定理: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
定理: 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
A
B C D
1
2
3 4
△ABC中:
∠1=∠2+∠3;
∠1>∠2,∠1>∠3.
这个结论以后可以直接运用.
例1 如图,在△ABC中,AD平分外角∠EAC,
∠B= ∠C. 求证:AD∥BC.
A
C
D
B
E
分析:要证明AD∥BC,只需要证明
“同位角相等”或“内错角相等”
或“同旁内角互补”.
例题是运用了
定理“内错角
相等,两直线
平行”得到了
证实.
证明:∵∠EAC=∠B+∠C (三角形的一
个外角等于和它不相邻的两个内角的
和),∠B=∠C (已知),
∴∠C= ∠EAC(等式的性质).
∵AD平分 ∠EAC(已知).
∴∠DAC= ∠EAC(角平分线的定义).
∴∠DAC=∠C(等量代换).
∴AD∥BC(内错角相等,两直线平行).
当堂练习
1.（河北·中考）如图，在
△ABC中，D是BC延长线上一点，
∠B = 40°，∠ACD = 120°，
则∠A等于( )
A.60° B.70° C.80° D.90°
【解析】根据三角形外角的性质可得，∠ACD =∠B+∠A，
所以∠A=∠ACD -∠B= 120°-40°= 80°.
C
2.如图，AB∥CD，则下列说法正确的是( )
A.∠3=2∠1+∠2
B.∠3=2∠1-∠2
C.∠3=∠1+∠2
D.∠3=180°-∠1-∠2
【解析】∵AB∥CD，∴∠1=∠BCD，
∠3是△COD的外角，
∴∠3=∠2+∠BCD=∠2+∠1.
C
3.如图，直线a∥b,则∠ACB=_______.
【解析】延长BC交直线a于点D，
∵直线a∥b,
∴∠ADC=∠B=50°.
∵∠ACB是△ACD的外角，
∴∠ACB=∠A+∠ADC=28°+50°=78°.
78
4.如图，已知CE为△ABC外角∠ACD的平分线，CE交BA
的延长线于点E，求证：∠BAC＞∠B.
证明:∵CE平分∠ACD
∴∠1=∠2
∵∠BAC＞∠1
∴∠BAC＞∠2
∵∠2＞∠B
∴∠BAC＞∠B
三角形的
外角
外角：三角形的一边与另
一边的反向延长线所组成
的角，叫做三角形的外角
课堂小结
推论1：三角形的一个外
角等于和它不相邻的两个
内角的和
推论2：三角形的一个外
角大于任何一个和它不相
邻的内角
小结与复习
第七章 平行线的证明
证明
分类
结构
定理
推论
公理
条件
命题
真命题
假命题
结论
反例
证明
应用
平
行
线
三
角
形
判
定
性
质
内
角
和
定
理
推
论
知识构架
平行线
在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.⑴定义：
⑵性质： 经过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.
⑶传递性：
如果两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线也互相平行.
平行于同一直线的两直线互相平行
知识梳理
平行线的判定
图形 已知 结果 结论
同
位
角
内
错
角
同
旁
内
角
21
23
)42(
18042
互补与
a//b
a//b
a//b
同位角相等
两直线平行
内错角相等
两直线平行
同旁内角互补
两直线平行
1
2
23
2
4
）
）
）
）
）
）
a
b
a
b
a
b
c
c
c
判定两条直线平行的方法 A B
C D
a
b
（一）定义：
在同一平面内，不相交的两条直线叫
做平行线。
（二）判定：
1.定义.
2.同位角相等，两直线平行.
12
3 4
56
7 8
3. 内错角相等，两直线平行.
4.同旁内角互补，两直线平行.
c
6.垂直于同一直线的二直线
互相平行.
5.平行于同一直线的二直线互
相平行.
a
b c
E
F
1.下列语句是命题的有（ ）
（1）两点之间线段最短；
（2）向雷锋同志学习；
（3）对顶角相等；
（4）对应角相等的两个三角形是全等三角形.
(1)(3)(4)
当堂练习
2.下列命题，哪些是真命题？哪些是假命题？如果是真
命题，请写出条件与结论，如果是假命题，请举出反例！
（1）同角的补角相等；
（2）同位角相等，两直线平行；
（3）若|a|=|b|，则a=b； 真
真
假命题，若a=-1,b=1,则|a|=|b|，但a≠b.
3. 如图，AD、BE、CF为△ABC的三条角平分线,则：
∠1+∠2+∠3=________.
1
A
B C
D
EF
2
3
90º
60º 65º
78º
4. 如图所示，△ABC中，∠ACD=115°，∠B=55°, 则∠A= ,
∠ACB=______
5. 已知：如图，AB∥CD，若∠ABE=130°, ∠CDE=152°，
则∠ BED=______.
第4题图
A
B
C D
A B
C D
EF
第5题图
6.如图，直线a,b被直线c所截，a∥b.
求证：∠1+∠2=180°.
证明：∵a∥b（已知）,
∴∠1+∠3=180°（两直线平行，同旁内角互补）.
∵∠3=∠2（对顶角相等）,
∴∠1+∠2=180°(等量代换).
7.已知：如图，∠1+∠2=180°
求证：∠3=∠4.
证明：∵∠2=∠5（对顶角相等）,
∠1+∠2=180°（已知）,
∴∠1+∠5=180°（等量代换）,
∴CD∥EF（同旁内角互补，两直线平行）,
∴∠3=∠4（两直线平行，同位角相等）.
8.如图，直线AB∥ED.
求证：∠ABC+∠CDE=∠BCD.
证法一：如图，过点C作CF∥AB. A B
C
DE
∴∠ABC=∠BCF（两直线平行，内错角相等）.
∵AB∥ED（已知）,
∴ED∥CF（平行于同一直线的两条直线互相平行）,
∴∠EDC=∠FCD（两直线平行，内错角相等）,
∴∠BCF+∠FCD=∠EDC+∠ABC（等式性质）,
即∠BCD=∠ABC+∠CDE.
F
证法二：如图，延长BC交DE于点G.
A B
C
DE G
∵AB∥DE（已知）,
∴∠ABC=∠CGD（两直线平行，内错角相等）.
∵∠BCD是△CDG的一个外角（外角定义）,
∴∠BCD=∠CGD+∠CDE（三角形的外角定理1）,
∴∠BCD=∠ABC+∠CDE（等量代换）．
9.如图，直线AB∥ED，∠ABC 、∠CDE 、∠BCD之间有什么数量关系？请说
明理由.
如图，过点C作CF∥AB,
A B
C
DE
∴∠ABC + ∠BCF = 180° (两直线平行，同旁内角互补).
∵AB∥ED（已知）,
∴ED∥CF（平行于同一直线的两条直线互相平行）,
∴∠EDC + ∠DCF = 180° (两直线平行，同旁内角互补),
∴∠ABC+∠CDE +∠BCD=∠ABC +∠BCF +∠CDE +∠DCF
解：∠ABC+∠CDE +∠BCD =360°，理由是： F
=180°+ 180°=360°(等式性质).
即∠ABC+∠CDE +∠BCD =360°.
A B
C
DE
10.如图，直线AB∥ED，∠ABC 、∠CDE 、∠BCD之间有什么数量关系？请说
明理由.
解：∠ABC = ∠CDE +∠BCD ，理由是：
∵AB∥DE（已知）
∴∠ABC=∠CFE（两直线平行，同位角相等）
∵∠CFE是△CDF的一个外角（外角定义）
∴∠CFE=∠CDE+∠BCD（三角形的外角定理1）
∴∠ABC=∠CDE+∠BCD（等量代换）．
F
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