资料简介
第
2
章 特殊三角形
2.1
图形的轴对称
欣赏下列图片，你有什么发现
动
如果把一
个图形沿着一条直线
折叠后，
直线
两侧的
部分能够相互重合，那么这个图形叫做
轴对称图形
，这条
直线叫做
对称轴。
1.
下列图形是轴对称图形吗？你是怎样判别的？
合作学习
对于以上各轴对称图形，你能找出对称轴吗？有哪些方法？
用对折的方法判断一个图形是不是轴对称图形
2.
如图，
AD
平分∠
BAC
，
AB=AC
。（
1
）四边形
ABDC
是
轴对称图形吗？如果你认为是，请说出它的
对称轴。与
点
B
对称的点是哪一个点？
（
2
）连结
BC
，交
AD
于点
E
。把
四边形
ABDC
沿
AD
对折，
BE
与
CE
能重合
吗？ ∠
AEB
与∠
AEC
呢？由此你得到什么结论？
轴对称图形的性质：
对称轴垂直平分连结两个对称点的线段。
E
A
B
C
D
合作学习
轴对称
图形中沿对称轴对折后能重合的两个点称为
对称点
。
例
分别画出下列轴对称图形的对称轴：
解：（
1
）如图
2-8
，作线段
AB
的垂直平分线
l ,
直线
l
就是所求的对称轴。
l
（
2
）如图
2-9
，作线段
CD
的
垂直平分线
m
,
直线
m
就是所求的对称轴。
A
B
图
2-8
图
2-9
m
图
2-9
m
F
E
想一想
如图
2-9
，怎样找出点
E
和点
F
的对称点？
过点
E
作
EM⊥
直线
m
，交直线
m
于点
M
，延长
EM
到点
N
，使
MN=EM,
点
N
即点
E
的对称点。
M
N
G
同理可找到点
F
的对称点
G
。
如
图，已知△
ABC
和直线
m.
以直线
m
为对称轴
，求
作以
A,B,C
的对称点
A’,
B’,
C’
为
顶点的△
A’B’C
’
。
m
A
B
C
A’
C’
B’
作法
:
1.
作
AP⊥
直线
m
于点
P
，延长
AP
至点
A
',
使
AP'=
AP,
则点
A'
就是点
A
关于直线
m
的对称点
.
3.
依次连结
A'B', B'C',
C'A'.
则
△A'B’C'
就是
所求作的三角形。
2.
类似地
,
作点
B
关于直线
m
的对称点
B',
点
C
关于
直线
m
的
对称点
C'.
P
例
1
如
图，已知△
ABC
和
直线
m.
以直线
m
为对称轴，求作以
A,B,C
的对称点
A’,
B’,
C’
为顶点
的△
A’B’C’
。
m
A
B
C
A’
C’
B’
P
例
1
沿直线
m
折叠，
那么
△
A’B’C’
就
和△
ABC
重合，这时我们称△
A’ B’C’
和△
ABC
关于
直线
m
成轴对称
。
由
一个图
形变为另
一个图形，并使这两个图形沿
某一条
直线折叠后能够互相重合，这样的图形改变叫做
图形的轴对称
，这条直线叫做
对称轴
。
课内练习
1.
线段、角是轴对称图形吗？如果是轴对称图形，请分别说出它们的对称轴。
2.
如图的京剧脸谱是一个轴对称图形。
（
1
）画出这个图形的对称轴。
（
2
）
A,B
是这个图形上的两个点，分别作出它们的对称点。
请用轴对称的知识把下列图形进行归类，并帮它们找到家。
一般等腰三角形
等腰梯形
正方形
一般长方形
等边三角形
一般三角形
圆
一般梯形
一般平行四边形
一条对称轴 一般等腰三角形 等腰梯形
两条对称轴 长方形
三条对称轴
等边三角形
四条对称轴
正方形
无数条对称轴
圆
归类
2
.
在
26
个英文字母中，有几个是轴对称图形？
1.
在
0
，
1
，
2
，
3
，
4
，
5
，
6
，
7
，
8
，
9
这几个数字中，哪几个是轴对称图形？
0
3
8
3.
你能说出汉字中哪些是轴对称图形吗？
中
田
K
古罗马有一位将军，他每天都要从营地
A
出发，到河边给马饮水，再到河岸同侧的指挥所
B
处开会。他经常想一个问题：应该沿怎样的路线行走才能使路程最短？请你帮他想一想，并画出最短的路线。
B′
P
B
A
原题模型
B
A
a
变式
如
图
,
已知点
A
是锐角∠
MON
内的一点
,
试分别在
OM,ON
上确定点
B
，点
C
，
使△
ABC
的周长最小，写出你作图的主要步骤并标明你所确定的点
(
要求画出草图
,
保留作图痕迹
)
.
M
O
N
A
A′
A〞
B
C
——
对称轴有两条
第
2
章 特殊三角形
2.2
等腰三角形
1.
以下列各组数据为边长，可以构成三角形的是（ ）
课前热身
A.2,2,5
B.3,3,5
C.1,2,1
D.4,9,4
B
已知线段
a=4
厘米，
b=6
厘米（如图
），用
直尺和圆规作等腰三角形
ABC
，使
AB=AC=b
，
BC=a
。
a
b
画一画
观察这两个三角形的边长有什么特点？
3
3
5
C
B
A
A
C
B
有两边相等的三角形叫做等腰三角形。
腰
腰
底边
底角
底角
顶角
等腰三角形中，相等的两边都叫做
腰
，另一边叫做
底边
，两腰的夹角叫做
顶角
，腰和底边的夹角叫做
底角。
若
AB=AC,
则在等腰三角形
ABC
中：
说一说
几何语言：
∵
AB=AC
，
∴△ABC
是等腰三角形。
1
、如图
,
点
D
在
AC
上
,AB=AC,AD=BD
。
你能在图中找到几个等腰三角形？
说出每个等腰三角形的腰、底边
和顶角。
等腰三角形
腰
底边
顶角
△
ABC
△
ABD
AB
和
AC
BC
∠A
AD
和
BD
AB
∠ADB
找一找
:
如图，五角星中有
个等腰三角形
。
认一认
10
例
1
求证：等腰三角形两腰上的中线相等。
补充：
求证：等腰三角形两腰上的高相等。
请回答下列问题：
（
1
）等腰三角形的一边长为
3
，一边长为
5
，那么它的周长是
______
；
（
2
）等腰三角形的一边长为
3
，一边长为
7
，那么它的周长是
______
；
（
4
）等腰三角形的腰长是
3
，则底边长
a
的
取值范围是
______
；
11
或
13
17
00 , ∴
b=8.
=17
2
-15
2
=
64.
=(17
＋
15)(17
－
15)
b
2
= c
2
-a
2
例
2
、如图
:
是一个长方形零件图
,
根据
所给的尺寸
,
求两孔中心
A
，
B
之间的距离。
A
B
C
40
90
160
40
解
:
过点
A
作铅垂线
,
过点
B
作水平线
,
两线交于点
C,
则
∠C =90
。
AC=90-40=50(mm),
BC=160-40=120(mm).
∵ ∠C =90
。
∴
AB
2
=AC
2
+BC
2
∵AB>0
∴AB=130(mm
).
答
:
两孔中心
A,B
之间的距离为
130mm.
说说你对本题的收获
=50
2
+120
2
=16900(mm
2
).
变
式：
如图，一块长约
8m
，宽约
6m
的长方形草地，被不自觉的人沿对角线踏出了一条斜“路”，类似的现象也时有发生
.
请问：
①
走斜“路”的客观原因是什么？
②
斜“路”比正路近多少？走这么几步近路，值得吗？
6
8
B
C
A
(1)
求墙的高度
?
解：
∴AC=
∵∠ACB=90
°
，
AB=3
，
BC=1
，
=
=
(2)
若梯子的顶端下滑
1
米
,
底端
将向外水平移动多少米
?
A
A′
B
B′
3m
1m
C
∴ AB
2
=AC
2
+BC
2
变式：
有一架
3
米长的梯子靠在学校围墙上
,
刚好与墙头对齐
,
此时梯脚
B
与墙脚
C
的距离是
1
米。
探究：
利用勾股定理求边长
已知
直角三角形的两边长分别为
3
，
4
，求第三边长的平方．
解：（
1
）当两直角边为
3
和
4
时，第三边长的平方为
25
；
（
2
）当斜边为
4
，一直角边为
3
时，第三边长的平方为
7
．
合作探究
2.7
探究勾股定理
(2)
1
、若
c
为直角
△ABC
的斜边，
b
，
a
为直角
边，则
a
，
b
，
c
的关系为
___________
2
、在
Rt△ABC
中，
∠C
＝
Rt∠
，
CD⊥AB
，
若
BC=15
，
AC=20
，则
AB
＝
_____
，
AD
＝＿＿，
BD
＝＿＿，
CD
＝＿＿。
3
、在
Rt△ABC
中，
∠C
＝
Rt∠
，
CD
，
CE
分别是
AB
边上的高和中线，若
AC
＝
6
，
BC
＝
8
，则
DE
＝＿＿＿。
a
2
＋
b
2
＝
c
2
16
25
复习回顾
9
12
1.4
古埃及人曾用下面的方法得到直角：
他们用
13
个等距的结把一根绳子分成等长的
12
段，一个工匠同时握住绳子的第
1
个结和第
13
个结，两个助手分别握住第
4
个结和第
8
个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形。其直角在第
4
个结处。
他们真的能够得到直角三角形吗？
1
4
8
(13)
1.
合作学习
(1)
画一个三角形
,
使其三边长分别为
: a
，
b
，
c.
（
2
）这三组数都满足
吗？
（
3
）再
用量角器量一量最大的角，判断它们是否是直角三角形？
5
cm,
12
cm,
13
cm
；
7cm, 24cm, 25cm
；
8cm, 15cm, 17cm
；
即如果三角形的三边长
a
，
b
，
c
有关系
那么这个三角形是直角三角形.
由此你得到怎样的
结论
?
如果
三角形中两边的平方和等于第三边的平方
,
那么这个三角形是直角三角形
.
（勾股定理的逆定理）
1.
想一想
:
上述哪条边所对的角是直角
?
2.
这个定理可判断三角形是否是直角三角形
.
3.
能够成为直角三角形三边长的三个正整数，称为勾股数（或勾股弦数
）
.
如
3
，
4
，
5
；
6
，
8
，
10
；
5
，
12
，
13
。
例
1.
根据下列条件
,
分别判断以
a
，
b
，
c
为边的三角形是不是直角三角形
.
(1) a=7, b=24,
c=25
；
(2)
,b=1,
例
2.
请
在下面正方形方格上作格点直角三角形，使三角形的任意两个顶点不在同一条实线上，且顶点必须在格点上。
A
B
C
归纳小结
勾股定理
直角三角形
两条直角
边的平方和
等于
斜边的平方
．
a
c
b
A
B
C
(1)
如果
三角形中两边
的平方和等于第三
边的平方
,
那么
这个三角形是直角三角形
.
直角三角形的判定方法之一：
第
2
章 特殊三角形
2.8
直角三角形全等的判定
填一填
1
、全等三角形的对应边
---------
，
对应角
-----------
相等
相等
2
、判定三角形全等的方法有：
SAS
，
ASA
，
AAS
，
SSS
直角边
直角边
斜边
直角三角形的两个锐角互
余
.
3
、认识直角三角形
Rt△
ABC.
提出问题
舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住
,
无法测量。
(1)
你能帮他想个办法吗？
根据
SAS
可测量其余两边与这两边的夹角。
根据
ASA,AAS
可测量
对应的一边
和一锐角
工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边
,
发现它们分别对应相等。于是，他就肯定“两个直角三角形是全等的”。
你相信这个结论吗？
（
2
）如果他只带一个卷尺，能完成这个任务吗
?
让我们来验证这个结论。
斜边和一条直角边对应相等→两个直角三角形全等
已知线段
a,c(a
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