资料简介
第
4
章 锐角三角函数
4.1
正弦和余弦
教学目标
1.
了解当直角三角形的锐角固定时，它的邻边与斜边、对边与邻边的比值也都固定这一
事实
.
2.
使学生初步了解正弦的概念；能够正确地用sinA表示直角三角形中两边的
比
.
重点：
理解余弦、正弦的概念
难点：
熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算
新课引入
画一个直角三角形，其中一个锐角为
65°
，量出
65°
角的对边长度和斜边长度，计算：
=
与同桌和邻桌的同学交流， 看看计算出的比值
是否相等（精确到0.01）.
如图，（
1）和（2）分别是小明、小亮画的直角三角形，其中∠
A
=∠
A
′= 65°， ∠
C
=∠
C
′= 90°.
（
1
）
（
2
）
小明量出∠
A
的对边
BC
=3cm
，斜边
AB
=3.3cm
，
算出：
小亮量出∠
A
′
的对边
B
′
C
′=2cm
， 斜边
A
′
B
′=2.2cm
，
算出：
这个猜测是真的吗？ 若把65°角换成任意一个锐角
，
则这个角的对边与斜边的比值是否也是一个常数呢？
由此猜测：在有一个锐角为65°的所有直角三角形中，65°角的对边与斜边的比值是一个常数，它等于
如图，△
ABC
和△
DEF
都是直角三角形，其中∠
A
=∠
D
=
，
∠
C
=∠
F
=90°，则 成立吗？为什么？
新知探究
∠
A
=
∠
D
=
，
∠
C
=
∠
F
=
90
°
，
∵
△
DEF
.
Rt
∽
△
ABC
∴
Rt
即
∴
∴
这说明，在有一个锐角等于 的所有直角三角形中，角 的对边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关.
如图，在直角三角形中，我们把锐角 的对边与斜边的比叫作角 的正弦，记作sin
，
即
根据 “在直角三角形中，
30°
角所对的直角边
等于斜边的一半”，容易得到
sin
30
°
=
例题探究
例1 如
图，
在直角三角形
ABC
中，∠
C
=
90°，
BC
=3，
AB
=5.
（1）求sin
A
的值；
（2）求sin
B
的值.
解：
∠
A
的对边
BC
=3
，斜边
AB
=5.
于是
∠
B
的对边是
AC
，根据勾股定理，得
AC
2
=
AB
2
-
BC
2
= 5
2
-
3
2
= 16.
于是
AC
= 4.
因此
如何求
sin 45
°
的值
？
如
图，
构造一个
Rt
△
ABC
，使∠
C
=90,
∠
A
=45
°
.
于是 ∠
B
=45
°
.
从而
AC=BC
．
根据勾股定理，得
AB
2
=
AC
2
+
BC
2
=
BC
2
+
BC
2
=2
BC
2
.
于是
AB
=
BC
.
因此
如何求
sin 60
°
的值
？
如
图，
构造一个
Rt
△
ABC
，使∠
B
=60
°
，
则∠
A
=30
°
，从而
.
根据
勾股定理，得
AC
2
=
AB
2
-
BC
2
=
AB
2
-
于是
因此
至此，我们已经知道了三个特殊角（30°，45°，60°）的正弦值，而对于一般锐角 的正弦值，我们可以利用计算器来求.
例如求
50°角
的正弦值，可以在计算器上依次按
键 ，显示结果为0.7660…
如果已知正弦值，我们也可以利用计算器求出它的对应锐角.
例
2
计算：
sin
2
30
°-
sin45
°
+sin
2
60
°
解：
sin
2
30
°-
sin45
°
+sin
2
60
°
如图，
△
ABC
和△
DEF
都是直角三角形， 其中∠
A
=∠
D
=
α
，∠
C
=∠
F
=90°，则 成立吗？为什么？
∵
∠
A
=
∠
D
=
，∠
C
=
∠
F
=90°
，
∴
∠
B
=∠
E
.
从而
因此
由此可得，在有一个锐角等于 的所有直角三角形中，角
的
邻边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关．
如图，
在直角三角形中，我们把锐角的邻边与斜边的比叫作角 的余弦，记作 ，即
斜边
角 的邻边
从上述探究和证明过程看出，对于任意锐角
，
例
3
求
cos30
°
，
cos60
°
，
cos45
°
的值
．
解：
课堂练习
1. 如图，在直角三角形
ABC
中
，∠
C
=
90°，
BC
=5，
AB
=13.
（1）求
sin
A
的值；
（2）求
sin
B
的值．
2.
计算：（
1
）
sin
2
60
°
+sin
2
45
°
；
（
2
）
1
-
2sin 30
°
sin 60
°
.
3
.
如图，在
Rt△
ABC
中，∠
C
=90
°
，
AC
=5
，
AB
=7.
求
cos
A
，cos
B
的值
．
课堂小结
1.
锐角的余弦的概念
.
2.
熟记：
30°,45°,60°
这些特殊角的正弦余弦值
.
3.
理解：
0°
~
90°
间正弦值、余弦值的变化规律：
（
1
）
0
＜
sin
α
＜
1
，
0
＜
cos
α
＜
1
；
（
2
）正弦值随角度的增加而增大，余弦值随角度的增加反而减小
.
第
4
章
锐角
三角函数
4.2
正切
教学目标
1
、理解并掌握正切的含义，能够用
tan
α
表示直角三角形中两边的
比值
.
2
、掌握特殊角的正切
值
.
3
、能够用正切进行简单的
计算
.
重点
：
理解正切的定义以及
如何求锐角的正切值．
难点
：
理解正切的定义,
探索并认识正切.
新课引入
我们已经知道，在直角三角形中，当一个锐角的大小确定时，那么不管这个三角形的大小如何，这个锐角的对边（或邻边）与斜边的比值也就确定（是一个常数）
.
那么这个锐角的对边与邻边的比值是否也是一个常数呢？
如图，
△
ABC
和△
DEF
都是直角三角形， 其中∠
A=
∠
D =α
，∠
C =
∠
F =
90
°
，则
成立吗
？
为什么
？
∴
Rt△
ABC
∽Rt△
DEF.
∴
即
BC·DF = AC·EF
，
∴
∠
A=
∠
D =
，∠
C =
∠
F =
90
°
，
∵
由此可得，在有一个锐角等于 的所有直角三角形中，角 的对边与邻边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关
．
如何求
tan 30
°
，
tan60
°
的值呢
？
从而
AC
2
=
AB
2
-
BC
2
=
(
2
BC
)
2
-
BC
2
=3
BC
2
.
解：
如图，构造一个
Rt
△
ABC
，使∠
C
=90
°
，
∠
A
=30
°
，
于是
BC = AB
，
∠
B
=60
°
.
由此得出
AC = BC
.
因此
因此
求
tan
45
°
的值
．
现在我们把
30
°
，
45
°
，
60
°
的正弦、余弦、正切值列表归纳如下：
α
30
°
45
°
60
°
sin
α
cos
α
tan
α
从正弦、余弦、正切的定义看到，任意给定一个锐角
α
，都有唯一确定的比值
sin
α
(
或
cos
α
，
tan
α
)
与它对
应
，
并且我们还知道，当锐角
α
变化时，它的比值
sin
α
(
或
cos
α
，
tan
α
)
也随之变化
.
因此我们把锐角的正弦、
余弦和
正切统称为
角
α
的
锐角三角函数
.
1.
在
Rt△
ABC
中，∠
C
=90
°
，
AC
=7
，
BC
=5
，求
tan
A
，
tan
B
的值
．
计算：
2.
（
1
）
1
+
tan
2
60 °
；
（
2
）
tan30°cos 30°.
3.
如
图
，
在
矩形
ABCD
中
，
E
是
BC
边上的
点
，
AE
＝
BC
，
DF
⊥
AE
，
垂足
为点
F
，
连接
DE
.
(1)
求证：
AB
＝
DF
；
(2)
若
AD
＝
10
，
AB
＝
6
，求
tan
∠
EDF
的值．
课堂小结
观察特殊角的三角函数表，发现规律：
(1)
当 时
,α
的正弦值随着角度的增大
而增大，
随着角度的减小而减小
;
(2)
当 时
,
α
的余弦值随着角度的增大而减小，
随着
角度的减小而增大
;
(3)
当 时
,
α
的正切值随着角度的增大而增大，
随着
角度的减小而
减小
.
第
4
章
锐角三角函数
4.3
解
直角三角形
教学目标
通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
重点：
理解解直角三角形的概念；学会解直角三角形
难点：
三角函数在解直角三角形中的应用
新课引入
在图形的研究中，直角三角形是常见的三角形之一，因而人们经常会遇到求直角三角形的边长或角度等问题
.
对于这类问题，我们一般利用前面已学的锐角三角函数的有关知识来解决
.
1.直角三角形的三边之间有什么关系？
2.直角三角形的锐角之间有什么关系？
3.直角三角形的边和锐角之间有什么关系？
如图，在直角三角形
ABC
中，∠
C
=90
°
，∠
A
，∠
B
，∠
C
的对边分别记作
a
，
b
，
c
.
a
2
+
b
2
=
c
2
(
勾股定理
)
∠
A
+
∠
B
=90
°
.
在一个直角三角形中，除直角外有
5
个元素（
3
条边、
2
个锐角），要知道其中的几个素就可以求出其余的元素？
如果知道的2个元素都是角，不能求解.因为此时的直角三角形有无数多个.
已知2个元素，且至少有一条边就可以求
出其他因素
了.
在直角三角形中，除直角外有5个元素（即3条边、2个锐角），只要知道其中的2个元素（至少有1个是边），就可以求出其余的3个未知元素.
解直角三角形:在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程．
例
1
在
Rt△
ABC
中，
a
=5
，求
∠
B
，
b
，
c
.
解
:
又
∵
∴
∵
∴
例
2
如图，在
Rt△
ABC
中，∠
C
=90°
，
cos
A
=
，
BC
= 5
， 试求
AB
的长
.
分析：在直角三角形中，已知一边和另两边的关系，常用勾股定理方程思想解决
.
∴
设
AB=x
，则
AC
=
x
.
又
∴
解：
∵
∠
C
= 90
°
， ，
∴
AB
的长为
解得
（舍去）
.
课堂练习
1.
在
Rt△
ABC
中，
b
=3 cm
，
求
a
，
c
的长度
.
2.
在
Rt△
ABC
中，
c
=16 cm
，
求
a
，
b
的长度
.
课堂小结
解直角三角形的依据
(1)
三边之间的关系
:
a
2
＋
b
2
＝
c
2
（勾股定理）；
(2)
锐角之间的关系
:
∠
A
＋ ∠
B
＝
90º
；
(3)
边角之间的关系
:
tan
A
＝
a
b
sin
A
＝
a
c
cos
A
＝
b
c
面积公式：
第
4
章 锐角三角函数
4.4
解
直角三角形的应用
教学
重点
、
难点
重点：
善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．
难点：
根据实际问题构造合适的直角三角形.
新课引入
在日常生活中，我们经常会碰到一些与直角三角形有关的实际问题
.
对于这些问题，我们可以用所学的解直角三角形的知识来加以解决
.
动脑筋
某探险者某天到达如图所示的
点
A
处时，他准备估算出离他的目的地
——
海拔为
3 500
m
的山峰顶点
B
处的水平距离
.
他能想出一个可行的办法吗？
如右
图，
BD
表示点
B
的海拔，
AE
表示点
A
的海拔，
AC
⊥
BD
，垂足为点
C.
先测量出海拔
AE
，再
测量出
仰角∠
BAC
，再用
锐角三角函数的知识就可求出
A
，
B
两点之间的水平距离
AC
．
如图，如果测得点
A
的海拔
AE
为
1600 m
，仰角 求出
A
，
B
两
点之间的水平距离
AC
（结果保留整数）.
在
Rt△
ABC
中，
∵
BD
= 3500 m
，
AE
= 1600 m
，
AC
⊥
BD
，
∠
BAC
= 40°
，
因此，
Ａ
，
B
两点之间的水平距离
AC
约为
2264 m.
解：
例题探究
例1
如图，
在离上海东方明珠塔底部1 000 m 的
A
处， 用仪器测得塔顶的仰角∠
BAC
为
25°
，
仪器距地面高
AE
为1.7
m
.
求上海东方明珠塔的高度
BD
（结果精确到 1 m）.
分析：在直角三角形中，已知一角和它的邻边，求对边利用该角的正切即可
.
解：
如图，在
Rt
△
ABC
中，∠
BAC
=25
°
，
AC
=100m
，
因此
答：
上海东方明珠塔的高度
BD
为
468 m.
从而
（
m
）
.
因此，上海东方明珠塔的
高度为
（
m
）
.
如图，从山脚到山顶有两条路
AB
与
BD
，问哪条路比较陡？
探究
右边的路
BD
陡些．
如何用数量来刻画哪条路陡呢？
例
2
如图，一山坡的坡度为
i
=1:2.
小刚从山脚
A
出发， 沿山坡向上走了
240 m
到达点
C
.
这座山坡的坡角是多少度
？
小刚上升了多少米
？
（角度精确到
0.01°
，长度
精确到
0.1 m
）
i
=1:2
在
Rt
△
ABC
中，∠
B
=90
°
，∠
A
=26.57
°
，
AC
=240m
，
因此
解：
用 表示坡角的大小，由题意可得
因此
≈
26.57°.
答：
这座山坡的坡角约为
26.57°
，小
刚上升了约
107.3
m
．
从而
（
m
）．
如图，一艘船以
40 km/h
的速度向正东航行，在
A
处测得灯塔
C
在北偏东
60
°
方向上，继续航行
1 h
到达
B
处，这时测得灯塔
C
在北偏东
30
°
方向上
.
已知在灯塔
C
的四周
30km
内有暗礁
．
问：这
艘船继续向东航行是否安全
？
作
CD
⊥
AB
，交
AB
延长线于点
D
.
设
CD=x
km
.
解：
这艘船继续向东航行是否安全，取决于灯塔
C
到
AB
航线的距离是否大于
30km
．
如果大于
30km
，
则安全，否则不安全
．
分析：
在
Rt
△
ACD
中，
∵
∴
同理，在
Rt
△
BCD
中，
∵
∴
因此，该船能继续安全地向东航行
．
解得
又
课堂练习
1.
如图，某厂家新开发的一种电动车的大灯
A
射出的光线
AB
，
AC
与地面
MN
所形成的夹角∠
ABN
， ∠
ACN
分别为
8°
和
15°
，大灯
A
与地面的距离为
1 m
，求该车大灯照亮地面的宽度
BC
（不考虑其他因素，结果精确到
0.1 m
）．
D
2. 一种坡屋顶的
设计如图
，
已知
屋顶的宽度
l
为10m，坡屋顶的高度
h
为3.
5 m
. 求斜面
AB
的长度和坡角
（ 的长度
精确到0.1m，角度精确到1°）.
某次军事演习中，有三艘船在同一时刻向指挥所报告：
A
船说
B
船在它的正东方向，
C
船在它的北偏东55°方向；
B
船说
C
船在它的北偏西35°方向；
C
船说它到
A
船的距离
比它到
B
船的距离远
40 km
. 求
A
，
B
两船的距离（结果精
确到0.
1 km
）.
3
.
课堂小结
1.
在直角三角形中，任一锐角的三角函数只与角的大小有关，而与直角三角形的大小无关
.
2.
在直角三角形中，已知一条边和一个角，或已知两条边，就可以求出其他的边和
角
.
3.
有些关于图形的实际问题，我们可以结和已知条件，恰当地构造出直角三角形，画出图形，将实际问题转化为解直角三角形的问题.
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