资料简介
第
1
章 分式
1.1
分式
1.分式的基本性质：
（1）分式的分子与分母
都乘 _________________，所
得分式与原分式相等
.
（2）分式的分子与分母都除以
它们
的一个
________，
所得
分式与
原分式相等
.
知识回顾
同一个非零整式
公因式
2.把下列多项式因式分解：
(1)a
2
-
2a=________
a
2
-
4a+4=_______
(
2)x
2
- 9
=____________
x
2
+ 6x+9=________
a(a-2)
(a-2)
2
由此得它们的
公因式是____.
a-2
(x+3)(x-3)
(x+3)
2
由此得它们的
公因式是____.
x+3
归纳：
由以上可得
2.把一个分式的分子与分母的________约去的运算叫作分式的约分.
约分的依据是_______________.
1.分子与分母没有__________的分式叫作
.
公因式
分式的基本性质
公因式
最简分
式
（1
）把
分子与分母
因式分解
，找出
分子
与分母的
公因式
.
约分的一般步骤
:
（2
）根据
分式的基本性质约去分子
与分
母的
公因式
.
自我检测交流
1.下列
分式，
最简分式的个数是
（
）
①
②
③
④
A
.
1
B.
2
C.
3
D.
4
a
2
-b
2
________
(a-b)
2
a - b
______
a + b
x - y
_______
y - x
x
2
+1
_______
x+1
B
-x-y=
-
(x+y)
(
-x-y
)
2
=
(
x+y
)
2
y-x=
-
( x-y )
(
y-x
)
2
=
(
x-y
)
2
提示：找公因式时要熟悉
以下转化
关系
思考：当x = 5， y = 3时
，怎
样求分式
的
值？
当
x=5
，
y=3
时，
约分的应用
方法：先约分化成最简分式，再代值计算.
第
1
章 分式
1.2
分式的乘法和除法
背景导入
上节课我们学习了：
分式的基本性质：分式的分子与分母都乘同一个非零整式，所得分式与原分式相等。
能对分式进行约分。将一个分式化成最简分式。
接下来我们将学习分式的乘除法运算。
一、做一做，回顾分数的乘除法。
１、
２、
解
:
(1)
(2)
回顾分数的乘、除法法则
分数的乘法法则：分数乘分数，把分子乘分子，分母乘分母，分别作为积的分子、分母。然后约去分子与分母的公因数。
分数的除法法则：分数除以分数，把除数的分子和分母颠倒位置后，再与被除数相乘。
提问：你能用代数式表示上题的计算过程吗？
经观察、类比，不难发现：
分式的乘、除法法则：
分式的乘法法则：分式乘分式，把分子乘分子，分母乘分母，分别作为积的分子、分母。然后约去分子与分母的公因式。
分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子和分母颠倒位置后，再与被除式相乘。
例题讲解
例
１ 计算：
（１）
（２）
例题解答
解：
（１）
（２）
注意：分式运算的最后结果要化为最简分式。
（２）
（分析：若分式的
分子、分母
可以因式分解，
则
先分解因式，再
进行
计算）
例
２ 计算：
（１）
解：
（１）
（２）
教学总结
提问：通过本节课的学习，你学到了哪些知识和数学思想？
１、分式的乘除法。
２、数学中重要的一种思想
—
类比转化思想。由小学所学的分数的乘除法类比分式的乘除法，分式的除法可以化归为分式的乘法。
第
1
章 分式
1.3
整数指数幂
说一说
正整数指数幂的运算法则有哪些？
a
m
·
a
n
=
a
m
+
n
(
m
，
n
都是正整数
)
；
(
a
m
)
n
=
a
mn
(
m
，
n
都是正整数
)
；
(
ab
)
n
=
a
n
b
n
(
n
是正整数
).
(
a
≠0
，
m
，
n
都是正整数，且
m
＞
n
)
；
(
b
≠0
，
n
是正整数
).
在
前面
我们已经把幂的指数从正整数推广到了整数
.
可以说明
：当
a
≠
0
，
b
≠
0
时，正整数指数幂的上述运算法则对于整数指数幂也成立
.
a
m
·
a
n
=a
m+n
(a
≠
0
，
m
，
n
都是整数
)
，
(
a
m
)
n
=
a
mn
(
a
≠
0
，
m
，
n
都是整数
)
，
(
ab
)
n
=
a
n
b
n
(
a
≠
0
，
b
≠
0
，
n
是整数
).
①
②
③
即
实际上，
对于
a
≠
0
，
m
，
n
是整数，
有
(
a
≠0
，
m
，
n
都是正整数，且
m
＞
n
)
；
因此，同底数幂相除的运算法则被包含在公式①中.
a
m
·
a
n
=
a
m
+
n
(
a
≠
0
，
m
，
n
都是整数
)
而
对于
a
≠
0
，
b
≠
0
，
n
是整数，有
因此
，
分式的乘方的运算法则被包含在公式③中
.
(
ab
)
n
=
a
n
b
n
(
a
≠
0
，
b
≠
0
，
n
是整数
)
③
例
7
设
a
≠
0
，
b
≠
0
，计算下列
各式
：
（
1
）
a
7
·
a
-3
；
（
2
）
(
a
-3
)
-2
；
（
3
）
a
3
b
(
a
-1
b
)
-2
.
举
例
解：
（
1
）
a
7
·
a
-3
（
2
）
(
a
-3
)
-2
=
a
7
+(-3)
=
a
(-3)×(-2)
=
a
4
.
=
a
6
.
（
3
）
a
3
b
(
a
-1
b
)
-2
=
a
3
b
·
a
2
b
-2
=
a
3+2
b
1
+(-2)
=
a
5
b
-1
=
举
例
例
8
计算
下列各式：
练习
1.
设
a
≠0
，
b
≠0
，
计算下列各式：
（
1
）
-
a
·
(-
a
)
3
；
答案：
a
4
.
（
2
）
(-
a
)
3
·
(
a
-1
)
2
；
（
3
）
[(-
a
)
2
]
-1
；
（
4
）
a
-5
(
a
2
b
-1
)
3
.
答案：
-
a.
答案：
.
答案
：
.
2.
计算下列各式：
第
1
章 分式
1.4
分式的加法和减法
类似地，同分母的分式
的
加
、
减法
运算
法则是：
同
分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减
.
即
同分母的分数相加减，分母不变，把分子相加减
.
例
1
计算：
举
例
分式运算的最
后结
果要化为最简分式
.
分式运算的最后结果要化为最简分式.
注意
下列等式是否成立？为什么？
说一说
因
为
所以
因
为
所以
例
2
计算：
举
例
练习
1
.
计算
：
答案：
x
-
y
2
.
计算
：
答案：
1
做一做
；
.
计算：
异分母的分数相加减，要先通分，化成同分母的分数，再加减
.
类似地，异分母的分式进行加、减运算时，也要
先化成同分母的分式
，再
加减
.
根据分式的基本性质，把几个异分母的分式化成同分母的分式的过程，叫作分式的
通分
.
动脑筋
如何把分式 通分？
通分时，关键是确定公分母
.
一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母称为
最简公分母
.
2
x
的因式有
2
，
x
；
两式中所有因式的最高次幂的积是
6
xy
，
3
y
的因式有
3
，
y
，
所以这两个分式的最简公分母为
6
xy
.
从而可以根据分式的基本性质，分别把原来各分式的分子和分母都乘同一个适当的整式，使各分式的分母都化成
6
xy
.
通分过程如下
:
举
例
例
3
通分
：
解
:
最简公分母是
12
xy
2
.
最简公分母是
20
a
2
b
2
c
2
.
举
例
例
4
通分
：
解
最简公分母是
x
(
x
-1)
.
最简公分母是
2(
x
+2)(
x
-2).
练习
1
.
通分
：
2.
通分
：
动脑筋
从甲地到乙地依次需经过
1 km
的上坡路和
2 km
的下坡路
.
已知
小明骑车在上坡路上的速度为
v
km/h
，在下坡路上的速度为
3
v
km/h
，则他骑车从甲地到乙地需多长时间？
这是异分母的分式的加法，因此我们应先把它们化成同分母的分式，然后再相加，即
小明骑车走
1km
上坡路和
2km
下坡路的时间分别为 ， ，那么骑行所需的总时间为
.
因此，小明骑车从甲地到乙地需
.
举
例
例
5
计算
：
解：
举
例
例
6
计
算
：
解
:
原式
举
例
例
3
计算
：
注意
把“
x
+1”
看作“ ”，有助于寻找两个分式的公分母
.
练习
1
.
计算
：
2
.
计算
：
3
.
甲
、乙两城市之间的高铁全程长
1 500 km
，
列车的
运行速度为
b
km/h
.
经过长时间试运行后，铁路
部门决定将列车运行速度再提高
50 km/h
，则提
速后列车跑完全程要少花多长时间？
答：提速
后列车跑完全程要少花
中考 试题
例
1
化简：
的
结
果是（ ）
.
A
.
-
x
-
y
B.
y
-
x
C.
x
-
y
D
.
x
+
y
解析
A
中考 试题
例
2
计算：
=
.
解析
1
中考 试题
例
3
解析
当
时
，
=
.
当 时，原式
第
1
章 分式
1.5
可化为一元一次方程的分式方程
动脑筋
某校八年级学生乘车前往某景点秋游，现有两条线路可供选择：线路一全程
25 km
，线路二全程
30 km
；若走线路二平均车速是走线路一的
1.5
倍，所花时间比走线路一少用
10 min
，则走线路一、二的平均车速分别为多少？
设走线路一的平均车速为
x
km/h
，则走线路二的平均车速为
1.5
x
km/h.
又走线路二比走线路一少用
10 min
，即
因此，根据这一等量关系，我们可以得到如下方程：
走线路一的时间
-
走线路二的时间
=
像这样，分母中含有未知数的方程叫作
分式方程
.
议一议
分式方程 的分母中含有未知数，
我们
该如何来求解呢？
联想到我们在七年级已经学过一元一次方程的解法，因此我们应通过“去分母”，将分式方程转化为一元一次方程来求解
.
方程两边同乘
6
x
，得
解
得
x
= 30.
25×6-30×4 =
x
.
经检验，
x
=30
是所列方程的解
.
由
此可知，走线路一的平均车速为
30 km/h
，走线路二的平均车速为
45 km/h
.
从上面可以看出，解分式方程的关键是把含未知数的分母去掉，这可以通过在方程的两边同乘各个分式的最简公分母而达到
.
例
1
解
方程
：
举
例
解
：
方程
两边
同
乘最简公分母
x
(
x
-2
)
，
得
5
x
-3(
x
-2)=
0
.
解
得
x
= -3.
检验：把
x
=-3
代入原方程，得
因此
x
=-3
是原方程的解.
左边
= =
右边，
分式方程的解也叫作分式方程的
根
.
例
2
解
方程
：
举
例
解
：
方程
两边
同
乘最简公分母
(
x
+2)(
x
-2)
，
得
x
+2=4
.
解
得
x
=2
.
检验：把
x
=2
代入原方程，方程两边的分式
的分母
都为0，这样的分式没有意义.
因此，
x
=2
不是原分式方程的根，从而原分式方程无解
.
从
例
2
看到，方程左边的分式的分母
x
-2
是最简公分母
(
x
+2)(
x
-2)
的一个因式
.
这启发我们，在检验时只要把所求出的
未知数
的值代入最简公分母中，如果它使最简公分母的值不等于
0
，那么它是原分式方程的一个根；
如果它使最简公分母的值为
0
，那么它不是原分式方程的根，称它是原方程的
增根
.
例
2
解方程：
解分式方程有可能产生增根
，
因此解分式方程必须检验.
说一说
解可化为一元一次方程的分式方程的基本步骤有哪些？
可化为一元一次方程的分式方程
一元一次方程
一元一次方程的解
把一元一次方程的解代入最简公分母中
，
若它的值不等于0，则这个解是原分式方程的
根；若它的值等于0，则原分式方程无解.
方程两边同乘各个分式的最简公分母
求解
检验
练习
1
.
解
下列方程
：
答案：
x
= 5
答案：无解
2.
解
下列方程：
答案：
x
=0
答案：
x
=4
动脑筋
A
，
B
两种型号机器人搬运原料
.
已知
A
型机器人比
B
型机器人每小时多搬运
20 kg
，且
A
型机器人搬运
1 000 kg
所用时间与
B
型机器人搬运
800 kg
所用时间相等，求这两种机器人每小时分别搬运多少原料
.
设
B
型机器人每小时搬运
x
kg
，则
A
型机器人每小时搬运（
x
+20
）
kg.
由“
A
型机器人搬运
1 000 kg
所用时间
= B
型机器人搬运
800 kg
所用时间”
由这一等量关系可列出如下方程：
方程两边同乘最简公分母
x
(
x
+20)
，得
1 000
x
= 800(
x
+20).
解
得
x
= 80.
检验：把
x
=80
代入
x
(
x
+20)
中，它的值不等于
0
，因此
x
=80
是原方程的根，且符合题意
.
由此可知，
B
型机器人每小时搬运原料
80 kg
，
A
型机器人每小时搬运原料
100 kg
.
例
3
国家实施高效节能电器的财政补贴政策，某
款空调
在政策实施后，客户每购买一台可获得
补贴
200
元，若同样用
11
万元购买此款空调，
补贴
后可购买的台数比补贴前多
10%
，则该款
空调补贴
前的售价为多少元？
举
例
分析
本题涉及的等量关系是：
补贴前
11
万元购买的台数
×(1+10%)
=
补贴
后
11
万元购买的台数
.
解
:
设该款空调补贴前的售价为每台
x
元，
由上述等量关系可得如下方程：
即
方程两边同乘最简公分母
x
(
x
-
200
)
，
解得
x
=
2
200
.
得1
.1
(
x
-
200
)=
x
.
检验：把
x
=
2
200代入
x
(
x
-200
)
中，它的值不等于0，
因此
x
=
2
200是原方程的根，且符合题意.
答：该款空调补贴前的售价为每台2200元.
练习
1.
某单位盖一座楼房，如果由建筑一队施工
，那
么
180
天就可盖成；如果由建筑一队、二
队同
时施工，那么
30
天能完成工程总量的
.
现若
由二队单独施工，则需要多少天才能盖成？
解
设由二队单独施工需
x
天完成任务，
则
答
：由二队单独施工，则需
225
天才能盖成
.
2.
一艘轮船在两个码头之间航行，顺水航行
60 km
所
需时间与逆水航行
48 km
所需时间相同
.
已
知水流的速度是
2 km/h
，求轮船在静水中航行的速度
.
解
设轮船在静水中航行的速度为
x
km/h
，
则
答
：轮船在静水中航行的速度为
18 km/h
.
中考 试题
例
1
分式方程 的
解
是（ ）
A.-
3
B.2
C.3 D.-2
A
解析
将
各选项的值代入检验或者直接解出方程
.
只有
A
项正确，故选
A.
中考 试题
例
2
解
分式方程
，方程
的解为（
）
A.
x
=2 B.
x
=4
C.
x
=3 D.
无解
解析
在方程两边同
乘
(
x
-2)
，约去分母，
得
1-
x
+2(
x
-2)=-1
，
1
-
x
+2
x
-4=-1
，
x
=2.
检验，当
x
=2
时，
x
-2=2-2=0
，
所以
x
=2
是增根
.
所以原
方程无解
.
D
中考 试题
例
3
轮船
顺水航行
40
千米所需的时间和逆水航行
30
千米所需的时间相同
.
已知水流速度为
3
千
米
/
时，设轮船在静水中的速度为
x
千
米
/
时
，则可
列
方程为
.
解析
V
顺
=(
x
+3)
千米
/
时，
V
逆
=(
x
-3)
千米
/
时，
故
中考 试题
例
4
在达成铁路复线工程中，某路段需要铺轨
.
先由甲工程队独做
2
天后，再由乙工程队独做
3
天刚好完成这项任务
.
已知乙工程队单独完成这项任务比甲工程队单独完成这项任务多用
2
天，求甲、乙工程队单独完成这项任务各需多少天？
解：
设甲工程队单独完成任务需
x
天，则乙工程队
单独
完成任务需
(
x
+2)
天
.
依
题意，得
化
简，得
x
2
-3
x
-4=0
，
解
得
x
=-1
或
x
=4.
检验：当
x
=4
和
x
=-1
时，
x
(
x
+2)
≠
0
，
x
=4
和
x
=-1
都是原分式方程的解
.
但
x
=-1
不符合实际意义，故
x
=-1
舍去
.
乙单独完成任务需要
x
+2=6(
天
).
答：甲、乙工程队单独完成任务分别需要
4
天
、
6
天
.
小结与复习
1
.
举例说明
分式的基本性质、运算法则
.
2
.
举例说明
如何利用分式的基本性质进行约分和通分
.
3
.
整数
指数幂有哪些运算法则？
4
.
解
可化为一元一次方程的分式方程的基本思路
是什么
？解分式方程时为什么要检验？
本章知识结构
分
式
基本性质
运算
可化为一元一次方程的分式方程
乘、除运算
整数指数幂的运算
加、减运算
注意
1.
分式与分数有许多相似之处，在学习分式的
性质
与运算时，可类比分数
.
2.
解分式方程的关键在于去分母，这时可能
产生增
根，因此必须检验
.
除了
要看求出的未知数的值是否使最简公分母的值为
0
外，在实际问题中还需检查求出的根是否符合实际问题的要求
.
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