资料简介
第
3
章 一元一次方程
3.1 建立一元一次方程模型
3.1
建立一元一次方程模型
（
1
）甲、乙两站之间的高速铁路长
1068km
，“和谐号”高速列车从甲站开出
2.5h
后，离乙站还有
318km.
该高速列车的平均速度是多少？
问题
1:
请你表示出下面两个问题中的等量关系
.
设高速列车的平均速度为
x
km/h
，我们可以
用含
x
的式子表示上述等量关系，即
2.5
x
+318=1068
这个问题的等量关系是：
已行驶的路程+剩余的路程=
全长.
（
2
） 如图，一个长方体的包装盒，长为
1.2m
，高为
1m
，表面积为
6.8
平方米
.
这个包装盒的底面宽是多少？
设包装盒的底面宽是
y
m
，则等量关系可表示为
1.2×
y
×2+
y
×1×2+1.2×1×2 = 6.8
，
即
2.4
y
+ 2
y
+ 2.4= 6.8
这个问题的等量关系是：
底面积
+
侧面积＝表面积
.
问题
2
：一辆旅游汽车匀速行驶
,
途经王家庄
,
青山
,
秀水三地的时间如下表
,
翠湖在青山、秀水两地之间， 距青山
50
千米，距秀水
70
千米，王家庄到翠湖的路程有多远？
地名
时间
王家庄
10:00
青山
13:00
秀水
15:00
50
70
王家庄
青山
翠湖
秀水
10
：
00
13
：
00
15
：
00
解
:
答
:
王家庄到翠湖的路程是
230
千米
.
王家庄距秀水
千米
,
从王家庄到秀水的时间为
小时
,
速度为
千米
/
时
王家庄距青山
千米
,
从王家庄到青山的时间为
小时
,
速度为
千米
/
时
根据汽车是匀速行使的
,
你可以得到一个什么样的等式呢
?
(X-50)
3
(x+70)
5
=
青山
翠湖
秀水
50
70
13
：
00
10
：
00
15
：
00
王家庄
X
千米
若设王家庄到翠湖的路程为
X
千米，那么：
议一议：
=
X
3
50+70
2
相等关系：
王家庄到青山的速度
=
青山到秀水的速度
王家庄
10:00
青山
13:00
翠湖
秀水
15:00
50
千米
70
千米
X
千米
如果设王家庄到青山的路程为
x
千米
对于上面的问题，你还能列出其他等式吗？如果能，你依据的是哪个相等关系？
列算式：
只用已知数，列出算式表示计算程序，依据是问题中的数量关系；如：
列方程：
可用未知数，表示相等关系，依据是问题中的等量关系．
在等式2.5
x
+318 =1 068中，2.5，318，1 068
叫做已知数，字母
x
表示的数，在解决这个问题之前还不知道，把它叫做未知数.我们把
含有未知数的等式叫做方程
.
，
2.4
y
+ 2
y
+ 2.4= 6.8
也是方程
.
=
结论
把所要求的量用字母
x
（或
y
，
···
）表示，根据问题中的等量关系列出方程的过程，叫
建立方程模型。
问题
3
：
（
1)
上述所列出的方程中含有几个未知数？是谁？
（
2
）含有未知数的项的次数是几？
只含有一个未知数（元），含有未知数的项的次数都是
1
（次），这样的方程叫做一元一次方程．叫
一元一次方程。
能使方程左、右两边相等的未知数的值．叫
方程的解。
求方程的解的过程
叫解方程。
练习
1
．判断下列方程是不是一元一次方程：
（
1
），（
3
），（
4
），（
6
）是一元一次方程．
2
．
2008
年北京奥运会的足球分赛场
——
秦皇岛市奥体中心体育场，其足球场的周长为
344
米，长和宽之差为
36
米，这个足球场的长与宽分别是多少米？请列出方程．
解：设这个足球场的长为
x
米，则宽为（
x
-
36
）米．
3
．
2008
年北京奥运会志愿者报名中，某地区女士报名占该地区全部志愿者报名数的
52%
，比男士多
80
人，这个地区有多少名志愿者报名？请列出方程．
解：设这个地区有
x
名志愿者报名，则女士报名者有
52%
x
人，男士报名者有（
52%
x
-80
）人．
1
支
钢笔比一
支
铅笔多
4
元，应找你
2
元
买
4
支铅笔和一
支
钢笔
4
、
小英拿
10
元钱去买钢笔和铅笔。下面是小英与营业员的对话，你能根据她们的对话内容算出铅笔是多少钱
1
支吗？
买
4
支铅笔的钱
+
买一
支
钢笔的钱
=10-2
4
x
+(
x
＋
4)
10-2
＝
设
1
支铅笔
x
元，得方程
总结
问题
1
：这节课我们研究的主要内容是什么？
问题
2
：用方程的方法来解决实际问题，一般要经历哪几个步骤？
实际问题
一元一次方程
设未知数 列方程
问题
3
：算术方法解题和用方程解题的区别是什么？
（
1
）形式上，一个是算式，一个是含未知数的等式（方程）；
（
2
）列出的算式只能含有已知数，而方程中既含有已知数，又含有用字母表示的未知数；
（
3
）思考问题的角度不同，前者是用已知数表示未知数，适用于关系简单的问题；后者重在寻找题中的等量关系，借助于字母表示未知数，列式表示等量关系．都是一种用于解决问题的工具．
总结
为下列各题建立一元一次方程：
1
．将一批工业最新动态信息输入管理储存网络，甲独做
需
6
小时，
乙独做需
4
小时，甲先做
30
分钟，然后甲、乙一起做，则甲、乙一起做还需多少小时才能完成工作？
第
3
章 一元一次方程
3.2
等式的性质
3.2
等式的性质
1.
在现实的情景中理解等式的性质；
2.
利用等式的性质的性质进行等式的变形．
观察
图，并完成其中的填空
.
图中的字母表示相应物品的质量，两图中天平均保持平衡
.
_____=_____
_____=_____
_____=_____
_______=_______
你
从上述过程中发现了等式的哪些性质？怎样用字母表示数来表示等式的性质呢？
一般地，等式有以下的性质：
等式的性质
1
等式的两边都加上（或都减去）同一个数或式，所得结果仍是等式
.
用字母可以表示为：
如果 ，那么
.
等式的性质
2
等式的两边都乘或都除以同一个数或式（除数不能为
0
），所得结果仍是等式
.
用字母可以表示为：
如果 ，那么 或
.
例
1
填空，并说明理由
.
（
1
）如果
a
+2
=
b
+7
,
那么
a
=
；
（
2
）
如果
3
x
=
9
x
，
那么
x=
；
（
3
）
如果
，
那么
3
a
=
.
（
1
）
如果
a
+2
=
b
+7
,
那么
a
=
；
解
因为
a
+2=
b
+7
，
由等式性质
1
可知
，
等式两边都减去
2
，
得
a
+ 2
-
2 =
b
+ 7
-
2
，
即
a
=
b
+ 5 .
（
2
）
如果
3
x
=
9
y
，那么
x=
；
解
因为
3
x
=9
y
，
由等式性质
2
可知
，
等式两边都除以
3
，
得
，
即
x
= 3
y
.
b
+ 5
3
y
（
3
）
如果
,
那么
3
a
=
；
解
因为
，
由等式性质
2
可知
，
等式两边都乘
6
，
得
即
3
a
= 2
b
.
2
b
例
2
判断下列等式变形是否正确，并说明理由
.
（
1
）
如果
a
-
3
=2
b
-
5
,
那么
a
=2
b
-
8
；
（
2
）
如果
，
那么
10
x
-
5
=
16
x
-
8
.
（
1
）
如果
a
-
3
= 2
b
-
5
,
那么
a
=2
b
-
8
；
解
错误
.
由等式性质
1
可知
，
等式两边都加上
3
，
得
a
-
3+3=2
b
-
5+3
即
a
= 2
b
-
2 .
（
2
）
如果
，
那么
10
x
-
5
=
16
x
-
8
；
解
正确
.
由等式性质
2
可知
，
等式两边都乘
20
，
得
即
5
(
2
x
-
1
)
= 4
(
4
x
-
2
)
去括号
，
得
10
x
-
5=16
x
-
8.
1.
请在括号中写出下列等式变形的理由：
（
1
）如果
a
-
3
=b+
4
，那么
a=b+
7
(
)
；
（
2
）如果
3
x=
2
y
，那么
(
)
；
等式性质
1
等式性质
2
（
3
）如果 ，那么
x
=2
y
(
)
；
等式性质
2
（
4
）如果
2
a
+3=3b
-
1
，那么
2
a
-
6=3
b
-
10
( )
.
等式性质
1
随堂练习
2.
判断下列等式变形是否正确，并说明理由
.
（
1
）若 ，则
a+
3=3
b
-
3
；
不正确，应该是
a
+9=3
b
-
3.
（
2
）若
2
x
-
6
=
4
y
-
2
，则
x
-
3
=
2
y
-
2
.
不正确，应该是
x
-
3=2
y
-
1.
1.
等式的性质有那几条？用字母怎样表示？
2.
利用等式的性质进行变形
.
数学中的一些美丽定理具有这样的特性：它们极易从事实中归纳出来，但证明却隐藏的极深
.
——
高斯
第
3
章 一元一次方程
3.3
一元一次方程的解法
3.3
一元一次方程的解法
1.
进一步巩固等式的性质；
2
.
解一元一次方程
.
小颖到超市准备买
1
听果奶饮料和
4
听可乐，营业员告诉她一听可乐比一听果奶饮料多
0.5
元，小颖给了营业员
10
元钱，营业员找回了
3
元，大家帮助小颖算算一听果奶饮料多少钱？
如果设一听果奶饮料
x
元，那么可列出方程
4
（
x
+0.5
）
+
x
=10-3
想一想
怎样解所列的方程？
一般地，解一元一次方程的基本程序是：
去分母
去括号
移项
合并同类项
两边同除以未知数的系数
例
1
解方程：
3
(
2
x
-
1
)
=
3
x
+ 1
.
解
去括号
，
得
6
x
-
3
= 3
x
+1
合并同类项，得
3
x
= 4
移项，得
6
x
-
3
x
= 1+3
两边都除以
3
，得
x
=
因此，原方程的解是
x
= .
例
2
解方程：
解
去分母，得
5
(
3
x
-
1
)
-
2
(
2
-
x
)
=10
x
去括号，得
15
x
-
5
-
4+2
x
= 10
x
移项，合并同类项，得
7
x
= 9
方程两边都除以
7
，得
x
=
因此，原方程的解是
.
1.
下面的移项对吗？如不对，请改正
.
（
1
）若
x
-
4 = 8
，则
x
= 8
-
4
；
（
2
）若
3
s
= 2
s
+5
，则
-
3
s
-
2
s
= 5
；
（
3
）若
5
w
-
2
= 4
w
+1
，则
5
w
-
4
w
= 1+2
；
不对，移项没有变号，应为
x
= 8+4
不对，应为
3
s
-
2
s
=5
不对，应为
8=2
x
-
x
（
4
）若
8+
x
= 2
x
，则
8
-
2
x
= 2
x
-
x
.
对
随堂练习
2.
解下列方程
：
（
1
） ；
（
2
）
；
（
3
）
；
（
4
）
50
%
(
3
x
-
1
)
-
20
%(
2
-
x
)
=
x
.
解
:
去分母，得
×
4 =
×
4
(
y
-
1
)
×
2 = 1
-
2
y
去括号，得
2
y
-
2
= 1
-
2
y
移项，得
2
y
+
2
y
= 2
+
1
化简，得
4
y
= 3
方程两边同除以
4
，得
y
=
（
1
）
解
:
去分母，得
×
6 =
×
6
(
5
+
3
x
)
×
3 =
(
3+5
x
)
×
2
去括号，得
15
+
9
x
= 6+10
x
移项，得
9
x
-
10
x
= 6
-
15
化简，得
-
1
x
=
-
9
方程两边同除以
1
，
得
x
= 9
（
2
）
=
解
:
去分母，得
×
24
-
×
24
=1
(
2
x
-
1
)
×
4
-
(
5
x
+1
)
×
3=1
×
24
去括号，得
8
x
-
4
-
15
x
–
3 =24
移项，得
8
x
-
15
x
= 4+3+24
化简，得
-
7
x
= 31
方程两边同除以
-
7
，
得
x
=
-
（
3
）
-
= 1.
解
:
整理，得
0.5
(
3
x
-
1
)
-
0.2
(
2
-
x
)
=
x
去括号，得
1.5
x
-
0.5
-
0.4+0.2
x
=
x
移项，得
1.5
x+
0.2
x
-
x
= 0.5+0.4
化简，得
0.7
x
= 0.9
方程两边同除以
0.7
，
得
x
=
（
4
）
50
%
(
3
x
-
1
)
-
20
%(
2
-
x
)
=
x
.
１
.
本节课我们学习了哪些内容？哪些思想方法？
２
.
解含有括号的一元一次方程的一般步骤是什
么？每步变形的依据及需注意什么？
新的数学方法和概念，常常比解决数学问题本身更重要
.
——
华罗庚
第
3
章 一元一次方程
3.4
一元一次方程模型的应用
3.4
一元一次方程模型的应用
1.
通过教学，使学生了解应用题的一个重要步骤，是根据题意找出相等关系，然后列出方程
.
关键在于分析已知、未知量之间关系及寻找相等关系
;
2.
通过和、差、倍、分的量与量之间的分析，列出一元一次方程解简单的应用题
.
甲每天生产某种零件
80
个，甲生产
3
天后，乙也加入生产同一种零件，再经过
5
天，两人共生产这种零件
940
个，问：乙每天生产这种零件多少个？
头
3
天甲生产
零件的个数
甲乙后
5
天生产零件的总个数
甲后
5
天生
产零件的个数
乙后
5
天生
产零件的个数
940
个
头
3
天甲生产 后
5
天甲生产 后
5
天乙生产
零件的个数
+
零件的个数
+
零件的个数
=940
解
:
设乙每天生产零件
x
个
.
根据题意，得
解这个方程，得
x
=60.
答：乙每天生产零件
60
个
.
头
3
天甲生产 后
5
天甲生产 后
5
天乙生产
零件的个数
+
零件的个数
+
零件的个数
=
940
根据这一相等关系，设乙每天生产零件
x
个，就可以列出方程
.
运用一元一次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？
实际问题
建立方程模型
解方程
检验解的
合理性
分析等量关系
设未知数
例
1
某房间里有四条腿的椅子和三条腿的凳子共16个，如果椅子腿数与凳子腿数的和为60，有几张椅子和几条凳子？
分析
本问题中涉及的等量关系有：
椅子数+凳子数
=16
，
椅子腿数+凳子腿数
=60.
解
设有
x
张椅子，则有
（
16
-
x
）
条凳子
.
根据题意，得
4
x
+ 3
(
16
-
x
)
=60 .
去括号，得
4
x
+48
-
3
x
=60 .
移项，合并同类项，得
x
= 12 .
凳子数为
16
-
12=4
（
条
）
.
答：有
12
张椅子，
4
条凳子
.
例
2
2011
年
10
月
1
日
，杨明将一笔钱存入某银行，定期
3
年，年利率是
5%.
若到期后取出，他可得本息和
23000
元，求杨明存入的本金是多少元
.
分析
顾客存入银行的钱叫本金，
银行付给顾客的酬金叫利息．
利息
=
本金×年利率×年数．
本问题中涉及的等量关系有：
本金
+ 利息
=
本息和.
解
设杨明存入的本金是
x
元，
化简，得
1.15
x
= 23000.
根据等量关系，得
x
+3×5 %
x
= 23000
，
解得
x
= 20000.
答：杨明存入的本金是
20000
元
.
某百货商场元旦促销，购物不超过
200
元不优惠；超过
200
元，不足
500
元打
9
折；超过
500
元，其中
500
元打
9
折，超过部分打
8
折。某人这天两次购物分别用了
110
元和
441
元
.
（
1
） 此人两次购物，如果其物品不打折，需要支付多少钱？ （
2
）在此次活动中，他节省了多少钱？
（
3
）如果同一天你到这家百货商场购买同样的货物，你会采取怎样的购买方案？并请求出你省下的钱数
.
解
：（
1
）如果不打折，需要支付
600
元
.
（
2
）在此次活动中，他节省了
49
元钱
.
（
3
）我将一次性买齐所有的货物，这样可以节省
70
元钱
.
随堂练习
1.
本节课学习了哪些内容？
2.
列一元一次方程解应用题的方法和步骤是什么？
3.
在运用上述方法和步骤时应注意什么？
在数学中，我们发现真理的主要工具是归纳和模拟
.
——
拉普拉斯
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