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资料简介
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青岛版九年级数学上册第 4 章测试题及答案
4.1 一元二次方程
1. 下列方程一定是关于 x 的一元二次方程的是 （ ）
A. 2 1 2 0x x
B. 22 3x y
B. C. 2 2( 1) 0a x D. 1
2xy
2. 已知 1 是关于 x 的一元二次方程 2( 1) 1 0m x x 的一个根 ，则 m 的值是（ ）
A．1 B. -1 C. 0 D. 无法确认
3. 地理兴趣小组的同学，将自己收集的标本向本组成员各赠送一件，全组共互赠了 132 件，如果全组有
x 名同学，则根据题意可以列出的方程是（ ）
A. ( 1) 132x x B. ( 1) 132x x
B. C. 2 ( 1) 132x x D. 2 ( 1) 132x x
4.若方程 2( 1) 0m x mx 是关于 x 的一元二次方程，则 m 的取值范围是（ ）
A. 1m B. 0m C. 0m 且 1m D. 任意实数
5.目前我国已建立了比较完善的经济困难学生资助体系. 某校去年上半年发给每个经济困难学生 389 元，
今年上半年发放了 438 元，设每半年．．．发放的资助金额的平均增长率为，则下列方程中正确的是（ ）
A. 2438(1 ) 389x B. 2389(1 ) 438x
C. 389(1 2 ) 438x D. 438(1 2 ) 389x
6．只含有 个未知数的 次数是 的整式方程叫做一元二次方程。
7. 任何一个关于 x 的一元二次方程都可以化成 的形式.这种形式叫做一元二次方
程的一般形式，其中 2ax 、bx 、c 分别叫做二次项、一次项和常数，a 、b 分别叫 系数和 系
数.
8.下列方程：① 2 0x ；② 2 1x x ；③ 2 0ax bx c ；④ ( 1) 0x x ；⑤ 2( 1)x x x ；
⑥ 2
1 1 0xx
；⑦ 22 1x x ；⑧ 2 2 2k x x x 其中，一元二次方程有 .(填序号)
9. 把方程 ( 2) 3( 1)x x x 化为一元二次方程的一般形式是 ，二次项系数为 ，
一次项系数为 ，常数项为 .
10. 已知 1x 是一元二次方程 2 0x ax b 的一个根，则代数式 2 2 2a b ab 的值是 .
11. 把下列关于的一元二次方程划为一般形式，并写出二次项系数、一次项系数及常数项：
（1） ( 5)(2 1) 4x x
（2） 2 2( 8) 6 (2 1)x x x .
2
12. 教材或资料会出现这样的题目：把方程 21 22 x x 化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次
项系数、一次项系数和常数项.现在把上面的题目改编为下面的两个小题，请解答：
（1） 下列式子中，哪些是 21 22 x x 方程所化的一元二次方程的一般形式？（答案只写序号）
① 21 2 02 x x ；② 21 2 02 x x ；③ 2 2 4x x ； ④ 2 2 4 0x x ；
⑤ 23 2 3 4 3 0x x
（2） 方程 21 22 x x 化为一元二次方程的一般形式，它的二次项系数、一次项系数和常数项之间具
有什么关系？
13. 若一元二次方程 2( 1) ( 1) 0a x b x c 化为一般形式后为 23 2 1 0x x ，试求 2 2 2a b c 的
值得算数平方根.
14. 已知 x 关于的方程 2 2( 9) ( 3) 5 0m x m x .
（1）当 m 为何值时，此方程是一元一次方程？并求出此方程的解；
（2）当 m 为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个方程的二次项，一次项系数及常数项.
3
15. 如图，某小区规划在一个长 30m，宽 20m 的矩形 ABCD 上修建三条同样宽的通道，使其中两条鱼 AB 平
行，另一条于 AD 平行，其余部分种花草.要使每一块花草面积都为 78 2m ，那才能通道宽应设计成多少米？
设通道的宽为 x m，由题意列出方程.
第 15 题图
16. 若关于 x 的方程 1( 3) ( 6) 9 0mm x m x 是一元二次方程，试求 m 的值，并计算这个一元二方
程的各项系数之和.
4
参考答案
1．C 2. B 3. B 4. C 5. B
6. 一 最高 2
7． 2 0ax bx c （ a 、b 、 c 是常数，且 0a ）二次项 一次项
6. ①②④⑧
9. 2 5 3 0x x 1 -5 -3
10. 1
11. (1) 22 11 1 0x x 2 -11 1
(2) 23 14 63 0x x 3 -14 -63
12. (1) ①②③④⑤
(2) 若设它的二次项系数为 ( 0)a a ，则一次项系数为-2a，常数项为-4a. 二次项系数：一次项系数： 常
数项=1：（-2）：（-4）.
13. 25
14. (1) 3m , 5
6x (2) 3m ,二次项系数为 2 9m ，一次项系数为 3m ，常数项为-5
15． (30 2 )(20 ) 468x x
16．m=3,各项系数之和为 12
4.2 用配方法解一元二次方程
1．用配方法解方程 x2﹣6x﹣7=0，下列配方正确的是（ ）
A．（x﹣3）2=16 B．（x+3）2=16 C．（x﹣3）2=7 D．（x﹣3）2=2
2．用配方法解方程 x2﹣4x﹣3=0，下列配方结果正确的是（ ）
A．（x﹣4）2=19 B．（x+4）2=19 C．（x+2）2=7 D．（x﹣2）2=7
3．把方程 x2﹣8x+3=0 化成（x+m）2=n 的形式，则 m，n 的值是（ ）
A．4，13 B．﹣4，19 C．﹣4，13 D．4，19
4．用配方法解方程 x2+x=2，应把方程的两边同时（ ）
A．加 B．加 C．减 D．减
5．已知 a2﹣2a+1=0，则 a2010 等于（ ）
A．1 B．﹣1 C． D．﹣
6．一元二次方程 2x2+3x+1=0 用配方法解方程，配方结果是（ ）
A． B．
C． D．
5
7．将方程 3x2+6x﹣1=0 配方，变形正确的是（ ）
A．（3x+1）2﹣1=0 B．（3x+1）2﹣2=0
C．3（x+1）2﹣4=0 D．3（x+1）2﹣1=0
8．已知方程 x2﹣6x+q=0 可以配方成（x﹣p）2=7 的形式，那么 x2﹣6x+q=2 可以配方成下列的（ ）
A．（x﹣p）2=5 B．（x﹣p）2=9 C．（x﹣p+2）2=9 D．（x﹣p+2）2=5
9．一元二次方程 x2﹣2x+1=0 的根为______．
10．用配方法解方程 x2﹣4x﹣1=0 配方后得到方程______．
11．将方程 x2﹣4x﹣1=0 化为（x﹣m）2=n 的形式，其中 m，n 是常数，则 m+n=______．
12．如果一个三角形的三边均满足方程 x2﹣10x+25=0，则此三角形的面积是______．
13．已知点（5﹣k2，2k+3）在第四象限内，且在其角平分线上，则 k=______．
14．方程（x﹣1）（x﹣3）=1 的两个根是______．
15．当 x=______时，代数式 的值是 0．
16．方程 4x2﹣4x+1=0 的解 x1=x2=______．
17．解方程：9x2﹣6x+1=0，
解：9x2﹣6x+1=0，
所以（3x﹣1）2=0，
即 3x﹣1=0，
解得 x1=x2=______．
18．用配方法解一元二次方程 2x2+3x+1=0，变形为（x+h）2=k，则 h=______，k=______．
19．用配方法解方程
（1）x2﹣6x﹣15=0
（2）3x2﹣2x﹣6=0
（3）x2=3﹣2x
（4）（x+3）（x﹣1）=12．
20．证明：不论 x 为何实数，多项式 2x4﹣4x2﹣1 的值总大于 x4﹣2x2﹣3 的值．
6
21．分别按照下列条件，求 x 的值：分式 的值为零．
22．观察下列方程及其解的特征：
（1）x+ =2 的解为 x1=x2=1；
（2）x+ = 的解为 x1=2，x2= ；
（3）x+ = 的解为 x1=3，x2= ；
…
解答下列问题：
（1）请猜想：方程 x+ = 的解为______；
（2）请猜想：关于 x 的方程 x+ =______的解为 x1=a，x2= （a≠0）；
（3）下面以解方程 x+ = 为例，验证（1）中猜想结论的正确性．
解：原方程可化为 5x2﹣26x=﹣5．
（下面请大家用配方法写出解此方程的详细过程）
7
参考答案
1．A 2．D 3．C 4．A 5．A 6．B 7．C
8．B 【解析】∵x2﹣6x+q=0，∴x2﹣6x=﹣q，∴x2﹣6x+9=﹣q+9，∴（x﹣3）2=9﹣q
据题意得 p=3，9﹣q=7，∴p=3，q=2，∴x2﹣6x+q=2 是 x2﹣6x+2=2，∴x2﹣6x=0，∴x2﹣6x+9=9，∴（x﹣3）
2=9，即（x﹣p）2=9，故选 B．
9． x1=x2=1
10．（x﹣2）2=5
11．7 【解析】x2﹣4x﹣1=0，移项得：x2﹣4x=1，配方得：x2﹣4x+4=1+4，（x﹣2）2=5，∴m=2，n=5，
∴m+n=5+2=7．
12． 【解析】由方程 x2﹣10x+25=0，得该方程有两个相等的实数根，即 5．则此三角形的三边都
是 5．则该三角形的面积为 S= ×5×5×sin60°= ×5×5× = ．
13．﹣2 【解析】∵点（5﹣k2，2k+3）在第四象限内，∴ ，解得﹣ ＜x＜﹣ ；又∵点
（5﹣k2，2k+3）在第四象限的角平分线上，∴5﹣k2=﹣2k﹣3，即 k2﹣2k﹣8=0，∴k1=4（不合题意，舍去），
k2=﹣2．
14． x1=2+ ，x2=2﹣ 【解析】由原方程，得 x2﹣4x+2=0，移项，得 x2﹣4x=﹣2，等式的两边同时加
上一次项系数一半的平方，得 x2﹣4x+4=﹣2+4，配方，得（x﹣2）2=2，∴x=2± ，∴x1=2+ ，x2=2﹣ ．
15．﹣1 【解析】由分式的值为零的条件得（x+2）2﹣1=0，x+3≠0，由（x+2）2﹣1=0，得（x+2）2=1，
∴x=﹣1 或 x=﹣3，由 x+3≠0，得 x≠﹣3．综上，得 x=﹣1．
16．
17．
18． ， 【解析】原方程可以化为 ，移项，得 x2+ x=﹣ ，等式的两边同时加上
一次项系数一半的平方，得 x2+ x+ =﹣ + ，配方，得（x+ ）2= ，比较对应系数，有
19．【解】（1）移项得：x2﹣6x=15，
8
配方得：x2﹣6x+9=15+9，
（x﹣3）2=24，
开方得：x﹣3=± ，
x1=3+2 ，x2=3﹣2 ；
（2）移先得：3x2﹣2x=6，
x2﹣ x=2，
配方得：x2﹣ x+（ ）2=2+（ ）2，
（x﹣ ）2= ，
开方得：x﹣ =± ，
， ；
（3）x2+2x=3，
配方得：x2+2x+1=3+1
（x+1）2=4，
开方得：x=﹣1±2，
x1=1，x2=﹣3；
（4）整理得：x2+2x=15，
配方得：x2+2x+1=15+1，
（x+1）2=16，
开方得：x=﹣1±4，
x1=3，x2=﹣5．
20．【证明】2x4﹣4x2﹣1﹣（x4﹣2x2﹣3）=x4﹣2x2+2=（x2﹣1）2+1
∵（x2﹣1）2≥0，
∴（x2﹣1）2+1＞0，
∴不论 x 为何实数，多项式 2x4﹣4x2﹣1 的值总大于 x4﹣2x2﹣3 的值．
21．【解】根据题意得，x2﹣5x﹣6=0，
即（x+1）（x﹣6）=0，
∴x+1=0，x﹣6=0，
解得 x=﹣1 或 x=6，
又 x+1≠0，
解得 x≠﹣1，
∴x 的值是 6．
9
22．【解】（1）x1=5， ；
（2） （或 ）；
（3）方程二次项系数化为 1，
得 ．
配方得，
，即 ，
开方得，
，
解得 x1=5， ．
经检验，x1=5， 都是原方程的解．
4.3 用公式法求解一元二次方程
1．方程 x2－4x＝0 中，b2－4ac 的值为( )
A．－16 B．16 C．4 D．－4
2．方程 x2＋x－1＝0 的一个根是( )
A．1－ 5 B.1－ 5
2
C．－1＋ 5 D.－1＋ 5
2
3．下列关于 x 的方程有实数根的是( )
A．x2＋1＝0 B．x2＋x＋1＝0
C．x2－x＋1＝0 D．x2－x－1＝0
4. 一元二次方程 x2－4x＋4＝0 的根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
5. 若关于 x 的一元二次方程 x2＋2(k－1)x＋k2－1＝0 有实数根，则 k 的取值范围是( )
A．k≥1 B．k＞1 C．k＜1 D．k≤1
6. 若关于 x 的一元二次方程(k－1)x2＋4x＋1＝0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是( )
A．k＜5 B．k＜5，且 k≠1
C．k≤5，且 k≠1 D．k＞5
7. a，b，c 为常数，且(a－c)2>a2＋c2，则关于 x 的方程 ax2＋bx＋c＝0 根的情况是( )
10
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．有一根为 0
8. 用求根公式法解得某方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根互为相反数，则( )
A．b＝0 B．c＝0 C．b2－4ac＝0 D．b＋c＝0
9. 若关于 x 的一元二次方程 x2－2x－k＋1＝0 有两个不相等的实数根，则一次函数 y＝kx－k 的大致图象
是( )
A B C D
10．已知关于 x 的方程 x2＋(1－m)x＋＝0 有两个不相等的实数根，则 m 的最大整数值是________．
11．若实数范围内定义一种运算“*”，使 a*b＝(a＋1)2－ab，则方程(x＋2)*5＝0 的解为__________．
12. 已知等腰三角形的一腰长 x 满足方程 x2－12x＋31＝0，其周长为 20，则腰长 x 的值为________．
13. 已知一元二次方程(m－3)x2＋2mx＋m＋1＝0 有两个不相等的实数根．
(1)求 m 的取值范围；
(2)当 m 在取值范围内取最小正偶数时，求方程的根．
14. 如图，某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙(墙长 10 m)，另三边用木栏围成，中间隔有
一道木栏，木栏的总长为 23 m.
(1)请你设计一个鸡场，使该鸡场的面积达到 40 m2；
(2)你能设计一个面积为 50 m2 的鸡场吗？请说明理由．
11
15. 已知一元二次方程 x2－(2k＋1)x＋k2＋k＝0.
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)若△ABC 的两边 AB，AC 的长是这个方程的两个实数根，第三边 BC 的长为 5，当△ABC 是等腰三角形时，
求 k 的值．
参考答案
1~9 BADBD BBAB
10. 0
11. x1＝－1＋ 5
2
，x2＝－1－ 5
2
12. 6＋ 5
13. 【解】 (1)∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2－4ac＝4m2－4(m－3)(m＋1)＞0，
解得 m＞－3
2
，∴m＞－3
2
且 m≠3.
(2)当 m 在取值范围内取最小正偶数，即 m＝2 时，
方程是－x2＋4x＋3＝0，
解得 x1＝2＋ 7，x2＝2－ 7.
14. 【解】(1)设鸡场的宽为 x m，则另一边长为(23－3x)m，依题意得
x(23－3x)＝40，解得 x1＝5，x2＝8
3
，
当 x＝5 时，23－3x＝810，不符合题意，舍去．
∴鸡场的宽为 5 m，就能使该鸡场的面积达到 40 m2.
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(2)不能，理由：依题意得 x(23－3x)＝50，
整理得 3x2－23x＋50＝0，
∵b2－4ac＝529－600＝－710，
∴方程有两个不相等的实数根．
(2)【解】∵方程有两个不相等的实数根，∴AB＝AC 不成立，
∴要使△ABC 是等腰三角形，
则 AB 与 AC 其中一条边与 BC 相等，即方程必有一根为 5，
∴52－5(2k＋1)＋k2＋k＝0，解得 k＝4 或 k＝5，
经检验 k＝4 或 k＝5 符合题意，则 k 的值为 4 或 5.
4.4 用因式分解法解一元二次方程
1．方程 x2﹣2x=0 的解为（ ）
A．x1=1，x2=2 B．x1=0，x2=1
C．x1=0，x2=2 D．x1= ，x2=2
2．一元二次方程 x（x﹣2）=2﹣x 的根是（ ）
A．﹣1 B．2 C．1 和 2 D．﹣1 和 2
3．若实数 x，y 满足（x2+y2+2）（x2+y2﹣2）=0．则 x2+y2 的值为（ ）
A．1 B．2 C．2 或﹣1 D．﹣2 或﹣1
4．已知 x2﹣5xy﹣6y2=0（y≠0 且 x≠0），则 的值为（ ）
A．6 B．﹣1 C．1 或﹣6 D．﹣1 或 6
5．已知实数（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12=0，则代数式 x2﹣x+1 的值为（ ）
A．﹣1 B．7 C．﹣1 或 7 D．以上全不正确
6．已知关于 x 的方程 x2+px+q=0 的两个根为 x1=3，x2=﹣4，则二次三项式 x2﹣px+q 可分解为（ ）
A．（x+3）（x﹣4） B．（x﹣3）（x+4）
C．（x+3）（x+4） D．（x﹣3）（x﹣4）
7．方程 x（x﹣2）=0 的解为______．
8．方程（x﹣2）2=3（x﹣2）的解是______．
9．一元二次方程 x（x﹣6）=0 的两个实数根中较大的根是______．
10．若方程 x2﹣x=0 的两根为 x1，x2（x1＜x2），则 x2﹣x1=______．
11．若 x2﹣mx﹣15=（x+3）（x+n），则 nm 的值为______．
12．方程（x﹣2）2﹣25x2=0 用______法较简便，方程的根为 x1=______，x2=______．
13
13．用因式分解法解方程 x2﹣kx﹣16=0 时，得到的两根均整数，则 k 的值可以是______ （只写出一个即
可）
14．a※b 是新规定的一种运算法则：a※b=a2﹣b2，则方程（x+2）※5=0 的解为______．
15．三角形的每条边的长都是方程 x2﹣6x+8=0 的根，则三角形的周长是______．
16．用因式分解法解下列方程；
①（x+2）2﹣9=0 ②（2x﹣3）2=3（2x﹣3）
③x2﹣6x+9=0 ④（x+5）（x﹣1）=7．
17．用适当方法解下列方程：
①x2﹣2x=99
②x2+8x=﹣16
③x2+3x+1=0
④5x（x+2）=4x+8．
18．已知下列 n（n 为正整数）个关于 x 的一元二次方程：①x2﹣1=0，②x2+x﹣2=0，③x2+2x﹣3=0，…（n）
x2+（n﹣1）x﹣n=0．
（1）请解上述一元二次方程①、②、③、（n）；
（2）请你指出这 n 个方程的根具有什么共同特点，写出一条即可．
14
参考答案
1．C 2．D 3．B 4．D 5．B 6．A
7． 0 或 2 8． x1=2，x2=5 9．6 10．1 11．25
12．因式分解， ，﹣
13． 6（答案不唯一）
14． x1=﹣7，x2=3 【解析】由题中的新定义得：（x+2）※5=（x+2）2﹣52=0，可得（x+7）（x﹣3）=0，
即 x+7=0 或 x﹣3=0，解得：x1=﹣7，x2=3．
15． 6 或 12 或 10 【解析】由方程 x2﹣6x+8=0，得 x=2 或 4．当三角形的三边是 2，2，2 时，则周长是
6；当三角形的三边是 4，4，4 时，则周长是 12；当三角形的三边长是 2，2，4 时，2+2=4，不符合三角形
的三边关系，应舍去；当三角形的三边是 4，4，2 时，则三角形的周长是 4+4+2=10．综上所述此三角形的
周长是 6 或 12 或 10．
16【解】①分解因式，得
（x+2+3）（x+2﹣3）=0，
∴x+5=0 或 x﹣1=0
∴x1=﹣5，x2=1；
②移项，得
（2x﹣3）2﹣3（2x﹣3）=0
提公因式，得
（2x﹣3）（2x﹣3﹣3）=0，
∴2x﹣3=0 或 2x﹣6=0
∴x1= ，x2=3；
③由公式法，得
（x﹣3）2=0，
∴x﹣3=0
∴x1=x2=3
（4）变形为：
x2+4x﹣5=7，
移项，得
x2+4x﹣5﹣7=0，
x2+4x﹣12=0
15
∴（x+6）（x﹣2）=0，
∴x+6=0 或 x﹣2=0
∴x1=﹣6，x2=2．
17．【解】①x2﹣2x=99，
x2﹣2x﹣99=0，
（x﹣11）（x+9）=0，
x﹣11=0，x+9=0，
x1=11，x2=﹣9；
②x2+8x=﹣16，
x2+8x+16=0，
（x+4）2=0，
x+4=0，
x=﹣4，
即 x1=x2=﹣4；
③x2+3x+1=0，
b2﹣4ac=32﹣4×1×1=5，
x= ，
x1= ，x2= ；
④5x（x+2）=4x+8
5x（x+2）﹣4（x+2）=0，
（x+2）（5x﹣4）=0，
x+2=0，5x﹣4=0，
x1=﹣2，x2= ．
18．【解】（1）①（x+1）（x﹣1）=0，
所以 x1=﹣1，x2=1
②（x+2）（x﹣1）=0，
所以 x1=﹣2，x2=1；
③（x+3）（x﹣1）=0，
所以 x1=﹣3，x2=1；
（n）（x+n）（x﹣1）=0，
所以 x1=﹣n，x2=1
（2）共同特点是：都有一个根为 1；都有一个根为负整数；两个根都是整数根等等．
4.5 一元二次方程根的判别式
16
1．一元二次方程 x2－x－1＝0 的根的情况为( )
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
2．下列方程没有实数根的是( )
A．x2＋4x＝0 B．3x2＋8x－3＝0
C．x2－2x＋3＝0 D．(x－2)(x－3)＝12
3．下列关于 x 的方程有实数根的是( )
A．x2－x＋1＝0 B．x2＋x＋1＝0
C．(x－1)(x＋2)＝0 D．(x－1)2＋1＝0
4．下列方程中，有两个相等的实数根的是( )
A．x2－2x－1＝0 B．x2－2x＋1＝0
C．x2＝3x－9 D．x2－4x－4＝0
5．关于 x 的一元二次方程 x2－2ax－1＝0(其中 a 为常数)的根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根
B．可能有实数根，也可能没有
C．有两个相等的实数根
D．没有实数根
6．关于 x 的一元二次方程 x2－3x＋m＝0 有两个不相等的实数根，则实数 m 的取值范围为( )
A．m＞9
4
B．m＜9
4
C．m＝9
4
D．m＜－9
4
7．若一元二次方程 x2－2x＋m＝0 总有实数根，则 m 应满足的条件是( )
A．m＞1 B．m＝1
C．m＜1 D．m≤1
8．下列选项中，能使关于 x 的一元二次方程 ax2－4x＋c＝0 一定有实数根的是( )
A．a＞0 B．a＝0
C．c＞0 D．c＝0
9．已知关于 x 的方程 kx2＋(1－k)x－1＝0，下列说法正确的是( )
A．当 k＝0 时，方程无解
B．当 k＝1 时，方程有一个实数解
C．当 k＝－1 时，方程有两个相等的实数解
D．当 k≠0 时，方程总有两个不相等的实数解
17
10．若关于 x 的一元二次方程 x2－2x＋k＝0 无实数根，则实数 k 的取值范围是 ．
11．关于 x 的一元二次方程 x2 ＋bx＋2＝0 有两个不相等的实数根，写出一个满足条件的实数 b 的
值： ．
12 ． 若 |b－ 1| ＋ a－4 ＝ 0 ， 且 一 元 二 次 方 程 kx2 ＋ ax ＋ b ＝ 0 有 两 个 实 数 根 ， 则 k 的 取 值 范 围
是 ．
13．不解方程，判断下列一元二次方程的根的情况．
(1)3x2－2x－1＝0；
(2)2x2－x＋1＝0；
(3)4x－x2＝x2＋2.
14．已知关于 x 的方程为 2x2－(4k＋1)x＋2k2－1＝0，问当 k 取什么值时：
(1)方程有两个不相等的实数根；
(2)方程有两个相等的实数根；
(3)方程没有实数根．
15．已知关于 x 的方程 mx2－(m＋2)x＋2＝0(m≠0)．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程的两个实数根都是整数，求正整数 m 的值．
16．已知关于 x 的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋a－c＝0，其中 a、b、c 分别为△ABC 三边的长．
(1)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状，并说明理由；
18
(2)如果△ABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
参考答案
1．A 2．C 3．C 4．B 5．A 6．B 7．D 8．D 9．C
10． k＞1 11． b＝3(答案不唯一，满足 b2>8 即可) 12． k≤4 且 k≠0
13．解：(1)Δ＝(－2)2－4×3×(－1)＝16＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
(2)Δ＝(－1)2－4×2×1＝－7＜0，
∴方程没有实数根．
(3)原方程可整理为 x2－2x＋1＝0，
∴Δ＝(－2)2－4×1×1＝0.
∴方程有两个相等的实数根．
14．解：(1)∵a＝2，b＝－(4k＋1)，c＝2k2－1，
∴Δ＝b2－4ac＝[－(4k＋1)]2－4×2×(2k2－1)＝8k＋9.
∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0，即 8k＋9＞0，解得 k＞－9
8
.
(2)∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝0，即 8k＋9＝0，解得 k＝－9
8
.
(3)∵方程没有实数根，
∴Δ＜0，即 8k＋9＜0，解得 k0
(2)|x1－x2|＝1，即(x1－x2)2＝1，也就是(x1＋x2)2－4x1x2＝1，
22
而 x1＋x2＝2，x1x2＝m－2
m
，∴22－4×m－2
m
＝1，
解得 m＝8，而 8>0，∴m 的值为 8
16. 解： (1)(x1－1)(x2－1)＝28，即 x1x2－(x1＋x2)＝27，
而 x1＋x2＝2(m＋1)，x1x2＝m2＋5，∴m2＋5－2(m＋1)＝27，
解得 m1＝6，m2＝－4，
又Δ＝[－2(m＋1)]2－4×1×(m2＋5)≥0 时，m≥2，
∴m 的值为 6
(2) 若 7 为腰长，则方程 x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0 的一根为 7，
即 72－2×7×(m＋1)＋m2＋5＝0，
解得 m1＝10，m2＝4，
当 m＝10 时，方程 x2－22x＋105＝0，根为 x1＝15，x2＝7，不符合题意，舍去．
当 m＝4 时，方程为 x2－10x＋21＝0，根为 x1＝3，x2＝7，此时周长为 7＋7＋3＝17
若 7 为底边，则方程 x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0 有两等根，
∴Δ＝0，解得 m＝2，
此时方程为 x2－6x＋9＝0，根为 x1＝3，x2＝3，3＋3
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