资料简介
第十五章 二次根式
15.1 二次根式（
第
1
课时
）
1
.
已知一个正方形的面积为
a
,
则正方形的边长是
.
2
.
提问
:
你认为所得的代数式有什么特点
?
问题思考
学 习 新 知
二次根式的概念
1
.
(1)2,18, ,
的算术平方根是怎样表示的
?
(2)
非负数
m
,
p
+
q
,
t
2
-
1
的算术平方根又是怎样表示的
?
解
:
(1)
， ， ，
.
(2)
， ，
.
2
.
学校要修建一个占地面积为
S
m
2
的圆形喷水池
,
它的半径应为多少米
?
如果在这个圆形喷水池的外围增加一个占地面积为
a
m
2
的环形绿化带
,
那么所成大圆的半径应为多少米
?
解：
，
.
一般地
,
我们把形如
(
a
≥
0)
的式子叫做二次根式
.
二次根式的定义
[
知识拓展
]
(1)
二次根式的被开方数
a
可能为整式
,
也可能为分式
,
因此要分清
a
所代表的式子类型
.
(2)
本身作分母时
,
要注意只能大于
0,
不能等于
0
.
(3)
要注意
，
等
,
这时无论
a
取何值都有意义
.
判断下列各式是二次根式吗
?
是
是
是
【
反思小结
】
从形式上看
,
二次根式必须具备以下两个条件
:
(1)
必须有二次根号
;
(2)
被开方数不能小于
0
.
总结
:(1) (
a
≥
0)
是一个非负数
,
即
具有双重非负性
,
一是被开方数是非负数
,
二是它的结果是非负数
;
(2)( )
2
=
a
(
a
≥
0),
即非负数
a
的算术平方根的平方等于
a.
二次根式的简单性质
(
教材大家谈谈
)
小亮和小颖对二次根式“
(
a
≥
0)
”分别有如下的观点
.
你认同小亮和小颖的观点吗
?
请举例说明
.
小亮的观点
:
因为
表示的是非负数
a
的算术平方根
,
所以根据算术平方根的意义
,
有
≥
0
.
小颖的观点
:
因为
表示的是非负数
a
的算术平方根
,
所以根据算术平方根和被开方数的意义
,
有
( )
2
=
a.
小亮和小颖的观点都正确
.
[
知识拓展
]
理解
和
时应注意以下几点
:
(1)
从
a
的取值范围理解
:
中的
a
为全体实数
,
而
中的
a
为非负数
.
(2)
从所得的结果理解
: =
,
而
=a
,
也就是说当
a
≥
0
时
,
.
=
; =
;
=
;
=
;
=
.
做一做
0.01
2
0
解：
（
1
） ；（
2
） ；
（
3
） ； （
4
）
.
化简：
例题讲解
化简
：
【
解析
】
解析
:∵
是二次根式
,∴
a-
3
≥
0,
解得
a
≥
3
.
故选
D.
解析
:
根据二次根式的定义
,
可知二次根式的被开方数是非负数
,
因为
的被开方数小于零
,
故
B
错误
.
故选
B
.
检测反馈
1
.
下列各式中
,
不是二次根式的是
(
)
B
2
.
如果
是二次根式
,
那么
a
应满足
(
)
A.
a
≥
0 B.
a
≠
3 C.
a
=3 D.
a
≥
3
D
3
.
若
a
为实数
,
则化简
的结果是
(
)
A.
-a
B.
a
C.
a
2
D.|
a
|
解析
:
∵
当
a
2
时
,
是二次根式
.
解
:
(1)
由
-
3
x
≥
0,
得
x
≤
0,
所以当
x
≤
0
时
,
是二次根式
.
8
.
当
x
取何值时
,
下列各式为二次根式
?
解析
:
根据二次根式的被开方数是非负数
,
可得答案
.
解析
:
二次根式要满足两个条件
:(1)
带有二次根号“
”
,
即根指数是
2;(2)
被开方数不小于零
.
9
.
判断下列各式
,
哪些是二次根式
,
哪些不是
,
为什么
?
15.1 二次根式（
第
2
课时
）
一块正方形木板面积为
200 cm
2
,
你能在不用计算器的情况下
,
以最快的速度求出正方形木板的边长吗
?
问题思考
200
直接开平方不是整数
,
从而无法确定具体数值
.
学 习 新 知
二次根式的性质
探究点
1:
积的算术平方根
问题
1
：
计算下列各式
,
并观察结果
,
你能发现什么规律
?
(1)(2)
中两式均相等
.
问题
2:
猜想
： 有什么关系？
方法一
:
事实上
，
根据积的乘方法则
，
有
[
知识拓展
]
积的算术平方根的性质可以推广到多个非负因数的情况
.
如
(
a
≥
0
,b
≥
0
,c
≥
0
,d
≥
0)
.
问题
3:
当
a
≥
0,
b
≥
0
时
,
对
的关系提出你的猜想
,
并说明理由
.
解
:
因为当
a
≥
0,
b
≥
0
时
,
积的算术平方根等于积中各因数的算术平方根的积
,
即
(
a
≥
0,
b
≥
0)
.
探究点
2:
商的算术平方根
两个式子均相等
.
问题
2:
对照刚才得到的结论
,
当
a
≥
0,
b
>0
时
,
有什么关系
?
并说明理由
.
解
:
因为当
a
≥
0
，
b
>0
时
，
问题
3:
对照积的算术平方根的性质
,
你能总结出商的算术平方根的性质吗
?
商的算术平方根等于被除数的算术平方根与除数的算术平方根的商
,
即
观察与思考——探究最简二次根式的概念
化简
：
观察例题中每个小题化简前后被开方数的变化
,
请思考
:
(1)
化简前
,
被开方数是怎样的数
?
(2)
化简后
,
被开方数是怎样的数
?
它们还含有能开得尽方的因数吗
?
归纳
:①
被开方数的因数是整数
,
因式是整式
;
②
被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
,
我们把这样的二次根式叫做最简二次根式
.
说明
:
二次根式的化简过程就是将它化为最简二次根式的过程
.
“做一做”
(
教材第
94
页做一做
)
化简
.
课堂小结
2
.
能使等式
成立的
x
的取值范围是
(
)
A.
x
≠
2 B.
x
≥
0 C.
x
>2 D.
x
≥
2
检测反馈
1
.
下列二次根式中是最简二次根式的是
(
)
A
解析
:
本题需注意的是
,
被开方数为非负数
,
且分式的分母不能为
0,
列不等式组
解得
x
>2
.
故选
C.
C
解析
:A.
符合最简二次根式的定义
,
故本选项正确
;B.
原式
;C.
原式
;D.
被开方数含分母
,
不是最简二次根式
,
故本选项错误
.
故选
A.
3
.
下列计算正确的是
(
)
A.1
个
B.2
个
C.3
个
D.4
个
解析
:①
和
②
根号下不能为负数
,
故
①②
错误
;③
利用平方差公式进行因式分
解，
故
③
正确
;
由
③
可知
④
错误
.
故正确的只有
1
个
.
故选
A.
A
4
.
=2,
这个计算过程正确吗
?
如果不正确
,
请改正
.
解析
:
首先根据除法法则约掉负号
,
然后再计算开方即可
.
解
:
计算过程错误
,
(2) ,
被开方数中含有分母
,
因此不是最简二次根式
.
解
:(1) ,
含有能开得尽方的因数
,
因此不是最简二次根式
.
8
.
在下列各式中
,
哪些是最简二次根式
?
哪些不是
?
对不是最简二次根式的进行化简
.
解析
:
判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法
,
就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足
,
同时满足的就是最简二次根式
,
否则就不是
.
(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
；
(5) .
(3)
的被开方数为整数
,
被开方数不含能开得尽方的因数或因式
,
因此是最简二次根式
.
(4) ,
在二次根式的被开方数中
,
含有小数
,
不是最简二次根式
.
(5) ,
被开方数中含有分母
,
因此不是最简二次根式
.
9
.
把下列二次根式化成最简二次根式
.
(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
第十五章 二次根式
15.2 二次根式的乘除运算
电视塔越高
,
从塔顶发射出的电磁波传播得越远
,
从而收看到电视节目的区域就越广
.
如果电视塔高
h
km
,
电磁波的传播半径为
r
km
,
那么它们之间存在近似关系
,
其中
R
是地球的半径
,
如果两个电视塔的高分别为
h
1
,
h
2
,
那么它们传播的半径的比为
,
你能将这个式子化简吗
?
学了本节后
,
就很容易解决了
.
问题思考
学 习 新 知
二次根式的乘除法法则
问题
1
:
请同学们回忆二次根式的性质是如何得到的
?
问题
2
:
计算
:
由计算结果
,
发现了什么规律
?
=
=
=
=
对于下列各题
,
是否也有上面的规律呢
?
请你猜想并利用计算器进行验证
.
通过刚才的观察、类比、计算
,
你能用字母表示二次根式的乘除法法则吗
?
[
知识拓展
]
如没有特殊说明
,
本章中的所有的字母都表示正数
.
理解二次根式的除法法则应注意两点
:(1)
二次根式的除法法则中的被开方数的分母
b
不等于
0;(2)
运算时约分要彻底
.
例题讲解
例
1.
计算下列各式
.
(1)
；
(2)
；（
3
）
.
【
解析
】
直接利用二次根式乘法法则进行计算即可
.
例
2.
计算下列各式
.
分母有理化
观察
的
特点
,
有什么发现
?
分母都含有二次根式
将分母中含二次根式的式子化为分母中不含二次根式的式子
,
像这样
,
把分母中的二次根式化去
,
叫做
分母有理化
.
对应练习：
把下列各式分母有理化
:
(
教材大家谈谈
)
请就小明和大刚分别计算
的做法给予评价
,
并谈谈你的想法
.
小明的做法
(
先运算后化简
)
大刚的做法
(
先化简后运算
)
课堂小结
1
.
计算
的结果是
(
)
A. B.4 C. D.2
检测反馈
解析
: =4
.
故选
B.
B
2
.
化简
的结果是
(
)
故选
A.
A
解析
:∵
m
=
，
5
.
2
2
=27
.
04
，
5
.
3
2
=28
.
09
，
∴
5
.
2< m
查看更多
Copyright 2004-2019 ttzyw.com All Rights Reserved 闽ICP备18023965号-4
天天资源网声明：本站点发布的文章作品均来自用户投稿或网络整理，部分作品未联系到知识产权人或未发现有相关的知识产权登记