资料简介
11.1.1 三角形的边
读一读
• 什么样的图形叫三角形？
• 什么是三角形的边、顶点、内角？
• 如何用符号语言表示一个三角形？
你认识三角形了吗？
三角形的定义
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的
图形，叫做三角形。
注意：
（1）三条线段
（2）不在同一直线上
（3）首尾顺次相接
A
CB
1.线段AB、BC、CA叫做三角形的边。
2.点A、B、C叫做三角形的顶点。
3.∠ A、 ∠ B、 ∠ C叫做三角形的内角，
简称三角形的角。
三角形ABC的三边,有时也用a、b、c来表示.
一般的顶点A所对的边记作a,顶点B所对的边记作
b,顶点C所对的边记作c
a
bc
A
B C
三角形用符号“△”表示
记作“△ ABC”读作“三角形ABC”
除此△ ABC还可记作△BCA, △ CAB, △ ACB等
A
D
CB
E
1.图中有几个三角形？用符号表示这些三角形。
2.以AB为边的三角形有哪些？
△ABC、△ABE
3.以E为顶点的三角形有哪些？
△ ABE 、△BCE、 △CDE
试一试
4.以∠D为角的三角形有哪些？
△ BCD、 △DEC
ΔABE ΔABC ΔBEC ΔBCD ΔECD
5.说出ΔBCD的三个角.
∠BCD 、 ∠CBD 、∠D
想一想
•三角形按照角的大小可以怎样分类呢？（独立思考）
（锐角三角形 、直角三角形、 钝角三角形）
•三角形按照三边的大小关系又可以怎样分类呢？（独立思考）
（等边三角形 、 等腰三角形（底边与腰不相等） 、 不等边
三角形）
•思考：等腰三角形与等边三角形有什么共同之处？
•三角形按边怎样进行分类更准确呢？（与同伴交流）
在等腰三角形中，相等的两条边都叫腰，另一边叫做
底，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
腰 腰
底
顶
角
底角底角
按角分 锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
按边分
不等边三角形
等腰三角形
三角形的分类
底边和腰不相等的等腰三
角形
等边三角形
议一议 如图，在三角形ABC中，假设有一只小虫要从
点B出发沿着三角形的边爬到点C，它有几条路线
可以选择？各条路线的长一样吗？A
B C
路线1:由点B到点C。
路线2:由点B到点A，再由点A到点C。
两条路线长分别是BC,AB+AC.
由“两点之间，线段最短”可以得到AB+AC>BC
同理可得：AC+BC>AB,AB+BC>AC
三角形的三边有这样的关系：
三角形任意两边的和大于第三边
结
论
•通过移项我们还可发现：
三角形任意两边之差小于第三边
• 某村庄和学校分别位于两条交叉的大路边
（如图）。可是，每年冬天麦田总会走出一
条小路来。你说学生为什么会这样走呢？
村庄
学校
麦
田
学习目标
•认识三角形，了解三角形的定义，认识三角形的
边、内角、顶点，能用符号语言表示三角形。
•能从不同角度对三角形进行分类。
•掌握三角形三边的不等关系，并能运用三角形三
边的不等关系解决生活实际问题。
11.1.2 三角形的高、中线与角
平分线
11.1.3 三角形的稳定性
• 1.掌握三角形的高、中线、角平分线、重心的定
义中体现出来的性质．
• 2.会画三角形的高、中线、角平分线．
• 3.了解三角形的稳定性．
重点
了解三角形的高、中线与角平分线的概念，会
用工具准确画出三角形的高、中线与角平分线，
了解三角形具有稳定性这一性质．
难点
1.三角形的角平分线与角的平分线的区别，三
角形的高与垂线的区别．
2.钝角三角形的高的画法．
3.不同的三角形的三条高的位置关系．
一、情境导入
生活实例演示：
人字型屋顶钢架、风筝骨架，并从中抽象出数
学图形，引出三角形中的特殊线段．
二、探究新知
(一)三角形的高
问题1：如何求三角形的面积？
问题2：什么是三角形的高，怎样画三角形的高？教
师首先提出问题1，学生举手回答，然后教师进一步提
出问题2.引入本节课的第一个概念．
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，
顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高．如图，AD是
△ABC的边BC上的高．
想一想，一个三角形有几条高？
教师要求学生举手画三个不同的三角形，即锐角三角形、
直角三角形、钝角三角形，并作出它们的高，然后同学间进
行交流．
观察：每一个三角形的三条高有什么位置关系？
三条高交于一点．
教师提出问题：各三角形的高都分别交于一点吗？
学生讨论交流，归纳结果．
练习：教材第5页练习第1题．
学生独立观察，然后交流，归纳．
(二)三角形的中线与角平分线的概念及画法
1.三角形的中线及其画法．
2.三角形的角平分线及其画法．
教师指出三角形的中线的定义及角平分线的定义，然后仿
照三角形的高的教学过程，安排学生画一画，并相应地提
出类似的问题．
学生动手操作，然后交流，探讨，师生共同归纳总结．
三角形的三条中线都在三角形的内部，且它们相交于一点
．三角形的三条中线的交点叫做三角形的重心．
三角形的三条角平分线都在三角形的内部，且它们相交
于一点．
三角形的三条高不一定在三角形的内部，它们也相交于
一点．
三角形的高、中线、角平分线都是线段．
(三)三角形的稳定性
教师利用折尺让学生先折成三角形的样子，然后拆成四
边形的样子，认识三角形的稳定性．
学生认识到三角形的稳定性以后，让学生找出几个生活
中利用三角形的稳定性的例子，并完成教材第7页练习．
三、练习巩固
练习：教材第5页练习第2题．
思考：如图，AD是△ABC的边BC上的中线，
△ABD和△ADC的面积有何关系，为什么？
教师布置练习，学生独立完成，然后举手回答．
教师利用投影出示思考题，学生进行讨论后，再进
行归纳．
归纳：三角形的中线将三角形分成面积相等的两
部分．
思考：高和角平分线是否也有这样的性质呢？
四、小结与作业
小结：谈谈你对三角形的高、中线、角平分线的认识．
教师引导学生归纳三角形的高、中线、角平分线的相关
性质．
布置作业：习题11.1第3，4，8题，选做题：第9题．
第十一章 三角形
11.2 与三角形有关的角
三角形的内角与外角:
内角的定义:三角形两边组成的夹角,叫做三角形的内角。
外角的定义:三角形的一边与另一边的延长线形成的角,叫做
三角形的外角.
ACB
B
A
三角形的内角
ACD三角形的外角：
注意:三角形有3个内角,3对外角
三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于1800
三角形的外角和等于3600
)2(202
)1(1803
1802
220
180
0
0
0
0
0
BC
CB
CBC
CABA
CBA
，即
，，
，解题思路：
例1.在△ABC中,若∠A-∠B=200,∠A=2∠C,则
∠A= .∠B= .∠C= .800 600 400
，
，得：
0
0
40
2005)2()1(
C
C
.6080 00 BA ，
三角形外角的性质：
(1)三角形任一外角等于与它不相邻的两个内角和.
(2)三角形任一外角大于与它不相邻的两个内角中
的一个.
BAACD
ACDACB
ACBBA
0
0
180
180
BACDAACD 或
5
0360541 中，在 DBF
ACDDCE 53中，在
0
0
0
180325
218053
2180
DCE
0
00
0
5404321
1803241360
413605
例2.如图,∠1+∠2+∠3+∠4的度数为多少？
例3.如图,BD、CE是△ABC的角平分线,相交于O,若
∠BOC=1320,求∠A的度数.
1 2
ACBABC
ACBCEABCBD
2
12,2
11
, 平分平分解：
AACBABC
ACBABCA
ABC
0
0
180
180
中在
BOC
BOC
OBC
0
0
18021
18021
中在
000 4813218021
0
00
00
0
84
96180
18096
1802212
A
A
A
例4.如图,在△ABC中,D是AC边上一点,∠A=∠ABD,
∠BDC=∠C,∠ABC=630,求∠DBC的度数.
ABDBDC
ABDA
ABDABDC
ABD
2
中解：在
ABDC
CBDC
2
ABDDBC
DBCABDABD
DBCBDCC
BCD
4180
18022
180
0
0
0
中在
ABDDBC
CBDABD
CBDABDABC
0
0
63
63
0
0
00
39
1173
418063
ABD
ABD
ABDABD
000 243963 CBD
例5.如图,在△ABC中,∠B=∠C,∠BAD=400,并且
∠ADE=∠AED.求∠CDE的度数．
CDECADE
ADEAED
CDECAED
CDE
中解：在
CDEADEBADB
CDEADEADC
BADBADC
ABD
中在
CDECDECB 040
0
0
20
402
CDE
CDE
CB
例6.如图,在△ABC中,∠C=700,∠B=400,AD⊥BC于D,AE
平分∠BAC,求∠EAD的度数.
0
000
0
70
4070180
180
BAC
BACCB
ABC
中解：在
0352
1
BACBAE
BACAE平分
000 753540
AED
BAEBAED
ABE
中在
000
0
0
157590
90
90
AEDEAD
AEDEAD
BCAD
1.如图,在△ABC中,∠ACB=900,∠A=500,将其折叠,使点A落在
边CB上A'处,折痕为CD,则∠A'DB=（ ）
A.40° B.30° C.20° D.10°
课堂同步练习
000
0
000
0
104050'
50''
405090
90
BDA
DCABDAB
B
BA
解题思路：
D
2.如图,在△ABC中,BD⊥AC于D,若∠A:∠ABC:∠ACB=
7:5:6,则∠ABD= .
0
0
0
0
10
18018
180657
180
5,6,7
x
x
xxx
CABCA
xABCxCxA
设
0
0
20
70
ABD
A
200
3.如图,在△ABC中,∠C=900,∠CAB,∠CBA的平分线相交
于点D,BD的延长线交AC于E,则∠ADE的度数是________.
000
00
45135180
1352
190
ADE
CADB
450
4.请阅读下列情境，回答问题.
)3(40
)2(2
1
1180
0
0
BA
CBA
CBA ）（
解：由题意可知
0
0
120
1802
3
C
C
0
0
40
60
BA
BA
0
0
50
1002
A
A
010 B
第十一章 三角形
11.3 多边形及其内角和
问题2：你知道长方形和正方形的内角和是多少吗？
其他四边形的内角和是多少？
问题1：你还记得三角形内角和是多少度吗？
（三角形的内角和等于 180°）
（都是360°）
想一想
1. 从n边形的一个顶点可以引＿＿＿＿＿条对角线，
将n边形分成了________个三角形.
2. n边形的对角线一共有＿＿＿＿__ 条.
（n-3）
（n-2）
( 3 )
2
n n
温故知新
A
B
C
D
问题3：在探究四边形的内角和时，有的
同学不是用量角器度量计算得到，而是 按
照如图所示，利用辅助线将四边形分割成
两个三角形的方法，利用三角形的内角和
等于180°，得到四边形的内角和等于
360°。你能说明它的合理性吗？并且启发
你能否借助辅助线找到不同的分割方法呢？
想一想
P
A
B
C
D
图 1
如图1，在四边形内任取一点P,连
接PA、PB、PC、PD将四边形变
成有一个公共顶点的四个三角形，
四边形的内角和等于180°×4 －
360°= 360°
P
A
B
DC
图 2
如图2，在四边形的一边上任取一点P,
连接PB、PC，将四边形变成有一个公
共顶点的三个三角形，四边形的内角
和等于180° ×3－ 180° = 360°
P
A
B
C D
图 3
如图3，在四边形外任取一点P,连接
PA、PB、PC、PD.将四边形变成有
一个公共顶点的四个三角形，四边形
的内角和等于180° ×3－ 180° =
360°
学一学
四边形的内角和为360°
B
A
C
D
E
五边形的内角和为3×180°＝540°
A
B
C
D
E
F
180° × 4 – 180° = 540°
E
A
B
C
D
O
180°× 5 – 360°= 540°
A
B
C
D
E
4 × 180°－180 °=540°
O
学一学
四边形的内角和 （4－2）× 180° = 360°
五边形的内角和 （5－2）× 180° =540°
六边形的内角和 （6－2）× 180°=720°
七边形的内角和 （7－2）× 180° = 900°
B
A
C
D
G
F
E
n边形的内角和为(n－2) ·180°
2.如果一个多边形的内角和是1440°，那么这是几边形。
解析：由多边形的内角和公式可得（n - 2）· 180 = 1
440，n - 2 = 8，n =10，∴这是十边形。
3.已知一个多边形每个内角都等于 108° ，求这个多边形
的边数？
1.八边形的内角和等于多少度？ 十边形呢？
解：设这个多边形的边数为n，根据题意得：
(n－2) ×180=108n
解得n=5
答：这个多边形是五边形。
如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么
关系？
A
B
C
D
解：
如图，在四边形ABCD中，
∠A+ ∠C =180°
∠A+∠B+∠C+∠D=(4－2) ×180 °= 360 °
因为
∠B＋∠D
= 360°－（∠A＋∠C）
= 360°－ 180° =180°
即如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补．
所以
例1 ：
如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，那么这两
个角的关系是__________.互补
1.十二边形的内角和是（ ）.
2.当一个多边形的边数增加1时，它的内角和增加
（ ）.
3.一个多边形的内角和是720º，则此多边形共有
（ ）个内角.
4. 如果一个多边形的内角和是1440°，那么这是
（ ）边形.
1 800º
180º
6
十
【例2】如图，在五边形的每个顶点处各取一个外角，
这些外角的和叫做五边形的外角和．五边形的外角和
等于多少？
6
E
B
C
D
1
2
3
4
5
A
五边形的外角和
=5个平角－五边形的内角和
=5×180°－(5－2) ×180°
=360 °
结论：五边形的外角和等于360°.
6
E
B
C
D
1
2
3
4
5
A
【例2】如图，在五边形的每个顶点处各取一个外角，
这些外角的和叫做五边形的外角和．五边形的外角和等
于多少？
例3 如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些
外角的和叫做六边形的外角和．六边形的外角和等于多
少？
1
2
3
4
A
B
C
D
E
F
5
6
探究 在n边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角
的和叫做n边形的外角和．
n边形的外角和
=n个平角-n边形的内角和
= n×180 °－(n－2) ×
180°=360 °
结论：n边形的外角和等于360°.
A1
E
B
C D
2
3
5F
n
n边形的外角和是多少度?
4
正n边形的每个内角的度数是 2 180n
n
正n边形的每个外角的度数是 360
n
(1)若十二边形的每个内角都相等,那么每个内角是______°.
(2)已知多边形的每个内角都是135°,则这个多边形是_______.
(3)如果某个多边形的内角和等于它的外角和,那么这个多边
形的边数是________.
150
八边形
4
练习2： 已知一个多边形，它的内角和等于外角和
的2倍，求这个多边形的边数.
解： 设多边形的边数为n.
∵它的内角和等于 (n－2)·180°，
外角和等于360º，
∴ (n－2)·180°=2× 360º.
解得 n=6.
∴这个多边形的边数为6.
今天的收获
1、n边形的内角和等于（n－2）×180°.
3、利用类比归纳、转化的学习方法，可以把多边形问题
转化为三角形问题来解决; 外角问题转化为内角来解决.
4、方程思想在几何中有重要的作用.
本节课你学会哪些知识？学会了哪些解决问题的方法？你
还有哪些疑问？
2、n边形的外角和等于360°.
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