资料简介
第
11
章 数的开方
11.1
平方根与立方根
(
课时
1)
新知概念
如果一个数
x
的
平方
等于
a
,
那么这个数
x
叫做
a
的
平方根
.
也就是说
,
当
x
2
=
a
(
a
≥0
)
时
,
称
x
是
a
的平方根
.
下列各数的平方根会是怎样的
?
⑴
121
⑵
36
⑶ (-4)
2
⑷
0
⑸
-25
无
平方根的情况
:
⑴一个正数的平方根有两个
,
它们互
为
相反数；
⑵
0
的平方根只有一个
,
就是它
本身；
想一想
⑶负数没有
平方根
.
±
11
±
6
±
4
0
平方根的表示
方法：
是
的简写
根指数
被开方数
如9的平方根表示为
a
的平方根记为
例
1
求下列各数的平方根
:
⑴
100
；
⑵ 0.49
；
⑶ 1.69
；
⑷
；
⑸
；
⑹
23
2
；
例
2
口答下列各数的平方根
:
⑴
49
；
⑵
1 600
；
⑶
196
；
⑷
36
49
⑸
64
25
⑹ 5
1
16
⑺ 0
；
⑻
0.09
；
⑼
1.44
；
⑽
0.81
；
⑾
0.012 1
；
⑿
1.69
；
；
；
；
知识点归纳：
（
1
）平方根的意义：如果一个数的平方等于
a
，
这 个数
就叫做
a
的平方根
.
a
的
平方根记作：
（
2
）
求
一个数
a
的平方根的运算叫做
开平方
.
（
3
）平方和开平方互为逆运算
.
辨一辨
下列叙述正确的打“
√
” ，错误的打“
×
”
：
⑴
16
的平方根是
±
4
；
( )
√
⑵
±7
是
49
的平方根
；
( )
√
⑶
112
的平方根是
11
；
( )
×
⑷
-9
是
81
的
平方根
. (
)
√
⑸
52
的平方根是
±25
；
( )
⑹
-9
的平方根
是
-3
；
( )
⑺
0
的平方根是
0
；
(
)
⑻ 平方根
为
-
2
的数
是
-4
；
( )
⑼ 只有一个平方根的数是
0
；
( )
×
×
√
×
√
例
3
1.
下列表述正确的是
(
)
A. 9
的平方根是
-
3
B.
-
7
是
-
49
的平方根
C. -15
是
225
的平方
根
D. (-
4)²
的
平方根是
-4
2.
下列各数中没有平方根的是
(
)
(
-
10)
2
B.0
C.
-
6 D.
-
(
-
5)
2
C
D
思考：
2的平方根是多少
8的平方根是多少
86的平方根是多少
思维拓展
求下列各式中的
x
：
1.
x
2
=16
2.64
x
2
=25
3
.(
x
-1)
2
=9
x
=±4
x
2
=
25
64
x
=±
5
8
x
-1=±3
x
=4
或
x=
-2
思维拓展
一个数的平方根是2
x
+1和
x
-7，求
x
和这个数
.
解：
2
x
+1+
x
-7=
0，
解得
x
=
2
.
2
x
+1=
5，
x
-7=-
5，
故这
个数为5
2
=
25
.
新知概念
正数
a
的
正
的平方根
叫做
a
的
算术
平方根
，
记作：
√a
,
读作：
根号
a
，这样
a
的另一
个平方根就是
:
-√a
注：
1.
被开方数应为非
负数
.
2.
也
称为
0
的算术平方根
.
√0
=
0
例
4
1.
口答下列各式的
值：
例
5
计算下列各数的算术
平方根：
（
1
）
2
；
（
2
）
529
；
（
3
）
1225.
回顾小结
算术平方根与
平方根：
算术平方根
是平方根
中的
正
的一个
值，
只有一个；
平方根
一般有
互为相反数的两个值。
算术平方根
只表示
为：
，而
平方根
需表示
为：
第
11
章 数的开方
11.1
平方根与立方根
(
课时
2)
立方根
x
3
=2
x=
1
、平方根的
概念：
如果
x
2
=
a
(
a
≥0
)
,
就称
x
是
a
的平方根
.
通常记作：
知识回顾
2
、平方根的
情况：
⑴一个正数的平方根有两个
,
它们是互为相反数；
⑵
0
的平方根只有一个
,
就是它本身；
⑶负数没有平方根
.
3
、类比
问题：
如果
x
3
=
a
,
就称
x
是
a
的立方根
,
也称三次方根
.
记
作：
新知概念
,
读作：
3
次
根号
a
。
如果一个数
x
的
立方
等于
a
,
那么这个数
x
叫
做
a
的
立方根。
即：当
x
3
=
a
时
,
称
x
是
a
的
立方根。
注：
1.
这里的
3
表示根指数。
2.
平方根是省写根指数的
,
但两次以上
的根
指数不能省写。
例
1
求下列各数的
立方根：
⑴
64
；
⑵
-
27
；
⑶
；
⑷ 0
；
⑸ 3
；
⑹
-
0.008.
立方根的情况
:
⑴
正数
的立方根是
正数；
⑵
0
的立方根是
0
本身；
⑶
负数
的立方根是
负数
.
任何数都
有立方根
求一个数的立方根的运算叫做
开立方，
开立方和立方互为
逆运算；
求一个数的平方根的运算叫做
开平方，
开平方和平方互为
逆运算；
开平方和开立方统称
开方，
开方和乘方互为
逆运算
.
回顾小结
1
、平方根与
立方根：
2
、
区别：
记
作：
每个数都有立方根
,
且一个数只有一个立方根
,
而非负数才有平方根
,
且
0
的平方根是
0,
正数的平方是互为相反数的两个数。
如果
x
2
=
a
,
就称
x
是
a
的平方根
.
如果
x
³=
a
,
就称
x
是
a
的立方根
.
记
作：
(
a
≥0
)
第
11
章 数的开方
11.2
实数
做一做
在数学上已经证明，没有一个有理数的平
方等
于
2
，也就是说， 不是一个有理数．
答
案
:
用计算器计算
≈
1.414
213
56
2
…
定义
无理数：
无限不循环小数叫做无理数（
irrational number
）．
实数：
有理数与无理数统称为实数（
Real numbers
）．
你能举几个无理数的例子吗
?
类似地，
，
圆周率
π
等也都不是有理数，它们都是无限不循环小数
.
不是一个有理数，实际上，它是一个无限不循环小数
.
实数的分类
:
实数
正有理数
有理数
无理数
负有理数
0
负无理数
正无理数
有限小数或无限循环小
数
无限不循环小数
实数
实数
有理数
无理数
整数
分数
无限不循环小数
正实数
0
负实数
正有理数
正无理数
负有理数
负无理数
有限小数
或
无
限循环
小数
你能在数轴上找到表示
的
点吗？
试一试
=
？
探究：
1
1
将两个边长为
1
的正方形剪拼成一个大正方形
.
a
=2
a=
0
1
-1
在数轴上找表示
的
点
概括
如果将所有的有理数都标到数轴上，那么数轴将被填满吗
如果再将所有的无理数都标到数轴上，那么数轴被填满了吗？
总结：数轴上的任一点必定表示一个实数；反过来，每一个实数（有理数或无理数）也都可以用数轴上的一个点来表示。
即：
实数与数轴上的点一一对应
把数从有理数扩充到实数以后，有理数的
相反数和绝对值等的概念、大小比较、运算法则以及运算律，
同样适用于实数
.
例如： 和 互为相反数
.
∵
∴绝对值等于 的数是 和
一、判断以下题目：
1.
实数不是有理数就是无理数
.
（ ）
2.
无理数都是无限不循环小数
.
（ ）
3.
无理数都是无限小数
.
（ ）
4.
带根号的数都是无理数
.
（ ）
5.
无理数一定都带根号
.
（ ）
6.
两个无理数之积不一定是无理数
.
（ ）
7.
两个无理数之和一定是无理数
.
（ ）
8.
数轴上的任何一点都可以表示实数
.
（ ）
×
×
×
练一练
例
1
、试估计
与
π
的大小关系
.
分析
：用计算器求
得
而
这样，容易判断
练习
:
比较下列各组数中的两个实数的大小
:
实数的大小比较和运算，通常可取它们的近似值来进行
.
例
2
、计算
: (
结果精确到
0.01)
解
:
用计算器求得
:
于是
所以
数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．数学上可以说明，数轴上的任一点必定表示一个实数；反过来，每一个实数（有理数或无理数）也都可以用数轴上的点来表示．
换句话说，实数与数轴上的点一一对应．
课堂小结
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