资料简介
第
14
章 勾股定理
14.1
勾股定理（课时
1
）
2002
年在北京召开的国际数学家大会（ＩＣＭ２００２）。在那个大会上，到处可以看到一个简洁优美、远看像旋转的纸风车的图案就是大会的会标．
那是采用了
1700
多年前中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图．
A
B
C
a
b
c
边
的
表
示
直角边：
斜边 ：
BC
和
AC
AB
直角边：
斜边 ：
a
和
b
c
探索直角三角形三边的关系
A
B
C
a
b
c
如图是正方形瓷砖拼成的地面，观察图中用阴影画出的三个正方形，
两个小正方形
P
、
Q
的面积之和与大正方形
R
的面积有什么关系
?
（
1
）三个正方形的面积关系：
+
=
AC
2
BC
2
AB
2
+
=
（
2
）等腰直角三角形的三边关系：
(
直角边
)
2
(
斜边
)
2
+
=
(
直角边
)
2
想一想
（图中每一格代表一平方厘米）
（1）正方形
P
的面积是
平方厘米；
（2）正方形
Q
的面积是
平方厘米；
（3）正方形
R
的面积是
平方厘米
.
1
2
1
S
P
+S
Q
=S
R
R
Q
P
A
C
B
AC
2
+BC
2
=AB
2
等腰
直角三角形
ABC三边长度之间存在什么关系吗？
S
p
=AC
2
S
Q
=BC
2
S
R
=AB
2
上面三个正方形的面积之间有什么关系？
观察正方形瓷砖铺成的地面
.
试一试
分别以
5 cm
、
12 cm
为直角三角形的直角边作出一个直角三角形
ABC
，测量斜边的长度，然后验证上述关系对这个直角三角形是否成立
.
13
5
12
A
B
C
做一做
由上面的探索可以发现：
对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为
a
、
b
，斜边为
c
，那么一定有
a
2
+
b
2
=
c
2
勾股定理
:
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
.
几何语言：
∵
在
Rt△ABC
中 ，
∠C=90°
，
∴
a
2
+b
2
=c
2
（勾股定理）
.
a
A
B
C
b
c
∟
勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系
.
概括
我国古代把直角三角形中较短的直角边称为
勾
，较长的直角边称为
股
，斜边称为
弦
.
“弦图”最早是由三国时期的数学家赵爽在为
《
周髀算经
》
作注时给出的
.
它标注着中国古代的数学成就
.
图
1-1
是
2002
年在北京召开的国际数学家大会（
ICM-2002)
的会标，其图案正是由“弦图”演变而来
.
弦
勾
图
1-1
股
读一读
温馨提示：上述这种验证勾股定理的方法是用面积法
“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲
.
因为，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学大会的会徽.
a
b
c
S
大正方形
＝
c
2
S
小正方形
＝
(
b-a
)
2
S
大正方形
＝
4
·
S
三角形
＋
S
小正方形
赵爽弦图
证明：
b-a
a
a
a
a
b
b
b
b
c
c
c
c
方法小结：我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结合起来，再进行整式运算，从理论上验证了勾股定理．
大正方形的面积可以表示为
;
也可以表示为
:
(
a
+
b
)
2
c
2
+4
•
ab
/2
∵ (
a
+
b
)
2
=
c
2
+ 4
•
ab
/2
a
2
+2
ab
+
b
2
=
c
2
+2
ab
∴
a
2
+
b
2
=
c
2
用四个全等的直角三角形，还可以拼成如图所示的图形，你能否根据这一图形，证明勾股定理
.
做一做
在
Rt△
ABC
中，已知∠
B
=90°
，
AB
=6
，
BC
=8.
求
AC
的长
.
例：
解：
根据勾股定理，可得
所以
飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶上方
4 km
处，过了
15 s
，飞机距离这个男孩头顶
5 km.
这一过程中飞机飞过的距离是多少千米？
4
5
5
4
C
B
A
解：在
Rt△ABC
中，
答：飞机飞过的距离是
3 km.
练一练
如图，
△ABC
中，
∠C=90°
，
CD ⊥AB
于
D
，
AC=12
，
BC=9
，
求：
CD
的长
.
B
A
C
D
解：在三角形
ABC
中
AC = 12
，
BC = 9
由勾股定理得：
AB ²= 12 ²+ 9 ²
所以
AB = 25
由三角形
ABC
的面积
= AC * BC/2 = AB * CD/2
即 ：
12 * 9 = 25 * CD
所以
CD = 4.32
认识勾股定理
如果直角三角形两直角边长分别为
a
，
b
，斜边长为
c
，那么
a
2
+
b
2
=
c
2
利用勾股定理进行计算
课堂小结
第
14
章 勾股定理
14.1
勾股定理（课时
2
）
如果直角三角形两直角边分别为
a
，
b
，斜边为
c
，那么
.
a
2
+ b
2
= c
2
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
你想知道这是什么道理吗
?
据说
,
古埃及人曾用下面的方法画直角：
他们用
13
个等距离的结把一根绳子分成等长的
12
段，一个
工匠同时握住绳子的第
1
个结和第
13
个结，两个助手分别握住
第
4
个结和第
8
个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形
,
其
直角在第
4
个结处
.
问题：
同学们你们知道古埃及人用什么方法得到直角
?
想一想
问题：
试画出三边长度分别为如下数据的三角形，看看它们是一些什么样的三角形：
(1)
a=
3,
b=
4,
c=
5;
(2)
a=
4,
b=
6,
c=
8;
(3)
a=
6,
b=
8,
c=
10.
可以发现，按（
1
）（
3
）所画的三角形都是直角三角形，最长边所对的角是直角；按（
2
）所画的三角形不是直角三角形
.
试一试
这三组数都满足
a
2
+
b
2
=
c
2
吗？
在这三组数据中，（
1
）（
3
）两组数据恰好都满足
a
2
+
b
2
=
c
2
.
勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长
a
、
b
、
c
有关系
a
2
+
b
2
=
c
2
，那么这个三角形是直角三角形，且边
c
所对的角为直角
.
对于直角三角形的判定，有一般的结论：
B′
C′
例
1
已知：如图，在
△
ABC
中，
AB=c, BC=a, AC=b
，
a²+b²=c²
，
求证：
∠
C
=90°.
A
B
C
A′
证明：如图，作
△
A'B′C′
,
使
∠C′=
90°,
A′C′=b
，
B′C′=a
，
则
A′B′²=a²+b²=c²
，
即
A′B′=c.
在
△
ABC
和
△
A′B′C′
中，
∵
BC=a=B′C′
，
AC=b=A′C′
，
AB=c=A′B′
，
∴
△ABC
≌
△A′B′C′.
∴
∠C=∠C′=
90°.
(1)
(2)
1.
判断由
a
、
b
、
c
组成的三角形是不是直角三角形：
(1) a
＝
15 , b
＝
8 ,
c
＝
17
(2) a
＝
13 , b
＝
15 ,
c
＝
14
分析：由勾股定理的逆定理，判断三角形是不是直角三角形，只要看两条
较小边
的平方和是否等于
最大边
的平方
.
解：∵
15
2
＋
8
2
＝
225
＋
64
＝
289
＝
17
2
∴
这个三角形是直角三角形
练一练
(3) a=1 b=2 c= ____ _____ ;
2.
下面以
a,b,c
为边长的三角形是不是直角三角形？如果是那么哪一个角是直角？
(1) a=25 b=20 c=15 ____ _____ ;
(2) a=13 b=14 c=15 ____ _____ ;
(4) a:b: c=3:4:5 _____ _____ ;
是
是
不是
是
∠
A=90
0
∠
B=90
0
∠
C=90
0
像
25,20,15,
能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为
勾股数
.
例
2
已知
△
ABC
，
AB=n²-
1
，
BC=2n
，
AC=n²+
1
（
n
为大于
1
的正整数）
.
试问
△
ABC
是直角三角形吗？若是，哪一条边所对的角是直角？请说明理由
.
解：
∵
AB²+BC²=
(n²-1)²+(2n)²
=n
4
-2n²+1+4n²
=n
4
+2n²+1
=(n²+1)²
=AC²
，
∴△
ABC
直角三角形，边
AC
所对的角是直角
.
先确定
AB
、
BC
、
AC
、
的大小
能够成为直角三角形三边长的三个正整数，称为勾股数
.
例如3 ,4 ,5 ；6, 8, 10； n²-1,2n,n²+1(n为大于1的正整数)等都是勾股数
.
勾股数
如果
△
ABC
的三边长分别为
a,b,c,
且
a=m
2
-n
2
,b=2mn,
c=m
2
+n
2
(m>n,m,n
是正整数
,
那么
△
ABC
是直角三角形
.
解：∵
a=m
2
-n
2
,b=2mn,c=m
2
+n
2
(m>n,m,n
是正整数）
∴a
2
+b
2
=(m
2
-n
2
)
2
+(2mn)
2
=m
4
-2m
2
n
2
+n
4
+4m
2
n
2
=m
4
+2m
2
n
2
+n
4
=(m
2
+n
2
)
2
=c
2
∴△ABC
是直角三角形
.
试一试
观察下列表格：
列举
猜想
3
、
4
、
5
3
2
=4+5
5
、
12
、
13
5
2
=12+13
7
、
24
、
25
7
2
=24+25
……
……
13
、
b
、
c
13
2
=b+c
能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为
勾股数
请你结合该表格及相关知识，求出
b
、
c
的值
.
即
b=
，
c=
84
85
1.
满足下列条件△
ABC,
不是直角三角形的是
( )
A.b
2
=a
2
-c
2
B. a:b:c=3:4:5
C.∠C=∠A-∠B D. ∠A:∠B : ∠C =3:4:5
D
2.
下列各组线段中
,
能组成直角三角形的是
( )
A. 5,6,7 B. 3
2
,4
2
,5
2
C. 5,11,12 D. 5,12,13
D
随堂练习
3.
如图：边长为
4
的正方形
ABCD
中，
F
是
DC
的中点，且
CE= BC
，则
AF⊥EF
，试说明理由
.
解：连接
AE.
∵ABCD
是正方形，边长是
4
，
F
是
DC
的中点，
EC=1/4BC
∴
根据勾股定理，
在
Rt△ADF
中，
AF
2
=AD
2
+DF
2
=20
在
Rt△EFC
中
，
EF
2
=EC
2
+FC
2
=5
在
Rt△ABE
中
，
AE
2
=AB
2
+BE
2
=25
∴AD=4
，
DF=2
，
FC=2
，
EC=1
∴AE
2
=EF
2
+AF
2
∴∠AEF=90°
，即
AF ⊥EF
一定是直角三角形
勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长
a
,
b
,
c
满足
a
2
+
b
2
=
c
2
,
那么这个三角形是直角三角形
.
勾股数：满足
a
2
+
b
2
=
c
2
的三个正整数
课堂小结
第
14
章 勾股定理
14.1
勾股定理（课时
3
）
路边苦李
王戎
7
岁时
,
与小伙伴们外出游玩
,
看到路边的李树上结满了果子
.
小伙伴们纷纷去摘取果子
,
只有王戎站在原地不动
.
王戎回答说
:“
树在道边而多子
,
此必苦李
.”
小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李
.
王戎是怎样知道李子是苦的呢
?
他运用了怎样的推理方法
?
小故事
这与事实
矛盾。
说明李子是甜的这个假设是错的还是对的
？
假设
李子不是苦的，即李子是甜的，
那么这长在人来人往的大路边的李子会不会被过路人摘去解渴呢
？
那么，树上的李子还会这么多吗
？
所以，
李子是苦的
甲：在五一长假里，我和爸爸、妈妈去新加坡玩了整整
6
天，真是太高兴了
.
乙：这不可能，
5
月
4
号上午还看见你和丙在
“步行街”
逛街呢！
丙：是啊
,5
月
4
号我确实和甲在
“步行街”
逛街！
假设
甲去新加坡玩了
6
天，
乙：甲没有去新加坡玩了
6
天
.
那么甲从
5
月
1
号至
6
号或是
2
号至
7
号在新加坡，
即
5
月
4
号甲在新加坡，
这与“
5
月
4
号甲在桂阳的
“步行街”
”
矛盾
,
所以
假设
“甲去新加坡玩了
6
天”
不正确
,
于是“甲没有去新加坡玩了
6
天”正确
.
在古希腊时
,
有三个哲学家，由于争论和天气的炎热感到疲倦，于是就在花园里的一棵大树下躺下休息睡着了
.
这时一个爱开玩笑的人用炭涂黑了他们的前额
,
当他们醒过来后，彼此相看时都笑了
.
一会儿其中有一个人却突然不笑了，他是觉察到什么了？
他运用了怎样的推理方法？
我们知道，当一个三角形的三边长
a
、
b
、
c
（
a≤b≤c
）有关系 时，若
a
2
+b
2
≠c
2
（
a≤b≤c
）
,
则这个三角形是否一定不是直角三角形？
若∠
C
是直角，则
a
2
+b
2
=c
2
，而
a
2
+b
2
≠c
2
，这是不可能的，即△
ABC
不是直角三角形
.
反证法
若将上面的条件改为“在△
ABC
中，
AB=c，BC=a
,
AC=b（a≤b≤c）,a
2
+b
2
≠
c
2
”
，请问这个三角形是否一定不是直角三角形呢？请说明理由
.
c
a
b
A
C
B
探究：
（1）假设它是一个直角三角形
;
（2）由勾股定理，一定有
a
2
+b
2 ＝
c
2
，与已知条件
a
2
+b
2
≠
c
2
矛盾；
（3）因此假设不成立，即它不是一个直角三角形
.
问题探究
这种证明方法与前面的证明方法不同，其步骤为：(1)先假设结论的反面是正确的;
(2)然后通过逻辑推理，得出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件相矛盾；
(3)从而说明假设不成立，进而得出原结论正确
.
像这样的证明方法叫
“
反证法
”.
探究发现
例
1
求证：两条直线相交只有一个交点
.
已知：两条相交直线
l
1
与
l
2
.
求证：
l
1
与
l
2
只有一个交点
.
分析
:
想从已知条件“两条相交直线
l
1
与
l
2
”出发，
经过推理，得出结论“
l
1
与
l
2
只有一个交点”是
很困难的，因此可以考虑用反证法
.
证明：
假设两条相交直线
l
1
与
l
2
不止一个交点，不妨假设
l
1
与
l
2
有两个交点
A
和
B.
这样过点
A
和点
B
就有两条直线
l
1
与
l
2.
这与两点确定一条直线，即经过点
A
和点
B
的直线只有一条的基本事实矛盾
.
所以假设不成立，因此两条直线香蕉只有一个交点
.
古希腊哲学家亚里士多德有一个著名论点
:
轻重不同的两个物体从同一高度自由下落时
,
一定是重的物体先落地
.
在意大利物理学家伽利略提出反对观点以前的一千多年里人们对亚里士多德的说法深信不疑
.
伽利略为了证明自己的观点是正确的
,
在意大利的比萨斜塔上
,
让一个中
1
磅和重
100
磅的两个铁球同时从高空自由下落
,
果然是同时着地
.
这是科学史上一个极其有名的实验
,
它否定了亚里士多德的错误观点
.
你能用今天所学的知识来否定亚里士多德的错误观点吗
?
试一试
例
2
求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于
60°.
已知
:
△
ABC.
求证
:
△
ABC
至少有一个内角小于或等于
60°.
证明：
假设结论不成立，即：
∠
A
＞
60°, ∠B
＞
60°,∠C
＞
60°,
则∠
A+∠B+∠C
＞
180 °.
这与三角形内角和为
180°
相矛盾
.
所以假设不成立，所求证的结论成立
.
1
、试说出下列命题的反面：
（
1
）
a
是实数
.
（
2)a
大于
2.
（
3
）
a
小于
2.
（
4
）至少有
2
个
（
5
）最多有一个
（
6
）两条直线平行
.
a
不是实数
a
小于或等于２
a
大于或等于２
没有两个
一个也没有
两直线相交
随堂练习
2
、用反证法证明“若
a
2
≠
b
2
,
则
a
≠
b”
的第一步是
。
3
、用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个三角形不是等腰三角形”的第一步
。
假设
a=b
假设这个三角形是等腰三角形
4.
已知：如图，在△
ABC
中，
AB=AC
，∠
APB≠∠APC.
求证：
PB≠PC.
A
B
C
P
证明：假设
PB=PC
。
在△
ABP
与△
ACP
中
AB=AC(
已知）
,AP=AP
（公共边）
,
PB=PC
（已知）
∴△
ABP≌△ACP
（
S.S.S)
∴∠APB=∠APC(
全等三角形对应边相等）
这与已知条件∠
APB≠∠APC
矛盾，假设不成立
.
∴PB≠PC
反证法
概念
反证法证明的思路：假设命题不成立→正确的推理
,
得出矛盾→肯定待定命题的结论
.
证明步骤
课堂总结
第
14
章 勾股定理
14.2
勾股定理的应用
1
．什么是勾股定理？
2
．什么是勾股定理逆定理？
复习
例
1
：如图，一圆柱体的底面周长为
20cm
，高
AB
为
4cm
，
BC
是上底面的直径．一只蚂蚁从点
A
出发，沿着
圆柱的侧面爬行到点
C
，试求出爬行的最短路程（精确
到
0.01cm
）
想一想
例题
分析：
蚂蚁实际上是在圆柱的半个侧面内爬行，
如果将这半个侧面展开（如图），得到矩
ABCD
，
根据“两点之间，线段最短”，所求的最短路程
就是侧面展开图矩形对角线
AC
之长．
讲解
思考：若该只蚂蚁从点
A
出发，沿着圆柱的表面爬
行到点
C
，那它爬行的最短路程还是约为
10.77cm
吗？
想一想
讲解
例
2
：一辆装满货物的卡车，其外形高
2.5
米
，宽
1.6
米，要开进厂门形状如下图的某
工厂
．问这辆卡车能否通过该工厂的厂门（厂门上方为半圆形拱门）
?
动动脑！
例题
分析：由于厂门宽度足够，所以卡车能
否通
过，只要看当卡车位于厂门正中间时其
高度
是否小于
CH
．如图所示，点
D
在离厂门
中线
0.8
米处，且
CD
⊥
AB
，与地面交于点
H
．
讲解
还有一种解法你会吗？
讲解
1
．求下列阴影部分的面积：
演练
2
．试判断下列三角形是否是直角三角形
演练
例
3
如图
，在
5×5
的正方形网格中，每
个小
正方形的边长都为
1
，请在给定网格中按
下列
要求画出图形：
（
1
）从点
A
出发画一条线段
AB
，使它的另一个端点Ｂ在
格点上，且长度为
2
；
例题
例
3
如图
，在
5×5
的正方形网格中，每
个小
正方形的边长都为
1
，请在给定网格中按
下列
要求画出图形：
（
2
）画出所有的以
AB
为边
的等腰三角形，使另一个顶
点在格点上，且另两边的长
度都是无理数．
例题
例
4
已知
CD
＝
6m
，
AD
＝
8m
，∠
ADC
＝
90°
，
BC
＝
24m
，
AB
＝
26m
．求图中阴影部分的面积．
解 ：在
Rt△
ADC
中，
∵
AC
2
＝
AD
2
＋
CD
2
＝
6
2
＋
8
2
＝
100
∴
AC
＝
10
．
∵
AC
2
＋
BC
2
＝
10
2
＋
24
2
＝
676
＝
AB
2
，
∴ △
ACB
为直角三角形
∴
S
△
ACB
＝
1/2×10×24
－
1/2×6×8
＝
96
（
m
2
）．
例题
1
．若直角三角形的三边长分别为
2
、
4
、
x
，
试求出
x
的所有可能值．
2
．利用勾股定理，试分别画出长度为 厘
米和
厘
米的线段．
演练
今天你有哪些收获？
你还有哪困惑？
那些你将进一步研究的问题是什么？
小结
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