资料简介
第十七章
勾股定理
17.1
勾股定理
第
1
课时
勾股定理
1
课堂讲解
2
课时流程
逐点
导讲练
课堂小结
课后作业
勾股定理
勾股定理与图形的面积
相传
2500
年前，一次毕达哥拉斯去朋友家作客，
发现朋友家用砖铺成的地
面反映直角三角形三边的
某种数量关系，同学们，
我们也来观察下面的图案，
看看你能发现什么？
A
、
B
、
C
的面积有什么关系？
直角三角形三边有什么关系？
A
B
C
让我们一起探索这个古老的定理吧！
1
知识点
勾股定理
知
1
－导
我国古代把直角三角形中较短的直角边称为
勾
，较长的
直角边称为
股
，斜边称为
弦
.
图
1
称为“弦图”，最早是由
三国时期的数学家赵爽在为
《
周髀算经
》
作法时给出的
.
弦
股
勾
图
1
知
1
－导
A
B
C
A
B
C
(
图中每个小方格代表一个单位面积
)
图
2-1
图
2-2
(1)
观察图
2-1
正方形
A
中含有
个
小方格，即
A
的面积
是
个单位面积
.
正方形
B
的面积是
个单位面积
.
正方形
C
的面积是
个单位面积
.
9
9
9
18
知
1
－导
A
B
C
A
B
C
(
图中每个小方格代表一个单位面积
)
图
2-1
图
2-2
分“割”成若干个直角边为整数的三角形
=18(
单位面积
)
S
正方形
c
知
1
－导
A
B
C
A
B
C
(
图中每个小方格代表一个单位面积
)
图
2-1
图
2-2
(2)
在图
2-2
中，正方形
A
，
B
，
C
中各含有多少个小方格？
它们的面积各是多少？
(3)
你能发现图
2-1
中
三个正方
形
A
，
B
，
C
的面积之间有
什么关系吗？
S
A
+
S
B
=
S
C
即：两条直角边上的正方形面积之和等于 斜边上的正方形的面积
.
知
1
－导
A
B
C
a
c
b
S
a
+S
b
=S
c
观察所得到的各组数据，你有什么发现？
猜想
:
两直角边
a
、
b
与斜边
c
之间的关系？
a
2
+b
2
=c
2
知
1
－讲
┏
a
2
+b
2
=c
2
a
c
b
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
.
勾
股
弦
勾股定理
(
毕达哥拉斯定理
)
知
1
－讲
定义：
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
如果用
a
，
b
和
c
分别表示直角三角形的两直角边
和斜边，那么
a
2
＋
b
2
＝
c
2
.
数学表达式：
在
Rt△
ABC
中，
∠
C
＝
90°
，
AB
＝
c
，
AC
＝
b
，
BC
＝
a
，则
a
2
＋
b
2
＝
c
2
.
分清斜边和直角边．因为在
Rt△
ABC
中，
a
，
b
，
c
是三边，所以可以用勾股定理解决问题．
例
1
在
Rt△
ABC
中，∠
C
＝
90°
，
∠
A
，
∠
B
，
∠
C
的
对边分别是
a
，
b
，
c
.
(1)
已知
a
＝
b
＝
6
，求
c
；
(2)
已知
c
＝
3
，
b
＝
2
，求
a
；
(3)
已知
a
∶
b
＝
2∶1
，
c
＝
5
，求
b
.
知
1
－讲
导引：
(1)∵∠
C
＝
90°
，
a
＝
b
＝
6
，
∴
由勾股定理，得
(2)∵∠
C
＝
90°
，
c
＝
3
，
b
＝
2
，
∴
由勾股定理，得
(3)∵∠
C
＝
90°
，
a
∶
b
＝
2∶1
，
∴
a
＝
2
b
.
又
c
＝
5
，由勾股定理，得
(2
b
)
2
＋
b
2
＝
5
2
，
解得
b
＝
知
1
－讲
解：
总
结
知
1
－讲
利用勾股定理求直角三角形的边长的方法：
一般
都要经过
“
一分二代三化简
”
这
“
三步曲
”
，即一分：分
清哪条边是斜边，哪些是直角边；二代：将已知边长
及两边之间的关系式代入
a
2
＋
b
2
＝
c
2
（
假设
c
是斜边
）
；
三化简．
1
设直角三角形的两条直角边长分别为
a
和
b
，斜边
长为
c
.
(1)
已知
a
=6，
c
=10，
求
b
；
(2)
已知
a
=5，
b
=12
，
求
c
；
(3)
已知
c
=25，
b
=15，求
a
.
知
1
－练
（来自
《
教材
》
）
(1)
(2)
(3)
解
：
知
1
－练
下列说法中正确的是
(
)
A
．已知
a
，
b
，
c
是三角形的三边长，则
a
2
＋
b
2
＝
c
2
B
．在直角三角形中，两边的平方和等于第三边的
平方
C
．在
Rt△
ABC
中，
∠
C
＝
90°
，所以
a
2
＋
b
2
＝
c
2
D
．在
Rt△
ABC
中，
∠
B
＝
90°
，所以
a
2
＋
b
2
＝
c
2
C
2
知
1
－练
3
若一个直角三角形的两直角边的长分别为
a
，
b
，
斜边长为
c
，则下列关于
a
，
b
，
c
的关系式中不正确的是
(
)
A
．
b
2
＝
c
2
－
a
2
B
．
a
2
＝
c
2
－
b
2
C
．
b
2
＝
a
2
－
c
2
D
．
c
2
＝
a
2
＋
b
2
C
知
1
－练
【
中考
·
东营
】
在△
ABC
中，
AB
＝
10
，
AC
＝
2
，
BC
边上的高
AD
＝
6
，则另一边
BC
等
于
(
)
A
．
10 B
．
8
C
．
6
或
10 D
．
8
或
10
C
4
知
1
－练
【
中考
·
陕西
】
如图，将两个大小、形状完全相同的△
ABC
和△
A′B′C
′
拼在一起，其中点
A
′
与点
A
重合，点
C
′
落在边
AB
上，连接
B′C
.
若∠
ACB
＝∠
AC′B
′
＝
90°
，
AC
＝
BC
＝
3
，则
B′C
的长为
(
)
A
．
3
B
．
6
C
．
3
D.
A
5
知
1
－练
【
中考
·
漳州
】
如图，在△
ABC
中，
AB
＝
AC
＝
5
，
BC
＝
8
，
D
是线段
BC
上的动点
(
不含端点
B
，
C
)
，若线段
AD
长为正整数，则点
D
的个数共有
(
)
A
．
5
个
B
．
4
个
C
．
3
个
D
．
2
个
C
6
知
1
－练
如图，在
Rt△
ABC
中，∠
A
＝
90°
，
BD
平分∠
ABC
，交
AC
于点
D
，且
AB
＝
4
，
BD
＝
5
，则点
D
到
BC
的距离是
(
)
A
．
3
B
．
4
C
．
5
D
．
6
A
7
2
知识点
勾股定理与面积的关系
知
2
－导
在一张纸上画
4
个与图所示的全等的直角三边形，
并把它们剪下来．如图所示，用这四个直角三角形进
行拼摆，将得到一个以
a
+
b
为边长的大正方形和以直
角形斜边
c
为边长的小正方形．
归 纳
知
2
－导
观察图形，容易得到大正方形的边长为
a
+
b
，所以
大正方形的面积是
(
a
+
b
)
2
．又因为大正方形是由
4
个全等
的直角三角形和中间的正方形拼成的，所以大正方形的
面积又可表示成
ab
×
4+
c
2
． 因此有
(
a
+
b
)
2
=
ab
×
4+
c
2
．整理得
a
2
+
b
2
=
c
2
，即
a
、
b
、
c
为边的直角三角形满足
两直角边的平方和等于斜边的平方．
知
2
－讲
例
2
观察如图所示的图形，回答问题：
(1)
如图
①
，
△
DEF
为直角三角形，正方形
P
的面积
为
9
，正方形
Q
的面积为
15
，则正方形
M
的面积
为
________
；
(2)
如图
②
，分别以直角
三角形
ABC
的三边长为直径向三角形外作三个半圆，
则这三个半圆形的面积之间的关系式是
________
；
(
用图中字母表示
)
(3)
如图
③
，如果直角三角形两直角边的长分别为
3
和
4
，分别以直角三角形的三边长为直径作半圆，请你
利用
(2)
中得出的结论求阴影部分的面积．
知
2
－讲
(1)
根据正方形的面积公式，结合勾股定理可得
DF
2
＝
DE
2
＋
EF
2
，即正方形
M
的面积＝
9
＋
15
＝
24
；
(2)
另外由勾股定理可知
AC
2
＋
BC
2
＝
AB
2
，所以
S
1
＋
S
2
＝
S
3
；
(3)
阴影部分的面积＝两个小半圆形的面积和＋直角三角
形的面积－大半圆形的面积，由
(2)
可知两个小半圆形
的面积和＝大半圆形的面积，所以阴影部分的面积＝
直角三角形的面积．
导引：
知
2
－讲
(1)24
(2)
S
1
＋
S
2
＝
S
3
(3)
设两个小半圆形的面积分别为
S
1
，
S
2
，大半圆
形的面积为
S
3
，三角形的面积为
S
△
，
则
S
阴影
＝
S
1
＋
S
2
＋
S
△
－
S
3
＝
S
△
＝
×3×4
＝
6.
解：
总
结
知
2
－讲
与直角三角形三边相连的正方形、半圆及正多边形、
圆都具有相同的结论：两直角边上图形面积的和等于斜
边上的图形面积．本例考查了勾股定理及正方形的面积
公式，半圆形面积的求法，解答此类题目的关键是仔细
观察所给图形，面积与边长、直径有平方关系，就很容
易联想到勾股定理．
1
如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边
形都是正方形
.
已知正方形
A
，
B
，
C
，
D
的边长分
别是12，16，9，12，求最大正方形
E
的面积
.
知
2
－练
（来自
《
教材
》
）
S
E
＝
(12
2
＋
16
2
)
＋
(9
2
＋
12
2
)
＝
400
＋
225
＝
625.
解：
2
(
中考
·
株洲
)
如图，以直角三角形的三边
a
，
b
，
c
为
边或直径，分别向外作等边三角形，半圆，等腰直
角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足
S
1
＋
S
2
＝
S
3
的图形个数是
(
)
A
．
1 B
．
2 C
．
3 D
．
4
知
2
－练
D
知
2
－练
3
如图，直线
l
上有三个正方形
a
，
b
，
c
，若
a
，
c
的面
积分别为
3
和
4
，则
b
的面积为
(
)
A
．
3
B
．
4
C
．
5
D
．
7
D
知
2
－练
如图，已知
△
ABC
为直角三角形，分别以直角边
AC
，
BC
为直径作半圆
AmC
和
BnC
，以
AB
为直径作半圆
ACB
，记两个月牙形阴影部分的面积之和为
S
1
，
△
ABC
的面积为
S
2
，则
S
1
与
S
2
的大小关系为
(
)
A
．
S
1
＞
S
2
B
．
S
1
＜
S
2
C
．
S
1
＝
S
2
D
．不能确定
4
C
知
2
－练
【
中考
·
温州
】
四个全等的直角三角形按如图所示方式围成正方形
ABCD
，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为
S
的小正方形
EFGH
，已知
AM
为
Rt△
ABM
较长直角边，
AM
＝
2
EF
，则正方形
ABCD
的面积为
(
)
A
．
12
S
B
．
10
S
C
．
9
S
D
．
8
S
5
C
1.
勾股定理的适用条件：
直角三角形；它反映了直角
三角形三边关系．
2
．
由勾股定理的基本关系式：
a
2
＋
b
2
＝
c
2
可得到一些
变形关系式：
c
2
＝
a
2
＋
b
2
＝
(
a
＋
b
)
2
－
2
ab
＝
(
a
－
b
)
2
＋
2
ab
；
a
2
＝
c
2
－
b
2
＝
(
c
＋
b
)(
c
－
b
)
等．
1
知识小结
在
△
ABC
中，边
AB
＝
15
，
AC
＝
13
，高
AD
＝
12
，则
△
ABC
的周长是
(
)
A
．
42 B
．
32
C
．
42
或
32 D
．不能确定
C
2
易错小结
本题应分
△
ABC
为锐角三角形和
△
ABC
为钝角三角形两种情况讨论．解本题时常常容易忽略其中一种情况而出错．
易错点：
考虑问题不全面而漏解
.
第十七章
勾股定理
17.1
勾股定理
第
2
课时
勾股定理的实际应用
1
课堂讲解
2
课时流程
逐点
导讲练
课堂小结
课后作业
求实际中长（高）度的应用
求实际中的
最
短距离
的
应用
如图所示，一棱长为
3 cm
的正方体．把所有的面都分
成
3
×
3
个小正方形，假若一只蚂蚁每秒爬
2 cm
，则它从下
底面
A
点，沿表面爬行至右侧的
B
点，最少要花几秒
?
1
知识点
求实际中长（高）度的应用
问 题
如图所示，从电线杆离地面
8 m
处向地面拉一条钢索，
若这条钢索在地面的固定点距离电线
杆底部
6 m
，那么需要多长的钢索
?
知
1
－导
归 纳
知
1
－导
应用勾股定理解决实际问题，首先需要构造直角
三角形，把问题转化为已知两边求直角三角形中第三
边的问题
.
然后确定好直角边和斜边，根据勾股定理
a
2
＋
b
2
=
c
2
求出待求的线段长度，即三角形的边长
.
勾股
定理在生活中有广泛应用，例如长度，高度，距离，
面积，体积等问题都可以利用勾股定理来解答
.
可以看出，木板横着或竖着都不能从门
框内通过，只能试试斜着能否通过
.
门框
对角线
AC
的长度是斜着能通过的最大长度
.
求出
AC
，
再与木板的宽比较，就能知道木板能否通过.
在
Rt
△
ABC
中，根据勾股定理，
AC
2
=
AB
2
+
BC
2
=1
2
+
2
2
=5.
AC
= ≈2. 24.
因为
AC
大于木板的宽
2. 2 m
，所
以木板能从门框内通过.
例
1
一
个门框的尺寸如图所
示
，
一
块长
3 m
，
宽
2.2 m
的长方形薄木板能否从门框内通
过？为什么？
知
1
－讲
（来自
《
教材
》
）
分析：
解：
总
结
知
1
－讲
实际问题经常转化为数学问题，也就是建立
直角三角形模型，利用勾股定理来解答
.
解：
可以看出，
BD
=
OD
-
OB
.
在Rt
△
AOB
中，根据勾股定理，
OB
2
=
AB
2
-
OA
2
=2.
6
2
-
2.4
2
= 1.
OB
= =1.
在
Rt
△
COD
中，根据勾股定理，
OD
2
=
CD
2
-
OC
2
=2.6
2
-
(2.4
-
0.5)
2
=3.15.
OD
=
≈1. 77,
BD
=
OD
-
OB≈
l.77
-
1=0.77.
所以梯子的顶端沿墙下滑
0.5m
时，梯子底端并不是也外
移
0.5 m，
而是外移约
0.77 m.
例
2
如图
,
一架
2. 6 m
长的梯子
AB
斜靠在一竖直的
墙
AO
上，这时
AO
为
2. 4 m.
如果梯子的顶端
A
沿
墙下滑
0.5 m，
那么梯子底端
B
也外移
0.5 m
吗？
知
1
－讲
（来自
《
教材
》
）
总
结
知
1
－讲
生活中的一些实际问题常常通过构建数学模型
(
直
角三角形
)
来求解，勾股定理在生活中应用面广，建立
的模型有时并不是已知两边求第三边，而只是告诉了
其中的一些关系，一般可设未知数，用未知数表示它
们之间的关系，然后根据勾股定理列方程解决问题．
1
如图，池塘边有两点
A
，
B
，点
C
是与
BA
方向成
直角的
AC
方向上一点，测得
BC
=60 m
，
AC
=20
m.
求
A
，
B
两点间的距离
(
结果取整数
).
知
1
－练
（来自
《
教材
》
）
在
Rt△
BAC
中，
BC
＝
60 m
，
AC
＝
20 m
，
由勾股定理，
得
AB
＝
＝
≈57(m)
．
答：
A
，
B
两点间的距离约为
57 m.
解：
2
如图，在平面直角坐标系中有两点
A
(5
，
0)
和
B
(0
，
4).
求这两点之间的距离.
知
1
－练
（来自
《
教材
》
）
由点
A
(5
，
0)
，
B
(0
，
4)
可知
OA
＝
5
，
OB
＝
4
，
又因为∠
BOA
＝
90°
，
所以根据勾股定理，
得
AB
＝
＝
解：
3 (
中考
·
安顺
)
如图，有两棵树，一棵高
10
米，另一
棵高
4
米，两树相距
8
米，一只小鸟从一棵树的树
顶飞到另一棵树的树顶，小鸟至少飞行
(
)
A
．
8
米
B
．
10
米
C
．
12
米
D
．
14
米
知
1
－练
B
【
中考
·
绍兴
】
如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为
0.7
米，顶端距离地面
2.4
米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面
2
米，则小巷的宽度为
(
)
A
．
0.7
米
B
．
1.5
米
C
．
2.2
米
D
．
2.4
米
知
1
－练
4
C
【
中考
·
黄冈
】
在黄冈长江大桥的东端一处空地上，有一块矩形的标语牌
ABCD
(
如图所示
)
，已知标语牌的高
AB
＝
5 m
，在地面的点
E
处，测得标语牌点
A
的仰角
(
即∠
AEB
)
为
30°
，在地面的点
F
处，测得标语牌点
A
的仰角
(
即∠
AFB
)
为
75°
，且点
E
，
F
，
B
，
C
在同一直线上，求点
E
与点
F
之间的距离．
(
计算结果精确到
0.1 m
，参考数据：
≈1.41
，
≈1.73)
知
1
－练
5
知
1
－练
如图，作
FH
⊥
AE
于
H
.
由题意可知∠
HAF
＝∠
HFA
＝
45°
，
∴
AH
＝
HF
，
设
AH
＝
HF
＝
x
m
，则
EF
＝
2
x
m
，
EH
＝
x
m
，
在
Rt△
AEB
中，∵∠
E
＝
30°
，
AB
＝
5 m
，
∴
AE
＝
2
AB
＝
10 m
，
∴
x
＋
x
＝
10
，∴
x
＝
5
－
5
，
∴
EF
＝
10
－
10≈7.3(m)
，
答：
点
E
与点
F
之间的距离约为
7.3 m.
解：
2
知识点
求实际中的最短距离的应用
知
2
－导
如图
1
所示，有一个圆柱，它的高等于
12 cm
，底面上圆的周长等于
18 cm.
在圆柱
下底面的点
A
处有一只蚂蚁，它想吃到上底
面与点
A
相对的点
B
处的食物，沿圆柱侧面
爬行的最短路程是多少？
(1)
自己做一个圆柱，尝试从点
A
到点
B
沿圆柱侧面
画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢？
问 题
图
1
知
2
－导
(2)
如图
2
所示，将圆柱侧
面剪开展成一个长方形，从点
A
到点
B
的最短路线是什么？你
画对了吗？
(3)
蚂蚁从点
A
出发，想吃到点
B
处的食物，它沿圆柱
侧面爬行的最短路程是多少？
(4)
若蚂蚁先从点
A
直接爬到点
C
，然后再从点
C
沿地
面直径爬到点
B
，这样爬的总路程与沿圆柱侧面爬行的最
短路程比较，哪一条更短些？
图
2
归 纳
知
2
－导
最短路径问题要转化到平面图形上，建
立直角三角形模型，利用勾股定理解答
.
知
2
－讲
例
3
如图所示的长方体的高为
4 cm
，底面是长为
5 cm
，宽
为
3 cm
的长方形．一只蚂蚁从顶点
A
出
发沿长方体的表面爬到顶点
B
.
求：
(1)
蚂蚁经过的最短路程；
(2)
蚂蚁沿着棱爬行
(
不能重复爬行同一
条棱
)
的最长路程．
(1)
蚂蚁爬行的最短路线可放在平面内，根据
“
两点之间，
线段最短
”
去探求，而与顶点
A
，
B
相关的两个面展开共
有三种方式，先根据勾股定理求出每一种方式下蚂蚁
爬行的最短路程，从而可知蚂蚁经过的最短路程．
(2)
最长路线应该是依次经过长为
5 cm
，
4 cm
，
5 cm
，
4 cm
，
3 cm
，
4 cm
，
5 cm
的棱．
导引：
知
2
－讲
(1)
将长方体与顶点
A
，
B
相关的两个面展开，共有三
种方式，如图所示．若蚂蚁沿侧面爬行，如图
①
，
则爬行的最短路程为
若蚂蚁沿侧面和上面爬行，如图
②③
，
解：
知
2
－讲
则爬行的最短路程分别为
因为
＜
4
＜
3
，
所以蚂蚁经过的最短路程是
cm.
(2)5
＋
4
＋
5
＋
4
＋
3
＋
4
＋
5
＝
30(cm)
，所以蚂蚁沿着棱
爬行的最长路程是
30 cm.
总
结
知
2
－讲
几何体的表面上两点间的最短路程问题的解决方法
是将几何体表面展开，即将立体问题转化为平面问题，
然后利用
“
两点之间，线段最短
”
去确定路线，最后利用
勾股定理计算．
知
2
－练
如图，圆柱的底面周长为
6 cm
，
AC
是底面圆的直径，高
BC
＝
6 cm
，
P
是母线
BC
上一点，且
PC
＝
BC
.
一只蚂蚁从点
A
出发沿着圆柱的侧面爬行到点
P
的最短距离是
(
)
A. cm
B
．
5 cm
C
．
3 cm
D
．
7 cm
1
B
知
2
－练
【
中考
·
营口
】
如图，在△
ABC
中，
AC
＝
BC
，∠
ACB
＝
90°
，点
D
在
BC
上，
BD
＝
3
，
DC
＝
1
，点
P
是
AB
上的动点，则
PC
＋
PD
的最小值为
(
)
A
．
4
B
．
5
C
．
6
D
．
7
2
B
知
2
－练
【
中考
·
安徽
】如图，在长方形
ABCD
中，
AB
＝
5
，
AD
＝
3
，动点
P
满足
S
△
PAB
＝
S
长方形
ABCD
，则点
P
到
A
、
B
两点距离之和
PA
＋
PB
的最小值为
(
)
A.
B.
C
．
D.
3
D
1.
勾股定理从边的角度刻画了直角三角形的重要特征，
应用勾股定理可以求出直角三角形中的直角边或者
斜边的长度，在实际应用中要注意：
(1)
勾股定理的应用是以直角三角形存在
(
或容易构造
直角三角形
)
为基础；
(2)
表示直角三角形边长的
a
,
b
,
c
不是固定不变的，
c
不一定是斜边的长
.
1
知识小结
2.
在直线上找一点，使其到直线同侧的两点的距离之
和最短的方法：先找到其中一个点关于这条直线的
对称点，连接对称点与另一个点的线段与该直线的
交点即为所找的点，对称点与另一个点的线段长就
是最短距离之和．以连接对称点与另一个点的线段
为斜边，构造出一个两条直角边已知的直角三角形，
然后利用勾股定理即可求出最短距离之和．
如
图，长方体的长为
15
，宽为
10
，高为
20
，点
B
离点
C
的
距离为
5
，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点
A
爬
到点
B
，需要爬行的最短距离是
(
)
A
．
5
B
．
25
C
．
10
＋
5
D
．
35
B
2
易错小结
易错点：
求最短路径时对立体图形展开情况考虑不全面
导致错解
.
第十七章
勾股定理
17.1
勾股定理
第
3
课时
勾股定理
的
几何应用
1
课堂讲解
2
课时流程
逐点
导讲练
课堂小结
课后作业
用勾股定理在数轴上表示实数
勾股定
在
几何问题
中的应用
某拍卖行贴出了如下的一个土地拍卖广告：
如下图，有面积为
560
英亩的土地拍卖，土地共分三
个正方形，面积分别为
74
英亩、
116
英亩、
370
英亩．三
个正方形恰好围着一个池塘，如果有人能计算出池塘的
准确面积．则池塘不计入土
地价钱白白奉送．英国数学
家巴尔教授曾经巧妙地解答
了这个问题，你能解决吗
?
1
知识点
用勾股定理在数轴上表示数
我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理
数，你能在数轴 上画出表示
的点吗？
如果能画出长为
的线段，就能在数轴上画出表示
的点.容易知道，长为
的线段是两条直角边的长都
为1的直角三角形的斜边.长为
的线段能是直角边的长
为正整数的直角三角形的斜边吗？
知
1
－讲
知
1
－讲
利用勾股定理，可以发现，直角边的长为正整数2, 3
的直角三角形的斜边长为
.由此，可以依照如下方法在
数轴上画出表示
的点.
如图,在数轴上找出表示3的点
A
， 则
OA
=3,
过点
A
作直
线
l
垂直于
OA
，在
l
上取点
B
，
使
AB
= 2,
以原点
O
为圆心，以
OB
为半径作弧，弧与数轴的交点
C
即为表示
的点.
总
结
知
1
－讲
类似地，利用勾股定理，可以作出长为
…
的线段
(
图
1).
按照同样方法，可以在数轴上画出
表示
…
的点 (图
2).
图
1
图
2
利用
a
＝
可以作出．
如图
2
，先作出与已知线段
AB
垂直，
且与已知线段的端点
A
相交的直线
l
，
在直线
l
上以
A
为端点截取长为
2
a
的线
段
AC
，连接
BC
，则线段
BC
即为所求．
如图
2
，
BC
就是所求作的线段．
例
1
如图
1
，已知线段
AB
的长为
a
，请作出长为
a
的
段．
(
保留作图痕迹，不写作法
)
知
1
－讲
图
1
图
2
导引：
解：
总
结
知
1
－讲
这类问题要作的线段一般是直角三角形的斜
边，根据勾股定理由要作的线段确定两直角边的
长是解题的关键．
1
在数轴上做出表示 的点
.
知
1
－练
（来自
《
教材
》
）
如图所示．作法：
(1)
在数轴上找出表示
4
的点
A
，则
OA
＝
4
；
(2)
过
A
作直线
l
垂直于
OA
；
(3)
在直线
l
上取点
B
，使
AB
＝
1
；
(4)
以原点
O
为圆心，以
OB
为半径作弧，弧与
数轴的交点
C
即为表示
的点．
解：
2
如图，点
C
表示的数是
(
)
A
．
1 B. C
．
1.5 D.
知
1
－练
D
如图，在平面直角坐标系中，点
P
的坐标为
(
－
2
，
3)
，以点
O
为圆心，以
OP
的长为半径画弧，交
x
轴的负半轴于点
A
，则点
A
的横坐标介于
(
)
A
．－
4
和－
3
之间
B
．
3
和
4
之间
C
．－
5
和－
4
之间
D
．
4
和
5
之间
知
1
－练
3
A
2
知识点
勾股定在几何问题中的应用
知
2
－讲
例
2
如图，在
△
ABC
中，
∠
C
＝
60°
，
AB
＝
14
，
AC
＝
10.
求
BC
的长．
导引：
题中没有直角三角形，可以通
过作高构建直角三角形；过点
A
作
AD
⊥
BC
于
D
，图中会出现
两个直角三角形
——
Rt△
ACD
和
Rt△
ABD
，这两
个直角三角形有一条公共边
AD
，借助这条公共边，
可建立起直角三角形之间的联系．
知
2
－讲
解
：
如图，过点
A
作
AD
⊥
BC
于
D
.
∵∠
ADC
＝
90°
，
∠
C
＝
60°
，
∴
CD
＝
AC
＝
5.
在
Rt△
ACD
中，
AD
在
Rt△
ABD
中，
BD
∴
BC
＝
BD
＋
CD
＝
11
＋
5
＝
16.
总
结
知
2
－讲
利用勾股定理求非直角三角形中线段的长的方法：
作三角形一边上的高，将其转化为两个直角三角形，然
后利用勾股定理并结合已知条件，采用推理或列方程的
方法解决问题．
1
如图，等边三角形的边长是6
.求：
(1)
高
AD
的长；
(2)
这个三角形的面积.
知
2
－练
（来自
《
教材
》
）
(1)
由题意可知，在
Rt△
ADB
中，
AB
＝
6
，
BD
＝
BC
＝
3
，
∠
ADB
＝
90°.
由勾股定理，
得
AD
＝
(2)
S
△
ABC
＝
BC
·
AD
＝
×6×3
＝
解：
如图是由
4
个边长为
1
的正方形构成的“田字格”，只用没有刻度的直尺在这个“田字格”中最多可以作出长度为
的线段
________
条．
知
2
－练
2
8
知
2
－练
3
如图，每个小正方形的边长均为
1
，则
△
ABC
中，
长为无理数的边有
(
)
A
．
0
条
B
．
1
条
C
．
2
条
D
．
3
条
C
知
2
－练
4
如图是一张直角三角形的纸片，两直角边
AC
＝
6 cm
，
BC
＝
8 cm
，现将△
ABC
折叠，使点
B
与点
A
重合，折痕为
DE
，则
BE
的长为
(
)
A
．
4 cm
B
．
5 cm
C
．
6 cm
D
．
10 cm
B
【
2017·
宜宾
】
如图，在矩形
ABCD
中，
BC
＝
8
，
CD
＝
6
，将△
ABE
沿
BE
折叠，使点
A
恰好落在对角线
BD
上
F
处，则
DE
的长是
(
)
A
．
3
B.
C
．
5
D.
知
2
－练
5
C
如图，在等腰三角形
ABC
中，
AB
＝
AC
，
BC
边上的高
AD
＝
6 cm
，腰
AB
上的高
CE
＝
8 cm
，则△
ABC
的周长等于
________cm.
知
1
－练
6
1
．勾股定理与三角形三边平方关系的综合应用：
单一应用：
先由三角形三边平方关系得出直角三角形后，
再求这个直角三角形的角度和面积：
综合应用：
先用勾股定理求出三角形的边长，再由三角形
平方关系确定三角形的形状，进而解决其他问题；
逆向应用：
如果一个三角形两条较小边长的平方和不等于
最大边长的平方，那么这个三角形就不是直角三角形
.
1
知识小结
2
．
应用勾股定理解题的方法：
(1)
添线应用
，即题中无直角三角形，可以通过作垂线，构
造直角三角形，应用勾股定理求解；
(2)
借助方程应用
，即题中虽有直角三角形，但已知线段的
长不完全是直角三角形的边长，可通过设未知数，构建
方程，解答计算问题；
(3)
建模应用
，即将实际问题建立直角三角形模型，通过勾
股定理解决实际问题．
如图，把长方形纸条
ABCD
沿
EF
，
GH
同时折叠，
B
，
C
两点恰好落在
AD
边的
P
点处，若
∠
FPH
＝
90°
，
PF
＝
8
，
PH
＝
6
，则长方形
ABCD
的面积为
________
．
115.2
2
易错小结
在
Rt△
PFH
中，
FH
＝
＝
10
，
∴
BC
＝
BF
＋
FH
＋
CH
＝
PF
＋
FH
＋
PH
＝
8
＋
10
＋
6
＝
24.
设
△
PFH
的边
FH
上的高为
h
，
则
h
＝
＝
4.8
，
∴
S
长方形
ABCD
＝
24×4.8
＝
115.2.
易错点：
忽视题目中条件而求不出答案
.
解此题时要灵活运用折叠前后对应线段相等，从而求出
BC
的长，然后再运用面积法求出
△
PFH
中
FH
边上的高，本题容易因忽视条件而求不出答案．
易错总结：
第十七章
勾股定理
17.2
勾股定理的逆定理
第
1
课时
勾股定理的
逆定理
1
课堂讲解
2
课时流程
逐点
导讲练
课堂小结
课后作业
逆命题、逆定理
勾股定理的逆定理
勾股数
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为
a
，
b
，
斜边为
c
，那么
a
2
＋
b
2
＝
c
2
1
知识点
逆命题、逆定理
如果两个命题的题设、结论正好相反，那么这
两个命题称为互逆命题，如果把其中一个叫做
原命题，那么另一个叫做它的逆命题．
知
1
－导
2
．如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那
么它也是一个定理，称其为原定理的逆定理，
这两个定理称为互逆定理．
知
1
－讲
导引：
根据题目要求，先判断原命题的真假，再将原命题
的题设和结论互换，写出原命题的逆命题，最后判
断逆命题的真假．
例
1
判断下列命题的真假，写出逆命题，并判断逆命题
的真假：
(1)
如果两条直线相交，那么它们只有一个交点；
(2)
如果
a
＞
b
，那么
a
2
＞
b
2
；
(3)
如果两个数互为相反数，那么它们的和为零；
(4)
如果
ab
＜
0
，那么
a
＞
0
，
b
＜
0.
知
1
－讲
解：
(1)
原命题是真命题．逆命题为：如果两条直线只有
一个交点，那么它们相交．逆命题是真命题．
(2)
原命题是假命题．逆命题为：如果
a
2
＞
b
2
，那么
a
＞
b
.
逆命题是假命题．
(3)
原命题是真命题．逆命题为：如果两个数的和为
零，那么它们互为相反数．逆命题是真命题．
(4)
原命题是假命题．逆命题为：如果
a
＞
0
，
b
＜
0
，
那么
ab
＜
0.
逆命题是真命题．
知
1
－讲
总
结
知
1
－讲
写出逆命题的关键是分清楚原命题的题设和结论，
然后将它的题设和结论交换位置就得到这个命题的逆
命题．判断一个命题是真命题需要进行逻辑推理，判
断一个命题是假命题只需要举出一个反例就可以了．
1
说出下列命题的逆命题.这些逆命题成立吗？
(1)
两条直线平行，内错角相等；
(2)
如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；
(3)
全等三角形的对应角相等；
(4)
在角的内部，到角的两边距离相等的点在角
的平分线上.
知
1
－练
（来自
《
教材
》
）
知
1
－练
（来自
《
教材
》
）
(1)
逆命题：内错角相等，两条直线平行．逆命题
成立．
(2)
逆命题：如果两个实数的绝对值相等，那么这
两个实数相等．逆命题不成立．
(3)
逆命题：三个角对应相等的两个三角形全等．
逆命题不成立．
(4)
逆命题：角的平分线上的点到角两边的距离相
等．逆命题成立．
解：
已知下列命题：
①
若
a
>
b
，则
ac
>
bc
；
②
若
a
＝
1
，则
＝
a
；
③
内错角相等．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是
(
)
A
．
0 B
．
1
C
．
2 D
．
3
知
1
－练
2
A
下列定理中，没有逆定理的是
(
)
A
．直角三角形的两锐角互余
B
．若三角形三边长
a
，
b
，
c
(
其中
a
＜
c
，
b
＜
c
)
满足
a
2
＋
b
2
＝
c
2
，则该三角形是直角三角形
C
．全等三角形的对应角相等
D
．互为相反数的两数之和为
0
知
1
－练
3
C
2
知识点
勾股定理的逆定理
知
2
－导
勾股定理的逆定理
如果直角三角形两直角边分别为
a
，
b
，斜边为
c
，那么
a
2
+
b
2
=
c
2
勾股定理
如果三角形的三边长
a
、
b
、
c
满足
那么这个三角形是直角三角形
.
a
2
+
b
2
=
c
2
互逆定理
知
2
－讲
例
2
判断由线段
a
，
b
，
c
组成的三角形是不是直角三角形
：
(1)
a
=15，
b
=8，
c
=17；
(2)
a
=13，
b
=14
，
c
=15.
分析：
根据勾股定理及其逆定理，判断一个三角形是不是直
角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最
大边长的平方
.
解
：
(1)
因为 15
2
+8
2
=225+64=289,17
2
= 289，所以15
2
+8
2
=17
2
，
根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形.
(2)
因为13
2
+14
2
=169+196=365，15
2
=225，所以13
2
+14
2
≠
15
2
，
根据勾股定理，这个三角形不是直角三角形.
（来自
《
教材
》
）
总
结
知
2
－讲
判断一个三角形是不是直角三角形有两种方法：
(1)
利用定义，即如果已知条件与角度有关，可借助三角
形的内角和定理判断；
(2)
利用直角三角形的判定条件，即若已知条件与边有关，
一般通过计算得出三边的数量关系
(
即
a
2
＋
b
2
＝
c
2
)
来判
断，看是否符合较短两边的平方和等于最长边的平方．
知
2
－讲
例
3
如图
，
某港口
P
位于东西方向的海岸线上
.“
远航”
号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿
一
固
定方向航行，“远航”号每小时航行
16 n mile
，
“海天
”
号
每小时航行
12 n mile.
它们离开港口一个
半小时后分别位于点
Q
，
R
处，且相距30
n mile.
如
果知道“远航”号沿东北方
向航行，能知道“海天”号
沿哪个方向航行吗？
知
2
－讲
分析：
在图中可以看到，由于“远航”号的航向已知，
如果求出两艘轮船的航向所成的角，就能知道
“海天”号的航向了.
解：
根据题意，
PQ
=16×1.
5 = 24
，
PR
=12×1.5 = 18
，
QR=
30.
因为
24
2
+18
2
=30
2
，即
PQ
2
+
PR
2
=
QR
2
，
所以
∠
QPR
=
90°
.
由“远航”号沿东北方向航行可知
，
∠
1=45°.
因此
∠
2=45°
，即“海天”号沿西北方向航行.
（来自
《
教材
》
）
总
结
知
2
－讲
用数学几何知识解决生活实际问题的关键是：
建模
思想
，即将实际问题转化为数学问题；这里要特别注意
弄清实际语言与数学语言间的关系；如本例中：“点与
点之间的最短路线”就是“连接这两点的线段”，“点
与直线的最短距离”就是“点到直线的垂线段的长”．
1
如果三条线段长
a
，
b
，
c
满足
a
2
=
c
2
–
b
2
，这三
条线段组成的三角形是不是直角三角形？为
什么？
知
2
－练
（来自
《
教材
》
）
这三条线段组成的三角形是直角三角形，因为三条线段长
a
，
b
，
c
满足
a
2
＝
c
2
－
b
2
，即
a
2
＋
b
2
＝
c
2
，根据勾股定理的逆定理可知，三角形是直角三角形．
解：
知
2
－练
2
在
△
ABC
中，
∠
A
，
∠
B
，
∠
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，且
(
a
＋
b
)(
a
－
b
)
＝
c
2
，则
(
)
A
．
∠
A
为直角
B
．
∠
B
为直角
C
．
∠
C
为直角
D
．
△
ABC
不是直角三角形
A
3
五根小木棒，其长度
(
单位：
cm)
分别为
7
，
15
，
20
，
24
，
25
，现将它们摆成两个直角三角形，
其中正确的是
(
)
知
2
－练
C
如图，△
ABC
的顶点在正方形网格的格点，若小方格的边长为
1
，则△
ABC
是
(
)
A
．锐角三角形
B
．直角三角形
C
．钝角三角形
D
．以上都不对
知
2
－练
4
B
△
ABC
的三边长分别为
a
，
b
，
c
，下列条件：
①∠
A
＝
∠
B
－
∠
C
；
②∠
A
：
∠
B
：
∠
C
＝
3
：
4
：
5
；
③
a
2
＝
(
b
＋
c
)(
b
－
c
)
；
④
a
：
b
：
c
＝
5
：
12
：
13.
其中能判定
△
ABC
是直角三角形的有
(
)
A
．
1
个
B
．
2
个
C
．
3
个
D
．
4
个
知
2
－练
5
C
3
知识点
勾 股 数
知
3
－导
勾股数：
能够成为直角三角形三条边长的三个
正整数．
常见的勾股数有：
3
，
4
，
5
；
5
，
12
，
13
；
8
，
15
，
17
；
7
，
24
，
25
；
9
，
40
，
41
；
….
知
3
－讲
2
．判断勾股数的方法：
(1)
确定是否是三个正整数；
(2)
确定最大数；
(3)
计算：看较小两数的平方和是否等于最大数的
平方．
知
3
－讲
导引：
根据勾股数的定义：满足
a
2
＋
b
2
＝
c
2
的三个正整数
a
，
b
，
c
称为勾股数．
A.6
2
＋
7
2
≠
8
2
，不能构成勾
股数，故错误；
B.5
2
＋
8
2
≠13
2
，不能构成勾股数，
故错误；
C.1.5
和
2.5
不是整数，所以不能构成勾股
数，故错误；
D.21
2
＋
28
2
＝
35
2
，能构成勾股数，故
正确．故选
D.
例
4
下面四组数中是勾股数的一组是
(
)
A
．
6
，
7
，
8
B
．
5
，
8
，
13
C
．
1.5
，
2
，
2.5
D
．
21
，
28
，
35
D
总
结
知
3
－讲
确定勾股数的方法：
首先看这三个数是否是正整
数；然后看较小两个数的平方和是否等于最大数的平
方，记住常见的勾股数
(3
，
4
，
5
；
5
，
12
，
13
；
8
，
15
，
17
；
7
，
24
，
25)
可以提高解题速度．
1
下面几组数中，为勾股数的一组是
(
)
A
．
4
，
5
，
6 B
．
12
，
16
，
20
C
．－
10
，
24
，
26 D
．
2.4
，
4.5
，
5.1
知
3
－练
B
给出下列命题：
①
如果
a
，
b
，
c
为一组勾股数，那么
4
a
，
4
b
，
4
c
仍是一组勾股数；
②
如果直角三角形的两边长分别是
3
和
4
，那么另一边长的平方必为
25
；
③
如果一个三角形的三边长分别是
12
，
25
，
21
，那么此三角形必是直角三角形；
④
一个等腰直角三角形的三边长分别是
a
，
b
，
c
，其中
a
是斜边长，那么
a
2
∶
b
2
∶
c
2
＝
2∶1∶1.
其中正确的是
(
)
A
．
①② B
．
①③ C
．
①④ D
．
②④
知
3
－练
2
C
逆定理
三角形两直角边分
别为
a
，
b
，斜边为
c
，那么
a
2
＋
b
2
＝
c
2
定理
直角三角形
！
1
知识小结
下列
各组数能构成勾股数的是
________
．
(
填序号
)
①
6
，
8
，
10
；
② 7
，
8
，
10
；
③
①
2
易错小结
易错点：
忽视勾股数是正整数这一条件
.
首先要注意到勾股数必须是一组正整数，其次要满足两个较小数的平方和等于最大数的平方．本题易误认为
③
也是勾股数．
易错总结：
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