资料简介
第十六章
二次根式
16.1
二次根式
第
1
课时
二次根式的定义
1
课堂讲解
2
课时流程
逐点
导讲练
课堂小结
课后作业
二次根式的定义
二次根式有意义的条件
二次根式的
“
双重
”
非负性
填空：
一个正数有
_______
平方根，它们
____________
；
0
的平方根是
____
；
_________
没有平方根
.
两个
互为相反数
0
负数
1
知识点
二次根式的定义
思考
用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：
(1)
面积为3的正方形的边长为
_________
，面积为
S
的正
方形的边长为
__________.
(2)
一
个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为
130 m
2
,
则
它的宽为
________m.
知
1
－导
知
1
－导
(3)
一
个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间
t
(单位：
s)
与开始落下时离地面的高度
h
(
单位：
m)
满足关系
h
=5
t
2
.
如果用含有
h
的式子表示
t
，那么
t
为
______.
上面问题的结果分别是
，它
们表示
一
些正数的算术 平方根
.
形如
(
a
≥
0)
的式子叫做二次根式；
其中
“ ”
称为二次根号，
a
称为被开方数
(
式
)
．
知
1
－讲
定义
导引：
判断一个式子是不是二次根式，实质是看它是否具
备二次根式定义的条件，紧扣定义进行识别．
解：
(1)∵
的根指数是
3
，
∴
不是二次根式．
(2)∵
不论
x
为何值，都有
x
2
＋
1
＞
0
，
∴
是二次根式．
(3)
当－
5
a
≥
0
，即
a
≤
0
时，
是二次根式；
当
a
＞
0
时，－
5
a
＜
0
，则
不是二次根式．
∴
不一定是二次根式．
(4)
＋
1(
a
≥
0)
只能称为含有二次根式的式子，不能称为
二次根式．
例
1
判断下列各式是否为二次根式，并说明理由．
(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
＋
1(
a
≥
0);
(5)
；
(6)
；
(7)
；
(8)
知
1
－讲
知
1
－讲
(5)
当
x
＝－
3
时，
无意义，
∴
也无意义；
当
x
≠
－
3
时，
＞
0
，
∴
是二次根式．
∴
不一定是二次根式．
(6)
当
a
＝
4
时，
a
－
4
＝
0
，
是二次根式；
当
a
≠
4
时，－
(
a
－
4)
2
＜
0
，
不是二次根式．
∴
不一定是二次根式．
(7)∵
x
2
＋
2
x
＋
2
＝
x
2
＋
2
x
＋
1
＋
1
＝
(
x
＋
1)
2
＋
1
＞
0
，
∴
是二次根式．
(8)∵|
x
|
≥
0
，
∴
是二次根式．
总
结
知
1
－讲
二次根式的识别方法：
判断一个式子是否为二次根式，一定要紧扣二次根式
的定义，看所给的式子是否同时具备二次根式的两个
特征：
(1)
含根号且根指数为
2(
通常省略不写
)
；
(2)
被开方数
(
式
)
为非负数．
要画一个面积为
18 cm
2
的长方形，使它的长与宽之比为
3 : 2
，它的长、宽各应 取多少？
知
1
－练
（来自
《
教材
》
）
1
设长方形的长、宽分别为
3
x
cm
，
2
x
cm
，
由题意得
2
x
×3
x
＝
18
，
解得
x
＝
(
负值舍去
)
．
长方形的长、宽应分别取
3 cm
和
2 cm.
答：
解：
2
下列
式子
一定是二次根式的是
( )
A. B.
C.
D.
3
下列式子不一定是二次根式的是
(
)
A. B.
C. D.
知
1
－练
C
A
4
下列式子：
中，一定是二次根式的有
(
)
A
．
2
个
B
．
3
个
C
．
4
个
D
．
5
个
知
1
－练
C
2
知识点
二次根式有意义的条件
知
2
－讲
式子
只有在条件
a
≥
0
时才叫二次根式．
即
a
≥
0
是
为二次根式的前提条件
.
总
结
知
2
－讲
1
．二次根式有意义的条件是被开方数
(
式
)
为非负数；反
之也成立，即：
有意义
⇔
a
≥
0.
2
．二次根式无意义的条件是被开方数
(
式
)
为负数；反之
也成立，即：
无意义
⇔
a
＜
0.
知
2
－讲
例
2
当
x
是怎样的实数时，
在实数范围内有意义？
解：
由
x
-
2
≥
0，得
x
≥
2
.
当
x
≥
2
时，
在实数范围内有意义
.
（来自
《
教材
》
）
1
当
a
是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有
意义？
(1) (2)
(3) (4)
知
2
－练
（来自
《
教材
》
）
(1)
由
a
－
1≥0
，得
a
≥1
，所以当
a
≥1
时， 在
实数范围内有意义．
解：
知
2
－练
（来自
《
教材
》
）
(2)
由
2
a
＋
3≥0
，得
a
≥
－
，
所以当
a
≥
－
时，
2
a
＋
3
在实数范围内有意义．
(3)
由－
a
≥0
，得
a
≤0
，
所以当
a
≤0
时， 在实数范围内有意义．
(4)
由
5
－
a
≥0
，得
a
≤5
，
所以当
a
≤5
时，
在实数范围内有意义．
知
2
－练
【
中考
·
成都
】
二次根式 中，
x
的取值范围是
(
)
A
．
x
≥1 B
．
x
＞
1
C
．
x
≤1 D
．
x
＜
1
2
A
知
2
－练
【
中考
·
日照
】
式子 有意义，则实数
a
的取值范围是
(
)
A
．
a
≥
－
1 B
．
a
≠2
C
．
a
≥
－
1
且
a
≠2 D
．
a
＞
2
3
C
知
2
－练
4 (
中考
·
滨州
)
如果式子
有意义，那么
x
的取值
范围在数轴上表示正确的是
(
)
C
知
2
－练
【
中考
·
黄冈
】下列结论正确的是
(
)
A
．
3
a
3
b
－
a
2
b
＝
2
B
．单项式－
x
2
的系数是－
1
C
．使式子
有意义的
x
的取值范围是
x
＞－
1
D
．若分式
的值等于
0
，则
a
＝
±1
5
B
知
3
－讲
同时
(
a
≥
0)
也是一个非负数
，我们把这个性
质叫做二次根式的双重非负性
.
3
知识点
二次根式的“双重”非负性（
a
≥
0
，
≥
0
）
例
3
若
，则
x
-
y
的值为
( )
A
．
1 B
．－
1 C
．
7 D
．－
7
知
3
－讲
分析：
根据非负数的性质列式求出
x
、
y
的值，然后代入
代数式进行计算即可得解．因为
+ (
y
+
3)
2
=0
都是非负数，它们的和为
0
，所以
(
y
+3)
2
=
0
，
，所以
y
+3=0
，
x
+
y
-
1=0
，
解得
y
=
-
3
，
x
=4
，所以
x
-
y
=7.
故选
C
．
C
总
结
知
3
－讲
两个非负数的和为
0
时，这两个非负数都为
0
．
【
中考
·
攀枝花
】
若 ，
则
x
y
＝
________.
【
中考
·
泰州
】
实数
a
，
b
满足
＋
4
a
2
＋
4
ab
＋
b
2
＝
0
，则
b
a
的值为
(
)
A
．
2 B.
C
．－
2 D
．－
知
3
－练
1
2
9
B
已知实数
x
，
y
满足
|
x
－
4|
＋
＝
0
，则以
x
，
y
的值为两边长的等腰三角形的周长是
(
)
A
．
20
或
16 B
．
20
C
．
16 D
．以上答案均不对
知
3
－练
B
1
．形如
（
a
≥
0
）的式子叫做二次根式，“
”
称为二次根号．
2
．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被
开方数是非负数．
1
知识小结
若式子
有意义，则实数
x
的取值范围是
(
)
A
．
x
≥
－
1 B
．
x
≥
－
1
且
x
≠
3
C
．
x
>
－
1 D
．
x
>
－
1
且
x
≠
3
B
2
易错小结
本题易错在漏掉分母不为
0
这个条件，由题意知
x
＋
1
≥
0
且
(
x
－
3)
2
≠
0
，解得
x
≥
－
1
且
x
≠
3.
易错点：
考虑不全造成答案不完整
.
第十六章
二次根式
16.1
二次根式
第
2
课时
二次根式的
性质
1
课堂讲解
2
课时流程
逐点
导讲练
课堂小结
课后作业
性质
1
：
( )
2
＝
a
(
a
≥
0)
性质
2
：
＝
a
(
a
≥
0)
代数式
复习回顾：
1.
怎样的式子叫二次根式？
2.
怎样判断一个式子是不是二次根式？
3.
如何确定二次根式中字母的取值范围？
1
知识点
性质
1
：（
）
2
=
a
(
a
≥
0)
非负数的算术平方根仍然是非负数
.
知
1
－导
性质
1
：
( )
2
=
a
(
a
≥
0)
根据算术平方根非负数的性质，就可以确
定字母的值
.
解：
(1)( )
2
=1.5;
(2)(2 )
2
=2
2
×( )
2
=4×5=20.
例
1
计算：
(1)
；
(2)
；
知
1
－讲
（来自
《
教材
》
）
总
结
知
1
－讲
( )
2
=
a
(
a
≥
0)
这一性质也可以反过来用，即
a
=
( )
2
(
a
≥
0)
，如
3=( )
2
，
等．
1
计算
：
(1)( )
2
; (2)( 3 )
2
.
知
1
－练
（来自
《
教材
》
）
(1)( )
2
=3;
(2)( )
2
=3
2
×( )
2
=9×2=18.
解：
2
下列计算正确的是
(
)
A
．－
( )
2
＝－
6 B
．
( )
2
＝
9
C
．
( )
2
＝
±16 D
．
3
把
4
写成一个正数的平方的形式是
(
)
A. B. C. D.
知
1
－练
A
B
化简
|
a
－
3|
＋
( )
2
的结果为
(
)
A
．－
2 B
．
2
C
．
2
a
－
4 D
．
4
－
2
a
知
1
－练
4
D
在实数范围内分解因式：
x
2
－
7
＝
_________________
．
要使等式
( )
2
＝
4
－
x
成立，
则
x
＝
________
．
知
1
－练
5
6
4
2
知识点
知
2
－导
填空：
=________;
=________;
=________; =________;
可以得到
=2
，
=0.1
，
=
，
=0.
性质
2
：
=
a
(
a
≥
0)
探究
归 纳
知
2
－导
一般地，根据算术平方根的意义，
=
a
(
a
≥
0).
知
2
－讲
例
2
化简
: (1) ; (2) .
解：
(1)
(2)
（来自
《
教材
》
）
总
结
知
2
－讲
计算
一般有两个步骤：
①
去掉根号及被开方数
的指数，写成绝对值的形式，即
＝
|
a
|
；
②
去掉绝对
值符号，根据绝对值的意义进行化简，即
|
a
|
＝
1
说出下列各式的值：
(1) (2)
(3) (4)
知
2
－练
（来自
《
教材
》
）
解：
知
2
－练
【
中考
·
广州
】
下列运算正确的是
(
)
B
．
C. D
．
|
a
|
＝
a
(
a
≥0)
2
D
知
2
－练
如果
＝
1
－
2
a
，则
(
)
A
．
a
< B
．
a
≤
C
．
a
> D
．
a
≥
3
B
知
2
－练
【
中考
·
荆门
】
当
1
＜
a
＜
2
时，式子 ＋
|1
－
a
|
的值是
(
)
A
．－
1 B
．
1
C
．
2
a
－
3 D
．
3
－
2
a
4
B
知
2
－练
在△
ABC
中，
a
，
b
，
c
为三角形的三边，化简
－
2|
c
－
a
－
b|
的结果为
(
)
A
．
3
a
＋
b
－
c
B
．－
a
－
3
b
＋
3
c
C
．
a
＋
3
b
－
c
D
．
2
a
5
B
知
3
－导
3
知识点
代数
式
回顾我们学过的式子，如5，
a
，
a
+
b
，
-
ab
，
，
-
x
3
， ，
(
a
≥
0)
，它
们都是用基本运算符号
(
基本
运算包括加、减、乘
、除、乘方和开方
)
把
数
或表示
数
的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代
数
式
.
例
3
指出下列式子，哪些是代数式，哪些不是代数式
?
(1)
a
=
b
；
(2)
a
-
b
；
(3)2
x
-
1=3
；
(4)1
；
(5)2+3
-
；
(6)3
-
4
x
＞
6
；
(7)(
a
+
b
)(
a
-
b
)
；
(8)
知
3
－讲
分析：
代数式是运用运算符号把数或表示数的字母连起来
的式子
.(1)(3)
是等式，所以不是代数式；
(6)
是不等
式，所以不是代数式；
(2)(5)(7)(8)
是运用运算符号
连接起来的式子，所以代数式；
(4)
是单独的一个数，
也是代数式
.
解：
(2)(4)(5)(7)(8)
是代数式；
(1)(3)(6)
不是代数式
.
总
结
知
3
－讲
解题时先看是不是有运算符号连接，再找单独的
字母或数字
.
只要不是运算符号连接的式子就不是代数
式
.
事实上，只要式子中含有“＜”、“＞”、“
≤
”、
“
≥
”、“
=
”、“
≠
”的式子都不是代数式
.
知
3
－练
下列式子中不是代数式的为
(
)
A. (
x
≥
－
2) B
．
5
a
＋
8
＝
7
C
．
2 018 D.
1
B
知
3
－练
【
中考
·
邵阳
】
如图所示，边长为
a
的正方形中阴影部分的面积为
(
)
A
．
a
2
－
π
B
．
a
2
－
π
a
2
C
．
a
2
－π
a
D
．
a
2
－
2π
a
2
A
(1)
具有双重非负性：
①
a
≥
0
；
②
≥
0.
与
( )
2
的运算结果不同：
＝
|
a
|= ( )
2
＝
a
.
(3)
用基本运算符号把数或表示数的字母连起来
的式子，我们称这样的式子为代数式
.
1
知识小结
化简
.
2
易错小结
因为
1
－
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