天天资源网 / 初中数学 / 教学同步 / 人教版（2012） / 八年级下册 / 第二十章 数据的分析 / 人教版八年级数学下册第20章数据的分析
资料简介
第二十章
数据的分析
20.1
数据的集中趋势
第
1
课时
平均数
1
课堂讲解
平均数
加权平均数
2
课时流程
逐点
导讲练
课堂小结
课后作业
据资料记载，位于意大利的比萨斜塔
1918-1958
这
41
年间，平均每年倾斜
1.10
毫米；
1959-1969
这
11
年
间，平均每年倾斜
1.26
毫米，
那么
1918-1969
这
52
年间，你
知道比萨斜塔平均每年倾斜
约多少毫米吗？（精确到
0.01
毫米）．
1
知识点
平均数
问题
1
一家公司打算招聘一名英文翻译
.
对甲、乙两
名应试者进行了听、说、读、写的英语水平测试，
他们的各项成绩（百分制）如下表所示
.
知
1
－导
应试者
听
说
读
写
甲
85
78
85
73
乙
73
80
82
83
知
1
－导
如果这家公司想招一名综合能力较强的翻译，计
算两名应试者的平均 成绩
(
百分制
)
从他们的成绩看，
应该录取谁？
对于上述问题，根据平均数公式，甲的平均成绩为
乙的平均成绩为
因为甲的平均成绩比乙高，所以应该录取甲
.
知
1
－讲
定义：
一般地，对于
n
个数
x
1
，
x
2
，
…
，
x
n
，我
们把
(
x
1
＋
x
2
＋
…
＋
x
n
)
叫做这
n
个数的算术平
均数；
简称平均数；记为 ，读作：“
x
拔”．
例
1
〈
易错题
〉某次舞蹈大赛的记分规则为：从七位评委的打分
中去掉一个最高分和一个最低分后计算平均分作为最后得
分．以下是在该次比赛中七位评委对小菲与小岚的打分情
况
(
单位：分
)
：
请通过计算说明谁的最后得分高．
导引：
此题只需按照题中所给“记分规则”将两人的最后得分计算出
来，再进行大小比较即可．
解：
小菲去掉一个最高分
89
分，去掉一个最低分
75
分，最后得分
为
知
1
－讲
小菲
80
77
82
83
75
78
89
小岚
79
80
77
76
82
85
81
小岚去掉一个最高分
85
分，去掉一个最低分
76
分，
最后得分为
因为
80
分＞
79.8
分，所以小菲的最后得分高．
知
1
－讲
总
结
知
1
－讲
当数据信息以表格或图象形式呈现时，要结合条
件读懂表格或图象，并从中获取有用的信息，本题去
掉一个最高分和一个最低分后，数据的个数也发生了
变化，计算平均得分时不要忘记这一点．求平均数要
牢记是
数据总和
除以
数据总个数
．
例
2
在一次数学考试中，抽取了
20
名学生的试卷进行分析．这
20
名学生的数学成绩
(
单位：分
)
分别为
87
，
85
，
68
，
72
，
58
，
100
，
93
，
97
，
96
，
83
，
51
，
84
，
92
，
62
，
83
，
79
，
74
，
72
，
65
，
79[
注：这份试卷满分
100
分，
60
分以上
(
含
60
分
)
者为合
格
]
．求：
(1)
这
20
名学生的平均成绩；
(2)
这
20
名学生的合格率．
导引：
(1)
观察所给的
20
个数据可以发现，这些数据都在
80
上下浮动，
因此可将原数据都减去
80
，求得新数据的平均数，再加上
80
即
为原数据的平均数，这样便于计算；
(2)20
名学生的合格率＝
知
1
－讲
解：
(1)
将原数据都减去
80
，得到新数据为
7
，
5
，－
12
，－
8
，
…
，－
15
，－
1.
所以新数据的平均数
(
－
15)
＋
(
－
1)
]
÷20
＝－
1(
分
)
．
所以原数据的平均数
即这
20
名学生的平均成绩为
79
分．
(2)
这
20
名学生的合格率为
知
1
－讲
总
结
知
1
－讲
利用
新数据法
求平均数的关键是确定好新数，
计算时套用公式即可．
知
1
－练
【
中考
·
苏州
】
有一组数据：
2
，
5
，
5
，
6
，
7
，这组数据的平均数为
(
)
A
．
3 B
．
4 C
．
5 D
．
6
1
一组数据的和为
87
，平均数是
3
，则这组数据的个数为
(
)
A
．
87 B
．
3 C
．
29 D
．
90
2
C
C
知
1
－练
已知一组数据
a
1
，
a
2
，
a
3
，
a
4
，
a
5
的平均数为
8
，则另一组数据
a
1
＋
10
，
a
2
－
10
，
a
3
＋
10
，
a
4
－
10
，
a
5
＋
10
的平均数为
(
)
A
．
6 B
．
8
C
．
10 D
．
12
3
C
知
1
－练
已知数据
x
1
，
x
2
，
x
3
，
…
，
x
n
的平均数为
m
，则数据
5
x
1
，
5
x
2
，
5
x
3
，
…
，
5
x
n
的平均数为
(
)
A
．
m
B
．
5
m
C. D
．
10
m
4
B
知
1
－练
已知一个班级有
40
人，数学老师第一次统计这个班的平均成绩为
85
分，在复查时发现漏记了一个学生的成绩
80
分，那么这个班的实际平均成绩应为
(
)
A
．
85
分
B
．
84.875
分
C
．
87
分
D
．
84.5
分
5
C
知
1
－练
【
中考
·
深圳
】已知一组数据
x
1
，
x
2
，
x
3
，
x
4
的平均数是
5
，则数据
x
1
＋
3
，
x
2
＋
3
，
x
3
＋
3
，
x
4
＋
3
的平均数是
________
．
6
8
知识点
用计算器平均数
知
1
－讲
计算方法：
(1)
定义法：
求平均数，只要把所有数据加起来求出
总和再除以数据的总个数即可，即：如果有
n
个数
x
1
，
x
2
，
…
，
x
n
，那么
x
＝
(
x
1
＋
x
2
＋
…
＋
x
n
)
；
知
1
－讲
(2)
新数据法：
当所给的数据较大，且所给数据大
部分都在某一常数
a
附近上、下波动时，可计算
各数据与
a
的差：
x
1
－
a
＝
x
1
′
，
x
2
－
a
＝
x
2
′
，
…
，
x
n
－
a
＝
x
n
′
，则
x
＝
a
＋
(
x
1
′
＋
x
2
′
＋
…
＋
x
n
′)
．
知
1
－练
利用计算器求一组数据的平均数时，一般步骤可分为三步：①选择统计模式，进入
________
状态；②依次输入各
________
；③显示
________
结果．
某同学使用计算器求
30
个数据的平均数时，错将其中的一个数据
105
输入为
15
，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是
(
)
A
．－
3.5 B
．
3 C
．
0.5 D
．－
3
1
2
统计
数据
统计
D
知识点
算术平均数的应用
知
1
－讲
已知一组数据
a
1
，
a
2
，
a
3
，
a
4
，
a
5
的平均数为
8
，则另一组数据
a
1
＋
10
，
a
2
－
10
，
a
3
＋
10
，
a
4
－
10
，
a
5
＋
10
的平均数为
(
)
A
．
6
B
．
8
C
．
10
D
．
12
例
3
C
知
1
－讲
因为数据
a
1
，
a
2
，
a
3
，
a
4
，
a
5
的平均数为
8
，所以
a
1
＋
a
2
＋
a
3
＋
a
4
＋
a
5
＝
40.
又因为另一组数据
a
1
＋
10
，
a
2
－
10
，
a
3
＋
10
，
a
4
－
10
，
a
5
＋
10
的平均数为
(
a
1
＋
10
＋
a
2
－
10
＋
a
3
＋
10
＋
a
4
－
10
＋
a
5
＋
10)
＝
×(
a
1
＋
a
2
＋
a
3
＋
a
4
＋
a
5
＋
10)
＝
×
(40
＋
10)
＝
10.
故应选
C.
导引：
总
结
知
1
－讲
本题看似无法求解，但通过运用平均数的定
义列出相关等式，进而利用整体思想，使问题简
捷获解．
知
1
－练
【
中考
·
金华
】
为监测某河道水质，进行了
6
次水质检测，绘制了如图的氨氮含量的折线统计图．若这
6
次水质检测氨氮含量平均数为
1.5 mg/L
，则第
3
次检测得到的氨氮含量是
________mg/L.
1
1
知
1
－练
【
中考
·
淄博
】
张老师买了一辆启辰
R50X
汽车，为了掌握车的油耗情况，在连续两次加油时做了如下工作：
①把油箱加满油；
②记录了两次加油时的累计里程
(
注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程
)
，以下是张老师连续两次加油时的记录：
2
知
1
－练
则在这段时间内，该车每
100 km
的平均耗油量为
(
)
A
．
3 L B
．
5 L C
．
7.5 L D
．
9 L
加油时间
加油量
/L
加油时的累计里程
/km
2016
年
4
月
28
日
18
6 200
2016
年
5
月
16
日
30
6 600
C
知
1
－练
已知某组
10
名学生的平均成绩为
x
分，如果另外
5
名学生每人得
84
分，那么整个组的平均成绩是
(
)
A.
分
B.
分
C.
分
D.
分
3
B
知
2
－讲
2
知识点
加权平均数
定义：
(1)
若
n
个数
x
1
，
x
2
，
…
，
x
n
的权分别是
w
1
，
w
2
，
…
，
w
n
，则
叫做这
n
个数的加
权平均数；
知
2
－讲
(2)
在求
n
个数的平均数时，如果
x
1
出现
f
1
次，
x
2
出现
f
2
次，
…
，
x
k
出现
f
k
次
(
这里
f
1
＋
f
2
＋
…
＋
f
k
＝
n
)
，那么这
n
个
数的平均数
也叫做
x
1
，
x
2
，
…
，
x
k
这
k
个数的加权平均数，其中
f
1
，
f
2
，
…
，
f
k
分
别叫做
x
1
，
x
2
，
…
，
x
k
的权．
小王参加某企业招聘测试，他的笔试、面试、技能操作得分分别为
85
分，
80
分，
90
分，若依次按照
2∶3∶5
的比例确定成绩，则小王的成绩是
(
)
A
．
255
分
B
．
84
分
C
．
84.5
分
D
．
86
分
知
2
－讲
例
4
D
知
2
－讲
导引：
把
2
，
3
，
5
分别看作是
85
分，
80
分和
90
分的权，按加权平均数的计算公式计算即可．
∵
∴小王的成绩为
86
分．
答案：
D
总
结
知
2
－讲
权的形式有几种（比例、百分数、频（次）数），若以比例的形式为权，可
直接将比例中的份数作为每个数的权进行计算．
知
2
－练
【
中考
·
呼伦贝尔
】
从一组数据中取出
a
个
x
1
，
b
个
x
2
，
c
个
x
3
，组成一个样本，那么这个样本的平均数是
(
)
A. B.
C. D.
1
B
知
2
－练
已知一组数据，其中有
4
个数的平均数为
20
，另有
16
个数的平均数为
15
，则这
20
个数的平均数是
(
)
A
．
16 B
．
17.5
C
．
18 D
．
20
2
A
平均数的特点：
(1)
一组数据的平均数是唯一的，它不一定是数据
中的某个数据；
(2)
平均数是反映数据集中趋势的一个统计量，是
反映数据的平均水平的一个特征量；
(3)
一般情况下，平均数能体现一组数据的整体性
质．
1
知识小结
某汽车从甲地以速度
v
1
匀速行驶至乙地后，又从乙地以速度
v
2
匀速返回甲地，则汽车在整个行驶过程中的平均速度是
(
)
A. B. C. D.
D
2
易错小结
易错点：
对平均数的概念理解不透彻而致错
.
因为从甲地到乙地的速度为
v
1
，从乙地返回甲地的速度为
v
2
，所以有的同学会误认为来回的平均
速度是
.
造成错误的原因是对平均数的意义理解不透彻．根据平均数的定义，来回的平均
速度应为
.
C
错解：
误区诊断：
第二十章
数据的分析
20.1
数据的集中趋势
第
2
课时
加权平均数的应用
1
课堂讲解
加权平均数的应用
2
课时流程
逐点
导讲练
课堂小结
课后作业
1
知识点
加权平均数的应用
知
1
－导
问题
一家公司打算招聘一名英文翻译
.
对甲、乙两
名应试者进行了听、说、读、写的英语水平测试，
他们的各项成绩（百分制）如下表所示
.
应试者
听
说
读
写
甲
85
78
85
73
乙
73
80
82
83
知
1
－导
如果这家公司想招一名笔译能力较强的翻译，听、说、读、写成绩按照
2 : 1 : 3 : 4
的比确定，计算两名应试者的平均成绩
(
百分制
).
从他们的成 绩看，应该录取谁？
对于上述问题，听、说、读、写成绩按照
2 : 1 : 3 : 4
的
比确定，这说明各项成绩的“重要程度”有所不同，
读、写的成绩比听、说的成绩更加“重 要”因此，甲
的平均成绩为
乙的平均成绩为
因为乙的平均成绩比甲高，所以应该录取乙
.
知
1
－导
对于上述
问题
是根据实际需要对不同类型的数
据赋予与其重要程度相应的比重，其中的
2
，
1
，
3
，
4
分别称为听、说、读、写四项成绩的权 ，相应的
平均数
79. 5
，
80. 4
分别称为甲和乙的听、说、读、
写四项成绩的
加权平均数
.
某跳水队为了解运动员的年龄情况，作了一次年龄调查，结果如 下：
13
岁
8
人，
14
岁
16
人，
15
岁
24
人，
16
岁
2
人
.
求这个跳水队运动员的 平均年龄
(
结果取整数
).
知
1
－讲
（来自
《
教材
》
）
例
2
解：
这个跳水队运动员的平均年龄为
总
结
知
1
－讲
平均成绩应该等于总年龄数除以总人数，由于
各个年龄段的人数不相同，因此它们的“权”不相
同，所以应该用加权平均数公式求解
.
知
1
－讲
某一次演讲比赛中，评委将从演讲内容、演讲能力、演讲效果三个方面为选手打分
.
各项成绩均按百分制计，然后再按演讲内容占
50%
、演讲能力占
40%
、演讲效果占
10%
，计算选手的综合成绩
(
百分制
) .
进入决赛的前两名选手的单项成绩如下表所示，请确定两人的名次
.
例
3
知
1
－讲
这个问题可以看成是求两名选手三项成绩的加权
平均数，
50%, 40%, 10%
说明演讲内容、演讲能
力、演讲效果三项成绩在总成绩中的重要程 度，
是三项成绩的权
.
分析：
选手
演讲内容
演讲能力
演讲效果
A
85
95
95
B
95
85
95
知
1
－讲
选手
A
的最后得分是
选手
B
的最后得分是
由上可知选手
B
获得第一名，选手
A
获得第二名
.
解：
总
结
知
1
－讲
用权重解决决策问题的方法：
不同的权重，直接影响最后决策的结果，在
实际生活中，我们经常会遇到这类问题，当需要
在某个方面要求比较高的时候，往往可以加大这
方面的权重，以达到预想的结果．
知
1
－练
（来自
《
教材
》
）
某公司欲招聘一名公关人员
.
对甲、乙两位应试者进行了面试和笔试，他们的 成绩
(
百分制
)
如下表所示
.
如果公司认为面试和笔试成绩同等重要，从他们
的成绩看，谁将被录取？
如果公司认为，作为公关人员面试成绩应该比笔
试成绩更重要，并分别赋 予它们
6
和
4
的权，计算
甲、乙两人各自的平均成绩，谁将被录取？
1
应试者
面试
笔试
甲
86
90
乙
92
83
知
1
－练
（来自
《
教材
》
）
(1)
甲的平均成绩为
(
分
)
，乙的平均成
绩为
(
分
)
，因为甲的平均成绩高
于乙的平均成绩，所以候选人甲将被录取．
(2)
甲的平均成绩为
(
分
)
，乙的
平均成绩为
(
分
)
，因为甲的
平均成绩低于乙的平均成绩，所以候选人乙将
被录取．
解：
知
1
－练
（来自
《
教材
》
）
晨光中学规定学生的学期体育成绩满分为
100
，其中早锻炼及体育课外活动占
20%
，期中考试成绩占
30%
，期末考试成绩占
50% .
小桐的三项成绩
(
百分制
)
依次是
95
，
90
，
85.
小桐这学期的体育成绩是多少？
2
根据题意，
得
95×20%
＋
90×30%
＋
85×50%
＝
88.5(
分
)
．
所以小桐这学期的体育成绩是
88.5
分．
解：
知
1
－练
【
中考
·
潍坊
】
超市决定招聘广告策划人员一名，某应聘者三项素质测试的成绩如下表：
3
应用
1
用比例表示的“权”
将创新能力、综合知识和语言表达三项测试成绩按
5
：
3
：
2
的比例计入总成绩，则该应聘者的总成绩是
________
分．
测试项目
创新能力
综合知识
语言表达
测试成绩
/
分
70
80
92
77.4
知
1
－练
某校广播站要招聘
1
名记者，小亮和小丽报名参加了
3
项素质测试，成绩如下：
4
写作能力
普通话水平
计算机水平
小亮
90
分
75
分
51
分
小丽
60
分
84
分
72
分
将写作能力、普通话水平、计算机水平这三项的总分由原来按
3
：
5
：
2
计算，变成按
5
：
3
：
2
计算，总分变化情况是
(
)
A
．小丽增加得多
B
．小亮增加得多
C
．两人成绩不变化
D
．变化情况无法确定
B
知
1
－练
【
中考
·
南宁
】
某校规定学生的学期数学成绩满分为
100
分，其中研究性学习成绩占
40%
，期末卷面成绩占
60%
，小明的两项成绩
(
百分制
)
依次是
80
分，
90
分，则小明这学期的数学成绩是
(
)
A
．
80
分
B
．
82
分
C
．
84
分
D
．
86
分
5
应用
2
用百分数表示的“权”
D
知
1
－练
【
中考
·
聊城
】
为了满足顾客的需求，某商场将
5 kg
奶糖，
3 kg
酥心糖和
2 kg
水果糖混合成什锦糖出售．已知奶糖的售价为每千克
40
元，酥心糖为每千克
20
元，水果糖为每千克
15
元，混合后什锦糖的售价应为每千克
(
)
A
．
25
元
B
．
28.5
元
C
．
29
元
D
．
34.5
元
6
应用
3
用频
(
次
)
数表示的“权”
C
知
1
－练
【
2016·
临沂
】
某老师为了了解学生周末学习时间的情况，在所任班级中随机调查了
10
名学生，绘成了如图所示的条形统计图，则这
10
名学生周末学习的平均时间是
(
)
A
．
4
小时
B
．
3
小时
C
．
2
小时
D
．
1
小时
7
B
知
1
－练
下列各组数据中，组中值不是
10
的是
(
)
A
．
0≤
x
＜
20 B
．
8≤
x
＜
12
C
．
7≤
x
＜
13 D
．
3≤
x
＜
7
8
应用
4
用组中值表示的“权”
D
知
1
－练
对一组数据进行了整理，结果如下表：
9
分组
0≤
x
＜
10
10≤
x
＜
20
频数
8
12
则这组数据的平均数约是
(
)
A
．
10 B
．
11
C
．
12 D
．
16
B
算术平均数与加权平均数的联系与区别：
联系：
若各个数据的权相同，则加权平均数就是算术平
均数，因而可看出算术平均数实质上是加权平均
数的一种特例．
区别：
算术平均数是指一组数据的和除以数据个数，加
权平均数是指在实际问题中，一组数据的“重要
程度”未必相同，即各个数据的权未必相同，因
而在计算上与算术平均数有所不同．
1
知识小结
宾馆客房的标价影响入住百分率．下表是某宾馆在近几年旅游周统计的平均数据．在旅游周，要使宾馆客房收入最大，客房标价应选
(
)
A.160
元
B
．
140
元
C
．
120
元
D
．
100
元
B
2
易错小结
客房标价
/
元
160
140
120
100
入住百分率
63.8%
74.3%
84.1%
95%
易错点：
求加权平均数时，忽视数据与权的关系
导致出错
.
本题不但要考虑客房标价，还要考虑入住百分率．
第
1
节
数据的集中趋势
第
3
课时
用样本平均数
估
计总体平均数
第二十章
数据的分析
1
2
3
4
5
1
知识点
用样本估计总体
返回
1
．总体中所有个体的
________
叫做总体平均数，所给出的样本的总和除以样本
________
得出的值叫做样本平均数；用样本平均数的大小
________
地表示总体平均数的大小，叫做用样本平均数估计总体的平均数．
平均数
容量
近似
返回
2
．
(
中考
·
黄石
)
黄石农科所在相同条件下经试验发现蚕豆种子的发芽率为
97.1%
，请估计黄石地区
1 000
斤蚕豆种子中不能发芽的大约有
(
)
A
．
971
斤
B
．
129
斤
C
．
97.1
斤
D
．
29
斤
D
返回
3
．
(
中考
·
镇江
)
有
4
万个不小于
70
的两位数，从中随机抽取
3 000
个数据，统计如下
：
请根据表格中的信息，估计这
4
万个数据的平均数为
(
)
A
．
92.16
B
．
85.23
C
．
84.73
D
．
77.97
B
4
．
为提高居民的节水意识，向阳小区开展了以
“
建设节水型社区，保障用水安全
”
为主题的节水宣传活动．小莹同学积极参与小区的宣传活动，并对小区
300
户家庭用水情况进行了抽样调查．她在
300
户家庭
中，随机
调查了
50
户
家庭
5
月份
的
用水量
情况，结果如图所示．
1
题型
用样本估计总体在生活中的应用
(1)
试估计该小区
5
月份的用水量不高于
12 t
的户数占小区总户数的百分比；
(2)
把图中每组用水量的值用该组的组中值
(
如
0
～
6
的组中值为
3)
来代替，估计该小区
5
月份的用水量．
(1)
该小区
5
月份的用水量不高于
12 t
的户数占小区总户数的百分比约为
52%.
(2)
估计该小区
5
月份的用水量约为
3 960 t.
解：
返回
5
．
(
中考
·
武汉
)
某校七年级共有
500
名学生，在
“
世界读书日
”
前夕，开展了
“
阅读助我成长
”
的读书活动．为了解该年级学生在此次活动中课外阅读情况，从中随机抽取
m
名学生，调查他们课外
阅读
书籍
的数量，将收集的数据整理
成
如下
统计表和扇形图
(
如图
)
：
学生读书数量统计表
(1)
直接写出
m
，
a
，
b
的值；
(2)
估计该年级全体学生在这次活动中
课
外
阅读书籍的总量大约是多少本？
(1)
m
的值是
50
，
a
的值是
10
，
b
的值是
20.
(
2
)
(
本
)
．
答：估计该年级全体学生在这次活动中课外阅读书籍的总量大约是
1 150
本．
解：
返回
20.1
数据的集中趋势
第
4
课时
中位数和众数
第二十章
数据的分析
1
课堂讲解
中位数
众数
2
课时流程
逐点
导讲练
课堂小结
课后作业
某公司员工的月工资如下
:
员工
经理
副经理
职员
A
职员
B
职员
C
职员
D
职员
E
职员
F
杂工
G
月工资
/
元
7 000
4 400
2 400
2 000
1 900
1 800
1 800
1 800
1 200
我公司员工收入很高，月平均工资为
2 700
元
.
经理
我的工资是
1 900
元，在公司算中等收入
.
职员
C
应聘者
你怎样看待该公司员工的收入
?
职员
D
这个公司员工收入到底怎样呢？
我们好几个人工资都是
1 800
元
.
1
知识点
中 位 数
知
1
－讲
定义：
将一组数据按照由小到大
(
或由大到小
)
的
顺序排列，如果数据的个数是奇数，则称处于中
间位置的数为这组数据的中位数；如果数据的个
数是偶数，则称中间两个数据的平均数为这组数
据的中位数．
知
1
－讲
2.
求中位数的步骤：
(1)
将数据由小到大
(
或由大到小
)
排列；
(2)
数清数据个数是奇数还是偶数，如果数据个数
为奇数，则取中间的数作为中位数；如果数据
个数为偶数，则取中间两数的平均数作为中位
数．
在一次男子马拉松长跑比赛中，抽得
12
名选手
所用的时间（单位
: min)
如下：
136 140 129 180 124 154
146 145 158 175 165 148
(1)
样本数据
(12
名选手的成绩
)
的中位数是多少？
(2)
—
名选手的成绩是
142 min
，他的成绩如何？
知
1
－讲
（来自
《
教材
》
）
例
1
124 129 136 140 145 146
148 154 158 165 175 180
知
1
－讲
（来自
《
教材
》
）
解：
(1)
先将样本数据按照由小到大的顺序排列：
这组数据的中位数为处于中间的两个数
146,
148
的平均数，即
因此样本数据的中位数是
147.
知
1
－讲
（来自
《
教材
》
）
(2)
根据
(1)
中得到的样本数据的中位数， 可以估
计，在这次马拉松比赛中，大约有一半选手
的成绩快于
147 min
，有一半选手的成绩慢于
147 min.
这名选手的成绩是
142 min
，快于中
位数
147 min
，可以推测他的成绩比一半以上
选手的成绩好
.
某班七个合作学习小组人数如下：
4
，
5
，
5
，
x
，
6
，
7
，
8
，已知这组数据的平均数是
6
，则这组数据的中位数是
(
)
A
．
5
B
．
5.5
C
．
6
D
．
7
根据平均数的定义得，
4
＋
5
＋
5
＋
x
＋
6
＋
7
＋
8
＝
6×7
，解得
x
＝
7.
从小到大排列这组数据为
4
，
5
，
5
，
6
，
7
，
7
，
8
，所以中位数是
6.
知
1
－讲
C
例
2
导引：
总
结
知
1
－讲
求一组数据的中位数的方法：
先将数据按照从小到大
(
或从大到小
)
的顺序进行
排列，然后根据数据的个数确定中位数，如果数据
的个数是
奇数
，则处于中间位置的数为中位数；如
果数据的个数是
偶数
，则中间两个数据的平均数为
中位数，注意，中位数不一定是这组数据中的数．
知
1
－练
（来自
《
教材
》
）
下面的条形图描述了某车间工人日加工零件数
的情况
.
请找出这些工
人日加工零件数的中
位数，并说明这个中
位数的意义
.
1
解：
因为这组数据的中位数为处于中间的两个数据
6
，
6
的平均数，所以这些工人日加工零件的中位数是
6.
意义略．
知
1
－练
【
中考
·
黄冈
】
某校
10
名篮球运动员的年龄情况，统计如下表：
2
则这
10
名篮球运动员年龄的中位数为
(
)
A
．
12 B
．
13
C
．
13.5 D
．
14
年龄
(
岁
)
12
13
14
15
人数
(
名
)
2
4
3
1
B
知
1
－练
【
中考
·
福州
】
若一组数据
1
，
2
，
3
，
4
，
x
的平均数与中位数相同，则实数
x
的值不可能是
(
)
A
．
0 B
．
2.5
C
．
3 D
．
5
3
C
知
1
－练
【
中考
·
镇江
】
根据下表中的信息解决问题：
4
若该组数据的中位数不大于
38
，则符合条件的正整数
a
的取值共有
(
)
A
．
3
个
B
．
4
个
C
．
5
个
D
．
6
个
数据
37
38
39
40
41
频数
8
4
5
a
1
C
2
知识点
众 数
知
2
－讲
某商店有
200L
，
215L
，
185L
，
180L
四种型号
的冰箱，一段时间内共销售
58
台，其中四个型号分
别售
6
台，
30
台，
14
台，
8
台，在研究电冰箱出售情
况时，商店经理关心这组数据的平均数吗？他关心
的是什么？
知
2
－讲
销售量的多少是商店经理最关心的一个问题，因
此在这个问题中平均数不再是考察的主要对象，这组
数据的中出现最多的数是
215L
，说明这种型号的电冰
箱销量最好，这才是商店经理最为关心的．
商店经理关心的数
215L
在这组数据中出现的次数
最多，我们把他关心的叫众数，也就是哪种型号的电
冰箱销量最好．
知
2
－讲
1
.
定义：
一组数据中出现
次数最多的那个数据
叫做这组数
据的众数．
2.
要点精析：
(1)
一组数据的众数一定出现在这组数据中；
(2)
一组数据的众数可能
不止一个
；
(3)
一组数据也可能
没有
众数；因为有可能数据出现的频
数相同；
(4)
众数可以在某种意义上代表这组数据的
整体情况
．
知
2
－讲
一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋
30
双，各
种尺码鞋的销售量如表所示
.
你能根据表中的数
据为这家鞋店提供进货建议吗？
（来自
《
教材
》
）
例
3
尺码
/cm
22
22.5
23
23.5
24
24.5
25
销售量
/
双
1
2
5
11
7
3
1
知
2
－讲
一般来讲，鞋店比较关心哪种尺码的鞋销售量最
大，也就是关心卖出的鞋的尺码组成的一组数据
的众数
.
一段时间内卖出的
30
双女鞋的尺码组成
一个样本数据，通过分析样本数据可以找出样本
数据的众数
.
进而可以估计这家鞋店销售哪种尺
码的鞋最多
.
（来自
《
教材
》
）
分析：
知
2
－讲
由表可以看出，在鞋的尺码组成的数据中，
23.5
是这组数据的众数，即
23. 5 cm
的鞋销售
量最大
.
因此可以建议鞋店多进
23.5 cm
的鞋
.
（来自
《
教材
》
）
解：
知
2
－讲
每年的
4
月
23
日是“世界读书日”
.
某中学为了了解
八年级学生的读书情况，随机调查了
50
名学生的读
书册数，统计数据如下表：
则这
50
名学生读书册数的众数、中位数分别是
(
)
A
．
3
，
3
B
．
3
，
2
C
．
2
，
3
D
．
2
，
2
册数
0
1
2
3
4
人数
3
13
16
17
1
B
例
4
知
2
－讲
∵在这组样本数据中，
3
出现了
17
次，出现的
次数最多，
∴这组数据的众数是
3.
∵
将这组样本数据按从小到大的顺序排列后，处于中间的两个数都是
2
，
∴这组数据的中位数为
2.
导引：
总
结
知
2
－讲
求一组数据的众数的方法：
找一组数据的众数，
可用
观察法
；当不易观察时，可用列表的形式把各数
据出现的次数全部计算出来，即可得出众数．
知
2
－练
【
中考
·
成都
】
学习全等三角形时，数学兴趣小组设计并组织了“生活中的全等”的比赛，全班同学的比赛结果统计如下表：
1
则得分的众数和中位数分别为
(
)
A
．
70
分，
70
分
B
．
80
分，
80
分
C
．
70
分，
80
分
D
．
80
分，
70
分
得分
(
分
)
60
70
80
90
100
人数
(
人
)
7
12
10
8
3
C
知
2
－练
【
中考
·
安顺
】
如图是根据某班
40
名同学一周的体育锻炼情况绘制的条形统计图．那么该班
40
名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是
(
)
A
．
16
，
10.5
B
．
8
，
9
C
．
16
，
8.5
D
．
8
，
8.5
2
B
中位数：
1.
在计算一组数据的中位数时，其步骤为
(1)
将这组数据按从小到大
(
或从大到小
)
的顺序排列；
(2)
找到处在最中间位置的一个数或最中间的两个数
的平均数即为中位数．
1
知识小结
众数：
1.
若几个数据出现的次数相同，并且比其他数据出
现的次数都多，那么这几个数据都是这组数据的
众数；当所有的数出现的次数一样多时，无众数．
2.
众数是一组数据中的某个或几个数据，其单位与
数据的单位相同．
3.
众数是一组数据中出现次数最多的数，而不是该
数据出现的次数．
给出一组数据：
5
，
2
，
1
，
5
，
3
，
5
，
2
，
2
，则这组数据的众数是
________
．
5
和
2
2
易错小结
易错点：
误以为众数是唯一的，造成漏解
.
众数是一组数据中出现次数最多的数据，如果一组数据有几个数据重复出现的次数相同，并且次数是最多的，那么这几个数据都是这组数据的众数，即一组数据的众数不一定唯一．
易错总结：
20.1
数据的集中趋势
第
5
课时
平均数、中位数、众数“三数”的综合
第二十章
数据的分析
1
课堂讲解
平均数、中位数、众数“三数”的综合应用
2
课时流程
逐点
导讲练
课堂小结
课后作业
复习回顾
如何确定一组数据的中位数和众数？
1
知识点
“三数”的综合应用
为了检查面包的质量是
否达标，随机抽取了同种规
格的面包
10
个，这
10
个面包
的质量如图所示
.
这
10
个面包质量的众数
是多少？你能估计出一个这
样的面包的平均质量吗？你
是怎么估计的？
知
1
－导
从折线统计图中获取数据信息
知
1
－讲
因为折线统计图具有能够显示数据的变化趋
势，反映事物的变化情况的特点，所以利用折线
统计图比较容易看出数据的众数，也比较容易求
出数据的中位数和平均数
.
例
1
如图
(1)
是某市
6
月上旬一周的天气情况，图
(2)
是根据这一周
中每天的最高气温绘制的折线统计图．
请你根据两幅图提供的信息完成下列问题：
知
1
－讲
(1)
这一周中温差最大的一天是星期
________
；
(2)
这一周中每天最高气温的众数是
______℃
，中位数是
______℃
，
平均数是
________℃
；
(3)
这两幅图各有特点，而关于折线统计图的优点，下列四句话中描
述
最贴切
的一句是
________
．
(
填序号
)
①
可以清楚地告诉我们每天天气情况；②可以清楚地告诉我们各
部分数量占总量的百分比的情况；③可以直观地告诉我们这一周
每天最高气温的变化情况；④可以清楚地告诉我们这一周每天气
温的总体情况．
知
1
－讲
三
25
26
26
③
知
1
－练
【
中考
·
邵阳
】
在学校演讲比赛中，
10
名选手的成绩统计图如图所示，则这
10
名选手成绩的众数是
(
)
A
．
95
分
B
．
90
分
C
．
85
分
D
．
80
分
1
B
知
1
－练
端午节期间，某市一周每天最高气温
(
单位：℃
)
情况如图所示，则这组表示最高气温数据的中位数是
(
)
A
．
22
B
．
24
C
．
25
D
．
27
2
B
知
1
－导
甲、乙、丙三支青年排球队各有
12
名队员，三队队员的年龄
情况如图
.
（
1
）观察图
,
你能从图中分别看出三支球队队员年龄的众数吗？
中位数呢？
（
2
）根据图
,
你能大致估计出三支球队队员的平均年龄哪个大、
哪个小吗？你是怎么估计的？
（
3
）计算出三支球队队员的平均年龄，看看你的估计是否准确
.
从条形统计图
(
频数直方图
)
中获取数据信息
知
1
－讲
因为条形统计图能清楚地表示出数量的多少，
所以利用条形统计图更容易看出数据的众数、中位
数，利用加权平均数的求法可以求出数据的平均数
.
知
1
－讲
某商场服装部为了调动营业员的积极性，决定实
行目标管理，根据目标完成的情况对营业员进行
适当的奖励
.
为了确定一个适当的月销售目标，
商场服装部统计了每位营业员在某月的销售额
（单位：万元），数据如下：
17 18 16 13 24 15 28 26 18 19
22 17 16 19 32 30 16 14 15 26
15 32 23 17 15 15 28 28 16 19
（来自
《
教材
》
）
例
2
知
1
－讲
月销售额在哪个值的人数最多？中间的月销售
额是多少？平均月销售额是多少？
如果想确定一个较高的销售目标，你认 为月销
售额定为多少合适？说明理由
.
如果想让一半左右的营业员都能达到销售目标，
你认为月销售额定为多少合适？说明理由
.
（来自
《
教材
》
）
知
1
－讲
商场服装部统计的每位营业员在某月的销售额组
成一个样本，通过 分析样本数据的平均数、中位
数、众数来估计总体的情况，从而解决问题
.
（来自
《
教材
》
）
分析：
知
1
－讲
整理上面的数据得到下表和下图
.
（来自
《
教材
》
）
解：
销售额
/
万元
13
14
15
16
17
18
19
22
23
24
26
28
30
32
人数
1
1
5
4
3
2
3
1
1
1
2
3
1
2
知
1
－讲
从上表或上图可以看出，样本数据的众数是
15
，
中位数是
18,
利用计算器求得这组数据的平均
数约是
20.
可以推测，这个服装部营业员的月
销售额为
15
万元的人数最多，中间的月销售额
是
18
万元，平均月销售额 大约是
20
万元
.
（来自
《
教材
》
）
知
1
－讲
如果想确定一个较高的销售目标，这个目标可以
定为每月
20
万元
(
平均数
).
因为从样本数据看，在
平均数、中位数和众数中，平均数最大
.
可以估
计，月销售额定为每月
20
万元是一个较高目标，
大约会有
的营业员获得奖励
.
（来自
《
教材
》
）
知
1
－讲
如果想让一半左右的营业员能够达到销售目标，
月销售额可以定为每月
18
万元
(
中位数
).
因为从
样本情况看，月销售额在
18
万元以上（含
18
万
元）的有
16
人，占总人数的一半左右
.
可以估
计，如果月销售额定为
18
万 元，将有一半左右
的营业员获得奖励
.
（来自
《
教材
》
）
总
结
知
1
－讲
选择具有代表一组数据特点的数据的方法：
对于一组数据，当没有极端值时，用平均数作
为这组数据的代表值；当有极端值时，用中位数或
众数作为这组数据的代表值．
知
1
－练
【
中考
·
宜昌
】
在
6
月
26
日“国际禁毒日”来临之际，华明中学围绕“珍爱生命，远离毒品”主题，组织师生到当地戒毒所开展相关问题的问卷调查活动，其中“初次吸毒时的年龄”在
17
至
21
岁的统计结果如图所示，则这些年龄的众数是
(
)
A
．
18
岁
B
．
19
岁
C
．
20
岁
D
．
21
岁
1
C
知
1
－练
如图是某班
45
名同学爱心捐款额的频数直方图
(
每组含前一个边界值，不含后一个边界值
)
，
则捐款人数最多的一组是
(
)
A
．
5
～
10
元
B
．
10
～
15
元
C
．
15
～
20
元
D
．
20
～
25
元
2
C
从扇形统计图获取数据信息
知
1
－导
做一做
小明调查了班级里
20
名同学本学期计划购买课
外书的花费情况，并将结
果绘制成了右图
.
(1)
在这
20
名同学中，本学
期计划购买课外书的花
费的众数是多少？
(2)
计算这
20
名同学计划购买课外书的平均花费
.
你是怎么计算的
?
知
1
－导
想一想
在上面的问题中，如果不知道调查的总人数，
你还能求平均数吗
?
知
1
－讲
因为扇形统计图能看出部分在总体中所占的百分
比，所以利用扇形统计图更容易看出数据的众数；利
用加权平均数的求法可以求出数据的平均数．
知
1
－讲
例
3
某地连续统计了
10
天日
最高气温，并绘制成如
图所示的扇形统计图
.
（
1
）这
10
天中，日最高
气温的众数是多少？
（
2
）计算这
10
天日最高
气温的平均值
.
解：
（
1
）根据扇形统计图，
35℃
占的比例最大，因此日平均气温的
众数是
35℃;
（
2
）这
10
天日最高气温的平均值是：
32
×
10%+33
×
20%+34
×
20%+35
×
30%+36
×
20%=34.3
（℃）
.
总
结
知
1
－讲
从统计图中我们可以获取有用的数据信息，通过
计算可以得到这组数据的平均数；通过数各个数据出
现的次数可以确定这组数据的众数；中位数是把这组
数据按大小顺序排列后处于最中间位置的一个数据．
知
1
－练
【
中考
·
泰安
】
某学校将为七年级学生开设
A
，
B
，
C
，
D
，
E
，
F
共
6
门选修课，现选取若干学生进行了“我最喜欢的一门选修课”调查，将调查结果绘制成如图所示的统计图和如下统计表
(
不完整
)
：
1
选修课
A
B
C
D
E
F
人数
/
人
40
60
100
知
1
－练
根据图表提供的信息，下列结论错误的是
(
)
A
．这次被调查的学生人数为
400
人
B
．扇形统计图中
E
部分扇形的圆心角为
72°
C
．被调查的学生中喜欢选修课
E
，
F
的人数分
别为
80
人，
70
人
D
．喜欢选修课
C
的人数最少
D
知
1
－练
比较
5
月份两组家庭用水量的中位数，下列说法正确的是
(
)
A
．甲组比乙组大
B
．甲、乙两组相同
C
．乙组比甲组大
D
．无法判断
B
三种统计图的优缺点：
(1)
因为
折线统计图
具有能够显示数据的变化趋势，
反映事物的变化情况的特点，所以利用折线统
计图比较容易看出数据的众数，也比较容易求
出数据的中位数和平均数；
1
知识小结
(2)
因为
条形统计图
能清楚地表示出数量的多少，所
以利用条形统计图更容易看出数据的众数、中位
数，利用加权平均数的求法可以求出数据的平均
数；
(3)
因为
扇形统计图
能看出部分在总体中所占的百分
比，所以利用扇形统计图更容易看出数据的众数；
利用加权平均数的求法可以求出数据的平均数．
某校八年级
(3)
班
50
名学生自发组织献爱心捐款活动．班长将捐款情况进行了统计，并绘制成了统计图
(
如
图
)
．根据图中提供的信息，捐款金额的众数是
(
)
A
．
20
元
B
．
30
元
C
．
50
元
D
．
100
元
B
2
易错小结
易错点：
对众数的概念认识模糊
.
在求众数时，将众数出现的次数误认为是众数．众数是一组数据中出现次数最多的数，容易混淆的是
“
次数
”
和
“
出现次数最多的数
”
．本题中，条形统计图的高度表示捐款人数，是相对应的捐款金额出现的次数，易知本题捐款金额的众数是
30
元．
第二十章
数据的分析
20.2
数据的波动程度
第
1
课时 方差
1
课堂讲解
方差及其求法
方差
的应用
2
课时流程
逐点
导讲练
课堂小结
课后作业
在统计学中，除了平均数、中位数、众数这类
刻画数据集中趋势的量以外，还有一类刻画数据波
动
(
离散
)
程度的量，其中最重要的就是方差
.
本节我
们将在实际问题情境中，了解方差的统计意义并运
用方差解决问题
.
1
知识点
方差及其求法
知
1
－讲
问题
农科院计划为某地选择合适的甜玉米种子
.
选择
种子时，甜玉米的产量和产量的稳定性是农科院所关
心的问题
.
为了解甲、乙两种甜玉米种子的相关情况，
农科院各用
10
块自然条件相同的试验田进行试验，得
到各试验田每公顷的产量
(
单位：
t)
如下表所示
.
知
1
－讲
根据这些数据估计，农科院应该选择哪种甜玉米种子呢
?
上面两组数据的平均数分别是
甲
7.65
7.50
7.62
7.59
7.65
7.64
7.50
7.40
7.41
7.41
乙
7.55
7.56
7.53
7.44
7.49
7.52
7.58
7.46
7.53
7.49
说明在试验田中，甲、乙两种甜玉米的平均产量
相差不大
.
由此可以估计出这个地区种植这两种甜玉米，
它们的平均产量相差不大
.
知
1
－讲
为了直观地看出甲、乙两种甜玉米产量的情况，我们把
这两组数据画成下面的图
20.2-1
和图
20.2-2.
知
1
－讲
比较上面的两幅图可以看出，甲种甜玉米在各
试验田的产量波动较大
,
乙 种甜玉米在各试验田的
产量较集中地分布在平均产量附近
.
从图中看出的
结果能否用一个量来刻画呢？
知
1
－讲
为了刻画一组数据波动的大小，可以采用很多
方法
.
统计中常采用下面的 做法：设有
n
个数据
x
1
，
x
2
，
…
,x
n
，各数据与它们的平均数
的差的平方
分别是
…
,
我们用这些值的平均数，即用
来衡量这组数据波动的大小，并把它叫做这组数据
的方差，记作
s
2
.
知
1
－讲
人数相同的八年级甲、乙两班学生在同一次数学单元测试中，班级平均分和方差如下：
=80
，
s
2
甲
=240
，
s
2
乙
=180
，则成绩较为稳定的班级是
( )
A
．甲班
B
．乙班
C
．两班成绩一样稳定
D
．无法确定
例
1
B
知
1
－讲
在本题中，给出平均分和方差两种数据，那么平
均分要考查的是甲、乙两班的成绩的优劣，而成
绩的稳定性就要看两班成绩的方差了．那么所谓
的稳定性，也就是指成绩的波动．成绩波动越小，
成绩越稳定．根据“方差越大，数据的波动越大：
方差越小，数据的波动越小，我们很容易发现乙
班的方差比甲班的小，所以乙班的成绩较稳定．
分析：
总
结
知
1
－讲
在利用方差比较两组数据的波动情况时，一定要先
计算两组数据的平均数．一般说来，平均数可能反映数
据的优劣程度，如果在平均数上已经能够区分几组数据
的优劣，那么就不用再考虑方差的大小了．但在实际的
习题中，往往都是平均值相同，那么此时就要考虑数据
的方差情况了．由此可得到：在解决问题时，要先算平
均数，当平均值不同时，择优选取；当平均数相同时，
比较方差，选择波动较小的一组数据．
知
1
－讲
在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧
《
天鹅 湖
》,
参加表演的女演员的身高
(
单位：
cm)
如表所示
.
哪个芭蕾舞团女演员的身高更整齐？
例
2
甲
163
164
164
165
165
166
166
167
乙
163
165
165
166
166
167
168
168
知
1
－讲
甲、乙两团演员的身高平均数分别是
（来自
《
教材
》
）
解：
方差分别是
由
s
甲
2
＜
s
乙
2
可知，甲芭蕾舞团女演员的身高
更整齐
.
总
结
知
1
－讲
一般地，设
n
个数据
x
1
，
x
2
，
…
，
x
n
的平均数为
，则方差
s
2
＝
它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性
越大，反之也成立．
知
1
－练
【
中考
·
自贡
】
对于一组统计数据
3
，
3
，
6
，
5
，
3.
下列说法错误的是
(
)
A
．众数是
3 B
．平均数是
4
C
．方差是
1.6 D
．中位数是
6
1
D
知
1
－练
设数据
x
1
，
x
2
，
…
，
x
n
的平均数为
x
，方差为
s
2
，若
s
2
＝
0
，则
(
)
A
．
x
＝
0
B
．
x
1
＋
x
2
＋
…
＋
x
n
＝
0
C
．
x
1
＝
x
2
＝
…
＝
x
n
＝
0
D
．
x
1
＝
x
2
＝
…
＝
x
n
2
D
知
1
－练
【
中考
·
通辽
】
若数据
10
，
9
，
a
，
12
，
9
的平均数是
10
，则这组数据的方差是
(
)
A
．
1 B
．
1.2
C
．
0.9 D
．
1.4
3
B
知
1
－练
【
中考
·
南京
】
若一组数据
2
，
3
，
4
，
5
，
x
的方
差与另一组数据
5
，
6
，
7
，
8
，
9
的方差相等，
则
x
的值为
(
)
A
．
1 B
．
6
C
．
1
或
6 D
．
5
或
6
4
C
知
1
－练
【
中考
·
遵义
】如果一组数据
x
1
，
x
2
，
…
，
x
n
的
方差是
4
，则另一组数据
x
1
＋
3
，
x
2
＋
3
，
…
，
x
n
＋
3
的方差是
(
)
A
．
4 B
．
7
C
．
8 D
．
19
5
A
知
1
－练
已知：一组数据
x
1
，
x
2
，
x
3
，
x
4
，
x
5
的平均数是
2
，方差是
，那么另一组数据
3
x
1
－
2
，
3
x
2
－
2
，
3
x
3
－
2
，
3
x
4
－
2
，
3
x
5
－
2
的平均数和方差分别是
(
)
A
．
2
，
B
．
2
，
1
C
．
4
，
D
．
4
，
3
6
D
知
2
－讲
2
知识点
方差的应用
某快餐公司的香辣鸡腿很受消费者欢迎
.
现有甲、乙两家农副产品 加工厂到快餐公司推销鸡腿，两家鸡腿的价格相同，品质相近
.
快餐公司决定 通过检查鸡腿的质量来确定选购哪家的鸡腿
.
检查人员从两家的鸡腿中各随机 抽取
15
个，记录它们的质量
(
单位：
g)
如表所示
.
根据表中数据，你 认为快餐公司应该选购哪家加工厂的鸡腿？
例
3
知
2
－讲
检查人员从甲、乙两家农副产品加工厂各随机抽取的
15
个鸡腿分别组成一个样本，样本数据的平均数分别是
甲
74
74
75
74
76
73
76
73
76
75
78
77
74
72
73
乙
75
73
79
72
76
71
73
72
78
74
77
78
80
71
75
解：
知
2
－讲
样本数据的方差分别是
由 可知，两家加工厂的鸡腿质量大致相
等；由
s
甲
2
＜
s
乙
2
可知，甲加工厂的鸡腿质量更稳定，
大小更均匀
.
因此，快餐公司应该选购甲加工厂生
产的鸡腿
.
总
结
知
2
－讲
在比较两组数据时，一般先看平均数，在平均
数相同或相近的情况下，再分析稳定性问题，而方
差是反映数据的波动大小的量，通过比较方差的大
小来解决问题．
知
2
－练
（来自
《
教材
》
）
某跳远队准备从甲、乙两名运动员中选取成绩稳
定的一名参加比赛
.
下表是这两名运动员
10
次测
验成绩
(
单位：
m)
你认为应该选择哪名运动员参赛？为什么？
1
甲
5.85
5.93
6.07
5.91
5.99
6.13
5.98
6.05
6.00
6.19
乙
6.11
6.08
5.83
5.92
5.84
5.81
6.18
6.17
5.85
6.21
知
2
－练
（来自
《
教材
》
）
x
甲
＝
×(5.85
＋
5.93
＋
…
＋
6.19)
＝
6.01(m)
，
s
甲
2
＝
×[(5.85
－
6.01)
2
＋
(5.93
－
6.01)
2
＋
…
＋
(6.19
－
6.01)
2
]
＝
0.009 54(m
2
)
，
x
乙
＝
×(6.11
＋
6.08
＋
…
＋
6.21)
＝
6(m)
，
s
乙
2
＝
×[(6.11
－
6)
2
＋
(6.08
－
6)
2
＋
…
＋
(6.21
－
6)
2
]
＝
0.024 34(m
2
)
．
因为
s
甲
2
<
s
乙
2
，所以甲的成绩更稳定，应该选择运动员甲参赛．
解：
知
2
－练
【
中考
·
岳阳
】现有甲、乙两个合唱队，队员的平
均身高为
170 cm
，方差分别是
s
甲
2
，
s
乙
2
，且
s
甲
2
>
s
乙
2
，则两个队的队员的身高较整齐的是
(
)
A
．甲队
B
．乙队
C
．两队一样整齐
D
．不能确定
2
B
知
2
－练
【
中考
·
宁德
】
某创意工作室
6
位员工的月工资如图所示，因业务需要，现决定招聘一名新员工，若新员工的月工资为
4 500
元，则下列关于现在
7
位员工月工资的平均数和方差的说法正确的是
(
)
A
．平均数不变，方差变大
B
．平均数不变，方差变小
C
．平均数不变，方差不变
D
．平均数变小，方差不变
3
B
知
2
－练
【
中考
·
随州
】
为了响应学校“书香校园”建设，阳光班的同学们积极捐书，其中宏志学习小组的同学捐书本数分别是：
5
，
7
，
x
，
3
，
4
，
6.
已知他们平均每人捐
5
本，则这组数据的众数、中位数和方差分别是
(
)
A
．
5
，
5
，
B
．
5
，
5
，
10
C
．
6
，
5.5
，
D
．
5
，
5
，
4
D
知
2
－练
【
中考
·
南充
】
某校数学兴趣小组在一次数学课外活动中，随机抽查该校
10
名同学参加今年初中学业水平考试的体育成绩，得到结果如下表所示：
5
成绩
/
分
36
37
38
39
40
人数
/
人
1
2
1
4
2
下列说法正确的是
(
)
A
．这
10
名同学体育成绩的中位数为
38
分
B
．这
10
名同学体育成绩的平均数为
38
分
C
．这
10
名同学体育成绩的众数为
39
分
D
．这
10
名同学体育成绩的方差为
2
C
知
2
－练
【
中考
·
枣庄
】
下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：
6
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择
(
)
A
．甲
B
．乙
C
．丙
D
．丁
甲
乙
丙
丁
平均数
/cm
185
180
185
180
方差
3.6
3.6
7.4
8.1
A
1.
方差是用来衡量一组数据波动大小的重要统计量，反映
的是数据在平均数附近波动的情况，对于同类问题的两
组数据，方差越大，数据波动就越大，方差越小，数据
波动就越小；在统计中常用样本方差去估计总体方差．
2.
一组数据的每一个数据都加上或减去同一个常数，所得
新数据的方差与原数据的方差相等．
3.
一组数据的每一个数据都变为原数据的
k
倍，则所得新数
据的方差变为原数据方差的
k
2
倍．
1
知识小结
小明等五位同学以他们的年龄为一组数据，计算出这组数据的方差是
0.5
，则
10
年后小明等五位同学年龄的方差
(
)
A
．增大
B
．不变
C
．减小
D
．无法确定
B
2
易错小结
易错点：
对方差的意义理解不透导致出错
.
第
2
节
数据
的波动程度
第
2
课时
数据分析的
应用类型
第二十章
数据的分析
1
2
3
1
类型
平均数、方差的应用
1
．
(
中考
·
乐山
)
甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，两人在相同条件下各射击
10
次，射击的成绩如图所示．
根据图中信息，回答下列问题：
(1)
甲的平均数是
________
，乙的中位数是
________
；
(2)
分别计算甲、乙成绩的方差，并从计算结果来分析，你认为哪名运动员的射击成绩更稳定？
8
环
7.5
环
(
2)
s
甲
2
＝
×[(
6
－
8)
2
＋
(10
－
8)
2
＋
…
＋
(7
－
8)
2
]
＝
1.6.
∵
＝
×(
7
＋
10
＋
…
＋
7)
＝
8(
环
)
，
∴
s
乙
2
＝
×[(
7
－
8)
2
＋
(10
－
8)
2
＋
…
＋
(7
－
8)
2
]
＝
1.2.
∵
s
乙
2
＜
s
甲
2
，
∴
乙运动员的射击成绩更稳定．
返回
2
．
(
中考
·
河北
)
某厂生产
A
，
B
两种产品
，其
单价随市场变化而做相应调整
．营销
人员
根据前三次
单价
变化
的情况
，绘制了
如下
统计表及不
完整
的
折线图：
2
类型
中位数、方差的应用
并求得了
A
产品三次单价数据
的平均数
和方差：
x
A
＝
5.9
；
s
A
2
＝
[(
6
－
5.9)
2
＋
(5.2
－
5.9)
2
＋
(6.5
－
5.9)
2
]
＝
(
1)
补全图中
B
产品单价变化的折线图
，
B
产品第三次的单价比上一次的
单
价
降低了
________%
；
25
(2)
求
B
产品三次单价数据的方差，并比较哪种产品的单价波动小；
(3)
该厂决定第四次调价，
A
产品的单价仍为
6.5
元
/
件，
B
产品的单价比
3
元
/
件上调
m
%(
m
＞
0)
，使得
A
产品这四次单价的中位数是
B
产品四次单价中位数的
2
倍少
1
，求
m
的值．
(
2)
，
∵ <
，
∴B
产品的单价波动小．
(3)
第四次调价后，对于
A
产品，这四次单价数据的中位数
为
；
对于
B
产品，
∵
m
>0
，
∴
第四次单价大于
3
元
/
件．
又
∵ ×
2
－
1
＝
>
，
∴
第四次单价小于
4
元
/
件．
∴
∴
m
＝
25.
返回
3
类型
平均数
、中位数、方差与统计图的
应用
3
．某校积极开展国防知识教育，九年级甲、乙两班分别选
5
名同学参加
“
国防知识
”
比赛，其预赛成绩如图所示．
(1)
根据上图填写下表
：
(2)
根据上表数据，分别从平均数、中位数、众数、方差的角度分析哪个班的成绩较好．
8.5
0.7
8
(2)
从平均数看，两班平均数相同，则甲、乙两班的成绩一样好；
从中位数看，甲班的中位数大，所以甲班的成绩较好；
从众数看，乙班的众数大，所以乙班的成绩较好；
从方差看，甲班的方差小，所以甲班的成绩更稳定．
返回
第二十章 数据的分析
20.3
课题学习 体质健康测
试中的数据分析
1
课堂讲解
调查收集数据的过程与方法
描述数据
的方法
用适当方法分析数据
2
课时流程
逐点
导讲练
课堂小结
课后作业
为促进学生积极参加体育锻炼，养 成经常锻炼身体的
习惯，提高自我保健能力和体质健康水平，全国各学校每年
（或两年）都要从身体形态，身体机能，身体素质等方面对
学生的体质健康状况进行一次综合评定
.
上节课，我们留下过一个作业；请同学们分组合作完成
下面的调查活动：收集近两年我校八年级部分学生的
《
体质
健康登记表
》
，分析登记表中的数据，对我校八年级学生的
体质健康情况进行评定，提出增强学生 体质健康的建议
.
哪
位同学说一下你收集的结果呢？
1
知识点
调查收集数据的过程与方法
知
1
－讲
一、收集数据
1.
确定样本
从全校七年级的各班分别抽取
5
名男生和
5
名女生，
组成一个容量为
40
的样本
.
2.
确定抽取样本的方法
按照各班的学号，分别在每个班抽取学号排在最
前面的
5
名男生和
5
名女生
.
知
1
－讲
二、整理数据
整理体质健康登记表中的各项数据
.
例如，计算每个个体的最后得分，按评
^
标准整理样本数据，得到下表
.
知
1
－讲
1
．
收集数据：
当所要考察的总体中包含的个体数很多
时，我们收集数据的方法则需从总体中抽取一个样
本．
2
．
整理数据：
获取数据后，要对数据进行整理、分组
制成频数分布表，其步骤如下：
(1)
找出所有数据中的最大值和最小值，算出它们的差；
(2)
决定组距和组数
(
一般
5
～
10
组
)
；
(3)
确定分点；
(4)
列出频数分布表．
知
1
－讲
要
了解全校学生的课外作业负担情况，你认为以下收集数据的方法中比较合理的是
(
)
A
．调查全体女生
B
．调查全体男生
C
．调查九年级全体学生
D
．调查七、八、九年级各
50
名学生
选项
A
，
B
，
C
不符合抽样调查的随机性和代表性
；
D
选项符合抽样调查的条件．故选
D.
例
1
D
导引：
总
结
知
1
－讲
抽取的样本必须符合广泛性、随机性和代表
性；不局限于某些特定的个体，这样收集的数据
才是合理的．
知
1
－练
调查活动一般分为收集数据、
__________
、
描述数据、
___________
、撰写调查报告与
交流六个步骤．
1
整理数据
分析数据
知
1
－练
某学习小组将要进行一次统计活动，下面是四位同学分别设计的活动序号，其中正确的是
(
)
A
．实际问题→收集数据→表示数据→整理数据→统计分
析合理决策
B
．实际问题→表示数据→收集数据→整理数据→统计分
析合理决策
C
．实际问题→收集数据→整理数据→表示数据→统计分
析合理决策
D
．实际问题→整理数据→收集数据→表示数据→统计分
析合理决策
2
C
2
知识点
描述数据的方法
知
2
－讲
三、描述数据
根据整理的各种表格，画出条形图、扇形图、折线图、直方图等，使得数 据分布的信息更清楚地显现出来
.
例如，
根据上表
,
可以画出
条形图和
扇形
图
.
知
2
－讲
描述数据：
根据实际问题的不同需要，选择适当的
统计图：
(1)
条形统计图：能清楚反映每个项目的具体数目；
(2)
扇形统计图：能清楚反映各部分在总体中所占
的百分比；
(3)
折线统计图：能清楚反映事物的变化趋势；
(4)
频数分布直方图：能清晰、直观地反映数据的
整体分布情况．
知
2
－讲
某中学七年级学生共
450
人，其中男生
250
人，女生
200
人．该校对七年级所有学生进行了一次体育测试，并随机抽取了
50
名男生和
40
名女生的测试成绩作为样本进行分析，绘制成如下的统计表：
例
2
成绩
划记
频数
百分比
不及格
正
9
10%
及格
正正正
18
20%
良好
正正正正正正正
36
40%
优秀
正正正正正
27
30%
合计
90
100%
知
2
－讲
(1)
请解释“随机抽取了
50
名男生和
40
名女生”的合
理性；
(2)
从上表的“频数”“百分比”两列数据中选择一
列，用适当的统计图表示；
(3)
估计该校七年级学生体育测试成绩不及格的人数．
知
2
－讲
(1)
七年级学生共
450
人，抽取的比例
为
分
别
按比例计算出应该抽取的男、女
学生数做
出
解释
；
(
2)
答案不唯一，选“频数”这一列数据时用
条
形
统计图，选“百分比”这一列数据时用
扇
形
统计图
；
(
3)
抽取的学生中不及格的百分比为
10%
，
于是
可以
估计七年级学生中体育测试成绩不
及格
的
人数约为
450×10%
＝
45(
人
)
．
导引：
知
2
－讲
(1)
因为
250×
＝
50(
人
)
，
200×
＝
40(
人
)
，
所以该校从七年级学生中随机抽取的
90
名学生
中，应当抽取
50
名男生和
40
名女生．
(2)
答案不唯一，下列解法供参考．
选择“频数”这一列数据可用图
①
表示；
选择“百分比”这一列数据可用图
②
表示．
（来自
《
教材
》
）
解：
知
2
－讲
(3)450×10%
＝
45(
人
)
．
答
：
估计该校七年级学生体育测试成绩不
及格
的人数
约为
45
人．
总
结
知
2
－讲
制作扇形统计图时，每组所对应的扇形圆心
角的度数等于该组百分比乘
360°.
知
2
－练
【
中考
·
大庆
】
某射击小组有
20
人，教练根据他们某次射击的数据绘制如图所示的统计图，则这组数据的众数和中位数分别是
(
)
A
．
7
，
7
B
．
8
，
7.5
C
．
7
，
7.5
D
．
8
，
6
1
C
知
2
－练
记录一个人的体温变化情况，最好选用
(
)
A
．条形统计图
B
．折线统计图
C
．扇形统计图
D
．统计表
2
B
知
2
－练
能清楚地看出每个项目的具体数量的统计图是
(
)
A
．扇形统计图
B
．折线统计图
C
．条形统计图
D
．以上三种均可
3
C
知
2
－练
要清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比，应选择
(
)
A
．条形统计图
B
．折线统计图
C
．扇形统计图
D
．上述三种都可以
4
C
知
3
－讲
3
知识点
用适当方法分析数据
四、分析数据
根据原始数据或上面的各种统计图表，计算各组
数据的平均数、中位数、 众数、方差等，通过分析图
表和计算结果得出结论
.
例如，根据表、条形图、统计图可知，样本的体
质健康成绩 达到良好的最多，有
17
人，良好及以上的
有
29
人，约占统计人数的
70%
左右
.
由此可以估计全校
七年级学生的体质健康成绩有类似的结果
.
知
3
－讲
分析数据：
(1)
平均数、中位数、众数是表示数据的集中趋势，反
映的是：平均数为平均水平，中位数为中等水平，
众数为多数水平；
(2)
方差、极差、标准差表示的是数据的波动幅度，反
映的是数据的稳定程度；
①
方差、标准差都是表示这组数据偏离平均数的程
度；方差、标准差越大，表明这组数据偏离平均
数越大，数据越不稳定；
知
3
－讲
②
方差的性质：若
x
1
，
x
2
，
…
，
x
n
的方差为
s
2
，则：
x
1
＋
b
，
x
2
＋
b
，
…
，
x
n
＋
b
的方差为
s
2
，即一组
数据都加上或减去同一个非零的常数，其方差
不变；
ax
1
，
ax
2
，
…
，
ax
n
的方差为
a
2
s
2
，即一组
数据都扩大或缩小同样的倍数，该组新数据的
方差等于原数据方差乘扩大或缩小倍数的平方．
知
3
－讲
甲、乙两名选手在相同条件下各射靶
10
次，每次射靶的成绩如
图所
示．
例
3
知
3
－讲
(1)
请填写下表：
选手
平均数
方差
中位数
命中
9
环以上
(
包
括
9
环
)
的次数
甲
7
1.2
1
乙
5.4
知
3
－讲
(2)
请从下列三个不同的角度对这次测试结果进行分析．
①
从平均数和方差相结合看，分析谁的成绩好些；
②
从中位数和命中
9
环以上
(
包括
9
环
)
的次数相
结合
看
，分析谁的成绩好些；
③
从折线图上两人射击命中的环数的走势看，
分析
谁
更有潜力
．
知
3
－讲
(1)
从折线图上读取数据通过计算来填表；
(2)
由第
(1)
问中的数据进行相互比较来得出结论，
注意由于分析数据的角度不同，可能得出不同
的结论．
导引：
(1)
解：
选手
平均数
方差
中位数
命中
9
环以上
(
包
括
9
环
)
的次数
甲
7
1.2
7
1
乙
7
5.4
7.5
3
知
3
－讲
(2)①
从平均数上看，甲、乙射击的平均水平相同，而
s
甲
2
＜
s
乙
2
，故甲射击环数的波动比乙射击环数的
波动小，所以甲的成绩好些；
②
由于甲、乙平均水平相同，而乙的中位数比甲大，
命中
9
环以上
(
包括
9
环
)
的次数比甲多，所以乙的
成绩好些；
③
从折线图上看，乙的成绩基本上呈上升趋势，而
甲的成绩仍在平均数附近上下波动，说明乙的竞
技状态越来越好，而甲无明显提高，所以乙更有
潜力．
知
3
－练
【
中考
·
嘉兴
】
嘉兴市
2010
～
2014
年社会消费品零售总额及增速统计图如图所示：
1
知
3
－练
请根据图中信息，解答下列问题：
(1)
求嘉兴市
2010
～
2014
年社会消费品零售总额增速
这组数据的中位数；
(1)
嘉兴市
2010
～
2014
年社会消费品零售总额增速这
组数据的中位数是
14.2%.
解：
知
3
－练
(2)
求嘉兴市近三年
(2012
～
2014
年
)
的社会消费品零
售总额这组数据的平均数；
(2)∵
∴嘉兴市近三年
(2012
～
2014
年
)
的社会消费品零
售总额这组数据的平均数是
1 209.2.
解：
知
3
－练
(3)
用适当的方法预测嘉兴市
2015
年社会消费品零
售总额
(
只要求列出算式，不必计算出结果
)
．
(3)
答案不唯一，合理即可．
例如：从该市
2010
～
2014
年社会消费品零售总
额增速这组数据的中位数分析：
预测嘉兴市
2015
年社会消费品零售总额
为
1 347.0×(1
＋
14.2%)
亿元．
解：
1.
调查学生的体质健康状况一般分为收集数据、整
理数据、描述数据、分析数据、撰写调查报告、
交流六个步骤．
2.
描述数据一般可以画条形图、扇形图、折线图、
直方图等．
3.
分析数据一般要计算各组数据的平均数、中位数、
众数、方差等，通过分析图表和计算结果得出结
论．
1
知识小结
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