资料简介
【课标解读】
函数与几何综合问题最大的特点就是“数”与“形”相互结合、相互渗透,中考压轴题中函数之二次
函数的几何应用问题,主要是解答题,常见问题有以三角形为背景问题,以四边形为背景问题和以圆为背
景问题三类。有关二次函数中的动态几何问题在以后的专题中阐述。
【解题策略】
从函数性质入手→探索函数与其它的关系→综合应用→解决相关问题→得出结论
【考点深剖】
★考点一 以三角形为背景的函数综合题
【典例 1】(2018•山东枣庄•10 分)如图 1,已知二次函数 y=ax2+ x+c(a≠0)的图象与 y 轴交于点 A(0,
4),与 x 轴交于点 B、C,点 C 坐标为(8,0),连接 AB、AC.
(1)请直接写出二次函数 y=ax2+ x+c 的表达式;
(2)判断△ABC 的形状,并说明理由;
(3)若点 N 在 x 轴上运动,当以点 A、N、C 为顶点的三角形是等腰三角形时,请写出此时点 N 的坐标;
(4)如图 2,若点 N 在线段 BC 上运动(不与点 B、C 重合),过点 N 作 NM∥AC,交 AB 于点 M,当△AMN 面
积最大时,求此时点 N 的坐标.
(4)设点 N 的坐标为(n,0),则 BN=n+2,过 M 点作 MD⊥x 轴于点 D,根据三角形相似对应边成比例求得
MD= (n+2),然后根据 S△AMN=S△ABN﹣S△BMN
得出关于 n 的二次函数,根据函数解析式求得即可.
【解答】解:(1)∵二次函数 y=ax2+ x+c 的图象与 y 轴交于点 A(0,4),与 x 轴交于点 B、C,点 C 坐标
为(8,0),
∴ ,
解得 .
∴抛物线表达式:y=﹣ x2+ x+4;
(3)∵A(0,4),C(8,0),
∴AC= =4 ,
①以 A 为圆心,以 AC 长为半径作圆,交 x 轴于 N,此时 N 的坐标为(﹣8,0),
②以 C 为圆心,以 AC 长为半径作圆,交 x 轴于 N,此时 N 的坐标为(8﹣4 ,0)或(8+4 ,0)
③作 AC 的垂直平分线,交 x 轴于 N,此时 N 的坐标为(3,0),
综上,若点 N 在 x 轴上运动,当以点 A、N、C 为顶点的三角形是等腰三角形时,点 N 的坐标分别为(﹣8,
0)、(8﹣4 ,0)、(3,0)、(8+4 ,0).
(4)如图 ,
设点 N 的坐标为(n,0),则 BN=n+2,过 M 点作 MD⊥x 轴于点 D,
∴MD∥OA,
∴△BMD∽△BAO,
∴ = ,
∵MN∥AC
∴ = ,
∴ = ,
∴当△AMN 面积最大时,N 点坐标为(3,0).学科&网
★考点二 以四边形为背景的函数综合题
【典例 2】(2018·山东威海·12 分)如图,抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴交于点 A(﹣4,0),B(2,
0),与 y 轴交于点 C(0,4),线段 BC 的中垂线与对称轴 l 交于点 D,与 x 轴交于点 F,与 BC 交于点 E,
对称轴 l 与 x 轴交于点 H.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)求点 D 的坐标;
(3)点 P 为 x 轴上一点,⊙P 与直线 BC 相切于点 Q,与直线 DE 相切于点 R.求点 P 的坐标;
(4)点 M 为 x 轴上方抛物线上的点,在对称轴 l 上是否存在一点 N,使得以点 D,P,M.N 为顶点的四边形
是平行四边形?若存在,则直接写出 N 点坐标;若不存在,请说明理由.
【解答】解:(1)∵抛物线过点 A(﹣4,0),B(2,0)
∴设抛物线表达式为:y=a(x+4)(x﹣2)
把 C(0,4)带入得
4=a(0+4)(0﹣2)
∴a=﹣
∴抛物线表达式为:y=﹣ (x+4)(x﹣2)=﹣ x2﹣x+4
(2)由(1)抛物线对称轴为直线 x=﹣ =﹣1
∵线段 BC 的中垂线与对称轴 l 交于点 D
∴点 D 在对称轴上
设点 D 坐标为(﹣1,m)
过点 C 做 CG⊥l 于 G,连 DC,DB
∴DC=DB
在 Rt△DCG 和 Rt△DBH 中
∵DC2=12+(4﹣m)2,DB2=m2+(2+1)2
∴12+(4﹣m)2=m2+(2+1)2
解得:m=1
∴点 D 坐标为(﹣1,1)
设⊙P 的半径为 r,⊙P 与直线 BC 和 EF 都相切
如图:
①当圆心 P1 在直线 BC 左侧时,连 P1Q1,P1R1,则 P1Q1=P1R1=r1
∴∠P1Q1E=∠P1R1E=∠R1EQ1=90°
∴四边形 P1Q1ER1 是正方形
∴ER1=P1Q1=r1
②同理,当圆心 P2 在直线 BC 右侧时,
可求 r2= ,OP2=7
∴P2 坐标为(7,0)
∴点 P 坐标为( ,0)或(7,0)
(4)存在
当点 P 坐标为( ,0)时,
①若 DN 和 MP 为平行四边形对边,则有 DN=MP
当 x= 时,y=﹣
∴DN=MP=
∴点 N 坐标为(﹣1, )
②若 MN、DP 为平行四边形对边时,M、P 点到 ND 距离相等
则点 M 横坐标为﹣
则 M 纵坐标为﹣
由平行四边形中心对称性可知,点 M 到 N 的垂直距离等于点 P 到点 D 的垂直距离
当点 N 在 D 点上方时,点 N 纵坐标为
此时点 N 坐标为(﹣1, )
当点 N 在 x 轴下方时,点 N 坐标为(﹣1,﹣ )
当点 P 坐标为(7,0)时,所求 N 点不存在.
故答案为:(﹣1, )、(﹣1, )、(﹣1,﹣ )。学科&网
★考点三 以相似三角形为背景的函数综合题
【典例 3】(2018·湖南省常德·10 分)如图,已知二次函数的图象过点 O(0,0).A(8,4),与 x 轴交于
另一点 B,且对称轴是直线 x=3.
(1)求该二次函数的解析式;
(2)若 M 是 OB 上的一点,作 MN∥AB 交 OA 于 N,当△ANM 面积最大时,求 M 的坐标;
(3)P 是 x 轴上的点,过 P 作 PQ⊥x 轴与抛物线交于 Q.过 A 作 AC⊥x 轴于 C,当以 O,P,Q 为顶点的三角
形与以 O,A,C 为顶点的三角形相似时,求 P 点的坐标.
(3)设 Q(m, m2﹣ m),根据相似三角形的判定方法,当 = 时,△PQO∽△COA,则| m2﹣ m|=2|m|;
当 = 时,△PQO∽△CAO,则| m2﹣ m|= |m|,然后分别解关于 m 的绝对值方程可得到对应的 P 点坐
标.
【解答】解:(1)∵抛物线过原点,对称轴是直线 x=3,
∴B 点坐标为(6,0),
设抛物线解析式为 y=ax(x﹣6),
把 A(8,4)代入得 a•8•2=4,解得 a= ,
∴抛物线解析式为 y= x(x﹣6),即 y= x2﹣ x;
把 M(t,0)代入得 2t+n=0,解得 n=﹣2t,
∴直线 MN 的解析式为 y=2x﹣2t,
解方程组 得 ,则 N( t, t),
∴S△AMN=S△AOM﹣S△NOM
= •4•t﹣ •t• t
=﹣ t2+2t
=﹣ (t﹣3)2+3,
当 t=3 时,S△AMN 有最大值 3,此时 M 点坐标为(3,0);
(3)设 Q(m, m2﹣ m),
∵∠OPQ=∠ACO,
∴当 = 时,△PQO∽△COA,即 = ,
∴PQ=2PO,即| m2﹣ m|=2|m|,
解方程 m2﹣ m=2m 得 m1=0(舍去),m2=14,此时 P 点坐标为(14,28);
解方程 m2﹣ m=﹣2m 得 m1=0(舍去),m2=﹣2,此时 P 点坐标为(﹣2,4);
★考点四 以圆为背景的函数综合题
【典例 4】(2018·浙江宁波·14 分)如图 1,直线 l:y=﹣ x+b 与 x 轴交于点 A(4,0),与 y 轴交于点 B,
点 C 是线段 OA 上一动点(0<AC< ).以点 A 为圆心,AC 长为半径作⊙A 交 x 轴于另一点 D,交线段 AB
于点 E,连结 OE 并延长交⊙A 于点 F.
(1)求直线 l 的函数表达式和 tan∠BAO 的值;
(2)如图 2,连结 CE,当 CE=EF 时,
①求证:△OCE∽△OEA;
②求点 E 的坐标;
(3)当点 C 在线段 OA 上运动时,求 OE•EF 的最大值.
【考点】待定系数法,相似三角形的判定和性质,锐角三角函数,勾股定理
【分析】(1)利用待定系数法求出 b 即可得出直线 l 表达式,即可求出 OA,OB,即可得出结论;
(2)①先判断出∠CDF=2∠CDE,进而得出∠OAE=∠ODF,即可得出结论;
②设出 EM=3m,AM=4m,进而得出点 E 坐标,即可得出 OE 的平方,再根据①的相似得出比例式得出 OE 的平
方,建立方程即可得出结论;
(3)利用面积法求出 OG,进而得出 AG,HE,再构造相似三角形,即可得出结论.
【解答】解:∵直线 l:y=﹣ x+b 与 x 轴交于点 A(4,0),
∴﹣ ×4+b=0,
∴b=3,
∴直线 l 的函数表达式 y=﹣ x+3,
∴B(0,3),
∴OA=4,OB=3,
在 Rt△AOB 中,tan∠BAO= = ;
②过点 E⊥OA 于 M,
由①知,tan∠OAB= ,
设 EM=3m,则 AM=4m,
∴OM=4﹣4m,AE=5m,
∴E(4﹣4m,3m),AC=5m,∴
OC=4﹣5m,
由①知,△COE∽△EOA,
∴ ,
∴OE2=OA•OC=4(4﹣5m)=16﹣20m,
∵E(4﹣4m,3m),
∴(4﹣4m)2+9m2=25m2﹣32m+16,
∴25m2﹣32m+16=16﹣20m,
∴m=0(舍)或 m= ,
∴4﹣4m= ,3m= ,
∴( , ),
连接 FH,
∵EH 是⊙O 直径,
∴EH=2r,∠EFH=90°=∠EGO,
∵∠OEG=∠HEF,
∴△OEG∽△HEF,
∴ ,
∴OE•EF=HE•EG=2r( ﹣r)=﹣2(r﹣ )2+ ,
∴r= 时,OE•EF 最大值为 .
【讲透练活】
变式 1:(2018•山东淄博•9 分)如图,抛物线 y=ax2+bx 经过△OAB 的三个顶点,其中点 A(1, ),点 B
(3,﹣ ),O 为坐标原点.
(1)求这条抛物线所对应的函数表达式;
(2)若 P(4,m),Q(t,n)为该抛物线上的两点,且 n<m,求 t 的取值范围;
(3)若 C 为线段 AB 上的一个动点,当点 A,点 B 到直线 OC 的距离之和最大时,求∠BOC 的大小及点 C 的
坐标.
【考点】HF:二次函数综合题.
【解答】解:(1)把点 A(1, ),点 B(3,﹣ )分别代入 y=ax2+bx 得
解得
∴y=﹣
(2)由(1)抛物线开口向下,对称轴为直线 x=
当 x> 时,y 随 x 的增大而减小
∴当 t>4 时,n<m.
(3)如图,设抛物线交 x 轴于点 F
分别过点 A、B 作 AD⊥OC 于点 D,BE⊥OC 于点 E
变式 2:(2018·山东泰安·11 分)如图,在平面直角坐标系中,二次函数 y=ax2+bx+c 交 x 轴于点 A(﹣4,
0)、B(2,0),交 y 轴于点 C(0,6),在 y 轴上有一点 E(0,﹣2),连接 AE.
(1)求二次函数的表达式;
(2)若点 D 为抛物线在 x 轴负半轴上方的一个动点,求△ADE 面积的最大值;
(3)抛物线对称轴上是否存在点 P,使△AEP 为等腰三角形?若存在,请直接写出所有 P 点的坐标,若不
存在请说明理由.
【分析】(1)把已知点坐标代入函数解析式,得出方程组求解即可;
(2)根据函数解析式设出点 D 坐标,过点 D 作 DG⊥x 轴,交 AE 于点 F,表示△ADE 的面积,运用二次函数
分析最值即可;
(3)设出点 P 坐标,分 PA=PE,PA=AE,PE=AE 三种情况讨论分析即可.
(2)由 A(﹣4,0),E(0,﹣2),可求 AE 所在直线解析式为 y= ,
过点 D 作 DN⊥x 轴,交 AE 于点 F,交 x 轴于点 G,过点 E 作 EH⊥DF,垂足为 H,如图
设 D(m, ),则点 F(m, ),
∴DF= ﹣( )= ,
∴S△ADE=S△ADF+S△EDF= ×DF×AG+ DF×EH
= ×DF×AG+ ×DF×EH
= ×4×DF
=2×( )
= ,
∴当 m= 时,△ADE 的面积取得最大值为 .
变式 3:(2018·新疆生产建设兵团·13 分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线 y= x2﹣ x﹣4 与 x 轴交
于 A,B 两点(点 A 在点 B 左侧),与 y 轴交于点 C.
(1)求点 A,B,C 的坐标;
(2)点 P 从 A 点出发,在线段 AB 上以每秒 2 个单位长度的速度向 B 点运动,同时,点 Q 从 B 点出发,在
线段 BC 上以每秒 1 个单位长度的速度向 C 点运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也停止运动.设运
动时间为 t 秒,求运动时间 t 为多少秒时,△PBQ 的面积 S 最大,并求出其最大面积;
(3)在(2)的条件下,当△PBQ 面积最大时,在 BC 下方的抛物线上是否存在点 M,使△BMC 的面积是△PBQ
面积的 1.6 倍?若存在,求点 M 的坐标;若不存在,请说明理由.
【分析】(1)代入 x=0 可求出点 C 的纵坐标,代入 y=0 可求出点 A、B 的横坐标,此题得解;
(2)根据点 B、C 的坐标,利用待定系数法可求出直线 BC 的解析式,过点 Q 作 QE∥y 轴,交 x 轴于点 E,
当运动时间为 t 秒时,点 P 的坐标为(2t﹣2,0),点 Q 的坐标为(3﹣ t,﹣ t),进而可得出 PB、QE
的长度,利用三角形的面积公式可得出 S△PBQ 关于 t 的函数关系式,利用二次函数的性质即可解决最值问题;
(3)根据(2)的结论找出点 P、Q 的坐标,假设存在,设点 M 的坐标为(m, m2﹣ m﹣4),则点 F 的坐
标为(m, m﹣4),进而可得出 MF 的长度,利用三角形的面积结合△BMC 的面积是△PBQ 面积的 1.6 倍,可
得出关于 m 的一元二次方程,解之即可得出结论.学科&网
(2)设直线 BC 的解析式为 y=kx+b(k≠0),
将 B(3,0)、C(0,﹣4)代入 y=kx+b,
,解得: ,
∴直线 BC 的解析式为 y= x﹣4.
过点 Q 作 QE∥y 轴,交 x 轴于点 E,如图 1 所示,
当运动时间为 t 秒时,点 P 的坐标为(2t﹣2,0),点 Q 的坐标为(3﹣ t,﹣ t),
∴PB=3﹣(2t﹣2)=5﹣2t,QE= t,
∴S△PBQ= PB•QE=﹣ t2+2t=﹣ (t﹣ )2+ .
∵﹣ <0,
∴当 t= 时,△PBQ 的面积取最大值,最大值为 .
(3)当△PBQ 面积最大时,t= ,
此时点 P 的坐标为( ,0),点 Q 的坐标为( ,﹣1).
假设存在,设点 M 的坐标为(m, m2﹣ m﹣4),则点 F 的坐标为(m, m﹣4),
变式 4:(2018·四川自贡·14 分)如图,抛物线 y=ax2+bx﹣3 过 A(1,0)、B(﹣3,0),直线 AD 交抛物
线于点 D,点 D 的横坐标为﹣2,点 P(m,n)是线段 AD 上的动点.
(1)求直线 AD 及抛物线的解析式;
(2)过点 P 的直线垂直于 x 轴,交抛物线于点 Q,求线段 PQ 的长度 l 与 m 的关系式,m 为何值时,PQ 最长?
(3)在平面内是否存在整点(横、纵坐标都为整数)R,使得 P、Q、D、R 为顶点的四边形是平行四边形?
若存在,直接写出点 R 的坐标;若不存在,说明理由.
【解答】解:(1)把(1,0),(﹣3,0)代入函数解析式,得
,
解得 ,
抛物线的解析式为 y=x2+2x﹣3;
当 x=﹣2 时,y=(﹣2)2+2×(﹣2)﹣3,解得 y=﹣3,
即 D(﹣2,﹣3).
设 AD 的解析式为 y=kx+b,将 A(1,0),D(﹣2,﹣3)代入,得
,
解得 ,
直线 AD 的解析式为 y=x﹣1;
(2)设 P 点坐标为(m,m﹣1),Q(m,m2+2m﹣3),
l=(m﹣1)﹣(m2+2m﹣3)
化简,得
l=﹣m2﹣m+2
配方,得
l=﹣(m+ )2+ ,
当 m=﹣ 时,l 最大= ;
变式 5:(2018 年湖北省宜昌市 12 分)如图,在平面直角坐标系中,矩形 OADB 的顶点 A,B 的坐标分别为 A
(﹣6,0),B(0,4).过点 C(﹣6,1)的双曲线 y= (k≠0)与矩形 OADB 的边 BD 交于点 E.
(1)填空:OA= ,k= ,点 E 的坐标为 ;
(2)当 1≤t≤6 时,经过点 M(t﹣1,﹣ t2+5t﹣ )与点 N(﹣t﹣3,﹣ t2+3t﹣ )的直线交 y 轴于
点 F,点 P 是过 M,N 两点的抛物线 y=﹣ x2+bx+c 的顶点.
①当点 P 在双曲线 y= 上时,求证:直线 MN 与双曲线 y= 没有公共点;
②当抛物线 y=﹣ x2+bx+c 与矩形 OADB 有且只有三个公共点,求 t 的值;
③当点 F 和点 P 随着 t 的变化同时向上运动时,求 t 的取值范围,并求在运动过程中直线 MN 在四边形 OAEB
中扫过的面积.
【分析】(1)根据题意将先关数据带入
(2)①用 t 表示直线 MN 解析式,及 b,c,得到 P 点坐标带入双曲线 y= 解析式,证明关于 t 的方程无解
即可;
②根据抛物线开口和对称轴,分别讨论抛物线过点 B 和在 BD 上时的情况;
③由②中部分结果,用 t 表示 F、P 点的纵坐标,求出 t 的取值范围及直线 MN 在四边形 OAEB 中所过的面积.
(2)①设直线 MN 解析式为:y1=k1x+b1
由题意得:
解得
∵抛物线 y=﹣ 过点 M、N
∴
解得
∴抛物线解析式为:y=﹣ x2﹣x+5t﹣2
∴顶点 P 坐标为(﹣1,5t﹣ )
∵P 在双曲线 y=﹣ 上
∴(5t﹣ )×(﹣1)=﹣6
∴t=
此时直线 MN 解析式为:
联立
∴8x2+35x+49=0
∵△=352﹣4×8×48=1225﹣1536<0
∴直线 MN 与双曲线 y=﹣ 没有公共点.
③∵点 P 的坐标为(﹣1,5t﹣ )
∴yP=5t﹣
当 1≤t≤6 时,yP 随 t 的增大而增大
此时,点 P 在直线 x=﹣1 上向上运动
∵点 F 的坐标为(0,﹣ )
∴yF=﹣
∴当 1≤t≤4 时,随者 yF 随 t 的增大而增大
此时,随着 t 的增大,点 F 在 y 轴上向上运动
∴1≤t≤4
当 t=1 时,直线 MN:y=x+3 与 x 轴交于点 G(﹣3,0),与 y 轴交于点 H(0,3)
当 t=4﹣ 时,直线 MN 过点 A.
当 1≤t≤4 时,直线 MN 在四边形 AEBO 中扫过的面积为
S=
。
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