资料简介
第
27
章 圆
27.1
圆的认识
第
1
课时
问题引入
一石激起千层浪
奥运五环
大家见过这些吗？知道它是什么图形吗？
回顾思考
据统计，某个学校的同学上学方式是，有
的同学步行上学，有 的同学坐公
共汽车上学，其他方式上学的同学有
，请
你用扇形统计图反映这个学校学生的上学
方式
.
我们是用圆规画出一个圆，再将
圆划分成一个个扇形，如右图
27.1.1
就是反映学校学生上学
方式的扇子形统计图。
圆是如何形成的？
请同学们画一个圆，并从画圆的过程中阐述圆是如何
形成的
.
如图，线段
OA
绕着它固定的一个端点
O
旋转
一周，另一个端点
A
随之旋转所形成的图形
.
O
A
C
B
1.
如图
,
半径有
:____________
OA
、
OB
、
OC
若
∠
AOC=60
°
，
则
△
AOC
是
__
等边
___
三角形
.
2.
如图
,
弦有
:______________
AB
、
BC
、
AC
在圆中有长度不等的弦，
直径
是圆中
最长的弦
.
●
O
B
C
A
1.
如图
,
弧有
:______________
⌒
AB
⌒
BC
⌒
ABC
⌒
ACB
⌒
BCA
它们一样么？
⌒
AB
⌒
BC
2 .
劣弧
有：
优弧
有：
⌒
A
CB
⌒
BA
C
你知道优弧与劣弧的区别么？
判断
：
半圆是弧，但弧不一定是半圆
.( )
探索与实践
如图，在
⊙O
中，
AC=BD
，
,
求
∠2
的度数。
你会做吗？
解：
∵
AC=BD
（已知）
∴
∴
AB=CD
∴
AC-BC=BD-BC
（等式的性质）
∠1=∠2=45°
（在同圆中，相等的弧 所对的圆心角相等）
课堂练习
1
、直径是弦吗？弦是直径吗？
2
、半圆是弧吗？弧是半圆吗？
3
、半径相等的两个圆是等圆，而两段弧相等
需要什么条件呢？
4
、比较下图中的三条弧，先估计它们所在圆
的半径的大小关系，再用圆规验证你的结
论是否正确
.
5
、说出上右图中的圆心角、优弧、劣弧
.
6
、直
径是圆中最长的弦吗？为什么？
●
C
B
A
D
O
思考
:
在
⊙O
中
,AB
、
CD
是直径
.AD
与
BC
平行吗
?
说说你的理由
.
四边形
ACBD
是矩形么
?
为什么
?
温馨提示：
对角线相等且互相平分的四边形是矩形
.
思 考
小结
今天你学到了什么？
1.
在同一个圆 中，如果圆心角相等，那么它所对的弧相等、所对的弦相等
,
所对的弦的弦心距也相等
.
（或等圆）
（或等圆）
2.
在同一
个圆
中，如果弧相等，那么所对的圆心角
_____
、所对的弦
______
， 所对的弦的弦心距
_____.
相等
3.
在同一个圆 中，如果弦相等，那么所对的圆心角
_____
、所对
的弧
______,
所对的弦的弦心距
_____.
相等
（或等圆）
相等
相等
相等
相等
第
2
课时
情境导入
同学们自己动手画两个等圆，并把其中一个圆剪下，
让两个圆的圆心重合，使得其中一个圆绕着圆心旋转，
可以发现，两个圆都是互相重合的。如果沿着任意一
条直径所在的直线折叠，圆在这条直线两旁的部分会
完全重合
.
由以上实验，同学们发现圆是中心对称图形吗？对称中心是哪一点？圆不仅是中心对称圆形，而且还是轴对称图形，过圆心的每一条直线都是圆的对称轴。
实践与探索
1
、同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对
的弦相等
.
实验
1
、将图形
2
7
.1.3
中的扇形
AOB
绕点
O
逆时针
旋转某个角度，得到图
2
7
.1.4
中的图形，同学们可以通过比较前后两个图形，发现
实质上
，
确定了
扇形
AOB
的大小，
所以
在同一个圆中，
如果圆心角相等，那么它所对的弧
相等，所对的弦相等
.
实践与探索
问题：
在同一个圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角，所对的弦是否相等呢？在同一个圆中，如果弦相等，那么所对的圆心角，所对的弧是否相等呢？
例
1
如图
27.1.5
，在⊙
O
中，弧
AC=
弧
BD
，求
的度数
.
解：因为
弧
AC=
弧
BD
，
所以
弧
AC-
弧
BC=
弧
BD-
弧
BC.
所以
弧
AB=
弧
CD.
所以 （在同一个圆中，如果弧相等，
那么它们所对的圆心角相等）
探索新知
我们知道
圆是轴对称图形，它的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴，由此我们可以如图
2
7
.1.6
那样十分简捷地将一个圆
2
等分、
4
等分、
8
等分
.
试一试
如
图
,
如果
在图形纸片上任意画一条垂直于直径
CD
的弦
AB
，垂足为
P
，再将纸片沿着直径
CD
对折，比较
AP
与
PB
、
弧
DB
与
弧
CB
，
你能
发现什么结论？你的结论是：
______________
____________
这就是我们这节课要研究的问题
.
垂径定理
：
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧
.
探索新知
类似上面的证明，我们还可以得到
平分弦（不是直径）的直径垂直于这条线，并且平分这条弦所对的两条弧；
平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦
.
(1)
平分弦
（不是直径）
的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧；
(2)
弦的垂直平分线经过圆心
,
并且平分弦所对的两条弧
;
(
3)
平分弦所对的一条弧的直径
,
垂直平分弦
,
并且平分弦所对的另一条弧
;
(
4)
平分弧的直径垂直于平分这条弧所对的弦
.
推论
尝试运用
例
1
、如图已知以点
O
为公共圆心的两个同心圆
,
大圆的弦
AB
交小圆于点
C
、
D
（
1
）试说明线段
AC
与
BD
的大小关系
;
（
2
）若
AB=8
，
CD=4
，求圆环的面积
.
尝试运用
例
2
、在直径为
10
的圆柱形油桶内装入
一些油后，截面如
图，
如果油面宽
AB=8
，那么油的最大深度是
.
垂径定理及其推论
1
的实质是把
(1)
直线
MN
过圆心
;
(2)
直线
MN
垂直
AB;
(3)
直线
MN
平分
AB;
(4)
直线
MN
平分弧
AMB;
(5)
直线
MN
平分弧
ANB
中的两个条件进行了
四种
组合
,
分别推出了其余的三个结论
.
这样的组合还有
六种
，由于时间有限
,
课堂上未作进一步的推导
,
同学们课下不妨试一试
.
回味引伸
小结
本节课我们通过实验得到了圆不仅是中心对称图形，而且还是轴对称图形，而由圆的对称性又得出许多圆的许多性质，即（
1
）同一个圆中，相等的圆心角所对弧相等，所对的弦相等
.
（
2
）在同一个圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角，所对的弦相等
.
（
3
）在同一个圆中，如果弦相等，那么所对的圆心角，所对的弧相等
.
第
3
课时
问题情境
如下图，同学们能找到圆心角吗？它具有
什么样的特征？（顶点在圆心，两边与圆
相交的角叫做圆心角），今天我们要学习
圆中的另一种特殊的角，它的名称叫做圆
周角
.
实践与探索
1
.
圆周角
究竟什么样的角是圆周角呢？像图（
3
）中的解就
叫做圆周角，而图（
2
）、（
4
）、（
5
）中的角都
不是圆周角。同学们可以通过讨论归纳如何判断一
个角是不是圆周角。（顶点在圆上，两边与圆相交
的角叫做圆周角）
练习：试找出图中所有相等的圆周角
.
2
.
圆周角
的度数
探究半圆或直径所对的圆周角等于多少度？而
的圆周角所对的弦是否是直径
?
数学理论
如图
27.1.9
，线段
AB
是
⊙
O
的直径，
点
C
是
⊙
O
上任意一点
（除点
A
、
B
），
那 么，∠
ACB
就是直径
AB
所对的
圆周角
.
想想看，∠
ACB
会是怎么样
的角？为什么呢？
证明
：
因为
OA
＝
OB
＝
OC
，
所以
△
AOC
、
△
BOC
都是
等腰三角形
，
所以
∠
OAC
＝
∠
OCA
，
∠
OBC
＝
∠
OCB
.
又∠
OAC
＋∠
OBC
＋∠
ACB
＝
180°
，所以
∠
ACB
＝∠
OCA
＋∠
OCB
＝ ＝
90°.
因此，不管点
C
在⊙
O
上何处（除点
A
、
B
），∠
ACB
总等于
90°.
数学运用
半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于
90°
（直角）。反过来也是成立的，即
90°
的
圆周角所对的弦是圆的直径
3.
同
一条弧所对的圆周角和圆心角的关系
(1)
分别量一量图
27.1.10
中弧
AB
所
对的两个圆周角的度数比较一下
.
再
变动点
C
在圆周上的位置，看看圆周
角的度数有没有变化
.
你发现其中有
什么规律吗？
数学运用
(2)
分别量出图
27.1.10
中弧
AB
所对的圆周角和
圆心角的度数，比较一下，你发现什么？
我们可以发现，圆周角的度数没有变化
.
并且圆周角的
度数恰好为同弧所对的圆心角的度数的一半。由上述操
作可以猜想：在一个圆中，一条弧所对的任意一个圆周
角的大小都等于该弧所对的圆心角的一半。为了验证这
个猜想，如下图所示，可将圆对折，使折痕经过圆
心
O
和圆周角的顶点
C
，这时可能出现三种情况：
a
折痕是圆周角的一条边，
b
折痕在圆周角的内部，
c
折痕在圆周角的外部
.
1.
如图
(1),
在
⊙O
中
,∠BAC=50°,
求
∠C
的大小
.
2.
如图
(2),
在
⊙O
中
,∠B,∠D,∠E
的大小有什么关系
?
为什么
?
3.
如图
(3),AB
是直径
,
你能确定
∠C
的度数吗
?
●
O
●
O
C
A
B
D
B
A
C
D
E
●
O
A
B
C
(1)
(2)
(3)
课堂练习
（
3
）圆心在 外部（略）
由此我们可以得到：
圆周角定理 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等
.
由圆周角定理，我们可以得到以下推论
推论
1 90
度的圆周角所对的弦是直径
（如图
27.1.12
）
如果一个圆经过一个多边形的各顶点，这个圆就叫
做这个多边形的
外接圆，
这个多边形叫做这个
圆的
内接多边形
.
对于圆内接四边形，有另一个推论：
推论
2
圆内接四边形的对角互补（如图
27.1.13
）
思考
图
27.1.14
是一个圆形零件，你能找到它的
圆心值吗？你有什么简捷的办法？
第
27
章 圆
27.2
与圆有关的位置关系
1 .
点
与圆的位
置关系
情境导入
同学们看过奥运会的射击比赛吗？射击的
靶子是由许多圆组成的，射击的成绩是由
击中靶子不同位置所决定的；右图是一位
运动员射击
10
发子弹在靶上留下的痕迹
.
你知道这个运动员的成绩吗？请同学们算一算
.
(
击中最里面的圆的成绩为
10
环，依次为
9
、
8
、
…
、
1
环
)
这一现象体现了平面上的点与圆的位
置关系，如何判断点与圆的位置关系呢？
这就是本节课研究的课题。
实践与探索
1.
点
与圆的位置关系
我们知道圆上的所有点到圆心的距离都等于半径，
若点在圆上，那么这个点到圆心的距离等于半径，若
点在圆外，那么这个点到圆心的距离大于半径，若点
在圆内，那么这个点到圆心的距离小于半径
.
如图
27.2.1
，设
⊙
O
的
半径为
r
，
A
点在
圆内，
B
点在圆上，
C
点在圆外，那
OA
＜
r
，
OB
＝
r
，
OC
＞
r
．反过来也成立，即
若点
A
在
⊙
O
内
若点
A
在
⊙
O
上
若点
A
在
⊙O
外
思考与练习
⊙
O
的半径
，
圆心
O
到直线的
AB
距离
.
在
直线
AB
上有
P
、
Q
、
R
三点，
，
，
.P
、
Q
、
且有
R
三点对于
⊙O
的位置各是怎么样的？
2.
不在
一条直线上的三点确定一个圆
实践与探索
问题与思考：平面上有一点
A
，经过
A
点的圆有几个？
圆心在哪里？平面上有两点
A
、
B
，经过
A
、
B
点的圆
有几个？圆心在哪里？平面上有三点
A
、
B
、
C
，经过
A
、
B
、
C
三点的圆有几个？
圆心在哪里？
从以上的图形可以看到， 经过平面上一点的圆有无数个，这些圆的圆心分布在整个平面；经过平面上两点的圆也有无数个，这些圆的圆心是在线段
AB
的垂直平分线上
.
经过
A
、
B
、
C
三点能否画圆呢？同学们想一想，画圆的要素是什么？（圆心确定圆的位置，半径决定圆的大小），所以关键的问题是定其加以和半径
.
如图
27.2.4
，如果
A
、
B
、
C
三点不在一条直线上，那么经过
A
、
B
两点所画的圆的圆心在线段
AB
的垂直平分线上，而经过
B
、
C
两点所画的圆的圆心在线段
BC
的垂直平分线上，此时，这两条垂直平分线一定相交，设交点为
O
，则
OA
＝
OB
＝
OC
，于是以
O
为圆心，
OA
为半径画圆，便可画出经过
A
、
B
、
C
三点的圆．
思考：
如果
A
、
B
、
C
三点在一条直线上，能画出经过
三点的圆吗？为什么？
实践与探索
即有：
不在同一条直线上的三个点确定一个圆
也就是说，经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且
只能画一个．经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的
外接圆．三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心．
这个三角形叫做这个圆的内接三角形．三角形的外心
就是三角形三条边的垂直平分线的交点，它到三角形
三个顶点的距离相等
.
思考：
随意画出四点，其中任何三点都不在同一条直线上，
是否一定可以画一个圆经过这四点？请举例说明
.
判断题：
1
、过三点一定可以作圆 （ ）
2
、三角形有且只有一个外接圆 （ ）
3
、任意一个圆有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形 （ ）
4
、三角形的外心就是这个三角形任意两边垂直平分线的交点 （ ）
5
、三角形的外心到三边的距离相等 （ ）
错
对
错
对
错
课堂练习
经过四个点是不是一定能作圆？
分类
1
、
A
B
C
D
2
、
A
B
C
D
所以经过四点不一定能作圆
.
D
4
、
A
B
C
A
B
C
D
3
、
B
A
C
D
思考题：
课堂
小结
1
、这堂课你学到了什么？
2
、给你留下印象最深的是什么？
3
、你还有什么疑惑？
2.
直线
与圆的
位置关系
点和圆的位置关系有几种？
知识回顾
⑴
点在圆内
⑵
点在圆上
⑶
点在圆外
dr
·
·
·
用数量关系如何来判断？
(
地平线
)
(
地平线
)
●
O
●
O
●
O
1.
观察三幅太阳升起的照片
,
太阳与地平
线会有几种位置关系
?
探测猜想
动手试一试
●
O
作一个圆
,
把直尺边缘看成一条直线，固定圆
,
平移直尺
,
你能发现直线与圆的公共点个数的变化情况吗？公共点个数最少时有几个？最多时有几个？
●
O
●
O
.O
l
.O
直线和圆没有公共点，
叫做直线和圆
相离
.
l
直线和圆有唯一的公共点，
叫做直线和圆
相切
.
这时的直线叫切线，唯一的公共点叫
切点
。
.O
l
直线和圆有两个公共点，
叫直线和圆
相交
.
这时的直线叫做圆的
割线
.
一、直线和圆的位置关系有以下三种
●
P
A
●
●
B
知识归纳
二、直线和圆的位置关系与圆心到直线的距离和圆的半径的关系
．Ｏ
l
1
、直线与圆相离
┐
┐
d
r
d > r
．ｏ
l
2
、直线与圆相切
d
r
d = r
．
O
l
3
、直线与圆相交
d < r d ┐ r 0 1 d>r
无
割线
无
d=r
切点
切线
2
d 5cm
d = 5cm
d < 5 cm 0cm≤ 4 、已知： ⊙O 的半径为 5cm, 圆心 O 与直线 AB 的距离为 d, 根据条件填写 d 的范围 : 1) 若 AB 和 ⊙O 相离 , 则 2) 若 AB 和 ⊙O 相切 , 则 例题 1 ： 在 Rt△ABC 中， ∠ C=90 ° ， AC=3cm ， BC=4cm ，以 C 为圆心， r 为半径的圆与 AB 有怎样的位置关系？为什么？ （ 1 ） r=2cm ； （ 2 ） r=2.4cm ； （ 3 ） r=3cm ． 解：过 C 作 CD⊥AB ，垂足为 D 在 △ABC 中， AB= 5 根据三角形的面积公式有 所以 即圆心 C 到 AB 的距离 d=2.4cm 所以 (1) 当 r=2cm 时 , 有 d>r,
因此
⊙C
和
AB
相离
.
B
C
A
4
3
D
（
2
）当
r=2.4cm
时
,
有
d=r,
因此
⊙C
和
AB
相切
.
（
3
）当
r=3cm
时，
有
d
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