资料简介
第
24
章 圆
24.1
旋转
扇叶
水轮
齿轮
第
1
课时 旋转
地球自转
荡秋千
旋转的运动
（１）上面情景中的转动现象，有什么共同的特征？
（２）钟表的指针、秋千在转动过程中，其形状、大小、位置是否发生变化呢？
旋转角
旋转中心
在平面内，一个图形绕着一个定点，旋转一定的角度（ ），得到另一个图形的变换，叫做旋转。定点
O
叫做旋转中心，
α
叫做旋转角。原图形上一点
A
旋转后成为点
B
，这
样的两个点叫
做
对应点。
A
o
B
α
旋转的三要素
旋转中心
旋转方向
旋转角度
将等边△
ABC
绕着点
C
按某个方向旋转
90
0
后得到△
A
´
B
´
C
A
B
C
A
´
B
´
△
ABC
在旋转过程中，哪些发生了变化？
归纳
各点的位置发生变化。
点
A
′
点
A
点
B
′
点
B
点
C
′
点
C
从而，各线段、各角的位置发生变化。
OA=OA′
OB=OB′
OC=OC′
边的相等关系：
AB=A′B′
BC=B′C′
CA=C′A′
对应边相等
△ABC在旋转过程中，哪些没有改变？
角的相等关系：
∠ABC=∠A′B′C′
∠AOA ′=∠BOB ′=∠COC ′
∠BCA=∠B′C′A′
∠CAB=∠C′A′B′
对应角相等
=
旋转角
注：图形中每一点都绕着旋转中心旋转了同
样大小的角度。
对应点到旋转中心的距离
相等。
对应点与旋转中心所连线段的夹角
等于旋转角。
旋转前、后的图形
全等
。
图形的旋转是由
旋转中心
和
旋转角
决定。
图形的旋转不改变图形的形状、大小，只改变图形的
位置
。
知识要点
旋转的基本性质
有哪些证明方法？
如图，如果把钟表的指针看做四边形
AOBC
，它绕
点
O
旋转得到四边形
DOEF.
在这个旋转过程中：
（
1
）旋转中心是什么
?
（
2
）经过旋转，点
A
、
B
分别移动到什么位置？
（
3
）旋转角是什么？
（
4
）
AO
与
DO
的长有什么关系？
BO
与
EO
呢？
（
5
）∠
AOD
与∠
BOE
有什么大小关系？
旋转中心是点
O
点
D
和点
E
的位置
AO=DO
，
BO=EO
∠AOD=∠BOE
∠AOD
和∠
BOE
都是旋转角
B
A
C
O
D
E
F
旋转的基本性质
（１）旋转不改变图形的大小和形状；
（２）任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角度都是旋转角，旋转角相等；
（３）对应点到旋转中心的距离相等.
平移
和旋转的
异同
1
、相同：都是一种运动；运动前后 不改变图形的形状和大小
.
2
、不同
运动方向
运动量的衡量
平移
直线
移动一定的距离
旋转
顺时针或逆时针
转动一定的角度
思考
:
图形的旋转是由什么决定的
?
图形的旋转是由旋转
中心、旋转方向和
旋转
的角度决定
.
在平面内，将一个图形绕着一个
定点
沿某个方向
转动
一定的角度
，这样的图形运动称为
旋转
.
旋转的概念：
旋转的性质：
1
、旋转不改变图形的大小和形状．
2
、任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角度都是旋转角，旋转角相等．
3
、对应点到旋转中心的距离相等
.
课堂小结
第
2
课时
中心对称
复习
:
1.
什么是轴对称呢？
2.
关于轴对称的两个图形有哪些性质？
把一个图形沿着某一条直线折叠能与另一个图形完全重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称或轴对称
.
1).
两个图形是全等形
.
2).
对称轴是对称点连线的垂直平分线
.
(1)
把其中一个图案绕点
O
旋转
180°.
你有什么发现
?
重 合
重 合
(2)
线段
AC,BD
相交于点
O,OA=OC,OB=OD.
把
△OCD
绕点
O
旋转
180°.
你有什么发现
?
O
A
Ｏ
D
B
C
把一个图形绕着某一个定点旋转
180
°
,
如果旋转后的图形能和原来的图形重合
,
那么这个图形叫做
中心对称图形
,
这个定点就是
对称中心
,
这两个图形
中的
对应点
,
叫做
关于中心的对称点
.
A
D
E
A
C
B
中心对称的定义
:
观察
:C
、
A
、
E
三点的位置关系怎样
?
线段
AC
、
AE
的大小关系呢
?
C
、
A
、
E
三点在一条直线上或
∠CAE= 180°
AC=AE
汉代铜镜
——
中心对称图形
旋转三角板，画关于点
O
对称的两个三角形：
第一步，
画出
△ABC
；
第二步，
以三角板的一个顶点
O
为中心，把三角板旋 转
180°
，画出
△A′B′
C′
；
A’
B’
C’
O
A
B
C
第三步
，移开三角板
.
分别连接
AA’,BB’,CC’
。点
O
在线段
AA′
上吗？如果在，在什么位置？
△ABC
与
△
A′B′
C ′
有什么关系？
(1)
点
O
是线段
AA ′
的中点
(
为什么
?)
（
2
）
△ABC≌△A′B′C′
(
为什么
?)
O
A’
B
’
C’
C
B
A
很显然画出的
△ABC
与
△A’B’C’
关于点
O
对称
.
下图中
△A′
B′C′
与
△ABC
关于点
O
是成中心对称的
,
你能从图中找到哪些等量关系
?
A’
B’
C’
A
B
C
O
（
1
）
OA=OA′
、
OB=OB′
、
OC=OC′
（
2
）
△ABC≌△A′B′C′
中心对称与轴对称有什么区别
?
又有什么联系
?
轴对称
中心对称
有一条对称轴
---
直线
有一个对称中心
—
点
图形沿对称轴对折
(
翻折
180
°
)
后重合
图形绕对称中心旋转
180
°
后
重合
对称点的连线被对称轴垂直平分
对称点的连线经过对称中心
,
且被对称中心平分
轴对称
中心对称
1
有一条对称轴
——
直线
有一个对称中心
——
点
2
图形沿轴对折（翻转
180°
）
图形绕中心旋转
180°
3
翻转后和另一个图形重合
旋转后和另一个图形重合
A
B
C
C
1
A
1
B
1
O
中心对称图形的定义
:
把一个图形绕着某一个定点旋转
180
0
,
如果旋转后的图形能和原来的图形重合
,
那么这个图形叫做中心对称图形。
下面哪个图形是中心对称图形？
判断下列图形是不是中心对称图形？
中心对称与中心对称图形是两个既有联系又有 区别的概念
.
区别
:
中心对称指两个全等图形的相互位置关系
中心对称图形指一个图形本身成中心对称
联系
: (1)
如果将成中心对称的两个图形看成一个整体
,
那么它们是中心对称图形
(2)
如果将中心对称图形的对称的部分看
成是两个图形
,
那么
它们关于中心对称。
观察图形，并回答下面的问题：
（
1
）哪些只是轴对称图形？
（
2
）哪些只是中心对称图形？
（
3
）哪些既是轴对称图形，又是中心对称图形？
（１）
（３）
（２）
（４）
（５）
（６）
（
3
）（
4
）（
6
）
（
1
）
（
2
）（
5
）
第
24
章 圆
24.2
圆的基本性质
第
1
课时
感知圆的世界
情境导入
如图
24-14
，在平面内线段
OP
绕着它固定的一个端点
O
旋转一周，则另一个端点
P
所形成的封闭曲线叫做
圆
.
情境导入
圆的概念
:
r
O
P
固定的端点
O
叫做
圆心
，线段
OP
的长为
r
叫做
半径
.
以点
O
为圆心的圆，记作
"⊙O"
，读作“圆”
.
图
24-14
从图
24-14
画图的过程中，你能说出圆上的点有什么特性吗？
（
1
）圆上各点到定点（圆心
O
）的距离都等于定长（半径
r
）；
（
2
）平面内到定点（圆心
O
）的距离都等于定长（半径
r
）的所有点都在同一个圆上
.
因此，圆可以看
成平
面内到定点（圆心
O
）的距离等于定长（半径
r
）的所有点组成的图形
.
思考
:
注意
:
(1)
圆是一条封闭曲线
(
而不是一个圆面
)
；
(2)
圆是由圆心和半径确定的
,
圆心确定圆的位置
,
半径确定圆的大小
).
知识精讲
交流：
平面上有一个圆，这个平面上的点，除了在圆上外，与圆还有几种位置关系，这些关系根据什么来确定？
知识精讲
点与圆的位置关系
符号 读作等价于
.
它表示从符号的左边可以推出右边；同时从符号的右边也可以推出左边
.
（2）若点A在⊙O 内
（3）若点A在⊙O外
（
1
）若
点
A
在
⊙
O
上
知识精讲
知识精讲
圆上任意两点间的部分叫做
圆弧
，简称
弧
，用符号
⌒
表示
.
以
A,B
为端点的弧记作
AB
，读作
弧
AB
.
与圆有关的概念
连接圆上的任意两点的
线段叫做
弦
，经过圆心的
弦叫做
直径
.
注意：同圆中所有半径都相等
圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆
.
大于半圆的
弧一叫做
优弧，小于半圆的弧叫做劣弧
,
知识精讲
与圆有关的概念
由弦及其所对的弧组成的图形叫做
弓形
.
能够重合的两个圆叫做等圆
，等圆
的半径相
等
.
在同圆或者等圆中，能够互相重合的弧叫做等
弧
.
证明
:
连接
AC,DB.
知识精讲
例题分析：
例
1
已知：如图
24-17
，
AB,CD
为⊙
O
的直径
.
求证：
AD//CB.
图
24-17
∵ AB,CD
为⊙
O
的直径
∴
OA=OB
，
OC=OD
∴
四边形
ABCD
为平行四边形
.
∴ AD//CB
合作与交流
1
.
如图，请正确的方式表示出以点
A
为端点的优弧及劣弧
.
2.
选择题
（
1
）下列
说法，
正确的是（ ）。
①线段是弦；②直径是弦；③经过圆心的弦是直径；④经过圆上一点有无数条直径。
A
、①②
B
、②③
C
、②④
D
、③④
合作与交流
答案：
B
（
2
）如图
，在⊙
O
中，点
A
、
O
、
D
以及点
B
、
O
、
C
分别在一条直线上，图中弦的条数为（ ）。
A
、
2 B
、
3
C
、
4 D
、
5
答案：
B
合作与交流
巩固提高
1.
从树木的年轮，可以很清楚的看出树生长的年龄。如果一棵
20
年树龄的红杉树的树干直径是
23cm,
这棵红杉树的半径平均每年增加多少？
23÷20=1.15
1.15÷2=0.575
小结
定义一： 在同一平面内，线段
OA
绕它固定的一个端点
O
旋转一周，另一个端点
A
随之旋转所形成的图形叫圆。固定的端点
O
叫做圆心，线段
OA
叫做半径。
从
运动和集合的观点理解圆的定义：
定义二：圆是到定点的距离等于定长的点的集合。
第
2
课时
赵州桥主桥拱的半径是多少？
情境导入
问题 ：你知道赵州桥吗
?
它的主桥是圆弧形
,
它的跨度
(
弧所对的弦的长
)
为
37.4m,
拱高
(
弧的中点到弦的距离
)
为
7.2m
，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
我们知道，等腰三角形，平行四边形，矩形，菱形，正方形等图形都具有对称性
.
那么圆是否具有对称性呢？根据它的对称性又能推出圆的哪些性质呢？
情境导入
1.
在纸上任意画一个⊙
O
，以⊙
O
的一条直径为折痕，把⊙
O
折叠，如图
24-18
，你发现了什么？
圆是轴对称图形，对称轴是圆所在平面内任意一条过圆心的直线
.
垂
径分弦
知识精讲
A
（
B
）
D
C
图
24-18
知识精讲
A
B
D
C
O
E
图
24-19
2.
在折叠⊙
O
后，用针在半圆上刺一个小孔，得两个重合的点
A,B,
如图
24-18.
把折叠的圆摊平，那么折痕
CD
是直径，点
A,B
是关于直线
CD
的一对对应点
.
连接
AB
，得弦
AB
，如图
24-19
，这时直径
CD
与弦
AB
有怎么的位置关系？
图
24-18
A
（
B
）
D
C
知识精讲
3.
直径
CD
把劣
弧 分成
与 两
部分，把优弧 分
成 与 两
部分，这
时 与
,
与 各
有怎样的关系？
A
B
D
C
O
E
图
24-19
知识精讲
垂直于弦的直径平分弦，
并且平分弦对的两条弧
.
垂径定理
·
O
A
B
D
E
图
24-20
C
CD
为⊙
O
的直径
CD⊥AB
条件
结论
⌒
⌒
⌒
⌒
AE=BE
AC=BC
AD=BD
圆心到弦的距离叫弦心距
.
例
2
如图
24-21
，⊙
O
的半径为
5cm
中，弦
AB
的长为
6cm
，求圆心
O
到
AB
的距离
.
知识精讲
平分弦 （不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
垂
径定理的推论
1:
E
A
B
.
O
图
24-21
知识精讲
例
3
赵州桥（图
24-22
）建于
1400
年前的隋朝，是我国石拱桥中的代表性桥梁，桥的下部呈圆弧形，它的跨度
(
弧所对的弦的长
)
为
37.4m,
拱高
(
弧的中点到弦的距离
)
为
7.2m
，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
图
24-22
知识精讲
解：如图，设半径为
R
，
在Ｒ
t⊿AOD
中，由勾股定理，
解得
R≈27.9
（
m
）
.
答：赵州桥的主桥拱半径约为
27.9m.
D
37.4
7.2
AB
=37.4,
CD
=7.2
R
18.7
R-7.2
得
合作与交流
8cm
1
．半径为
4cm
的⊙
O
中，弦
AB=4cm,
那么圆心
O
到弦
AB
的距离是
。
2
．⊙
O
的直径为
10cm
，圆心
O
到弦
AB
的
距离为
3cm
，则弦
AB
的长是
。
3
．半径为
2cm
的圆中，过半径中点且
垂直于这条半径的弦长是
。
A
B
O
E
A
B
O
E
O
A
B
E
巩固提高
1.
如图
,
在⊙
O
中
,
弦
AB
的长为
8cm,
圆心到
AB
的距离为
3cm,
则⊙
O
的半径为
.
·
A
B
O
∟
C
5 cm
2.
弓形的弦长
AB
为
24cm
，弓形的高
CD
为
8cm
，则这弓形所在圆的半径
为
.
(1)
题
(2)
题
12
8
13 cm
小结
方法归纳
:
1.
垂径定理
经常和
勾股定理
结合使用。
2.
解决有关弦的问题时，经常
（
1
）
连结半径
；
（
2
）
过圆心作一条与弦垂直的线段
等辅助线，为应用垂径定理创造条件。
请围绕以下两个方面小结本节课：
1
、从知识上学习了什么？
２、从方法上学习了什么？
小结
圆的轴对称性；垂径定理及其推论
（１）垂径定理和勾股定理结合
.
（２）在圆中解决与弦有关的问题时常作的辅助线
——
过圆心作垂直于弦的线段；
——
连接半径
.
第
3
课时
情境导入
圆是中心对称图形吗
?
它的对称中心在哪里
?
复习引课
圆是中心对称图形，
它的对称中心是圆心
.
情境导入
N
O
把圆
O
的半径
ON
绕圆心
O
旋转任意一个角度
，
N
O
N'
把圆
O
的半径
ON
绕圆心
O
旋转任意一个角度
，
情境导入
N
O
N'
定理：把圆绕圆心旋转任意一个角度后，仍与原来的圆
重合。
把圆
O
的半径
ON
绕圆心
O
旋转任意一个角度
，
由
此可以看出，点
N'
仍落在圆上
.
圆心角
，弧，弦，弦心距间的关系
知识精讲
·
圆心角
：我们把顶点在圆心的角叫做
圆心角
.
O
B
A
如
图，
∠
AOB
就是一个圆心角，
OC
就是弦心距
.
C
弦心距
：从圆心到弦的距离叫做
弦心距
.
知识精讲
将
圆心角∠
AOB
绕圆心
O
旋转到∠
A’OB’
的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？
探究
知识精讲
根据旋转的性质，将圆心角∠
AOB
绕圆心
O
旋转到∠
A
′
OB′
的位置时，显然
∠
AOB
＝∠
A′OB′
，射线
OA
与
OA′
重合，
OB
与
OB′
重合．而同圆的半径相等，
OA=OA′
，
OB=OB′
，从而点
A
与
A
′
重合，
B
与
B′
重合．
因此，弧
AB
与
弧
A
′
B
′
重合，
AB
与
A′B′
重合
．
⌒
AB
⌒
A
′
B
′
=
同样，还可以得到：
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角
_____
， 所对的弦
______
；
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角
______
，所对的弧
______
．
知识精讲
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等
，所对的
弦
也相等．
相等
相等
相等
相等
同圆或等圆中，
两个圆心角
、
两条
弧、两
条
弦中有
一组
量
相
等
，它
们
所
对
应的
其余各
组
量也
相等
．
定理与例题
知识精讲
1
°
弧
n
°
1
°
n°
弧
∵
把圆心角等分成
360
份
,
则每一份的圆心角是
1º.
同时整个圆也被分成了
360
份
.
则每一份这样的弧叫做
1º
的弧
.
这样
,1º
的圆心角对着
1º
的弧
,
1º
的弧对着
1º
的圆心角
.
n º
的圆心角对着
nº
的弧
,
n º
的弧对着
nº
的圆心角
.
性质
:
弧的度数和它所对圆心角的度数相等
.
性质
知识精讲
证明：
∵
=
∴
AB=AC
, △
ABC
等腰三角形．
又∠
ACB
=60°
，
∴
△
ABC
是等边三角形，
AB=BC=CA.
∴ ∠
AOB
＝∠
BOC
＝∠
AOC
.
A
B
C
O
例
4
如图，在
⊙
O
中
，
=
，∠
ACB=
60°
，
求证
:∠
AOB=
∠
BOC=
∠
AOC
.
合作与交流
例
5
在
图中，画出
⊙
O
的两条直径，一次连接这两条直径的端点，得到一个四边形
.
判断这个四边形的形状，并说明理由
.
解：这个四边形是矩形
.
理由
:
如图，
AC
、
BD
为⊙
O
的
两条直径，则
AC
=
BD
，且
AO
=
BO
=
CO
=
DO
.
连接
AB
、
BC
、
CD
、
DA
，则四边形
ABCD
为矩形
.
A
O
C
D
B
巩固提高
如图，
AB
是⊙
O
的径，
，
∠
COD=
35°
，求∠
AOE
的度数．
·
A
O
B
C
D
E
解
：
⌒
BC
⌒
CD
=
=
⌒
DE
⌒
BC
⌒
CD
=
=
⌒
DE
第
4
课时
情境导入
复习引课
类比确定直线的条件
:
经过一点可以作无数条直线；
经过两点只能作一条直线
.
●A
●A
●B
知识精讲
确定
圆的条件
思考
1.
作圆
,
使它过已知点
A.
你能作
出
几
个这样的圆
?
●
O
●
A
●O
●
O
●
O
●
O
2.
作圆
,
使它过已知点
A,B.
你能作出几个这样的圆
?
有何特点？
●
A
●
B
●
O
●
O
●
O
●
O
3
.
经过
A,B
,C
.
能不能作圆
?
知识精讲
2.
过已知点
A,B
作圆
,
可以作无数个圆
.
经过两点
A,B
的圆的圆心在线段
AB
的垂直平分线上
.
以线段
AB
的垂直平分线上的任意一点为圆心
,
这点到
A
或
B
的距离为半径作圆
.
你准备如何
(
确定圆心
,
半径
)
作圆？
其圆心的分布有什么特点
?
与线段
AB
有什么关系？
●
A
●
B
●
O
●
O
●
O
●
O
知识精讲
3.
作圆
,
使它过已知点
A,B,C(A,B,C
三点不在同一条直线上
),
你能作出几个这样的圆
?
老师提示
:
能否转化为
2
的情况
:
经过两点
A,B
的圆的圆心在线段
AB
的垂直平分线上
.
你准备如何
(
确定圆心
,
半径
)
作圆？
其圆心的位置有什么特点
?
与
A,B,C
有什么关系？
┓
●
B
●
C
经过两点
B,C
的圆的圆心在线段
AB
的垂直平分线上
.
┏
●
A
经过三点
A,B,C
的圆的圆心应该这两条垂直平分线的交点
O
的位置
.
●
O
知识精讲
请你作圆
,
使它过已知点
A,B,C(A,B,C
三点不在同一条直线上
).
以
O
为圆心
,OA(
或
OB,
或
OC)
为半径
,
作⊙
O
即可
.
请你证明你做得圆符合要求
.
●
B
●C
●
A
●O
证明
:∵
点
O
在
AB
的垂直平分线上，
∴⊙O
就是所求作的圆
,
┓
E
D
┏
G
F
∴OA=OB.
同理
,OB=OC.
∴OA=OB=OC.
∴
点
A,B,C
在以
O
为圆心的圆上
.
这样的圆可以作出几个
?
为什么
?
知识精讲
定
理
:
不
在一条直线上的三个点确定一个圆
.
在上面的作图过程中
.
老师期望
:
将这个结论及其证明作为一种模型对待
.
∵
直线
DE
和
FG
只有一个交点
O,
并且点
O
到
A,B,C
三个点的距离相等
,
∴
经过点
A,B,C
三点可以作一个圆
,
并且只能作一个圆
.
●B
●
C
●
A
●
O
┓
E
D
┏
G
F
知识精讲
分别作出锐角三角形
,
直角三角形
,
钝角三角形的外接圆
,
并说明与它们外心的位置情况
锐角三角形的外心位于三角形内
,
直角三角形的外心位
于
直
角三角形斜边中点
,
钝角三角形的外心位于三角形外
.
老师期望
:
作三角形的外接圆是必备基本技能
,
定要熟练掌握
.
A
B
C
●
O
A
B
C
C
A
B
┐
●
O
●
O
A
B
C
过如下三点能不能作圆
?
为什么
?
过什么样的三点能作圆呢
?
为什么
?
合作与交流
合作与交流
假设
过同一直线上三点
A
、
B
、
C
能作圆则
AB
的垂直平分线与
BC
的垂直平分线交于一点
E
这与过一点只有一条直线与已知直线垂直相矛盾，所以过同一直线上三点能不能作圆
.
A
B
C
E
过如下三点能不能作圆
?
为什么
?
不在同一直线上的三点确定一个圆
合作与交流
A
B
C
2
、 已知△
ABC
，能用直尺和圆规作出过点
A
、
B
、
C
的
圆
.
合作与交流
已知△
ABC
，用直尺和圆规作出过点
A
、
B
、
C
的
圆
.
O
A
B
C
解答提示：
1
、作
AB
的垂直平分线
EF
；
2
、作
BC
的垂直平分线
MN
交
EF
于
O
；
3
、以
O
为圆心
OA
为半径作圆，则过
A
、
B
、
C.
巩固提高
如图，
AB
是⊙
O
的直径
，
，
∠
COD=
35°
，求∠
AOE
的度数．
·
A
O
B
C
D
E
解
：
⌒
BC
⌒
CD
=
=
⌒
DE
⌒
BC
⌒
CD
=
=
⌒
DE
小结
（
1
）只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才唯一确定。
（
2
）经过一个已知点能作无数个
圆。
（
3
）经过两个已知点
A
、
B
能作无数个圆！这些圆的圆心在线段
AB
的垂直平分线上。
（
4
）不在同一直线上的三个点确定一个圆。
（
5
）外接圆，外心的概念。
第
24
章 圆
24.3
圆周角
第
1
课时
情境导入
复习引课
1.
圆心角的定义
?
.
O
B
C
答：在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、弦有其中的一组量相等，那么它们所对应的其余两个量都分别相等。
答
:
顶点在圆心的角叫圆心角。
2.
上节课我们学习了一个反映圆心角、弧、弦三个量之间关系的一个结论，这个结论是什么？
知识精讲
A
B
C
一个三角形，当它内接于一个圆时，它的任一个角都与圆有着特殊的位置关系
.
如
图，
∆
ABC
内接于⊙
O
，这时∠
A
的定点在圆上，∠
A
的两边
AB,AC
分别与圆还有另一个公共点
.
像这样，定点在圆上，并且两边都与圆还有另一个公共点的角叫做圆周角
.
知识精讲
类比圆心角探知圆周角
在同圆或等圆中
,
同弧或等弧所对的圆心角相等
.
在同圆或等圆中
,
同弧或等弧所对的圆周角有什么关系？
为了解决这个问题
,
我们先探究同弧所对的圆周角和圆心角之间的关系
.
你会画同弧所对的圆周角和圆心角吗
?
知识精讲
圆周角和圆心角的关系
教师提示
:
注意圆心角与圆周角的位置关系
.
（
1
） 折痕是圆周角的一条边，
（
2
） 折痕在圆周角的内部，
（
3
） 折痕在圆周角的外部．
知识精讲
如图
,
观察圆周角∠
ABC
与圆心角∠
AOC,
它们的大小有什么关系
?
说说你的想法
,
并与同伴交流
.
●
O
A
B
C
●
O
A
B
C
●
O
A
B
C
知识精讲
我们得到以下几种情况
.
①∠ABC
的一边
BC
经过
圆心
O
。
②∠ABC
的两边都不经过圆心
O
。
③∠ABC
的两边都不经过圆心
O
。
B
A
O
C
①
A
B
C
O
②
B
A
C
O
③
请问∠
ABC
与∠
AOC
它们
的大小有什么关系？说说
你的想法，并与同伴进行
交流。
知识精讲
下面我们首先考虑同学们列举的一种特殊情况，即∠
ABC
的一边
BC
经过圆心
O.
B
A
O
C
∵ ∠AOC
是△
ABO
的外角，
∴ ∠AOC=∠ABO+∠BAO.
∵ OA=OB
，
∴ ∠ABO=∠BAO.
∴ ∠AOC=2∠ABO
，
∴ ∠ABC= ∠AOC.
1
-
2
那么当∠
ABC
的两边都不经过圆心
O
时，∠
ABC
与∠
AOC
又有怎样的大小关系呢？
A
B
C
O
B
A
C
O
我们可以考虑把这两种情况分别转化成刚才的特殊情形来考虑
.
也就是借用直径，连接
BO
并延长，与圆相交于点
D.
知识精讲
（此时我们得到与图①同样的情形）
A
B
C
O
D
1
3
2
B
A
O
C
①
5
4
∵ ∠1
是△
ABO
的
外角，
∴ ∠1=∠2+∠3.
∵ OA=OB
，
∴ ∠2=∠3.
∴ ∠1=2∠2
.
知识精讲
B
A
C
O
B
A
O
C
①
如图，连接
BO
并延长，与圆相交于点
D
。（此时我们得到与图①同样的情形）
D
∵ ∠AOD
是△
ABO
的
外角
,
∴ ∠AOD=∠A+∠ABO.
∵ OA=OB
,
∴ ∠A=∠ABO.
∴ ∠AOD=2∠ABD
,
知识精讲
如图，连接
BO
并延长，与相交于点
D
。（此时我们得到与图①同样的情形）
B
A
C
O
B
A
O
C
①
D
∵ ∠AOD
是△
ABO
的
外角
,
∴ ∠ABD=∠A+∠ABO.
∵ OA=OB
,
∴ ∠A=∠ABO.
∴ ∠AOD=2∠ABD
,
知识精讲
B
A
C
O
B
A
O
C
①
如图，连接
BO
并延长，与圆
O
相交于点
D
。（此时我们得到与图①同样的情形）
D
∵ ∠AOD
是△
ABO
的
外角
,
∴ ∠ABD=∠A+∠ABO.
∵ OA=OB
,
∴ ∠A=∠ABO.
∴ ∠AOD=2∠ABD
,
知识精讲
通过对三种情形的证明，同学们再认真观察图形，你会得到什么结果？
B
A
O
C
A
B
C
O
B
A
C
O
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的
。
一半
知识精讲
知识精讲
由定理可得
推论
1
在同圆或者等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等（图
24-36
）
.
推论
2
半圆或直径所对的圆周角是直角；
90°
的圆周角所对的弦是直径（图
24-37
）
.
例
1
如图
24-38
，
AB
为⊙
O
的直径，弦
CD
交
AB
于点
P
，∠
ACD=60°
，∠
ADC=70°
，求∠
APC
的度数
.
解：连接
BC
，则∠
ACB=90°,
∠DCB=∠ACB-∠A
C
D=30°.
∴ ∠APC =∠BAD+∠ADC=30°+70°=100°.
合作与交流
分析：∠
APC
等于圆周角∠
BAD
与∠
ADC
之和
.
又 ∵ ∠
BAD=∠DCB=30°
，
A
O
C
B
如图，在⊙
O
中，∠
BOC=50
°
，
则∠
BAC=
。
25
°
变化题
2
：如图，∠
BAC=40
°
，则∠
OBC=
。
A
B
C
O
变化题
1
：如图，点
A
，
B
，
C
是⊙
O
上的三点， ∠
BAC=40
°
，则∠
BOC=
。
50
°
80
°
合作与交流
如
图，
OA
，
OB
，
OC
都是⊙
O
的半径，∠
AOB=2∠ BOC
，∠
ACB
与∠
BAC
的大小有什么关系？为什么？
A
B
C
O
解：∠
ACB=2∠BAC.
理由
:
∵ ∠AOB=2∠
ACB,
∠BOC=2∠
BAC,
∠AOB=2∠
BOC,
∴ 2∠ACB =2
（
2∠BAC
）
.
∴∠ACB=2∠BAC.
巩固提高
到
目前为止
,
我们学习到和圆有关的角有几个
?
它们各有什么特点
?
相互之间有什么关系
?
答
:
和圆有关的角有圆心角和圆周角
.
圆心角顶点在圆心
;
圆周角顶点在圆上，角的两边和圆相交。一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
小结
第
2
课时
情境导入
复习巩固
A
B
C
O
1.
如图，∠
BOC
是
角，∠
BAC
是
角
.
若∠
BOC=80
°
，∠
BAC=
.
圆心
圆周
40
°
2.
如图，点
A
，
B
，
C
都 在⊙
O
上，若∠
ABO=65
°
，则∠
BCA=
（ ）
25
°
B.32.5
°
C. 30
°
D.45
°
A
B
C
O
A
1.
如图，
A
，
B
，
C
，
D
是⊙
O
上的四点，
AC
为⊙
O
的直径，请问∠
BAD
与∠
BCD
之间有什么关系？为什么？
A
B
C
O
D
解：∠
BAD
与∠
BCD
互补。
∵
AC
为直径，
∴∠
ABC=90°,
∠
ADC=90°
。
∵
∠
ABC+
∠
BCD+
∠
ADC+
∠
BAD=360°
，
∴
∠
BAD+
∠
BCD=180°
。
∴
∠
BAD
与∠
BCD
互补。
情境导入
知识精讲
一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做
圆的内接多边形
，这个圆叫做这个
多边形的外接圆
.
如图
24-39
，四边形
ABCD
内接于⊙
O
，这时，它的每一个角都成为圆周角
.
利用圆周角定理，我们来研究圆内接四边形的角之间的关系
.
A
B
C
O
D
E
图
24-39
知识精讲
定理：
圆内接四边形的对角互补，且任何一个外角都等于它的内对角
.
例
在圆内接四边形
ABCD
中，∠
A
，∠
B
，∠
C
的度数之比是
2:3:6
，求这个四边形各角的度数
.
解：设∠
A
，∠
B
，∠
C
的度数分别等于
2x°,3x°,6x°.
∴∠A+∠C=∠B+∠D=180°.
∵ 四边形ABCD内接于圆，
∵ 2x+6x=180°，
∴ x=22.5°.
∴ ∠A=45°，∠B=67.5°，∠C=135°，∠D=180°-67.5°=112.5°.
合作与交流
在圆内接四边形
ABCD
中，∠
A
与∠
C
的度数之比为
4:5
，求∠
C
的度数
.
解
:∵
四边形
ABCD
是圆内接四边形，
∴∠
A+
∠
C=180°
（圆内角四边形的对角互补）
.
∵∠
A:∠C=4:5
，
∴ .
即∠
C
的度数为
100°
.
合作与交流
1.
如图，在⊙
O
中，∠
BOD=80°
，求∠
A
和∠
C
的度数
.
A
B
C
O
D
解：∵ ∠
BOD =80°
，
∴ .
（圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半）
.
∵四边形
ABCD
是圆内接四边形，
∴
∠
DAB+∠BCD=180°.
∴∠
BCD=180°-40°=140°
（圆内接四边形的对角互补）
.
2.
如
图，
OA,OB,OC
都是⊙
O
的半径，
∠AOB=2∠BOC，
∠ ACB与∠BAC
的大小有什么关系？为什么？
A
B
C
O
解：∠
ACB=2∠BAC.
理由
:
∵ ∠AOB=2∠
ACB,
∠BOC=2∠
BAC,
∠AOB=2∠
BOC,
∴ 2∠ACB =2
（
2∠BAC
）
,
∴∠ACB=2∠BAC.
巩固提高
小结
1.
要理解圆周角定理的推论
.
2.
构造直径所对的圆周角是解答圆中问题的常用方法
.
3.
要多观察图形，善于识别圆周角与圆心角，构造同弧所对的圆周角也是常用方法之一
.
4.
圆周角定理建立了圆心角与圆周角的关系，而同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间又存在等量关系，因此，圆中的角（圆周角和圆心角）、弦、弧等的相等关系可以互相转化
.
但转化过程中要注意以圆心角、弧为桥梁，如由弦相等只能得弧或圆心角相等，不能直接得圆周角相等
.
第
24
章 圆
24.4
直线与圆的位置关系
点和圆的位置关系有几种？
点到圆心的距离为
d
，圆的半径为
r
，则：
点在圆外
d>r;
点在圆上
d=r
；
点在圆内
d
5cm
d =
5cm
0cm
≤
d < 5cm 2 1 0 例： 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？为什么？ ( 1 ) r=2cm； ( 2 ) r=2.4cm；(3)r=3cm． B C A 4 3 分析：要了解AB与⊙C的位置关系，只要知道圆心C到AB的距离d与r的关系．已知r，只需求出点C到AB的距离d即可。 D d 解：过点 C 作 CD⊥AB ，垂足为 D 在△ ABC 中， AB= 5 根据三角形的面积公式有 ∴ 即圆心 C 到 AB 的距离 d=2.4cm 所以 (1) 当 r=2cm 时 , 有 d>r,
因此⊙
C
和
AB
相离。
B
C
A
4
3
D
d
（2）当r=2.4cm时,
有d=r,
因此⊙C和AB相切。
（3）当r=3cm时，
有d
查看更多
Copyright 2004-2019 ttzyw.com All Rights Reserved 闽ICP备18023965号-4
天天资源网声明：本站点发布的文章作品均来自用户投稿或网络整理，部分作品未联系到知识产权人或未发现有相关的知识产权登记