资料简介
第二十八章 锐角三角函数
28.1 锐角三角函数
直角三角形ABC可以简记为Rt△ABC，你能说出
各条边的名称吗？
┓
C
斜边 c
邻边
对边
a
b
C
┓
A
B
某商场有一自动扶梯，其倾斜角为30°，高为7m，扶梯的
长度是多少?
B
AC
┓ 30°
7m
实际问题
在上面的问题中，如果高为10m ，
扶梯的长度是多少？
已知等腰直角三角形ABC，∠C=90 °，计算∠A的对
边与斜边的比 ，你能得出什么结论？
BC
AB
A
BC ┓
在Rt△ABC中, ∠C＝90°．
当∠A＝30°时,
当∠A＝45°时,
1
2
A BC
AB
的对边
斜边
A BC 2
AB 2
的对边
斜边
固定值
固定值
在直角三角形中，对于锐角A的每一个确定的
值，其对边与斜边的比值也是唯一确定的吗？
想一想
所以 ＝ ＝
B C
AB
1 1
1
B C
AB
3 3
3
Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2∽Rt△AB3C3
所以，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不论三角
形的大小如何， ∠A的对边与斜边的比是一个固定值．
观察右图中的Rt△AB 1 C 1 、
Rt△AB2C2和Rt△AB3C3，∠A的
对边与斜边有什么关系？
B C
AB
2 2
2
在Rt△ABC中， ∠C=90 °，我们把锐角A的对边与
斜边的比叫做∠A的正弦（sine），记作sinA，即
sin A aA c
的对边
斜边 一个角的正弦
表示定值、比
值、正值．
知识要点
正弦
在直角三角形中， 对于锐角A的每一个确定的
值，其邻边与斜边、对边与邻边的比值也是唯一
确定的吗？
想一想
在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三
角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比，∠A的邻边与
斜边的比， ∠A的对边与邻边的比都是一个固定值．
归纳
在Rt△ABC中， ∠C=90 °，我们把锐角A的邻边
与斜边的比叫做∠ A的余弦（cosine），记作cosA，
即
cos A bA c
的邻边
斜边 一个角的余弦
表示定值、比
值、正值．
知识要点
余弦
在Rt△ABC中， ∠C=90 °，我们把锐角A的对边
与邻边的比叫做∠ A的正切（tangent），记作tanA，
即
A atanA A b
的对边
的邻边 一个角的正切
表示定值、比
值、正值．
知识要点
正切
锐角三角函数
锐角A的正弦、余弦、正切叫做∠A的锐角三角
函数（trigonometric function of acute angle）
知识要点
1．sinA、cosA、tanA 是在直角三角形中定义的，
∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)．
2．sinA、 cosA、tanA 是一个比值（数值）．
3．sinA、 cosA、 tanA 的大小只与∠A的大小
有关，而与直角三角形的边长无关．
提示
1、如图1，在Rt△MNP中，∠N＝90゜.
∠P的对边是_________,∠P的邻边是___________;
∠M的对边是________,∠M的邻边是___________.
2、设Rt△ABC， ∠C＝90゜ ，∠A、
∠B、 ∠C的对边分别为a、b、c，根据
下列所给条件求∠B的三个三角函数值.
a=5，c=13.
A
B
C
c
a
bb
a
A
AA
c
bAA
c
aAA
的邻边
的对边正切函数：
斜边
的邻边余弦函数：
斜边
的对边正弦函数：
tan
cos
sin
课堂小结
第二十八章 锐角三角函数
28.2 解直角三角形及其应用
28.2.1 解直角三角形
导入新课
复习引入
A C
B
c
b
a(1) 三边之间的关系:a2+b2=_____；
(2)锐角之间的关系：∠A+∠B=_____；
(3)边角之间的关系：sinA=_____，cosA=_____，
tanA=_____.
问题 如图，在Rt△ABC中，共有六个元素（三条边，
三个角）， 其中∠C=90°，那么其余五个元素之间有怎
样的关系呢？
c2
90°
a
c
b
ca
b
讲授新课
已知两边解直角三角形一
如图，在Rt△ABC中，
（1）根据∠A＝75°，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角
形的其他元素吗？
A
B
Cα
sin sin 6 sin 75BCA BC AB AAB
cos cos 6 cos75ACA AC AB AAB
90 90 90 75 15 .A B B A
6
=75°
互动探究
如图，在Rt△ABC中，
（2）根据AC＝2.4，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角
形的其他元素吗？
2 2 2 2 2 2 26 2.4 5.5AB AC BC BC AB AC
2.4cos cos 0.4 666
ACA A AAB
90 90 90 66 24A B B A
A
B
C
α
6
2.4
在直角三角形中，除直角外有5个元素（即3条边、2个
锐角），只要知道其中的2个元素（至少有1个是边），就可
以求出其余的3个未知元素.
由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，
叫作解直角三角形.
已知一边及一锐角解直角三角形二
典例精析
例2 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，
b=20,解这个直角三角形(结果保留小数点后一位).
A
B C
b=20c
a
35°
解：
tan ,bB a
90 =90 35 =55 .A B ∠ ∠
20 28.6.tan tan35
ba B
∴
sin ,bB c
20 34.9.sin sin35
bc B
∴
例3 如图，已知AC=4，求AB和BC的长．
解析：作CD⊥AB于点D，根据三角函数的定义，
在Rt△ACD，Rt△CDB中，即可求出CD，AD，
BD的长，从而得解．
在Rt△CDB中，∵∠DCB=∠ACB-∠ACD=45°，
D
解：如图，作CD⊥AB于点D.
在Rt△ACD中，∵∠A=30°，
∴∠ACD=90°-∠A=60°，
1 2,2CD AC ∴ =
3cos 4 2 3.2AD AC A =
∴BD=CD=2， 2 2 2.cosBC DCB
∠
2 2 3.AB AD BD ∴
已知一锐角三角函数值解直角三角形三
例4 如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，cosA = ，
BC = 5， 试求AB的长.
1
3
解：
AC
B
190 cos 3C A ， ， 1.3
AC
AB
设 1, 3AB x AC x ，
2 2 2AB AC BC ，
2
2 21 53x x
1 2
15 2 15 2, .4 4x x （舍去）
∴AB的长为
15 2 .4
在解直角三角形中，已知
一边与一锐角三角函数值，
一般可结合方程思想求解.
练一练
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ，BC=6，则 AB=（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
3
5
D
2.如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，EC=4，sinB＝ ，
则菱形的周长是（ ）
A．10 B．20
C．40 D．28
4
5
C
图②当△ABC为锐角三角形时，如图②，
BC=BD+CD=12+5=17.
图①
解：∵cos∠B= ，∴∠B=45°.
2
2
当△ABC为钝角三角形时，如图①，
=12 2 =45AB B ∵ ，∠ ，
= = cos 12.AD BD AB B ∴
∵AC=13，∴由勾股定理得CD=5，
∴BC=BD-CD=12-5=7.
∴BC的长为7或17.
当三角形的形状不确定时，
一定要注意分类讨论.
例5 在△ABC中，AB= ，AC=13，cos∠B= ，
求BC的长.
12 2 2
2
当堂练习
2.如图，在Rt△ABC中，斜边BC上的高AD=3，
cosB= ，则AC的长为（ ）
A．3 B．3.75 C．4.8 D．5
4
5 B
1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
AB=8，则BC的长是（ ）
4 3A. 4 B.4 C.8 3 D.4 3
D
3. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=6， ∠BAC的平分
线 ，解这个直角三角形.4 3AD
D
A
BC
6 4 3
解： 6 3cos 24 3
ACCAD AD
，
30CAD ，
因为AD平分∠BAC ，
60 , 30CAB B ，
12, 6 3.AB BC
4.在Rt△ABC 中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形.
（1）a = 30 , b = 20 ；
解：根据勾股定理得
2 2 2 230 20 10 13,c a b
30 3tan 1.5,20 2
aA b
56.3 .A ∴
90 90 56.3 33.7B A ∴ ；
A
B
Cb=20
a=30c
在Rt△ABC 中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形.
(2) ∠B＝72°，c = 14.
A
B C
b
a
c=14
解： sin ,bB c
sin 14 sin 72 13.3.b c B
90 72 18 .A
cos ,aB c
cos 14 cos72 4.33.a c B
5.如图，在△ABC 中，∠B=30°，∠C=45°，AC=2，求BC.
D
A
B
C
2 6tan 3
3
AD .B
解：过点 A 作 AD⊥BC 于D.
在△ACD中，∠C=45°，AC=2，
∴CD=AD=sinC·AC=2sin 45°= .
在△ABD 中，∠B=30°，
∴BD=
∴BC=CD+BD=
2
2 6.
解直角三
角形
依据
解法:只要知道五个元素中的两个
元素（至少有一个是边），就可
以求出余下的三个未知元素
勾股定理
两锐角互余
锐角的三角函数
课堂小结
28.2.2 应用举例
——什么是仰角、俯角？如何将实际问题转化为解
直角三角形的问题？
——什么是坡度、坡比？
——如何将实际问题转化为解直角三角形的问题？
在进行测量时，从下
向上看，视线与水平线的
夹角叫做仰角；
从上往下看，视线与
水平线的夹角叫做俯角.
在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注
明斜坡的倾斜程度．
如图，坡面的铅直高度(h)和水平长度(l)的比叫做坡
面的坡度(或坡比)，记作i，即 .
l
hi
坡度通常写成1:m的形式，如 i＝1:6．坡面与水平面
的夹角叫做坡角，记作α，有
l
hi
显然，坡度越大，坡角α就
越大，坡面就越陡．
＝ tan α．
1、学生探究：在RtΔABC中，若∠C =90°，
问题1：两锐角∠A、 ∠B有什么关系？
问题2：三边a、b、c的关系如何？
问题3： ∠A与边的关系是什么？
2、数学知识、数学运用
解直角三角形有下面两种情况：
（1）已知两条边求直角三角形中的其他元素；
（2）已知一边及一角求直角三角形中的其他元素.
13125 22
例1 如图，一 棵大树在一次强烈的地震中于离地面 5米
处折断倒下，树顶落在离树根12米处，大树在折断之前高
多少？
解：利用勾股定理可以求出折断后
倒下部分的长度为
13+5=18 （米）
答：大树在折断之前高为18米.
5m
12m
例2 如图，在相距2000米的东、西两座炮台A、B处同时发现
入侵敌舰C，炮台A测得敌舰C在它的南偏东400的方向，炮台
B测得敌舰C在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离.（精确
到1米）
A
D
C
B
400
2000
例3 如图，为了测量旗杆的高度BC，在离旗杆底部10米的A处，
用高1.50米的测角仪DA测得旗杆顶端C的仰角 α=52°.求旗杆
BC的高.
解：在Rt△CDE中，
CE=DE×tanα=AB×tanα=10×
tan52°≈12.80.
BC=BE+CE=DA+CE
≈1.50+12.80=14.3.
答：旗杆BC的高度约为14.3米.
1.(1) 如图，一辆消防车的梯子长为18 m，与水平面间
的夹角为60°，如果这辆消防车的高度为2 m，求梯子
可达到的高度．AC=100 m
(2) 我军某部在一次野外训练中，有一辆坦克准备通过
一座小山，已知山脚和山顶的水平距离为100米，山高
为100米，如果这辆坦克能够爬30°的斜坡，试问：它
能不能通过这座小山？
A C
100 米
100 米
B
D
C
B
A
2.（1）某货船沿正北方向航行，在点A处测得灯塔C在北
偏西30°，船以每小时20海里的速度航行2小时，到达
点B后，测得灯塔C在北偏西60°方向，请问当这艘货船
到达C的正东方向时，船距灯塔C有多远？
（2）如图，某电信部门计划修建一条连接B、C两地的电
缆，测量人员，在山脚A点测得B、C两地的仰角分别为
30°、45°，在B地测得C地的仰角为60°．已知C地比A
地高200米，电缆BC至少长多少米？
3.(1)植树节，某班同学决定去坡度为1︰2的山坡上种树，要
求株距（相邻两树间的水平距离）是6 m，则斜坡上相邻两树
间的坡面距离为 .
（2）某人沿着坡角为45 °的斜坡走了310 m，则此人的垂直
高度增加了________m .
小结
解直角三角形有下面两种情况：
(1) 已知两条边求直角三角形中的其他元素.
(2) 已知一边及一角求直角三角形中的其他元素.
(3)理解仰角、俯角的概念，能将实际问题转化为解直
角三角形问题.
(4)知道坡度、坡角的概念，能利用解直角三角形的知
识，解决与坡度、坡角有关的实际问题。
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