资料简介
第
4
章 一次函数
4.1
函数和它的表示法
4.1.1
变量
与函数
看图回答：
（
1
）这天的
6
时、
10
时和
14
时的气温分别为多少
？
任意
给出这天中的某一时刻，说出这一时刻的气温．
（
2
）这一天中，最高气温是多少？最低气温是多少？
（
3
）这一天中，什么时段的气温在逐渐升高？什么时段的气温在逐渐降低？
从图中我们可以看到
：
随着时间
t
（时）的变化，
相应地气温
T
（℃）也随之变化．
自主预习
2
、银行对各种不同的存款方式都规定了相应的利率，下表是
2002
年
7
月中国工商银行为“整存整取”的存款方式规定的利率：
观察上表，说说随着存期
x
的增长，相应的利率
y
是如何变化的．
随着存期
x
的增长，相应的利率
y
增大
.
3
、收音机上的刻度盘的波长和频率分别是用米（
m
）和千赫兹（
kHz
）为单位标刻的．下面是一些对应的数：
细心的同学可能会发现：
l
与
f
的乘积是一个定值，
即
lf
＝
300 000
，
或者说：
f
=
．
说明波长
l
越大，频率
f
就
____________
．
越小
我们研究了一些数量关系，它们都刻画了某些
变化规律
．
这里出现了各种各样的量，特别值得注意的是出现了一些
数值会发生变化的量．
例如
,
在
问题
1
中，刻画气温变化规律的量是时间
t
和气温
T
，气温
T
随着时间
t
的变化而变化，它们都会取不同的数值．
像这样在某一变化过程中，取值会发生变化的量叫作
变量．
在其他三个问题中，有哪些变量？
议一议
上述几个例子中我们都是研究了两个变量之间的关系．
你能概括出上面各问题中两个变量之间的关系的共同点吗？
在上面问题中，都出现了两个变量，它们互相依赖，密切相关．
一般地，
如果变量
y
随着变量
x
而变化，并且对于
x
取的
每一个值，
y
都有唯一的一个值与它对应，那么称
y
是
x
的函数（
function
）
,
记作
y
=
f
(
x
).
这时
把
x
叫作
自变量
，把
y
叫作
因变量
.
对于
自变量
x
取的
每一个值
a
，因变量
y
的对应值称为
函数
值
.
对于自变量
x
取
的
每一个值，
y
都有唯一的值与之对应
，
我们就说
x
是自变量
（
independent variable
），
y
是因变量
（
dependent variable
），此时也称
y
是
x
的
函数
（
function
）．
新知探究
例
1
已知圆柱的高是
4cm
，底面半径是
r
（
cm
）
,
当圆柱的底面半径
r
由小变大时，圆柱的
体积
V
(cm
3
)
是
r
的函数。
（
1
）用含
r
的代数式来表示圆柱的
体积
V
，
指出自变量
r
的取值
范围
.
（
2
）当
r
=5
，
10
时，
V
是多少？（结果
保留 ）
（
2
）
函数的概念
（
3
）函数的判断
( 1 )
变量、常量的
概念
知识梳理
一、
写出下列各问题中的关系式，并指出其中的自变量与函数。
（
1
）正方形的面积
S
随边长
x
的变化；
（
2
）某村的耕地面积是
10
6
m
2
，这个村的人均耕地面积
y
随着人数的变化而变化；
（
3
）正多边形的内角和度数
y
随边数
n
的变化
情况
.
S
=
x
2
y
= (
n
-2) ×180°
随
堂
练
习
二、
1.
下列
关系，
y
不是
x
的函数的是（ ）
D
2
.
在
a
=180
（
n
－
2
）中的常量是
,
变量是
____.
3.
在
5
x
+2
y
=3
中，把
y
表示成
x
的函数为
，其中常量是
，变量
是
；当
x
=5
时，函数
值为
；当
x
为
时，函数值
y
为
30.
5
．
一蓄满水的水池正在放水，剩余水量
y
与时间
t
的关系式为
y
=600-50
t
，其中自变量是
.
给定了
t
，请你完成下表：
时间
t
0
1
2
3
4
…
剩余水量
y
…
综上所述，我们说
是
的函数。
4
．一个长方体
的底面积为
4 cm²
，高为
x
cm
，则其体积
V
关于
x
的函数表达式是＿＿＿，当
x
=2cm
时，函数值是＿＿＿＿．
4.1.2
函数
的表示法
下列各式，
x
是
自变量，请
判断
y
是不是
x
的
函数？若是，求出自变量的取值范围。
3.
y
＝
-
4.
y
=
1.
y
＝
2
x
2.
y
＝
知识回顾
表示方法
定义
特点
通过列表给出自变量与函数的对应值
能直接显示自变量的值
和与之对应的函数值
用图象表示两个变量之间的关系
形象
、
直观地显示数据的
变化规律
用
式子表示函数关系的方法
简单明了，能准确地反映
整个变化过程中自变量
与函数的对应关系
函数的三种表示方法
列表法
图象法
公式法
函数的三种表示方法：图象法、列表法
、公式
法。
函数的图象及画法
(
重点
)
例
1
图
1
中的折线
ABCD
描述了一辆汽车在某一直线
上的
行驶过程中，汽车离出发地的距离
s
(km)
和行驶时间
t
(h)
之间的
函数关系，根据图中提供的信息，回答下列问题：
图
1
图
2
A
．最高气温
是
10
℃
，最低气温
是
2
℃
B
．最高
气温是
6
℃
，最低
气温是
2
℃
C
．最高
气温是
6
℃
，最低
气温是－
2 ℃
D
．最高
气温是
10
℃
，最低
气温是－
2 ℃
随
堂
练
习
1
.
图
2
是
某
市
201
8
年
某日的气温随时间变化的图象，那么
这一天
（
D
）
2.
如果
A
，
B
两人在一次百米赛跑中，路程
s
（米）与赛跑的时间
t
（秒）的关系如图
，那么下列
说法正确的是（ ）
A.
A
比
B
先
出发
B.
A
，
B
两
人的速度相同
C.
A
先
到达终点
D.
B
比
A
跑
的路程多
3.
某人早上进行登山活动，从山脚到山顶休息一会儿又沿原路返回，若用横轴表示时间
t
，纵轴表示与
山脚的距离
h
，则下列
四个图反映
全程
h
与
t
的关系图是（ ）
C
D
4
．孙小明骑车去学校，路上车子出了故障，修了一会，如果用横坐标表示时间
t
，纵坐标表示路程
s
，下列各图能较好地反映
s
与
t
之间函数关系的是（
C
）
t
(h)
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
…
s
(km)
0
30
60
90
120
150
180
…
5
．一辆汽车以
60 km/h
的速度匀速行驶，试用不同方式表示
汽车行程
s
(km)
与行驶时间
t
(h)
的函数关系．
解：
(1)
列表法：
(2)公
式法：
s
＝
60
t
(
t
≥0)
．
(
3)
图象法：如图
4.
图
4
6
、
王
芳
今天到学校参加初中毕业会考，从家里出发走
10
分钟到离家
500
米的地方吃早餐，吃早餐用了
20
分钟
；再用
10
分钟
赶到离家
1000
米的学校参加考试．下列图象，能反映这一过程的是（ ） ．
D
A
x
/
分
y
/
米
O
1500
1000
500
10 20
30 40 50
B
x
/
分
y
/
米
O
1500
1000
500
10 20
30 40
50
1500
1000
500
C
x
/
分
y
/
米
O
10
20 30 40 50
D
x
/
分
y
/
米
O
10 20
30 40
50
1500
1000
500
7
、
甲、乙两名同学骑自行车从Ａ地沿同一条路到Ｂ地，已知乙比甲先出发．他们离出发地的
距离
s
/km
和骑行时间
t
/h
之间的函数关系如图，给出下列说法：
a.
他们都骑
了
20
km
；
b
.
乙在途中停留
了
0.5h
；
c.
甲和乙两人同时到达目的地
；
d
.
甲、乙
两人途中没有相遇过．
根据图象信息，以上说法
正确
的有（
）
Ｂ
s
/km
t
/h
B
.
２
个
D
.
４
个
C.3
个
甲
乙
A.1
个
7
时和
12
时
7—12
时
0 —7
时和
12—24
时
（
1
）这一天内，上海和北京何时气温相同？
（
3
）这一天内，上海在哪段时间比北京的气温低？
（
2
）这一天内，上海在哪段时间比北京的气温高？
8
、看图回答问题：
知识梳理
函数有哪些表示法？
第
4
章 一次函数
4.2
一次函数
1.
某地电费的单价为
0.8
元
/
（
kW
·
h
），请用表达式表示
电费
y
（元）与所用电量
x
（
kW
·
h
）之间的函数关系
.
2.
某弹簧秤最大能称不超过
10kg
的物体，秤的原长为
10cm
，每挂
1kg
的物体，弹簧伸长
0.5cm.
挂上重物后弹簧的长度为
y
（
cm
），所挂物体的质量为
x
（
kg
）
.
请用表达式表示弹簧的长度
y
与所挂物体质量
x
之间的函数关系
.
思考
在问题
1
中，用电量
x
（
kW
·
h
）是自变量，电费
y
（元）是
x
的函数
，它们之间的数量关系
为电费
=
单价×
用电量，即
y
=0.8
x
.
①
②
在问题
2
中，所挂物体质量
x
（
kg
）是自变量，弹簧的长度
y
（
cm
）是
x
的函数，它们之间的数量关系为
弹簧长度
=
原长
+
弹簧伸长量，
即
y
=10+0.5
x
.
讨论
函数①、②式有什么共同的特征？
一次函数
像
y
=0.8
x
，
y
=10+0.5
x
一样，它们都是关于自变量的一次式，
像这样
的函数称为
一次函数
.
它的一般形式是：
y
=
kx
+
b
（
k
，
b
为常数，
k
≠0
）
.
特别地，当
b
=0
时，一次函数
y
=
kx
（
k
为常数，
k
≠0
）也叫作
正比例函数
，其中
k
叫作比例系数
.
上述问题中，分别有：每使用
1kW
·
h
电，需付费
0.8
元；每
挂上
1kg
物体，弹簧伸长
0.5cm.
可以看出，一次函数的特征是：
因变量随自变量的变化是均匀的
（即自变量每增加
1
个最小单位，因变量都增加（或减少）相同的数量）
.
一次函数
y
=
kx
+
b
（
k
，
b
为常数，
k
≠0
）的自变量取值范围是
实数
.
但在实际问题中，要根据具体情况来确定它的自变量的
取值
范围
.
例如，在第
1
个问题中，自变量的取值范围是
x
≥0
；在第
2
个问题中，自变量
x
的取值范围是
0≤
x
≤10.
【例】科学研究发现，海平面以上
10km
以内，海拔每
升高
1km
，气温下降
6
°
C
.
某时刻，若甲地地面气温为
20
°
C
，设
高出地面
x
（
km
）处的气温为
y
（°
C
）
.
（
1
）求
y
（°
C
）随
x
（
km
）而变化的函数表达式
.
（
2
）若有一架飞机飞过甲地上空，机舱内仪表
显示飞机外面的
温度
为
-
34
°
C
，求飞机离地面的高度
.
解：（
1
）高出地面的高度
x
（
km
）是自变量，高出地面
x
km
处
的气温
y
（°
C
）是
x
的函数，它们之间
的数量关系为甲
地高出地面
x
km
处的气温
=
地面温度
-
下降的气温
，即
y
=20-6
x
.
（
2
）当
y
=-34
时，
20-6
x
=-34
，解得
x
=9.
答：此时飞机离地面的高度为
9km.
1.
下列函数，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？
， ， ，
，
.
解：一次函数：
，
，
；
正比例
函数：
.
练习
2.
某租车公司提供的汽车，每辆车日租金为
350
元，每
行驶
1km
的附加费用为
0.7
元
.
求租一辆汽车一天的费用
y
（元）随行驶路程
x
（
km
）而变化的函数表达式，并求当
y
=455
时，
x
的值
.
解：
y
=350+0.7
x
.
当
y
=455
时，
x
=150.
通过本节
课
，你有
什么
收获？
你还存在哪些疑问，和同伴交流
.
我思
我
进步
第
4
章 一次函数
4.3
一次函数的图象
新知探究
1
画出正比例函数
y
=2
x
的图象
.
绘制函数图象的一般方法为描点法，描点法的步骤为：列表、描点、连线
.
列表
：先取自变量
x
的一些值，计算出相应的函数值，列成表格如下：
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y
…
-6
-4
-2
0
2
4
6
…
描点
：建立平面直角坐标系，以自变量值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出这些点，如图
.
y
x
1
1
2
2
3
4
5
O
-1
-1
-2
-2
-3
-3
-4
-5
3
6
-6
连线
：观察描出的这些点的分布，我们可以猜测
y
=2
x
的图象是经过原点的一条直线，数学上可以证明这个猜测是正确的
.
因此，用一条直线将平面直角坐标系中的各点连接，即可得到
y
=2
x
的图象，如图
.
y
=2
x
类似地，数学上已经证明：
正比例函数
y
=
kx
（
k
为常数，
k
≠0
）的
图象是一条直线
.
由于两点确定一条直线，因此画正比例
函数
的图象，只要描出图象上的两个点，然后过这两点作一条直线即可
.
我们常常把这条直线叫作“直线
y
=
kx
”.
【例
1
】
画出正比例函数
y
=-2
x
的图象
.
解：当
x
=0
时，
y
=0
；当
x
=1
时，
y
=-2.
在平面直角坐标系中描出两点
O
（
0
，
0
），
A
（
1
，
-2
），过这两点作直线，则这条直线
是
y
=-2
x
的图象，如图
.
从图中可以看出，
y
=-2
x
的图象是一条经过原点的直线
.
y
x
1
1
2
2
3
4
5
O
-1
-1
-2
-2
-3
-3
-4
-5
3
6
-6
y
=-2
x
A
在平面直角坐标系中（如图），任意画一个正比例函数
y
=
kx
（
k
为常数，
k
≠0
）的图象，它是一条经过原点的直线吗？
y
x
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
O
-1
-1
-2
-2
-3
-3
-4
-4
-5
-5
思考
（
1
）当
k
＞
0
时，作
y
=
kx
的图象
.
y
x
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
O
-1
-1
-2
-2
-3
-3
-4
-4
-5
-5
观察可知
y
=
kx
（
k
为常数且
k
＞
0
）的图象是一条经过原点的直线
.
直线
y
=
kx
（
k
＞
0
）经过第一、三象限且从左到右上升，
y
随
x
的增大而增大
.
（
2
）当
k
＜
0
时，作
y
=
kx
的图象
.
y
x
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
O
-1
-1
-2
-2
-3
-3
-4
-4
-5
-5
观察可知
y
=
kx
（
k
为常数且
k
＜
0
）的图象是一条经过原点的直线
.
直线
y
=
kx
（
k
＜
0
）经过第二、四象限且从左到右下降，
y
随
x
的增大而减小
.
一般地，直线
y
=
kx
（
k
为常数，
k
≠0
）是一条经过原点的直线
.
当
k
>0
时，直线
y
=
kx
经过第三、一象限从左向右上升，
y
随
x
的增大而增大；
当
k
0
时，向上平移；当
b
160
时，
y
=160×0.6+
（
x
-160
）
×
（
0.6+0.1
）
=
0.7
x
-16.
y
与
x
的函数表达式也可以合起来表示为
（
2
）该函数的图象如图
.
（
3
）当
x
=150
时，
y
=0.6×150=90
，即
3
月份的电费为
90
元
.
当
x
=200
时，
y
=0.7×200-16=124
，即
4
月份的电费为
124
元
.
【例
1
】
甲、乙两地相距
40km
，小明
8
：
00
点骑自行车由
甲地
去乙地，平均车速为
8km/h
；小红
10
：
00
坐公共汽车也
由甲
地去乙地，平均车速为
40km/h.
设小明所用的时间为
x
h
，小明与甲地的距离为
y
1
km
，小红离甲地的距离为
y
2
km.
（
1
）分别写出
y
1
，
y
2
与
x
之间的函数表达式
.
（
2
）在同一个直角坐标系中，画出这两个函数的图象，并指出谁先到达乙地
.
解：（
1
）小明所
用时间
为
x
h
，由“路程
=
速度
×
时间”可知
y
1
=8
x
，自变量
x
的取值范围是
0≤
x
≤5.
由于小红比小明晚出发
2h
，因此小红所用时间为（
x
-2
）
h.
从而
y
2
=40
（
x
-2
），自变量
x
的取值范围是
2≤
x
≤3.
（
2
）将以上两个函数的图象画在同一个直角坐标系中，如图
.
过点
M
（
0
，
40
）作射线
l
与
x
轴平行，它先与射线
y
2
=40
（
x
-2
）相交，这表明小红先到达乙地
.
1.
某音像店对外出租光盘的收费标准是：每张光盘在出租后头
两天
的租金为
0.8
元
/
天，以后每天收
0.5
元
.
求一张光盘在租出后第
n
天的租金
y
（元）与时间
t
（天）之间的函数表达式
.
解：当
0≤
t
≤2
时，
y
=0.8
t
；
当
t
≥3
时，
y
=0.8×2+0.5×
（
t
-2
）
=0.5
t
+0.6.
练习
2.
某移动公司对于移动话费推出两种收费方式：
A
方案：每月收取基本月租费
25
元，另收通话费为
0.36
元
/min
；
B
方案：零月租费，通话费为
0.5
元
/min.
（
1
）试写出
A
，
B
两种方案所付话费
y
（元）与通话时间
t
（
min
）之间的函数表达式；
（
2
）分别画出这两个函数的图象；
（
3
）若林先生每月通话
300min
，他选择哪种付费方式比较合算？
解：
（
1
）
A
，
B
两种方案所付话费
y
（元）与通话时间
t
（
min
）之间的函数表达式分别
为
y
1
=25+0.36
x
，
y
2
=0.5
x
.
（
2
）图象略
.
（
3
）当
x
=300
时，
y
1
=25+0.36×300=133
，
y
2
=0.5×300=150.
因为
133
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