资料简介
第十七章 勾股定理
17.1 勾股定理
第1课时
国际数学家大会是最高水平的全球性数学科学学术
会议．2002年在北京召开了第24届国际数学家大会．如
图就是大会的会徽的图案．
你见过这个图案吗？
它由哪些基本图形组成？
毕达哥拉斯(公元前572----前492年),古希腊著名的哲学家、数
学家、天文学家。相传有一次他在朋友家做客时，发现朋友
家用砖铺成的地面中反映了A、B、
C三者面积之间的数量关系，进
而发现直角三角形三边的某种数
量关系．
每块砖都是等腰直角三角形哦
A B
C
追问 由这三个正方形
A，B，C的边长构成的等腰
直角三角形三条边长度之间
有怎样的特殊关系？
问题1 三个正方形A，B，C 的面积有什么关系？
A B
C
SA+SB=SC
追问 正方形A、B、C
所围成的直角三角形三条边
之间有怎样的特殊关系？
问题2 在网格中的一般的直角三角形，以它的三
边为边长的三个正方形A、B、C 是否也有类似的面积
关系？
A
B
C
猜想：
如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为
c，那么a2+b2=c2．
问题3 通过前面的探究活动，猜一猜，直角三角
形三边之间应该有什么关系？
感受数学文化
这个图案是公元3世纪我国汉代的赵爽在注解《周
髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．赵爽根
据此图指出：四个全等的直角三角形（红色）可以如图
围成一个大正方形，中间的部分是一个小正方形 （黄
色）．勾股定理在数学发展中起
到了重大的作用，其证明方法据
说有400 多种，有兴趣的同学可
以继续研究，或到网上查阅勾股
定理的相关资料．
c b
a
（b-a）2 黄实
朱实
命题1：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b,斜边
长为c，那么a2+b2=c2.
以直角三角形的两条直角边a、b为边作两个正方形，
把两个正方形如图（左）连在一起，通过剪、拼把它拼成
图（右）的样子。你能做到吗？试试看。
cb
a
b a
练习1 求图中字母所代表的正方形的面积．
A A A
Ｂ
225
144
80
24
17
8
练习2 求下列直角三角形中未知边的长度．
A
B C
4
6
x
C
B
A
5
10
x
通过这种方法，可以把一个正方形的面积分成若干
个小正方形的面积的和，不断地分下去，就可以得到一
棵美丽的勾股树．
1. 如图，所有的三角形都是直角三角形，四边形都
是正方形，已知正方形A，B，C，D 的边长分别是12，16，
9，12．求最大正方形E 的面积．
A
B
C
D
E
F
G
K
H
解：如图所示,正方形A、B、C、D的边长
分别是12,16,9,12.
设直角三角形的斜边长为c .由勾股定理知,
122+162=c2,c=20 ，即正方形F的边长为20.
同理可得， 正方形G的边长为15.
故直角三角形的两直角边分别为20，15.
设它的斜边长为k，由勾股定理知,
202+152=k2，k=25.
正方形E的边长为25，S正方形E=25×25=625
2. 如图，邮票图案的三个正方形
小方格中间是一个直角三角形，
如果1个小方格为1个单位面积，
那么直角三角形的两直角边长分
别是____和____，斜边长是____；
三个正方形的面积分别是_____、
_____和____.
4 3 5
16
9 25
（1）勾股定理的内容是什么？它有什么作用？
（2）在探究勾股定理的过程中，我们经历了怎样
的探究过程？
作业：
1．整理课堂中所提到的勾股定理的证明方法；
2．通过上网等查找有关勾股定理的有关史料、趣事
及其他证明方法．
第十七章 勾股定理
17.1 勾股定理
第2课时
问题： 你会用四个全等的直角三角形拼成哪些图形？
a
b c
a
b c
a
b c
a
b c
勾股定理的证明
勾股定理的证明方法很多，这里重点的介绍面积
证法。
勾股定理的证法（一）
a2+b2=c2
∵( a+b)2=c2+4 ab
勾股定理的证法（二）
∵4× ab= c2－(b－a)2
a2+b2=c2
• 学习目标：
1．能运用勾股定理求线段的长度，并解决一些简单的实
际问题；
2．在利用勾股定理解决实际生活问题的过程中，能
从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型，
利用勾股定理建立已知边与未知边长度之间的联
系，并进一步求出未知边长．
• 学习重点：
运用勾股定理计算线段长度，解决实际问题．
已知一个直角三角形的两边，应用勾股定理可以求
出第三边，这在求距离时有重要作用．
说一说
勾股定理：
如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边
长为c，那么a2+b2=c2．
例1 一个门框的尺寸如图所示，一块长3 m，宽
2.2 m的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？
解：在Rt△ABC中，根据勾股
定理，得AC2=AB2+BC2=12+22=5．
AC= ≈2.24．
因为 大于木板的宽2.2 m，所以
木板能从门框内通过．
5
5
将实际问题转化为数学问题，建
立几何模型，画出图形，分析已知量、
待求量，让学生掌握解决实际问题的
一般套路．
A B
C D
1 m
2
m
例2 如图，一架2.6米长的梯子AB 斜靠在一竖直
的墙AO上，这时AO 为2.4米．
（1）求梯子的底端B距墙角O多少米？
（2）如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5米，
那么梯子底端B也外移0.5米吗？
问题探究 如果知道平面直角坐标系坐标轴上任意
两点的坐标为（x，0），（0，y），你能求这两点之间
的距离吗？
今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，
适与岸齐．问水深、葭长各几何？
A
B C 分析：
可设AB=x,则AC=x+1，
有 AB2+BC2=AC2，
可列方程，得 x2+52= ，
通过解方程可得．
1+x 2（ ）
今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，
适与岸齐．问水深、葭长各几何？
利用勾股定理解决实际问题
的一般思路：
（1）重视对实际问题题意的
正确理解；
（2）建立对应的数学模型，
运用相应的数学知识；
（3）方程思想在本题中的运
用． A
B C
如图，一棵树被台风吹折断后，树顶端落在离底端
3米处，测得折断后长的一截比短的一截长1米，你能计
算树折断前的高度吗？
例：一个长方形零件（如图）,根据所给的尺寸(单位：mm),
求两孔中心A、B之间的距离.
A
B90
160
40
40C
解： 过A作铅垂线，过B作水平线，两线交于点C，则
∠ACB=90°，
AC=90-40=50（mm）
BC=160-40=120（mm)
由勾股定理有：
AB2=AC2+BC2=502+1202
=16900（mm2)
∵AB＞0,
∴AB=130(mm)
答：两孔中心A，B的距离为130mm.
（1）利用勾股定理解决实际问题有哪些基本步骤？
（2）你觉得解决实际问题的难点在哪里？你有什么
好的突破办法？利用勾股定理解决实际问题的
注意点是什么？请与大家交流．
（3）本节课体现出哪些数学思想方法，都在什么情
况下运用？
第十七章 勾股定理
17.1 勾股定理
第3课时
在八年级上册中我们曾经通过画图得到结论：斜
边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 学
习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？
A
B C
A′
B′ C′
已知：如图，在Rt △ABC和Rt △A′B′C′中，
∠C= ∠C′，AB=A′B′，AC=A′C′.
求证： △ABC ≌ △A′B′C′.
回顾交流：
2.若一个直角三角形两条直角边长是3和2，那么第三
条边长是多少？
3.若一个直角三角形两条边长是3和2，那么第三条边
长是多少？
要注意分类讨
论的思想的应
用噢！
你能否画出
第3题的图形
来！
1.已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边.
• 学习目标：
1．能用勾股定理证明直角三角形全等的“斜边、
直角边”判定定理；
2．能应用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点；
3．体会勾股定理在数学中的地位和作用．
• 学习重点：
用勾股定理作出长度为无理数的线段．
问题1 在八年级上册中，我们曾经通过画图得到结
论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．
学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？
2 2= -BC AB AC ，
2 2-=B C A B A C ．′ ′ ′ ′ ′ ′
已知：如图，在Rt△ABC 和Rt△A B C 中，∠C=
∠C =90°，AB=A B ，AC=A C ．
求证：△ABC≌ △A B C ．
′ ′ ′
′ ′ ′ ′ ′
′ ′ ′
证明：在Rt△ABC 和
Rt△A B C 中，∠C=∠C′=90°，
根据勾股定理，得
′ ′ ′
A
B C
A
BC′
′
′
A
B C
A
BC′
′
′′′′ ∴△ABC≌ △A B C （SSS）.
′′
′′
′′
证明：
∵ AB=A B ，
AC=A C ，
∴BC=B C ．
已知：如图，在Rt△ABC 和Rt△A B C 中，∠C=
∠C =90°，AB=A B ，AC=A C ．
求证：△ABC≌ △A B C ．
′ ′ ′
′ ′ ′ ′ ′
′ ′ ′
问题2 我们知道数轴上的点有的表示有理数，有
的表示无理数，你能在数轴上画出表示 的点吗？13
0 1 2 3 4
探究思路：把握题意—
—找关键字词——连接
相关知识——建立数学
模型（建模）
0 1 2 3 4
解：
13
数轴上的点有的表示有理数，有的表
示无理数，你能在数轴上画出表示 的
点吗？
13
试
一
试
1.请你在作业纸上画图，在数轴上表示 的点13
2.请同学们归纳出如何在数轴上画出表示 的点
的方法？
13
3.你能在数轴上表示 的点吗？试一试！17
“数学海螺”
A
B C
D
E
证明：∴ ∠B =∠CAE=45°，
∠DAE =∠CAE+∠BAC
=45°+45°=90°．
∴ AD2 +AE2 =DE2．
∵ AE=DB ，
∴ AD2 +DB2 =DE2．
例 如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，
∠ACB =∠ECD =90°，D为AB边上一点．求证：AD2 +
DB2 =DE2．
1. 已知：如图，等边△ABC的边长是6 cm.
⑴求等边△ABC的高. ⑵求△ABC的面积.
D
C
B A
2. 如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高
分别等于55 cm，10 cm和6 cm，A和B是这个台阶的两
个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口
的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面
爬到B点，最短线路是多少？
B
A
55 cm
10 cm
6 cm
A
BC
55 cm
48 cm
（1）勾股定理有哪些方面的应用，本节课学习了勾
股定理哪几方面的应用？
（2）你能说说勾股定理求线段长的基本思路吗？
（3）本节课体现出哪些数学思想方法？
第十七章 勾股定理
17.2 勾股定理的逆定理
第1课时
勾股定理 如果直角三角形的两条直角边长分别为
a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
题设（条件）：直角三角形的
两直角边长为a，b，斜边长为c ．
结论：a2+b2=c2．
问题 回忆勾股定理的内容．
形
数
n 学习目标：
1．理解勾股定理的逆定理，经历“观察－测量－猜想－
论证”的定理探究的过程，体会“构造法”证明数学命
题的基本思想；
2．了解逆命题的概念，知道原命题为真命题，它的逆命
题不一定为真命题．
n 学习重点：
探索并证明勾股定理的逆定理.
逆向思考 提出问题
思考 如果三角形的三边长a，b，c 满足a2+b2=c2，
那么这个三角形是否是直角三角形？
据说，古埃及人曾用下面的方法画直角：把一根长
绳打上等距离的13 个结，然后以3 个结间距，4 个结间
距、5 个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，
其中一个角便是直角．你认为结论正确吗？
（1）
（2）
（3）
（4） （5） （6） （7） （8）
（13）
（12）
（11）
（10）
（9）
如果三角形的三边分别
为3，4，5，这些数满足
关系：32+42=52，围成的
三角形是直角三角形．
实验操作：
（1）画一画：下列各组数中的两数平方和等于第三数的
平方，分别以这些数为边长画出三角形（单位：cm），
它们是直角三角形吗？
① 2.5，6，6.5； ② 6，8，10．
（2）量一量：用量角器分别测量上述各三角形的最大角
的度数．
（3）想一想：请判断这些三角形的形状，并提出猜想．
A1
B1 C1
已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2．
求证：△ABC是直角三角形．
？ 三角形全等 ∠C是直角
△ABC是直角三角形
A
B C a
b c b
a
作用：判定一个三角形三边满足什么条件时为直角
三角形．
定理：如果三角形的三边长a，b，c 满足a2+b2=c2，
那么这个三角形是直角三角形．
41
例1 判断由线段a，b，c 组成的三角形是不是直
角三角形：
（1）a=15，b=17，c=8；
（2）a=13，b=15，c=14；
（3）a= ，b=4，c=5．
分析：根据勾股定理及其逆定理判断一个三角形是
不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等
于最大边长的平方．
解：（1） ∵ 152+82 =225+64=289，
172 =289，
∴ 152+82 =172.∴ 以15，8，17为边长的三角形是直角三角
形．
41
例1 判断由线段a，b，c 组成的三角形是不是直
角三角形：
（1） a=15，b=17，c=8；（2） a=13，b=15，c=14；
（3） a= ，b=4，c=5．
像15，17，8 这样，能够成为直角三角形三条
边长的三个正整数，称为勾股数．
勾股定理的逆定理：
定理：如果三角形的三边长a，b，c 满足a2+b2=c2，
那么这个三角形是直角三角形．
两个命题的题设与结论正好相反，像这样的两个命
题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那
么另一个命题叫做它的逆命题．
勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，
斜边为c，那么a2+b2=c2．
说出下列命题的逆命题．这些命题的逆命题是真命
题吗？
（1）两条直线平行，内错角相等；
逆命题：内错角相等，两直线平行．真命题．
（2）对顶角相等；
逆命题：相等的角是对顶角．假命题．
（3）线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．
逆命题：到线段两端点的距离相等的点在线段的
垂直平分线上．真命题．
（1）勾股定理的逆定理的内容是什么？它有什么作
用？
（2）本节课我们学习了原命题，逆命题等知识，你
能说出它们之间的关系吗？
（3）在探究勾股定理的逆定理的过程中，我们经历
了哪些过程？
第十七章 勾股定理
17.2 勾股定理的逆定理
第2课时
说一说： 1.勾股定理的逆定理的内容是什么？
2.它与勾股定理的联系与区别．
勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长a，b，c 满足a2+b2=c2，那么
这个三角形是直角三角形．
1. 判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形.
① a=7, b=24, c=25
④ a=40, b=50, c=60
√
√
√
×
2. 下列各命题都成立，写出它们的逆命题. 这些逆命题
成立吗？
① 同旁内角互补，两直线平行；
② 如果两个角是直角，那么它们相等；
③ 全等三角形的对应边相等；
④ 如果两个实数相等，那么它们的平方相等。
3. 已知：如图，四边形ABCD中，∠B＝900，AB＝3，
BC＝4，CD＝12，AD＝13,求四边形ABCD的面积?
A
B
C
D
S四边形ABCD=36
例1 某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”
号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向
航行，“远航”号每小时航行16 n mile，“海天”号每
小时航行12 n mile．它们离开港口一个半小时后分别位
于点Q，R处，且相距
30 n mile ．如果知道
“远航”号沿东北方
向航行，能知道“海
天”号沿哪个方向航
行吗？
R
S Q
P E
N
分析：由图可以看到，由于“远航”号的航向
已知，如果求出两艘船的航向所成的角 ，就能
知道“海天”号的航向了。
例2 如图，在四边形ABCD中，AB=3，BC=4，
CD=12，AD=13，∠B=90°，求四边形ABCD的面积．
解：∵ AB=3，BC=4，∠B=90°，
∴ AC=5．又∵ CD=12，AD=13，
∴ AC2+CD2=52+122=169．
又∵ AD2=132=169，
即 AC2+CD2=AD2，
∴ △ACD是直角三角形．
∴ 四边形ABCD的面积为 ．1 13 4 5 12 362 2
+ =
A
B C
D
问题2 通过例1及例2的学习，我们进一步学习了
像18，24，30；3，4，5；5，12，13这样的勾股数，大
家有没有发现18，24，30；3，4，5 这两组勾股数有什
么关系？
追问1 类似这样的关系6，8，10；9，12，15是否
也是勾股数？如何验证？
追问2 通过对以上勾股数的研究，你有什么样的
猜想？
问题2 通过例1及例2的学习，我们进一步学习了
像18，24，30；3，4，5；5，12，13这样的勾股数，大
家有没有发现18，24，30；3，4，5 这两组勾股数有什
么关系？
结论：若a，b，c是一组勾股数，那么ak，bk，ck
（k为正整数)也是一组勾股数．
练习1 如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，
∠A=∠B=∠C=∠D=90°．点E是BC的中点，点F是CD
上一点，且 ．求证：∠AEF=90°． 1
4
=CF CD
A
B C
D
E
F
引申：
若去掉上题中的条件“AB＝4cm”，
结论还成立吗？
练习2 如图，南北向MN为我国领域，即MN以西为我国领海，
以东为公海. 上午9时50分，我反走私艇A发现正东方向有一走私
艇C以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN
线上巡逻的我国反走私艇B.已知A、C 两艇的距离是13海里，A、
B两艇的距离是5海里 ；反走私艇B测得离C艇的距离是12海里.若
走私艇C的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？
C
N
E
B
A
M
（1）通过本节课的学习，我们更加明确了勾股定理及
其逆定理的用途及用法，你能说说吗？
（2）通过对勾股数的研究，你有什么结论？
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