资料简介
第四章 因式分解
4.1因式分解
复习回顾
1 1+15.18 8
(2)16.9(1)736 95 736 5
=736 95+5（ ）
=736 100
用简便方法计算.
=73 600
1= +15.18
（16.9 ）
1= 328
=4
合作探究
993-99能被100整除吗? 你是怎样想的?
你能把 a3-a化成几个整式的乘积的形式吗？
3 2
2( 1)
( 1)( 1)
a a a a a
a a
a a a
类比探究
整式的乘积
做一做：观察下面的拼图过程，写出相应的关系式
合作探究
2( 1)x 2 2 1x x
ma mb mc ( )m a b c
把一个 化成几个 的形式，这种变
形叫做因式分解.
观察下列各式的左右两边各有什么特点？
（ 1 ） a3- a = a(a+1)(a-1)
（ 2 ） ma +mb+mc = m(a+b+c)
（ 3 ） x²+2x+1 = (x+1)²
合作探究
多项式 整式的积
因式分解也可称为分解因式.
2 2(2) 1 ( )( ) 1a b a b a b
2(1)( 5)( 5) 25x x x
2 2 1(3) (1 )x x x x
2 2 2(4) 2 ( )m mn n m n
例题讲解
例 判断下列变形是因式分解吗？说说你的理由.
左右两边的变形分别是什么运算？ 互逆过程
（多项式） （整式乘积）
分解因式
整式乘法
(1) ( )a x y ax ay
2
(
2
)
1
0
5
5
(
2
1
)
x
x
x
x
2 2(3) y 4 4 ( 2)y y
下列变形，哪些是整式乘法，哪些是因式分解？
学以致用
整式乘法
因式分解
因式分解
巩固训练
1. +1 999能被2 000整除吗？21999
解：因为 +1 999=1 999×（1999+1）=1 999 ×
2 000.
所以 +1 999能被2 000整除.
21999
21999
因式分解
利用因式分解，可以简化计算.小结：
2.当a=3.14，b=2.386，c=1.386时，求ab-ac的值.
解：ab-ac
=a(b-c)
=3.14×(2.386-1.386)
=3.14×1
=3.14.
2 )( 2 )b a a b （ =( +2 )( 2 )a b a b 22= 2a b
C
2 24a b
分析：
.
3.(2b+a)(a-2b)是多项式（ ）因式分解的结果.
A. B.
C. D.
2 24b a 2 24b a
2 24b a 2 24b a
感悟与收获
1.知识方面：
2.方法方面：
①因式分解的定义
②因式分解与整式乘法的关系
①类比的方法，逆向思维的方法
②利用因式分解可以简化运算.
第四章 因式分解
4.2提公因式法
回顾与思考
1. 多项式的因式分解的概念：
把一个多项式化为几个整式乘积的形式，叫做把这个多项式
分解因式.
2. 因式分解与整式乘法是互逆过程.
3. 分解因式时要注意以下几点:
① 分解的对象必须是多项式.
② 分解的结果一定是几个整式的乘积的形式.
（1）ac+ bc
（2）3x2 +x
（3）30mb2 + 5nb
（4）3x+6
（5）a2b – 2ab2 + ab
（6）7 (a–3) – b(a–3)
下列各多项式有没有共同的因式？
c
x
5b
3
a-3
ab
（1）7x2 -21x
（2）8a3b2 –12ab3 + ab
（3）mb2 + nb
（4）7x3y2 –42x2y3
（5）4a2b – 2ab2 + 6abc
说出下列各式的公因式：
7x
ab
b
7x2y2
2ab
多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各
项的公因式.
怎样确定多项式的公因式？
公因式与多项式的各项有什么关系？
公因式：
确定多项式各项的公因式
1.系数： 公因式的系数取各项系数的最大公因数；
2.字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母；
3.指数：相同字母的指数取各项中最小的.
例1 找出 3x2y2– 6xy3 的公因式.
系数：最大公因数 3
字母：相同字母指数
最低次幂
xy2
所以 3x2-6x 的公因式是 3xy2
因为
用提公因式法分解因式
如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这
个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形
式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
例2 把 9x2– 6xy+3xz 因式分解.
=
3x·3x – 3x·2y + 3x·z
解：
=
3x (3x-2y+z).
9x2 – 6xy + 3xz
方法步骤：
①找出公因式；
②提出公因式.
（即用多项式中每一项除以公因式）
解： 8a3b2 –12ab3c + ab
= ab·8a2b – ab·12b2 c +ab·1
= ab(8a2b – 12b2c)
当多项式的某一项和公因式相同
时，提公因式后剩余的项是1.
有错误
例3
例4 把 – 24x3–12x2+28x因式分解.
=
解：– 24x3 –12x2 +28x
= –(24x3 +12x2 – 28x)
– 4x (6x2 +3x – 7).
当多项式第一项系数是负数时，
通常先提出“–”号，使括号
内第一项系数变为正数，注意
括号内各项都要变号.
提公因式法分解因式
正确地找出多项式各项的公因式.
注意：
1 .多项式是几项，提公因式后也剩几项.
2 .当多项式的某一项和公因式相同时提公因式后剩余的项
是1.
3.当多项式第一项系数是负数，通常先提出“–”，使括号
内第一项系数变为正数，注意括号内各项都要变号.
（1）25x–5；
（2）3x3–3x2–9x；
（3）8a2c+ 2bc；
（4）–4a3b3 +6a2b–2ab；
（5）–2x2 –12xy2 +8xy3.
练习 把下列各式因式分解：
想一想：
提公因式法分解因式与单项式乘多项式有什么关系？
提公因式法与单项式乘多项式互为逆运算关系.
1.利用因式分解计算： (– 2)101+(– 2)100.
2.利用简便方法计算：
4.3×199.8+0.76×1 998 – 1.9×199.8
3.已知 a+b=3, ab=2,求代数式 a2b + 2a2b2 +ab2 的值.
4.把 9am+1 –21am+7am-1因式分解.
课后思考题
1.确定公因式的方法：
（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公因数.
（2）字母取多项式各项中都含有的相同的字母.
（3）相同字母的指数取各项中最小的一个.
小结
2.提公因式法分解因式：
第一步，找出公因式；
第二步，提出公因式,即用多项式除以公因式.
第四章 因式分解
4.3公式法
第1课时
1.知道平方差公式的结构特征,会用平方差公式
进行因式分解.
2.知道因式分解先要考虑用提公因式法,再考虑
用平方差公式.
仔细观察下面图1与图2中阴影部分的面积,你知道它能验证哪个公式吗?
1.英国数学家狄摩根在青年时代曾有人问他:“你今
年多大年龄?”狄摩根想了想说:“今年,我的年龄和
我弟弟的年龄的平方差是141.”据此信息,你能算出
当年狄摩根的年龄吗?
2.已知a,b,c分别是△ABC的三边,且满足a2c2-b2c2=a4-b4,
试判断△ABC的形状.
解:∵a2c2-b2c2=a4-b4,
∴c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2).
移项,得c2(a2-b2)-(a2+b2)(a2-b2)=0.
提取公因式,得(a2-b2)[c2-(a2+b2)]=0.
∴a2-b2=0或a2+b2=c2.
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.
要想运用平方差公式因式分解,必须掌握平方差公式
的特点:
(1)平方差公式的左边是两个_____次项,两项都能写
成______的形式,并且符号_______.
(2)右边是两个数的_____与______________的积.
二
平方 相反
和 这两个数的差
第2课时
1.能说出完全平方公式的结构特征.
2.能灵活运用完全平方公式进行因式分解.
3.理解完全平方式的概念.
上节课,我们由平方差公式(a+b)(a-b)=a 2 -b 2 得到了用平方差公式因式分解的方法:a 2 -
b 2 =(a+b)(a-b).那么对于完全平方公式(a±b) 2 =a 2 ±2ab+b 2 ,我们能否也用类似的方法得到
一种新的因式分解的方法呢?
1.阅读理解:
对于二次三项式x2+2ax+a2可以直接用公式法分解为
(x+a)2的形式,但对于二次三项式x2+2ax-8a2,就不能直
接用公式法了.我们可以在二次三项式x2+2ax-8a2中先
加上一项a2,使其成为完全平方式,再减去a2这项,使整个
式子的值不变,于是有:x2+2ax-8a2=x2+2ax-8a2+a2-
a2=(x2+2ax+a2)-8a2-a2=(x+a)2-9a2=[(x+a)+3a][(x+a)-
3a]=(x+4a)(x-2a).
像这样把二次三项式分解因式的方法叫添(拆)项法.
问题解决:
请用上述方法将二次三项式 x2+2ax-3a2 因式分解.
解:x2+2ax-3a2
=x2+2ax-3a2+a2-a2
=x2+2ax+a2-3a2-a2
=(x+a)2-4a2
=(x+a)2-(2a)2
=(x+a+2a)(x+a-2a)
=(x+3a)(x-a).
2.下面是某同学对多项式(x2-4x+2)(x2-4x+6)+4进行因式
分解的过程.
解:设x2-4x=y,则
原式=(y+2)(y+6)+4(第一步)
=y2+8y+16(第二步)
=(y+4)2(第三步)
=(x2-4x+4)2.(第四步)
请问:
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的 ( )
A.提取公因式
B.平方差公式
C.两数和的完全平方公式
D.两数差的完全平方公式
C
(2)该同学因式分解的结果是否彻底? (填“彻
底”或“不彻底”).
若不彻底,请直接写出因式分解的最后结果: .
(3)请你模仿以上方法尝试对多项式(x2-2x)·(x2-2x+2)+1
进行因式分解.
解: 设x2-2x=t,则
原式=t(t+2)+1=t2+2t+1=(t+1)2 =(x2-2x+1)2=(x-1)4.
不彻底
(x-2)4
1.因式分解时,若多项式为两项式,一般要考虑是否可用
_______公式因式分解;若多项式为三项式,一般要考虑是否
可用____________公式因式分解.
2.判断一个两项式是否符合平方差公式时,先要看两项是否
能写成两个式子的______的形式,再看连接这两项的符号是
否是“-”.
3.判断一个三项式是否符合完全平方公式时,先要看其中的
两项是否能写成两个式子的_______的形式,再看另一项是
否是_____________________.
平方差
完全平方
平方
平方和
这两个式子的积的2倍
查看更多
