天天资源网 / 初中数学 / 教学同步 / 北师大版（2012） / 七年级下册 / 第一章 整式的乘除 / 北师大版七年级数学下册第一章整式的乘除
资料简介
第一章 整式的乘除
1
同底数幂的乘法
第一章 整式的乘除
1
同底数幂的乘法
今天我们的学习目标是：
了解同底数幂乘法的运算法则及性质
，并
能解决一些实际问
题
.
复习回顾
a
n
指数
幂
=
a
·
a
·
…
·
a
n
个
a
底数
乘方的结果
光在真空中的速度大约是
3×10
8
米
/
秒，太阳系以外距离地球最近的恒星是比邻星，它发出的光到达地球大约需要
4.22
年
。一年以
3×10
7
秒计算，比邻星与地球的距离约为多少千米？
速度
×
时间
=
距离
10
×
10
8
7
=
（
10
×
10
×···×
10
）
×
（
10
×
10
×···×
10
）
8
个
10
7
个
10
=10
×
10
×···×10
15
个
10
=10
15
幂的意义
（根据
）
（根据
）
乘法结合律
1.
计算下列各式：
（
1
）
10
2
×10
3
；
（
2
）
10
5
×10
8
；
（
3
）
10
m
×10
n
（
m
，
n
都是正整数
）
.
做一做
2.
2
m
×2
n
等于什么？
和 呢
？
（
m
，
n
都是正整数
）
=
（
10
×
10
）
×
（
10
×
10
×
10
）
=10
×
10
×
10
×
10
×
10
=10
5
10
2
×
10
3
（
1
）
（根
据
）
（根据
）
乘法结合律
幂的意义
幂的意义
=10
2+3
（根据
）
= 10
×
10
×···×10
13
个
10
=10
13
幂的意义
乘法结合律
(
根据
）
根据（
）
幂的意义
10
×
10
5
8
（
2
）
=10
5+8
=
（
10
×
10
×···×
10
）
×
（
10
×
10
×···×10
）
5
个
10
8
个
10
根据（
）
= 10
×
10
×···×10
(
m
+
n
)
个
10
=10
m
+
n
幂的意义
乘法结合律
（根据
）
（根据
）
（根据
）
幂的意义
10
×
10
m
n
（
3
）
=
（
10
×
10
×···×
10
）
×
（
10
×
10
×···×10
）
m
个
10
n
个
10
1.
计算下列各式：
（
1
）
10
2
×
10
3
（
2
）
10
5
×10
8
（
3
）
10
m
×10
n
（
m
，
n
都是正整数）
你发现了什么？
做一做
这个结论是否具有一般性？如果底数同样也是字母呢？
（
4
）
10
m
×10
2
m
（
m
是正整数）
2.
2
m
×2
n
等于什么？
和
呢？
（
m
，
n
都是正整数）
a
m
·
a
n
等于什么（
m
,
n
都是正整数
)?
为什么？
=
a
m
+
n
a
m
·
a
n
=
a
m
+
n
(
m
,
n
都是正整数）
底数不变
指数相加
议一议
同底数幂相乘,底数不变,指数相加.
底数不变
指数相加
知识要点
：
指数如果是同类项还要合并同类项。
(
m
,
n
都是正整数）
a
m
·
a
n
·
a
p
等于什么？
a
m
·
a
n
·
a
p
= a
m+n+p
想一想
:
方法
1
：
a
m
·a
n
·a
p
=(
a
m
·
a
n
)·
a
p
=
a
m
+
n
·
a
p
=
a
m
+
n
+
p
方法
2
：
a
m
·
a
n
·
a
p
=(
a
·
a
·
…
·
a
)(
a
·
a
·
…
·
a
)(
a
·
a
·
…
·
a
)
n
个
a
m
个
a
p
个
a
=
a
m
+
n
+
p
(
m
,
n,p
都是正整数）
判断（正确的打“
√
”，错误的打“
×
”
）
x
4
·
x
6
=
x
24
(
)
（
2
）
x
·
x
3
=
x
3
(
)
(3)
x
4
+
x
4
=
x
8
(
) (4)
x
2
·
x
2
=2
x
4
(
)
(5)(-
x
)
2
·
(-
x
)
3
= (-
x
)
5
(
)
(6)
a
2
·
a
3
-
a
3
·
a
2
= 0 (
)
(7)
x
3
·
y
5
=(
xy
)
8
(
)
(8)
x
7
+
x
7
=
x
14
(
)
√
√
×
×
×
×
×
×
对于计算出错的题目，你能分析出错的原因吗？试试看！
例
2
光的速度约为
3
×
10
8
米
/
秒，太阳光照射到地球
大 约
需要
5
×
10
2
秒
.
地球距离太阳大约有多远？
解：
3
×
10
8
×
5
×
10
2
=15
×
10
10
=1
.
5
×
10
11
(
米
)
地球距离太阳大约有
1
.
5
×
10
11
米
.
飞行这么远的距离，一架喷气式客机大约要
20
年呢！
=1.5
×
10
×
10
10
光在真空中的速度大约是
3×10
8
米
/
秒，太阳系以外距离地球最近的恒星是比邻星，它发出的光到达地球大约需要
4.22
年
。一年以
3×10
7
秒计算，比邻星与地球的距离约为多少千米？
随堂练习：
负数的
偶次幂为正
，负数的
奇次幂为负
；
先确定符号，再把指数相加
公式
1
公式
2
逆用公式
1
第一章 整式的乘除
2
幂的乘方与积的乘方（第
1
课时）
复习回顾
a
m
·
a
n
=
a
m+n
（
m,n
都是正整数）
同底数幂相乘,底数
不变
,指数
相加
.
1.
同底数幂运算法则
文字叙述：
数学公式：
2.
计算
：
（
1
）
a
·a
3
·a
n
；
(2) (-b) ·(-b)
5
·b
7
；
(3)(y-x)
5
·(x-y)
6
·(x-y
).
情境引入
乙正方体的棱长是
2 cm,
则乙正方体的体积
V
乙
=
cm
3
.
可以看出，
V
甲
是
V
乙
的
倍，即
5
3
倍
8
125
边长比的
甲正方体的棱长是乙正方体的
5
倍，则甲正方体的体积
V
甲
=
cm
3
.
1000
立方
正方体的体积之比
=
情境引入
地球、木星、太阳可以近似地看做是球体
.
木星、太阳的半径分别约是地球的
10
倍和
10
2
倍，它们的体积分别约是地球的多少倍？
V
球
= —
π
r
3
，
其中
V
是体积、
r
是球的半径
3
4
10
3
倍
(10
2
)
3
倍
探究新知
你知道
(10
2
)
3
等于多少吗？
(10
2
)
3
=10
2
×10
2
×10
2
=10
2+2+2
=10
2×3
=10
6
(
根据
).
(
根据
).
同底数幂的乘法
幂的意义
个
a
m
=
a
m
·a
m
·
…
·a
m
探究新知
做一做：计算下列各式，并说明理由
.
(1) (6
2
)
4
; (2) (
a
2
)
3
; (3) (
a
m
)
2
; (4) (
a
m
)
n
.
解：
(1) (6
2
)
4
(2) (
a
2
)
3
(3) (
a
m
)
2
= 6
2
·6
2
·
6
2
·6
2
=6
2+2+2+2
=6
8
=
a
2
·
a
2
·
a
2
=
a
2+2+2
=
a
6
=
a
m
·
a
m
=
a
m+m
=6
2×4
;
=
a
2×3
;
=
a
2
m
;
n
(4) (
a
m
)
n
=
a
mn
个
m
=
a
m+m+ … +m
n
探究新知
幂的乘方，底数
，指数
.
(a
m
)
n
=a
mn
(
m,n
都是正整数
)
不变
相乘
幂的乘方法则
项
法则
符号语言
运算
结果
1
2
请比较“同底数幂相乘的法则”与“幂的乘方法则”异同：
同底数幂相乘
幂的乘方
乘法运算
乘方运算
底数不变，指数相加
底数不变，
指数相乘
比一比
落实基础
例
1
计算：
(10
4
)
3
;
(
b
2
)
5
;
[(
x
-
y
)
2
]
10
;
－
(
x
6
)
m
;
(
y
5
)
3
·
y
;
2(
a
4
)
6
－
(
a
3
)
8
.
巩固训练
2.
计算：
(1) (10
3
)
3
; (2)
－
(
a
2
)
5
; (3) (
x
3
)
4
·
x
2
;
(4) [(
－
x
)
2
]
3
; (5) (
－
a
)
2
(
a
2
)
2
; (6)
x·x
4
–
x
2
·
x
3
.
随堂练习：
1.
判断下面计算是否正确？如果有错误请改正：
(1) (
x
3
)
3
=
x
6
; (2)
a
6
·
a
4
=
a
24
.
能力提升
⑴
a
12
＝（
a
3
）
(
)
＝（
a
2
）
(
)
＝
a
3
a
(
)
＝（
）
3
＝（
）
4
(4) 3
2
﹒9
m
＝
3
( )
(2)
y
3
n
＝
3,
y
9
n
＝
.
(3)
（
a
2
）
m
+1
＝
.
9
4
6
a
4
a
3
27
a
2m+2
m+2
1.
计算
：
课堂练习
⑴ (
a
2
)
3
；
⑵
a
2
·
a
3
；
⑶
(
y
5
)
5
；
⑷
y
5
·
y
5
.
2.
计算：
⑴ (
x
2
)
3
· (
x
2
)
2
；
⑵
(
y
3
)
4
· (
y
4
)
3
；
⑶
－
(
x
n
)
2
· (
x
3
)
2m
；
⑷
(
a
2
)
3
+
a
3
·
a
3
.
思考题：
1
、若
a
m
= 2,
则
a
3
m
=_____.
2
、若
m
x
= 2,
m
y
= 3
,
则
m
x+y
=___,
m
3x+2y
=___.
8
6
72
动脑筋！
小结
1.
同底数幂相乘,底数不变,指数相加.
2.
(a
m
)
n
=a
mn
(
m,n
都是正整数
)
幂的乘方，底数不变，指数相乘
.
2
幂的乘方与积的
乘方
（
第
2
课时）
复习回顾
2.
同底数幂的乘法运算法则：
a
m
· a
n
=
a
m+n
（
m
,
n
都是正整数）
3.
幂的乘方运算法则
:
(
a
m
)
n
=
(
m
，
n
都是正整数
)
a
mn
1.
幂的意义
:
a
·
a
·
…
·
a
n
个
a
a
n
=
探索交流
地
球可以近似地看做是球体，地球的半径约为
6×10
3
km
，它的体积大约是多少立方千米
?
V
= —
π
r
3
= —
π
×(6×10
3
)
3
3
4
3
4
那么，
(6×10
3
)
3
=
？
这种运算有什么特征？
探索交流
(1)
根据幂的意义，
(
ab
)
3
表示什么
?
=
a·a·a · b·b·b
=
a
3
·b
3
(2)
由
(
ab
)
3
=
a
3
b
3
出发
,
你能想到更为一般的公式吗
?
猜想
(
ab
)
n
=
a
n
b
n
(
ab
)
3
=
ab·ab·ab
不妨先思考
(
ab
)
3
=
？
探索交流
(
ab
)
n
=
ab
·
ab
·
……
·
ab
(
)
=(
a
·
a
·……·
a
) (
b
·
b
·……·
b
) ( )
=
a
n
·
b
n
．
(
)
幂的意义
乘法交换律、结合律
幂的意义
n
个
ab
n
个
a
n
个
b
探索交流
(
ab
)
n
=
a
n
·
b
n
积的乘方
乘方的积
（
m
,
n
都是正整数）
积的乘方法则
积的乘方
,
等于
每一因数乘方的积
.
知识扩充
三
个或三个以上的积的乘方，是否也具有
上面的
性质
?
怎样用公式表示
?
(abc)
n
=a
n
·b
n
·c
n
巩固新知
例
2
、
计
算
：
(1) (3
x
)
2
; (2) (
-
2
b
)
5
;
(3) (
-
2
xy
)
4
; (4) (-2
a
2
b
5
c)
3
.
例
3
、
若
比
较
a
、
b
、
c
的大小．
解：
∵
又
∵
∴
即
公式逆
用
(
ab
)
n
=
a
n
·
b
n
（
m
,
n
都是正整数）
反向使用
:
a
n
·
b
n
=
(
ab
)
n
计算
:
(1) 2
3
×5
3
;
(2) 2
8
×5
8
;
(3) (
-
5)
16
× (
-
2)
15
;
(4) 2
4
× 4
4
×(
-
0.125)
4
;
(5)0.25
100
×4
100
;
(
6)8
12
×0.125
13
.
1.(a
2
)
4
等于
(
)
(A)2a
4
(B)4a
2
(C)a
8
(D)a
6
2.
计算
(-2x
2
)
3
的结果是
(
)
(A)-2x
5
(B)-8x
6
(C)-2x
6
(D)-8x
5
巩固新
知
3.
计算：
(1) (2)-
m
2
·(-
m
)
3
.
4.
计算：
(1)(-2
x
2
)
3
-
x
2
·(-
x
)
4
.
(2)(2
a
2
)
4
+
［
(2
a
)
2
］
3
-
a
2
·(
a
2
)
3
.
1.
下列计算正确的是
(
)
(A)
a
3
a
2
=
a
6
(B)
a
2
+
a
4
=2
a
2
(C)(
a
3
)
2
=
a
6
(D)(3
a
)
2
=
a
6
2.
若
3×9
m
×27
m
=3
21
，则
m
的值是
(
)
(A)3 (B)4 (C)5 (D)6
3.
化简
y
3
·(
y
3
)
2
-2(
y
3
)
3
=_____.
4.
有一道计算题：
(-a
4
)
2
，李老师发现全班有以下四种解法：
①
(-a
4
)
2
=(-a
4
)(-a
4
)=a
4
·a
4
=a
8
;
②(-a
4
)
2
=-a
4×2
=-a
8
;
③(-a
4
)
2
=(-a)
4×2
=(-a)
8
=a
8
;
④(-a
4
)
2
=(-1×a
4
)
2
=(-1)
2
·(a
4
)
2
=a
8
.
你认为其中完全正确的是
(
填序号
) _____.
① ④
5.
先化简，再求值：
其
中
【
解析
】
x
3
·(-y
3
)
2
+(- xy
2
)
3
当
时
，原
式
小结
同底数幂的乘法运算法则：
a
m
· a
n
=
幂的乘方运算法则
:
(
a
m
)
n
=
(
m
，
n
都是正整数
)
(
ab
)
n
=
a
n
·
b
n
（
m
，
n
都是正整数）
积的乘方运算法则
a
m+n
a
mn
(
m
，
n
都是正整数
)
你学过的幂的运算有哪些
?
a
·
a
·
…
·
a
n
个
a
幂的意义
:
=a
n
第一章 整式的乘除
3
同底数幂的除法
学 习 新 知
问题思考
一种液体每升含有
10
12
个有害细菌
,
为了试验某种杀菌剂的效果
,
科学家们进行了实验
,
发现
1
滴杀菌剂可以杀死
10
9
个此种细菌
.
(1)
要将
1
升这种液体中的有害细菌全部杀死
,
需要这种杀菌剂多少滴
?
(2)
你是怎样计算的
?
(3)
你能再举出几个类似的算式吗
?
1
.
怎样计算
10
12
÷10
9
?
同底数幂的除法法则
2
.
计算下列各式
,
并说明理由
(
m
>
n
)
.
(1)10
m
÷10
n
;
(2)(- 3)
m
÷(- 3)
n
;
3
.
你能用字母表示同底数幂的除法运算法则并说明理由吗
?
注意
:
①
同底数幂除法运算中
,
相同底数可以是不为
0
的数字
、 字
母、单项式或多项式
.
②
同底数幂除法运算中
,
也可以是两个以上的同底数幂相除
,
幂的底数必须相同
,
相除时指数才能相减
.
归纳
:
同底数幂的除法法则
:
同底数幂相除
,
底数不变
,
指 数
相减
.
即
a
m
÷
a
n
=
a
m
-
n
(
a
≠0,
m
,
n
都是正整数
,
且
m
>
n
)
.
探索零指数幂与负整数指数幂
10
4
=10000,
2
4
=16,
10
(
)
=1000,
2
(
)
=8,
10
(
)
=100, 2
(
)
=4,
10
(
)
=10,
2
(
)
=2
.
1
.
做一做
:
2
.
猜一猜
:
下面的括号内该填入什么数
?
你是怎么想的
?
与同伴交流
.
10
(
)
=1,
2
(
)
=1,
10
(
)
=0
.
1,
2
(
)
=
,
10
(
)
=0
.
01,
2
(
)
=
,
10
(
)
=0
.
001,
2
(
)
=
.
3
.
你有什么发现
?
能用符号表示你的发现吗
?
4
.
你的发现合理吗
?
为什么
?
a
0
=
1
,
方法一
:
从同底数幂的除法和约分的角度来进行说明
.
我们前面这样推导了同底数幂的除法法则
:
当
m
=
n
时
,
我们可以类似地得到
:
当
m
< n 时 , 先设 p = n - m , 那么 m - n =- p , 也可以类似地得到 : ( a ≠ 0 , p 为正整数 ) . 方法二 : 从乘除法的逆运算关系来说明 . 因为 a m · a 0 = a m +0 = a m , 所以 a 0 = a m ÷ a m =1( a ≠0, m 为正整数 ) . 在这一结论的基础上再进一步得到 : 因为 a p · a - p = a p +(- p ) = a 0 =1, 所以 a - p =1÷ a p = ( a ≠0, p 为正整数 ) . 1 .a m ÷ a n = a m - n ( a ≠0, m , n 都是正整数 , 且 m >
n
)
.
同
底数幂相除
,
底数不变
,
指数相减
.
2
.a
0
=1(
a
≠0);
a
-
p
= (
a
≠0,
p
是正整数
)
.
课堂小结
检测反馈
1
.
下列计算中错误的有
(
)
(1)
a
10
÷
a
2
=
a
5
;(2)
a
5
÷
a
=
a
5
;(3)(-
a
)
5
÷(-
a
)
3
=
a
2
;(4)3
0
=3
.
A.1
个
B.2
个
C.3
个
D.4
个
解析
:
(1)(2)(4)
错误
.
故选
C
.
C
2
.
计算
(
a
2
)
3
÷(-
a
2
)
2
的结果正确的是
(
)
A.-
a
2
B.
a
2
C.-
a
D.
a
解析
:
原式
=
a
6
÷
a
4
=
a
2
.
故选
B
.
B
解析
:
原式
=3
3
m
÷3
2
m
÷3=3
m
- 1
.
故填
3
m
- 1
.
3
.
计算
27
m
÷9
m
÷3=
.
3
m
- 1
4
.
计算
.
(1)(
x
- 2
y
)
4
÷(2
y
-
x
)
2
÷(
x
- 2
y
)
.
(2)[(
x
+
y
)(
x
-
y
)]
9
÷(
y
-
x
)
8
÷(-
x
-
y
)
9
.
(2)
原式
=(
x
+
y
)
9
(
x
-
y
)
9
÷(
x
-
y
)
8
÷(-
x
-
y
)
9
=- (
x
-
y
)
=
y
-
x.
解
:
(1)
原式
=(
x
- 2
y
)
4- 2- 1
=
x
- 2
y.
学习新知
检测反馈
同
底数幂的
除法
（
第
2
课时）
学 习 新 知
问题思考
同学们知道泰山和鸿毛有多重吗
?
泰山约重
3240000
吨
,
鸿雁羽毛约重
0
.
00000087
吨
.
泰山的重量
3240000
吨
,
数值比较大
,
你能用科学记数法来表示吗
?
较小的数也能用科学记数法来表示吗
?
科学记数法的拓展延伸
2.
把下列小数用
a×10n(1≤a
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