天天资源网 / 初中数学 / 教学同步 / 人教版（2012） / 九年级下册 / 第二十八章 锐角三角函数 / 人教版九年级下册数学第28章锐角三角函数课件
资料简介
第一课时
第二课时
第三课时
第四课时
人教版 数学 九年级 下册
第一课时
返回
鞋跟多高合适
美国人体工程研究学人员调查发现，
当高跟鞋的鞋底与地面的夹角为11°左
右时，人脚的感觉最舒适，假设某成年人前脚掌到
脚后跟长为15厘米，请问鞋跟在几厘米高度为最佳？
11˚
导入新知
1. 经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与
斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实.
2. 理解锐角正弦的概念，掌握正弦的表示方法.
素养目标
3. 会根据直角三角形的边长求一个锐角的正弦值
，并且能利用正弦求直角三角形的边长.
为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，
在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平
面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长
的水管？ 分析：这个问题可以归
结为，在Rt△ABC中，
∠C=90°，∠A＝30°，
BC＝35m，求AB
根据“在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一
半”，即
可得AB＝2BC＝70m，也就是说，需要准备70m长的水
管．
A
B
C
探究新知
知识点 1
解：
B
A C
30° 35m
【思考】在上面的问题中，如果使出水口的高度为
50m，那么需要准备多长的水管？
A
B
C
50m35m
B '
C '
AB'＝2B'C' ＝2×50＝100(m)
探究新知
在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么不管
三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于 .
1
2
在Rt△ABC中，∠C＝90°，由于∠A＝45°，
所以Rt△ABC是等腰直角三角形，由勾股定理得:
因此
在直角三角形中，当一个锐角等于45°时，不管这个直
角三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于 .
如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C＝90°，
∠A＝45°，计算∠A的对边与斜边的比 ，
你能得出什么结论？
AB
BC A
BC
探究新知
探究新知
归纳总结
综上可知，在一个Rt△ABC中，∠C＝90°，当
∠A＝30°时，∠A的对边与斜边的比都等于 ，是一
个固定值；当∠A＝45°时，∠A的对边与斜边的比都等
于 ，也是一个固定值.
【思考】一般地，当∠A 取其他一定度数的锐角时，它
的对边与斜边的比是否也是一个固定值？
探究新知
A
B
C A'
B'
C'
任意画 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，
∠A＝∠A'＝α，那么 与 有什么关系？你能解释一
下吗？
BC
AB
B' C'
A' B'
探究新知
因为∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，
所以Rt△ABC ∽Rt△A'B'C'. 因此
在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不管三角
形的大小如何，∠A 的对边与斜边的比都是一个固定值．
AB BC
A' B' B' C'
BC B' C'
AB A'B'
探究新知
如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，我们把锐角 A
的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作 sin A 即
例如，当∠A＝30°时，我们有
；
2
130sinsin A
当∠A＝45°时，我们有 .2
245sinsin A
A
B
C
c a
b
对
边
斜边
归纳：
探究新知
∠A的对边
斜边sin A = a= c
注意
• sinA是一个完整的符号，它表示∠A的正弦，记号里习惯省去角的符号
“∠”；
• sinA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A的对边与斜边的比；
• sinA不表示“sin”乘以“A”.
探究新知
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求
sinA和sinB的值．
解：（1）在Rt△ABC中，
534 2222 BCACAB
因此
5
3sin
AB
BCA
5
4sin
AB
ACB
（2）在Rt△ABC中，
13
5sin
AB
BCA
12513 2222 BCABAC
因此 13
12sin
AB
ACB
探究新知
素养考点 1 利用正弦的定义求有关角的正弦值
A
B
C
3
4
（1）
A
B
C
13
5（2）
求sinA就
是要确定
∠A的对边
与斜边的比；
求sinB就
是要确定
∠B的对边
与斜边的比
1.判断对错:
A
10m 6m
B
C
(1) （ ）
(2) （ ）
(3)sin A=0.6m （ ）
(4)sin B=0.8 （ ）
√
√
×
×
sin A是一个比值（注意比的顺序），无单位；
2)如图②， （ ） ×
巩固练习
AB
BCA sin
AB
BCA sin
AB
BCB sin
A
B
C
1) 如图①
图①
图②
2. 在 Rt△ABC中，锐角 A 的对边和斜边同时扩大 100
倍，sinA 的值 ( )
A. 扩大100倍 B. 缩小
C. 不变 D. 不能确定
C
1
100
巩固练习
例2 如图，在平面直角坐标系内有一点 P (3，4)，连接 OP，
求 OP 与 x 轴正方向所夹锐角 α 的正弦值.
解：如图，设点 A (3，0)，连接 PA .
A (3，0)
在Rt△APO中，由勾股定理得
2 2 2 23 4 5.OP OA AP
因此 4sin .5
AP
OP
α
探究新知
素养考点 2 在平面直角坐标系内求锐角的正弦值
探究新知
方法点拨
结合平面直角坐标系求某角的正弦函数值，
一般过已知点向 x 轴或 y 轴作垂线，构造直角三
角形，再结合勾股定理求解.
4
5
3.在平面直角坐标系中,已知点A(3,0)和B(0,-4),
则sin∠OAB等于____
3
4 5
巩固练习
例3 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°， ，
BC = 3，求 sinB 及 Rt△ABC 的面积.
1sin 3A
A
B
C
提示：已知 sinA 及∠A的对边 BC
的长度，可以求出斜边 AB 的长. 然
后再利用勾股定理，求出 AC 的长度，
进而求出 sinB 及 Rt△ABC 的面积.
素养考点 3
探究新知
利用正弦求直角三角形的边长
∴ AB = 3BC =3×3=9.
2 2 2 2= 9 3 6 2.AC AB BC ∴
∴ 6 2 2 2sin .9 3
ACB AB
∴ 1 1= 6 2 3=9 2.2 2ABCS AC BC △
探究新知
A
B
C
解：∵在 Rt△ABC 中，
1sin 3A 1
3
BC
AB
∴
在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，sinA = k，
sinB = h，AB = c，则BC = ck， AC = ch.
在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，sinA = k，
sinB = h，BC=a，则
归纳：
探究新知
A
B
C
aAB k
， ahAC k
.
8
巩固练习
4.如图：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，
， BC的长是 ．
A
Ｃ B
5
3sin B
例4 在 △ABC 中，∠C=90°，
AC=24cm， ，求这个三角形的周长．
解：设BC=7x，则AB=25x，在 Rt△ABC中，由勾股定
理得
即 24x = 24cm，解得 x = 1 cm.
故 BC = 7x = 7 cm，AB = 25x = 25 cm.
所以 △ABC 的周长为 AB+BC+AC = 7+24+25 = 56 (cm).
探究新知
素养考点 4 利用方程和正弦求直角三角形中线段
xxxBCABAC 24)7()25( 2222
7sin 25A
5.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°, , AC=12.
求sinB的值.
5
13解:在Rt △ABC中,
设AB=13x，BC=5x,
由勾股定理得：(5x)2+122=(13x)2
A
B
C
12
巩固练习
解得x=1.所以AB=13，BC=5
13
5sin A
12sin 13
ACB AB
因此
1.（2018•柳州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，
AC=3，则sinB=（ ）
A． B． C． D．
巩固练习
连 接 中 考
A
5
3
5
4
7
3
4
3
A
B C
2.（2018•德州）如图，在4×4的正方形方格图形中，小正
方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则
∠BAC的正弦值是_______．
连 接 中 考
巩固练习
5
5
1. 如图，已知点 P 的坐标是 (a，b)，则 sinα 等于( )
O x
y
P (a，b)
α
A. B.
C. D.
a
b
b
a
2 2
a
a b 2 2
b
a b
D
课堂检测
基 础 巩 固 题
2. 在直角三角形 ABC 中，若三边长都扩大 2 倍，则
锐角 A 的正弦值 （ ）
A. 扩大 2 倍 B.不变
C. 缩小 D. 无法确定
B
1
2
课堂检测
基 础 巩 固 题
D
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
2
课堂检测
3. 在Rt△ABC中，∠C=90°， ，BC=6，则
AB
的长为 （ ）
3sin 5A
4. 在△ABC中，∠C=90°，如果 ，AB=6，
那么BC=_____.
1sin 3A
基 础 巩 固 题
5. 如图，在正方形网格中有 △ABC，则 sin∠ABC 的值
为 .
10
10
课堂检测
解析：
∵ ， ， ，
20AB 18BC 2AC
10
10
20
2sin
AB
ACABC∴
∴ AB 2 ＝ BC 2＋AC 2，∴ ∠ACB＝90°，
基 础 巩 固 题
如图，在 △ABC中， AB= BC = 5， ，求
△ABC 的面积.
D
5 5
C
B
A
解：作BD⊥AC于点D，
4sin 5 45BD AB A ，∴
2 2 2 25 4 3.AD AB BD
又∵ △ABC 为等腰三角形，BD⊥AC，∴ AC=2AD=6，
∴S△ABC=AC×BD÷2=12.
课堂检测
能 力 提 升 题
5
4sin A
5
4sin A∵ ，
求一个角的正弦值，除了用
定义直接求外，还可以转化
为求和它相等角的正弦值。
如图, ∠C=90°，CD⊥AB. sinB可以由哪两条线段之比
得到?若AC=5,CD=3,求sinB的值.
┌
A
C
BD
解: ∵∠B =∠ACD
∴sinB = sin∠ACD
在Rt△ACD中，
课堂检测
拓 广 探 索 题
435 2222 CDACAD
∴ 4sin 5B
5
4sin
AC
ADACD∴
正弦函数
正弦函数的概念
正弦函数的应用
已知边长求正弦值
已知正弦值求边长
∠A的对边
斜边sin A =
课堂小结
第二课时
返回
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.
A C
B
对边a
邻边b
斜边c
当∠A确定时，∠A的对边与斜边的比就确定，
此时，其他边之间的比是否也确定呢？
导入新知
2. 能灵活运用锐角三角函数进行相关运算.
1. 通过类比正弦函数，理解余弦函数、正切函
数的定义，进而得到锐角三角函数的概念 .
素养目标
3. 通过锐角三角函数的学习，培养学生类比
学习的能力.
如图， △ABC 和 △DEF 都是直角三角形，
其中∠A =∠D，∠C =∠F = 90°，则
成立吗？为什么？
DE
DF
AB
AC
A
B
C D
E
F
探究新知
知识点 1
我们来试着证明前面的问题：
∵∠A=∠D，∠C=∠F=90°，
∴ ∠B=∠E，
从而 sinB = sinE，
因此 .AC DF
AB DE
A
B
C D
E
F
探究新知
在有一个锐角相等的所有直角三角形中，这个锐
角的邻边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的
大小无关．
如下图所示，在直角三角形中，我们把锐角A的邻
边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即
归纳：
A
B
C
斜边c
邻边b
探究新知
∠A的邻边
斜边cos A = b
c
探究新知
归纳总结
从上述探究和证明过程，可以得到互余两角的三
角函数之间的关系：
对于任意锐角α，有 cos α = sin (90°－α),
或sin α = cos (90°－α).
1. sinA、cosA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(
注意数形结合，构造直角三角形).
2. sinA、 cosA是一个比值（数值）.
3. sinA、 cosA的大小只与∠A的大小有关，而与直角
三角形的边长无关.
如图：在Rt △ABC中，∠C＝90°，
正弦
余弦
sin 的对边 =斜边
A aA c
cos 的邻边 =斜边
A bA c
探究新知
注意：
A
B
C
斜边c
∠A的邻边b
∠A的对边a
1．Rt△ABC中，∠C=90°，如果AB=2，BC=1，
那么cosB的值为（ ）
A. B. C. D. 2
3
3
3 32
1
A
巩固练习
2. Rt△ABC中，∠C=90°，如果AC=4，BC=3，
那么cosB的值为_______
3
5
如图， △ABC 和 △DEF 都是直角三角形，
其中∠A =∠D，∠C =∠F = 90°，则
成立吗？为什么？
DF
EF
AC
BC
A
B
C D
E
F
探究新知
知识点 2
证明：∵∠C=∠F=90°，
∠A=∠D，
∴Rt△ABC ∽ Rt△DEF
探究新知
A
B
C D
E
F
DF
AC
EF
BC ∴
即
DF
EF
AC
BC
当直角三角形的一个
锐角的大小确定时，其
对边与邻边比值也是唯
一确定的吗？
探究新知
A
B
C
斜边c
∠A的邻边b
∠A的对边a
如图：在Rt △ABC中，∠C＝90°，
我们把锐角A的对边与邻边的比叫做
∠A的 正切，记作 tanA.
探究新知
在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角
形的大小如何，∠A的对边与邻边的比是一个固定值.
A
B
C
斜边c
∠A的邻边b
∠A的对边a
1.如果两个角互余，那么这两个角的正切值有什么关系？
【想一想】
探究新知
2.锐角A的正切值可以等于1吗？为什么？
可以大于1吗？
3．在Rt∆ABC中，∠C＝90°，如果
那么tanB的值为（ ）
5
3
4
5
4
3
3
4A. B. C. D.
D
巩固练习
5
4cos A
4. 在Rt∆ABC中，∠C＝90°，如果
那么tanA的值为_______.
13
5sin A
5
12
锐角A的正弦、余弦、和正切统称∠A的锐角三角函数.
sin A=
cos A= tan A=
脑中有“图”，心中有
“式”
探究新知
知识点 3
A
B
C
斜边c
∠A的邻边b
∠A的对边a
∠A的邻边
斜边
∠A的对边
斜边
∠A的对边
∠A的邻边
例1 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，
AB=10，BC=6，求sinA，cosA，tanA的值.
A
B
C
10 6
解：由勾股定理得
2 2 2 2 = = 10 6 =8AC AB BC ，
因此 6 3sin = =10 5
BCA AB
，
6 3tan = = .8 4
BCA AC
探究新知
素养考点 1 已知直角三角形两边求锐角三角函数的值
8 4cos 10 5
ACA AB ,
探究新知
方法点拨
已知直角三角形中的两条边求锐角三角函数值的一
般思路是：当所涉及的边是已知时，直接利用定义求锐
角三角函数值；当所涉及的边未知时，可考虑运用勾股
定理的知识求得边的长度，然后根据定义求锐角三角函
数值．
5．Rt△ABC中，∠C为直角，AC=5，BC=12，那么下
列∠A的四个三角函数中正确的是( )
6．如图：P是∠ α的边OA上一点，
且P点的坐标为（3，4），则cos
α
______，tan α = ________.
B
3
5
4
3
巩固练习
A. B． 13
5sin A 13
12sin A
C． D． 12
13tan A
12
5cos A
α
A
A
B
C
6
又 2 2 2 210 6 8AC AB BC ，
在直角三角形中，
如果已知一边长及一个
锐角的某个三角函数值，
即可求出其它的所有锐
角三角函数值.
探究新知
素养考点 2 已知一边及一锐角三角函数值求函数值
例2 如图，在 Rt△ABC中，∠C = 90°，BC =
6，
，求 cosA、tanB 的值．
3sin 5A
4cos 5
ACA AB
= ，∴ 4tan .3
ACB BC
=
解：∵在Rt△ABC中，sin BCA AB
，
56 10sin 3
BCAB A
= = .∴
A
B
C 8
解：∵在 Rt△ABC中， 3tan 4
BCA AC
，
6 3cos .10 5
BCB AB
3 3 8 64 4BC AC ，∴
2 2 2 28 6 10AB AC BC ，∴
6 3sin 10 5
BCA AB
，∴
巩固练习
7. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 8， ，
求sinA，cosB 的值．
3tan 4A
1.（2018•广州）如图，旗杆高AB=8m，某一时刻，旗杆影
子
长BC=16m，则tanC=______．
巩固练习
连 接 中 考
1
2 A
BC
2. （2018•贵阳）如图，A、B、C是小正方形的顶点，
且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（ ）
A． B．1
C． D．
B
巩固练习
连 接 中 考
2
1
3
3 3
1. 在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 12，AB =13.
sinA=______，cosA=______，tanA=____，
sinB=______，cosB=______，tanB=____.
5
13
12
13
5
12
5
13
12
13
12
5
基 础 巩 固 题
课堂检测
2. 如图，△ABC 中一边 BC 与以 AC 为直径的
⊙ O
相切与点 C，若 BC=4，AB=5，则 tanA=___.
4
3
O
CB
AA
B C
课堂检测
基 础 巩 固 题
3. 已知 ∠A，∠B 为锐角，
(1) 若∠A =∠B，则 cosA cosB；
(2) 若 tanA = tanB，则∠A ∠B.
(3) 若 tanA · tanB = 1，则 ∠A 与 ∠B 的关系为：
.
=
=
∠A +∠B = 90°
课堂检测
基 础 巩 固 题
如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，
CD⊥AB，垂足为 D. 若 AD = 6，CD = 8. 求 tanB
的值.解: ∵ ∠ACB＝∠ADC =90°，
∴∠B+ ∠A=90°，
∠ACD+ ∠A =90°，
∴∠B = ∠ACD，
能 力 提 升 题
6 3tan tan 8 4
ADB ACD CD
∴
课堂检测
如图，在△ABC中，AB=AC=4，BC=6.
求cosB 及 tanB 的值.
解：过点 A 作 AD⊥BC 于 D.
∵ AB = AC， ∴ BD = CD = 3，
在 Rt△ABD 中, 2 2 2 24 3 7AD AB BD ，
A
B CD
提示：求锐角的三角函数值问题，当图形
中没有直角三角形时，可用恰当的方法构
造直角三角形.
拓 广 探 索 题
∴ 3cos .4
BDB AB
∴ 7tan 3
ADB BD
课堂检测
余弦函数
和
正切函数
余弦
正切
性质
课堂小结
∠A的邻边
斜边cos A =
∠A的对边tan A =∠A的邻边
∠A的大小确定的情况下，
cosA，tanA为定值，与
三角形的大小无关
第三课时
返回
导入新知
还记得我们推导正弦关系的时候所得到的结论吗？
即 ， ，你还能推导出sin60°的值及
30°、45°、60°角的其它三角函数值吗？
2
130sin
2
245sin
1. 理解特殊角的三角函数值的由来.
3. 熟记三个特殊锐角的三角函数值，并能准确地加
以运用，根据一个特殊角的三角函数值说出这个角.
素养目标
2. 运用三角函数的知识，自主探索，推导出
30°、45°、60°角的三角函数值.
两块三角尺中有几个不同的
锐角？分别求出这几个锐角的正
弦值、余弦值和正切值？
设30°所对的直角边长为a，那么斜边长为2a，
另一条直角边长＝ 2 22 3a a a
3 3cos30 ,2 2
a
a
3tan30 33
a
a
30°
60°
45° 45°
30°
探究新知
知识点 1
1sin30 ,2 2
a
a
∴
1cos60 ,2 2
a
a
3tan 60 3a
a
设两条直角边长为a，则斜边长＝ 2 2 2a a a
2cos45 ,22
a
a
tan 45 1a
a
60°
45°
探究新知
3 3sin 60 ,2 2
a
a
∴
2sin 45 ,22
a
a
∴
30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：
锐角a
30° 45° 60°
sin a
cos a
tan a
1
2
2
2
3
2
2
2
1
2
3
3
2
3
3 1
探究新知
三角函数
仔细观察,说说
你发现这张表有
哪些规律?
例1 求下列各式的值：
（1）cos260°＋sin260° （2）
45tan45sin
45cos
解： （1） cos260°＋
sin260° 22
2
3
2
1
= 1
45tan45sin
45cos （2）
12
2
2
2
=0
探究新知
素养考点 1 特殊角的三角函数值的运算
提示：sin260°表示（sin60°）2
这道例题的两个
式子中包含几种
运算？运算顺序
是怎样的？
探究新知
方法点拨
含特殊角三角函数值的计算注意事项：
（1）熟记特殊角的锐角三角函数值是关键；
（2）注意运算顺序和法则；
（3）注意特殊角三角函数值的准确代入．
1.计算：
(1) sin30°+ cos45°；
解：（1）原式
(2) sin230°+ cos230°－
tan45°.
巩固练习
1 2
2 2
（2）原式
1 2
2
2 21 3 12 2 - （ ） （ ）
1 3 14 4-
＝1-1
＝0
解：在 Rt△ABC中
A
B
C
36
∴ ∠A = 45°.
3 2sin 26
BCA AB
，∵
探究新知
素养考点 2 利用三角函数值求特殊角
例2 (1) 如图，在Rt△ABC中，∠C =
90°， ，
，求 ∠A 的度数；
6AB
3BC
解：在 Rt△ABO中
A
BO
∴ α = 60°.
探究新知
(2) 如图，AO 是圆锥的高，OB 是底面半
径， ，求 α 的度数.
3AO OB
3tan 3AO OBα BO OB
∵
2. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，
求∠A、∠B的度数．
21,7 ACBC
A
B
C
7
21
解： 由勾股定理
∴ ∠ A=30°
∠B = 90°－ ∠ A = 90°－30°= 60°
巩固练习
7 1sin 22 7
BCA AB
∴
例3 已知 △ABC 中的 ∠A 与 ∠B 满足 (1－tanA)2
＋|sinB－ |＝0，试判断 △ABC 的形状．3
2
∴ tanA＝1， ，
∠C＝180°－45°－60°＝75°，
∴ △ABC 是锐角三角形．
探究新知
素养考点 3 特殊角的三角函数值的应用
解：∵ (1－tanA)2 ＋ | sinB－ |＝0，3
2
3sin 2B ∴ ∠A＝45°，∠B＝60°，
3. 已知：
求∠A，∠B的度数。
,03sin23tan 2 AB
解：
巩固练习
3tan 3,sin 2B A 即
tan 3 0 2sin 3 0B A ，∴
0 060 , 60A B ∴
2
tan 3 2sin 3 0B A ∵
连 接 中 考
巩固练习
A1.（2018•大庆）2cos60°=（ ）
A．1 B． C． D．3 2 2
1
2.（2019•大庆）计算：（2019-π）0 ＋ －
sin60°
1- 3
解：原式＝1＋ －1 －3 3
2
＝ 3
2
1．下列各式中不正确的是（ ）
A． B．sin30°+cos30°=1
C．sin35°=cos55° D．tan45°>sin45°
2．计算2sin30°-2cos60°+tan45°的结果是（ ）
A．2 B． C．-1 D．1 2
B
D
课堂检测
基 础 巩 固 题
sin260°+cos260°=1
3.求满足下列条件的锐角 α .
(1) 2sinα － = 0； (2) tanα－1 = 0. 3
∴ ∠α = 60°.
(2) tanα =1，
课堂检测
解：(1) ， 2
3sin a
∴ ∠α = 45°.
基 础 巩 固 题
4．在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且 ，
，则△ABC的形状是（ ）
A.直角三角形 B.钝角三角形
C.锐角三角形 D.不能确定
B
课堂检测
5. 在 △ABC 中，若 ，
则∠C = .
2
1 3sin cos 02 2A B
120°
2
1sin A
2
3cos B
基 础 巩 固 题
6. 求下列各式的值：
(1) 1－2 sin30°cos30°；
(2) 3tan30°－tan45°+2sin60°；
(3) ；
(4)
30tan
1
60sin1
60cos
答案：(1) 31 2
2 3 1(2) (3) 2
0200512 sin 45 cos60 1 1 2 .2
(4) 3
4
课堂检测
基 础 巩 固 题
已知 α 为锐角，且 tanα 是方程 x2 + 2x －3 = 0
的一个根，求 2 sin2α + cos2α － tan (α+15°)的值．3
解：解方程 x2 + 2x － 3 = 0，得 x1 = 1，x2 = －3.
∵ tanα ＞0，∴ tanα =1，∴ α = 45°.
∴ 2 sin2α + cos2α － tan (α+15°)
= 2 sin245°+cos245°－ tan60°
2 2
2 22 + 3 32 2
能 力 提 升 题
3
3
课堂检测
3- 2
如图，在△ABC中，AD⊥BC，M为AB的中点，∠B=30°，
. 求tan∠BCM.
2
2cos ACD
E
M
DC
BA
解：过点M作ME⊥BC于点E
课堂检测
拓 广 探 索 题
∴CD=AD,又∵M是AB的中点 ∴BE=DE，AD=2ME.
又∵∠B=30°，tan MEB BE
，
∵AD⊥BC， 2
2cos ACD
3
3
ME
BE
∴
3 2 3BE= ME,CE=CD+DE= ME+ ME∴
1tan 2 3
(2 3) 2 3
ME MEBCM CE ME
∴
30°、45°、60°角的三角函数
值
通过三角函数值求角度
特殊角的三
角函数值
课堂小结
第四课时
返回
锐角a
三角
函数
30° 45° 60°
sin a
cos a
tan a
1
2
3
2
3
3
2
2
2
2
1
3
2
1
2
3
填写下表：
导入新知
前面我们学习了特殊角30°，45°，60°的三角函
数值,一些非特殊角(如17°，56°，89°等)的三角函数
值又怎么求呢?
这一节课我们就学习借助计算器来完成这个任务.
导入新知
1. 会使用科学计算器求锐角的三角函数值.
2. 会根据锐角的三角函数值，借助科学计算器
求锐角的大小.
素养目标
3. 熟练运用计算器解决锐角三角函数中的问题.
例如 (1) 用计算器求sin18°的值；
解：第一步：按计算器 键；sin
第二步：输入角度值18；
屏幕显示结果 sin18°= 0.309 016 994.
不同计算器操作的步
骤可能不同！
知识点 1
探究新知
(2) 用计算器求 tan30°36′ 的值；
解：方法①：
第二步：输入角度值30.6 (因为30°36′ = 30.6°)；
屏幕显示答案：0.591 398 351.
第一步：按计算器 键；tan
探究新知
屏幕显示答案：0.591 398 351.
方法②：
第一步：按计算器 键；tan
探究新知
第二步：输入角度值30，分值36 (使用 键)；° ′ ″
(3) 已知 sinA = 0.501 8，用计算器求锐角∠A的度
数.
第二步：输入函数值0. 501 8；
屏幕显示答案： 30.119 158 67°(按实际需要进行
精确).
解：第一步：依次按计算器 键；2nd F sin
还可以利用 键，进一步得到
∠A = 30°07′08.97 ″ (这说明锐角 A 精确到 1′ 的结果
为 30°7′，精确到 1″ 的结果为0°7′9″).
2nd F ° ′ ″
探究新知
1. 用计算器求下列各式的值(精确到0.0001)：
(1) sin47°； (2) sin12°30′；
(3) cos25°18′；(4) sin18°＋cos55°－tan59°.
答案：(1) 0.7314 (2) 0.2164
(3) 0.9041 (4) －0.7817
巩固练习
2. 已知下列锐角三角函数值，用计算器求锐角 ∠A，
∠B的度数 (结果精确到0.1°)：
(1) sinA＝0.7，sinB＝0.01；
(2) cosA＝0.15，cosB＝0.8；
(3) tanA＝2.4，tanB＝0.5.
答案：(1) ∠A ≈ 44.4°；∠B ≈ 0.6°.
(2) ∠A ≈ 81.4°；∠B ≈ 36.9°.
(3) ∠A ≈ 67.4°；∠B ≈ 26.6°.
巩固练习
（1）通过计算 (可用计算器)，比较下列各组数的大小，
并提出你的猜想：
① sin30°____2sin15°cos15°；
② sin38°____2sin19°cos19°；
③ sin45°____2sin22.5°cos22.5°；
④ sin60°____2sin30°cos30°；
⑤ sin84°____2sin42°cos42°.
猜想：已知0°＜α＜45°，则sin2α___2sinαcosα.
=
探究新知
知识点 2
=
=
=
=
=
(2) 如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝
2α，
请利用面积方法验证 (1) 中的结论．证明：∵ S△ABC = AB · sin2α · AC = sin2α，
S△ABC = ×2ABsinα · ACcosα =
sinα · cosα，
∴sin2α＝2sinαcosα.
1
2
1
2
1
2
探究新知
2α
（1）sin35°= ，cos35°= ，
sin235°= ，cos235°= ；
猜想：
已知0°＜α＜90°，则 sin2α + cos2α = .
0.3420
0.5735
0.9397
0.1170 0.8830
0.8192
0.3290 0.6710
3.利用计算器求值，并提出你的猜想：
1
巩固练习
（2）sin20°= ，
cos20°= ，sin220°= ， cos220°= ；
4. 已知：sin254°+ cos2α =1，则锐角 α = . 54°
5. 用计算器比较大小：20sin87° tan87°.＞
巩固练习
sin20° cos20°，
sin220° cos220°；
sin35° cos35°.
＜
＜
＜
（2018•淄博）一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行驶了100米，
其铅直高度上升了15米．在用科学计算器求坡角α的度数时，具体
按键顺序是（ ）
A． B．
C． D．
巩固练习
连 接 中 考
A
1. 下列式子中，不成立的是( )
A．sin35°= cos55°
B．sin25°+ sin40°= sin65°
C． cos47°= sin43°
D．sin218°+ cos218°=1
B
课堂检测
基 础 巩 固 题
2. 用计算器求sin24°37′18″的值，以下按键顺序正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
A
sin 2 4 ° ′ ″ 3 7 ° ′ ″ 81
° ′ ″ =
sin
2 4 ° ′ ″ 3 7 ° ′ ″ 81 ° ′ ″
=
2nd F sin 2 4 ° ′ ″ 81 ° ′ ″ =
sin 2 4 ° ′ ″ 3 7 ° ′ ″ 81
° ′ ″ =2nd F
课堂检测
基 础 巩 固 题
(1) sin40°≈ (精确到0.0001)；
(2) tan63°27′≈ (精确到 0.0001)；
(3) cos18°59′27″≈ (精确到 0.0001)；
(4) 若sinα = 0.5225，则 α ≈ (精确到
0.1°)；
(5) 若cosα = 0.3145，则 α ≈ (精确到
0.1°).
0.6428
2.0013
31.5°
3. 利用计算器求值：
71.7°
课堂检测
0.9452
基 础 巩 固 题
如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，请验证sin2α + cos2α =1
的结论.
证明：在 Rt△ABC中，a2 + b2 = c2，
bA
B
C
a
c
α
sin cosa b
c c
， ，
∴
2 2
2 2sin +cos a b
c c
+
2 2
2 1.a b
c
课堂检测
能 力 提 升 题
在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠BAC = 42°24′， ∠A
的
平分线 AT = 14.7cm，用计算器求 AC 的长(精确到0.001).解：∵ AT 平分∠BAC，且∠BAC = 42°24′，
在 Rt△ACT 中, ，
∴ AC = AT · cos∠CAT = 14.7×cos21°12′
≈13.705(cm).
课堂检测
拓 广 探 索 题
A
B
C
T
AT
ACCAT cos
1 21 122CAT BAC ∴ .
用计算
器求锐
角三角
函数值
及锐角
课堂小结
用计算器求锐角的三角函数值或角的度数
注意：不同的计算器操作步骤可能有所不同
利用计算器探索锐角三角函数的性质
课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习
人教版 数学 九年级 下册
导入新知
要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面
所成的角α一般要满足50°≤ α ≤75°.现有一个长6m的梯子，问：
（1）使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙（精确到0.1m）？
（2）当梯子底端距离墙面2.4m时，梯子与地面所成的角α等于多
少（精确到1°）？这时人能够安全使用这个梯子吗？
1. 了解解直角三角形的意义和条件.
2. 理解直角三角形中的五个元素之间的联系.
素养目标
3. 能根据直角三角形中除直角以外的两个元
素（至少有一个是边），解直角三角形.
利用计算器可得 .
根据以上条件可以求出塔身中心线与垂直中心线的夹角．
你愿意试着计算一下吗？
如图，设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线的夹角为∠A，
过B点向垂直中心线引垂线，垂足为点C，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
BC＝5.2m，AB＝54.5m.
A
BC
0954.05.54
2.5sin
AB
BCA
5 28A
将上述问题推广到一般情形，就是：已知直角三角形的斜
边和一条直角边，求它的锐角的度数.
探究新知
知识点 1
在直角三角形
中知道几个条
件可以求解呢？
在Rt△ABC中,
不能
不能
一角
一角
一边
A
BC
两角
（2）根据∠A=60°,∠B=30°, 你能求出
这个三角形的其他元素吗?
（1）根据∠A= 60°，你能求出这个三角形
的其他元素吗?
（3）根据∠A= 60°,斜边AB=4,你能求出这个三角形的
其他元素吗? ∠B AC BC 两边
∠A ∠B AB
探究新知
（4）根据 ，AC= 2 ， 你能求出这个三角形的
其他元素吗？
32BC
你发现了
什么？
在Rt△ABC中,
在直角三角形的六个元素中,除直
角外,如果知道两个元素,(其中至少有
一个是边),就可以求出其余三个元素.
我发现
了：
一角一边 两边两角
不能求其它元素
一角
能求其它元素
探究新知
归
纳
总
结
解直角三角形的依据：
Ａ Ｃ
Ｂ
a
b
c
a2＋b2＝c2（勾股定理）；(1)三边之间的关系:
(2)锐角之间的关系: ∠ A＋ ∠ B＝ 90º；
(3)边角之间的关系:
探究新知
由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过
程，叫作解直角三角形.
c
aA sin
cA bcos
b
aA tan
探究新知
归纳总结
解直角三角形的原则：
(1)有斜（斜边）用弦（正弦、余弦），无斜（斜边）
用切（正切）；
(2)宁乘勿除：选取便于计算的关系式，若能用乘法计
算就不用除法计算；
(3)取原避中：若能用原始数据计算，应避免使用中间
数据求解.
如图，在Rt△ABC中，根据AC＝2.4，斜
边AB＝6，你能求出这个直角三角形的其他元
素吗？2 2 2 2 2 2 26 2.4 5.5AB AC BC BC AB AC
2.4cos cos 0.4 666
ACA A AAB
A
B
C
6
2.4
探究新知
知识点 2
90 90 66 24A B B - A -
90 90 60 30B A ，
2 2 2.AB AC
A
BC
2
6
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°， ，
，解这个直角三角形.6BC
探究新知
素养考点 1 已知两边解直角三角形
2AC
解： 6tan 3
2
BCA AC
，∵
60A ，∴
1.在Rt△ABC中，∠C＝90°， a = 30 , b = 20,
解这个直角三角形.
解：根据勾股定理
2 2 2 230 20 10 13c a b
90 90 56.3 33.7B A
A
B
Cb=20
a=30
c
巩固练习
30 3tan 1.520 2
aA b
∵
56.3A ∴
如图，在Rt△ABC中，根据∠A＝75°，斜边
AB＝6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？
A
B
C
6
75°
探究新知
知识点 3 已知一边和一锐角解直角三角形
sin sin 6 sin 75BCA BC AB AAB
cos cos 6 cos75ACA AC AB AAB
90 90 90 75 15 .A B B A
例2 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝
35°，b=20，解这个直角三角形 (结果保留小数点后
一位). A
BC
b
20
c
a
35°
tan ,bB a
解： 90 =90 35 =55 .A B ∠ ∠
20 28.6.tan tan35
ba B
sin ,bB c
20 34.9.sin sin35
bc B
探究新知
素养考点 1 已知一边和一锐角解直角三角形
2.在Rt△ABC,∠C=90°, ∠A=45°, c=4 解这个直角三角形.
C B
A
45°c=4
解：∵ ∠A=45°
∴ ∠B=90°—∠A=45°,
a
b
巩固练习
sin c
aA ∵
2sin sin 45 4 4 2 22a A c ∴
cos c
bA ∵
2cos cos45 4 4 2 22b A c ∴2 2
也可以：
∵ ∠A= ∠B=45°
∴ b=a=
解：过点A作 AD⊥BC于D.
在△ACD中，∠C=45°，AC=2，
∴CD=AD= AC · sinC = 2sin45°= .
在△ABD中，∠B=30°，
3. 如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，
AC=2，求BC.
D
A
B
C2
巩固练习
2 6BC CD BD ∴
32 6tan 3
ADBD B
∴
如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°， ，
BC = 5， 试求AB的长.
1cos 3A
AC
B
设 1, 3AB x AC x ，
探究新知
已知一边和三角函数值解直角三角形知识点 4
2
2 21 5 .3x x ∴
2 2 2AB AC BC ，∵
解： 190 cos 3C A ， ，∵ 1.3
AC
AB
∴
1 2
15 2 15 2,4 4x x ∴ （舍去）
∴ AB的长为 15 2 .4
4. 在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA = 0.8 ，BC=8，
则
AC的值为( )
A．4 B．6 C．8 D．10
B
5. 如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，
EC=4，
，则菱形的周长是 ( )
A．10 B．20
C．40 D．28
C
巩固练习
5
4sin B
（2018•自贡）如图，在△ABC中，BC=12， ，B=30°；
求AC和AB的长．
巩固练习
连 接 中 考
解：如图作CH⊥AB于H．
在Rt△BCH中，∵BC=12，∠B=30°，
4
3tan A
H
3622 CHBCBH62
1 BCCH∴ ， ，
2 2 10AC= AH +CH ∴ ，
∴AH=8，AH
CHA
4
3tan在Rt△ACH中， ，
8 6 3AB=AH+BH ∴ .
1.在下列直角三角形中不能求解的是（ ）
A.已知一直角边一锐角
B.已知一斜边一锐角
C.已知两边
D.已知两角
D
课堂检测
基 础 巩 固 题
2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=37°，BC=32，则
AC =______ (参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，
tan37°≈0.75).
3. 如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD=3，
则 AC 的长为 .
4cos 5B
24
3.75
课堂检测
基 础 巩 固 题
4. 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝72°，c = 14.
根据条件解直角三角形. A
B C
b
a
c=14
课堂检测
cos ,aB c
∵
解： sin ,bB c
∵
cos 14 cos72 4.33.a c B ∴
sin 14 sin72 13.3.b c B ∴
90 72 18 .A
基 础 巩 固 题
如图，已知 AC = 4，求 AB 和 BC 的长．
能 力 提 升 题
分析：作CD⊥AB于点D，根据三角函数的定义，在
Rt△ACD，Rt△CDB中，即可求出 CD，AD，BD 的长，
从而求解．
课堂检测
在Rt△CDB中，∵∠DCB=∠ACB－∠ACD=45°，
D
解：如图，作CD⊥AB于点D，
在Rt△ACD中，∵∠A=30°，
∴∠ACD=90°-∠A=60°，
1 2,2CD AC ∴ =
3cos 4 2 3.2AD AC A =
∴BD=CD=2. 2 2 2.cosBC DCB
∠
能 力 提 升 题
课堂检测
∴ 2 2 3.AB AD BD
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=6，
∠BAC
的平分线 ，解这个直角三角形.
4 3AD
∵ AD平分∠BAC，
D
A
BC
6 4 3
课堂检测
拓 广 探 索 题
∴∠CAD=30°
解： 6 3cos 24 3
ACCAD AD
，∵
12 6 3.AB BC ，∴
∴∠CAB=60°, ∠B=30°,
解直角三角形
依据
解法：只要知道五个元素中
的两个元素（至少有一个是
边），就可以求出余下的三
个未知元素.
勾股定理
两锐角互余
锐角的三角函数
课堂小结
课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习
第一课时
第二课时
第三课时
人教版 数学 九年级 下册
第一课时
返回
高跟鞋深受很多女性的喜爱，但有时候，
如果鞋跟太高，也有可能“喜剧”变“悲剧”.
导入新知
3. 体会数学在解决实际问题中的应用，逐步培
养学生分析问题、解决问题的能力．
1. 巩固解直角三角形相关知识 .
素养目标
2. 能从实际问题中构造直角三角形，会把实际
问题转化为解直角三角形的问题，并能灵活选
择三角函数解决问题.
（2）两锐角之间的关系
（3）边角之间的关系
c
aAA 斜边
的对边sin
c
bBB 斜边
的对边sin
c
bAA 斜边
的邻边cos
c
aBB 斜边
的邻边cos
b
a
A
AA
的邻边
的对边tan a
b
B
BB
的邻边
的对边tan
（1）三边之间的关系 A
Ba
b c
C
探究新知
知识点 1
小明去景点游玩，搭乘观光索道缆车的吊箱经过点
A到达点B时，它走过了300m. 在这段路程中缆车行驶
的路线与水平面的夹角为30° ，你知道缆车垂直上升的
距离是多少吗?
A
B
A
B
D30°
300m
解：BD=ABsin30°=150m
探究新知
D
A
B
C
小明乘坐索道缆车继续从点B到达比点B高 200m的点
C， 如果这段路程缆车的行驶路线与水平面的夹角为60°，
缆车行进速度为2m/s，小明需要多长时间才能到达目的地？
A
B
D
C
E60°
200m
= 231m.sin 60
CEBC
小明需要115.5s才
能到达目的地.
探究新知
解：
231÷2=115.5（s）
30°
例1 2012年6月18日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号
目标飞行器成功实现交会对接. “神舟”九号与“天宫”一号的组合体在
离地球表面343km的圆形轨道上运行. 如图，当组合体运行到地球
表面P点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位
置？最远点与P点的距离是多少（地球半径约为6 400km，π取
3.142 ，结果取整数）？
O
F
P
Q
FQ是☉O的切线，∠FQO
为直角.
最远点
PQ求 的长，要先
求∠POQ的度数
探究新知
素养考点 1
解：设∠FOQ =α，FQ是⊙ O切线，△FOQ是直角三角形．
当组合体在P点正上方时，从中观测地球表面时的
最远点距离P点约2051km.
探究新知
6400cos 0.9491,6400 343
OQ
OF
∵
O
F
P
Q
∴ 的长为PQ
18.36 . ∴
18.36 18.36 3.1426400 6400 2051(km).180 180
【讨论】从前面的例题解答中，你能体会到解直角三角形
的应用前提条件是什么吗？如何进行？
【方法点拨】一般情况下，直角三角形是求解或运用三角函
数值的前提条件，故当题目中提供的并非直角三角形时，需
添加辅助线构造直角三角形，然后运用三角函数解决问题．
探究新知
小结探究新知
归纳总结
解直角三角形的应用：
(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化
为解直角三角形的问题)；
(2)根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等知识去
解直角三角形；
(3)得到数学问题答案；
(4)得到实际问题答案。
注：数学问题的解符合实际意义才可以成为实际问题的解.
1.如图，某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜
角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，
那么梯子的长至少为多少米？
A
B C
解：如图所示，依题意可知∠B= 60°
答：梯子的长至少4.62米.
巩固练习
sin ACB AB
，
4 4 8 3 4.62.sin sin60 33
2
ACAB B
例2 如图，秋千链子的长度为3m，静止时的秋千踏板
（大小忽略不计）距地面0.5m．秋千向两边摆动时，若最大摆
角（摆角指秋千链子与铅垂线的夹角）约为60°，则秋千踏板
与地面的最大距离为多少？
0.5m
3m
60°
探究新知
素养考点 2
0.5m
3m
A
BC
D
E
60°
探究新知
分析：根据题意，可知
秋千踏板与地面的最大
距离为CE的长度.因此，
本题可抽象为：已知
DE=0.5m，
AD=AB=3m，
∠DAB=60°，△ACB
为直角三角形，求CE的
长度.
解：∵∠CAB=60°，AD=AB=3m，3m
A
B
D
E
60°
C ∴AC=ABcos∠CAB=1.5m，
∴ CD=AD－AC=1.5m，
∴ CE=AD+DE=2.0m.
即秋千踏板与地面的最大距离为2.0m.
探究新知
F E
A
2. (1)小华去实验楼做实验, 两幢实验楼的高度AB=CD=20m，
两楼间的距离BC=15m，已知太阳光与水平线的夹角为30°，
求南楼的影子在北楼上有多高？
北
A
B
D
C
20m
15m
30
EF
南
解：过点E作EF∥BC，
∴∠AFE=90°，FE=BC=15m.
即南楼的影子在北楼上的高度
为 (20 5 3) m.－
= =
=(20 5 3) m .
EC FB AB AF－
－
∴
巩固练习
= tan30 =5 3m.AF FE ∴
(2) 小华想：若设计时要求北楼的采光，不受南楼的影
响，请问楼间距BC至少应为多少米?
A
B
20m
?m
北
D
C
30
南
答案：BC至少为20 3 m.
巩固练习
（2018•台州）图1是一辆吊车的实物图，图2是其工作示意
图，AC是可以伸缩的起重臂，其转动点A离地面BD的高度
AH为3.4m．当起重臂AC长度为9m，张角∠HAC为118°时
，求操作平台C离地面的高度（结果保留小数点后一位：参考
数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）
巩固练习
连 接 中 考
图1 图2
巩固练习
连 接 中 考
解：作CE⊥BD于E，AF⊥CE于F，易得四边形AHEF为矩形，
∴EF=AH=3.4m，∠HAF=90°，
∴∠CAF=∠CAH﹣∠HAF=118°﹣90°=28°，
在Rt△ACF中，∵ ，
∴CF=9sin28°=9×0.47=4.23，
∴CE=CF+EF=4.23+3.4≈7.6（m），
答：操作平台C离地面的高度为7.6m．
AC
CFCAF sin
图2 E
F
1. 数学课外兴趣小组的同学们要测量被池塘相隔的两棵树A、
B的距离，他们设计了如图所示的测量方案：
从树A沿着垂直于AB的方向走到E，再从E沿着垂直于AE
的方向走到F，C为AE上一点，其中3位同学分别测得三组数
据：①AC，∠ACB；②EF、DE、 AD；③CD，∠ACB，
∠ADB．其中能根据所测数据求得A、B两
树距离的有( )
A. 0组 B. 1组 C. 2组 D. 3组
D
课堂检测
基 础 巩 固 题
2. 如图，要测量B点到河岸AD的距离，在A点测得
∠BAD=30°，在C点测得∠BCD=60°，又测得
AC=100米，则B点到河岸AD的距离为( )
B
DCA
A. 100米 B. 米
C. 米 D. 50米
50 3
200 3
3
B
课堂检测
基 础 巩 固 题
3. 一次台风将一棵大树刮断，经测量，大树刮断一端的
着地点A到树根部C的距离为4米，倒下部分AB与地平面
AC的夹角为45°，则这棵大树高是 米.(4 4 2)
AC
B
4米
45°
课堂检测
基 础 巩 固 题
·O
C
B
A
“欲穷千里目，更上一层楼”是唐代诗人李白的不
朽诗句.如果我们想在地球上看到距观测点1000里处景色，
“更上一层楼”中的楼至少有多高呢？存在这样的楼房吗
(设 代表地面，O为地球球心，C是地面上一点，
=500km，地球的半径为6370 km，cos4.5°=
0.997)？
AC
AC
能 力 提 升 题
课堂检测
解：设登到B处，视线BC在C点与地球相切，也就是
看C点，AB就是“楼”的高度，
∴ AB=OB－OA=6389－6370=19(km).
即这层楼至少要高19km，即19000m. 这是不存在的.
·O
C
B
A
在Rt△OCB中，∠O
180 4.5AC
OC
，
6370 6389 kmcos cos4.5
OCOB O
，∠
课堂检测
能 力 提 升 题
如图，在电线杆上的C处引拉线CE，CF固定电线杆.
拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6米的A处测得AC与
水平面的夹角为30°，已知A与地面的距离为1.5米，求拉
线CE的长.（结果保留根号）
G
解：作AG⊥CD于点G，
则AG=BD=6米，DG=AB=1.5米.
tan30CG AG ∴
36 2 33
(米).
拓 广 探 索 题
课堂检测
G
∴CD=CG+DG= ( +1.5) (米)，2 3
32 3 1.5 4 3sin60 2
CDCE
∴ (米).
课堂检测
拓 广 探 索 题
利用解直角三角形解决实际问题的一般过程：
1. 将实际问题抽象为数学问题；
2. 根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去
解直角三角形；
画出平面图形，转化为解直角三角形的问题
3. 得到数学问题的答案；
4. 得到实际问题的答案.
课堂小结
第二课时
返回
青青草原上,灰太狼每天都想着如何抓羊,而且屡败屡
试,永不言弃.如图所示,一天,灰太狼在自家城堡顶部A处
测得懒羊羊所在地B处的俯角为60°,然后下到城堡的C处,
测得B处的俯角为30°.已知AC=40 m,若灰太狼以 5 m/s
的速度从城堡底部D处出发,几秒钟后能抓到懒羊羊?(结果
精确到个位)(假设懒洋洋不动)
导入新知
1. 使学生了解仰角、俯角的概念，并能够根据直
角三角形的知识解决实际问题.
2.在解题过程中进一步体会数形结合、转化、方
程的数学思想，并从这些问题中归纳出常见的基
本模型及解题思路.
素养目标
3. 进一步培养学生分析问题、解决问题的能力.
铅
直
线
水平线
视线
视线
仰角
俯角
在测量中，我们把在视线与水平线所成的角中，视线在
水平线上方的叫做仰角，视线在水平线下方的叫做俯角.
探究新知
知识点 1
巧记“上仰下俯”
例1 热气球的探测器显示，从热气球
看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底
部的俯角为60°，热气球与楼的水平距离
为120m，这栋楼有多高（结果取整数）？
分析：我们知道，在视线与水平线所成
的角中视线在水平线上方的是仰角，视
线在水平线下方的是俯角，因此，在图
中，α=30°,β=60°.
在Rt△ABD中，α =30°，AD＝
120，所以利用解直角三角形的知识求
出BD；类似地可以求出CD，进而求出
BC．
A
B
C
Dα
β
仰角 水平线
俯角
探究新知
一个观测点构造两个直角三角形解答实际问题素养考点 1
解：如图，α = 30°,β= 60°， AD＝120．
tan ,tan .BD CDa AD AD
3120 40 3(m).3
120 3 120 3(m).
答：这栋楼高约为277m.
A
B
C
Dα
β
tan 120 tan30BD AD a
tan 120 tan 60CD AD
40 3 120 3BC BD CD
探究新知
160 3 277 （m）
探究新知
方法点拨
解决与仰角、俯角有关的实际问题的方法
根据仰角、俯角的定义画出水平线、视线，找准仰角、
俯角，结合题意，从实际问题情境中抽象出含仰角或俯角
的直角三角形，然后利用解直角三角形使问题获解.
1. 如图，在电线杆上离地面高度5m的C点处引两根拉线固定
电线杆，一根拉线AC和地面成60°角，另一根拉线BC和地
面成45°角．则两根拉线的总长度为 m(结果
用带根号的数的形式表示).
10 3 5 23
巩固练习
例2 如图，直升飞机在长400米的跨江大桥AB的上方P点
处，在大桥的两端测得飞机的仰角分别为37°和45 °，求飞机
的高度 .（结果取整数. 参考数据：sin37°≈0.8，cos37
°≈0.6，
tan 37°≈0.75）
AB
37°45°
400米
P
素养考点 2
探究新知
两个观测点构造两个直角三角形解答实际问题
ABO
37°45°
400米
P
设PO=x米，
在Rt△POB中，
∠PBO=45°，
在Rt△POA中，∠PAB=37°，
OB=PO= x米.
解得x=1200.
解：作PO⊥AB交AB的延长线于O.
tan 0.75POPAB OA
∠ ，
即 0.75400
x
x
，
故飞机的高度为1200米.
探究新知
2. 如图，为了测出某塔CD的高度，在塔前的平地上选择
一点A，用测角仪测得塔顶D的仰角为30°，在A、C之间
选择一点B（A、B、C三点在同一直线上）．用测角仪测
得塔顶D的仰角为75°，且AB间的距离为40m．
(1) 求点B到AD的距离；
答案：点B到AD的距离为20m. E
巩固练习
(2) 求塔高CD（结果用根号表示）．
解：在Rt△ABE中，
∵∠A=30°，∴∠ABE=60°，
∵∠DBC=75°，∴∠EBD=180°－60°－75°=45°，
∴DE=EB=20m，
则 (m)，
在Rt△ADC中，∠A=30°，
答：塔高CD为 m.
10 10 32
ADDC ∴ (m).
10 10 3
巩固练习
)20320( DEAEAD
E
α
（2018•长春）如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条
隧道（点A、B在同一水平面上）．为了测量A、B两地之间的距
离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处
观察B地的俯角为α，则A、B两地之间的距离为（ ）
A. 800sinα米 B. 800tanα米
C． 米 D． 米
连 接 中 考
巩固练习
D
asin
800
atan
800
1. 如图①，在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘
小船B，并测得它的俯角为45°，则船与观测者之间的水平距离
BC=____米.
2. 如图②，两建筑物AB和CD的水平距离为30米，从A点测得D
点的俯角为30°，测得C点的俯角为60°，则建筑物CD的高为
_____米.
100
20 3
图①B C
A
图②B C
A
D
30°
60°
基 础 巩 固 题
课堂检测
3. 为测量松树AB的高度，一个人站在距松树15米的E处，
测得仰角∠ACD=52°，已知人的高度是1.72米，则
树高 (精确到0.1米）.
A
D
BE
C
20.9 米
课堂检测
基 础 巩 固 题
4. 如图，小明想测量塔AB的高度.他在D处仰望塔顶，
测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至C处.测得仰
角为60°，小明的身高1.5 m.那么该塔有多高?(结果精确
到1 m)，你能帮小明算出该塔有多高吗?
D′
A
B′
BD
C′
C
课堂检测
基 础 巩 固 题
解：由题意可知，∠AD′B′=30°，∠AC′B′=60°，D′C′=50m.
课堂检测
∴D′B′=x·tan60°，C′B′=x·tan30°，
∴x·tan60°-x·tan30°=50，
D′
A
B′
BD
C′
C
tan tanD' B' C' B'D' AB' C' AB'x x
， ，∵
∴ ∠D′AB′=60°，∠C′AB′=30°，
设AB′=x m.
43.3 1.5 44.8 45(m).AB ∴
50 25 3 43.3(m)tan60 tan30x
，∴
基 础 巩 固 题
建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC 40m的
D处观察旗杆顶部A的仰角为54°，观察底部
B的仰角为45°，求旗杆的高度（精确到
0.1m）.
A
B
CD 40m
54°45°
A
B
CD 40m
54°45°
解：在等腰Rt△BCD中，∠ACD=90°，
BC=DC=40m. 在Rt△ACD中 ，tan ACADC DC
∴AB=AC－BC=55.2－40=15.2 (m).
课堂检测
能 力 提 升 题
∴AC=DC·tan∠ADC
=tan54°×40≈1.38×40=55.2
（m)
解：由题意，AC＝AB＝610（米）.
拓 广 探 索 题
目前世界上最高的电视塔是广州新电视塔．如图所
示，新电视塔高AB为610米，远处有一栋大楼，某人在
楼底C处测得塔顶B的仰角为45°，在楼顶D处测得塔顶
B的仰角为39°．（tan39°≈0.81）
(1) 求大楼与电视塔之间的距离AC；
课堂检测
解：DE＝AC＝610（米），
在Rt△BDE中， .DE
BEBDE tan
(2) 求大楼的高度CD（精确到1米）
∴ BE＝DEtan39°．
∵CD＝AE，
∴CD＝AB－DE·tan39°
＝610－610×tan39°
≈116（米）.
课堂检测
拓 广 探 索 题
利用仰俯角解
直角三角形
仰角、俯角的概念
运用解直角三角形解决
仰角、俯角问题
课堂小结
第三课时
返回
宜宾是国家级历史文化名城,大观楼是其标志性建筑之一
(如图①).喜爱数学的小伟决定用所学的知识测量大观楼的高
度,如图②所示,他站在点B处利用测角仪测得大观楼最高点P的
仰角为45°,又前进了12 m到达点A处,测得点P的仰角为60°.
请你帮助小伟算一算大观楼的高度(测角仪的高度忽略不计,结
果保留整数).
导入新知
图②图①
1. 正确理解方向角、坡度的概念.
2. 能运用解直角三角形知识解决方向角、坡度
的问题.
素养目标
3. 能够解决与解直角三角形有关的实际问题,如
航海航空、建桥修路、测量技术、图案设计等.
方向角的定义：
指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角
叫做方向角。
北偏东30°
南偏西45°
30°
45°
B
O
A
东西
北
南
探究新知
知识点 1
也叫西南方向
探究新知
注意
（1）因为方向角是指北或指南方向线与目
标方向线所成的角，所以方向角通常都写
成“北偏……”, “南偏……”,的形式.
（2）解决实际问题时，可利用正南、正北、
正西、正东方向线构造直角三角形来求解.
（3）观测点不同，所得的方向角也不同，
但各个观测点的南北方向线是互相平行的，
通常借助于此性质进行角度转换.
例1 如图，一艘海轮位于灯塔P的
北偏东65°方向，距离灯塔80 n mile
的A处，它沿正南方向航行一段时间后，
到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的
B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔
P有多远（结果取整数）？
65°
34
°
P
B
C
A
探究新知
素养考点 1
解：如图 ，在Rt△APC中，
PC=PA·cos（90°－
65°）=80×cos25°
≈80×0.91
=72.505.
在Rt△BPC中，∠B=34°，
因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，
它距离灯塔P大约130n mile．
sin PCB PB
，
72.505 130 n mile .sin sin34
PCPB B
65°
34
°
P
B
C
A
探究新知
探究新知
归纳总结
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转
化为解直角三角形的问题）；
（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解
直角三角形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案．
巩固练习
1.美丽的东昌湖滨位于江北水城,周边景点密布.如图所示，A、
B为湖滨的两个景点，C为湖心一个景点.景点B在景点C的正
东，从景点A看，景点B在北偏东75°方向，景点C在北偏东
30°方向.一游客自景点A驾船以每分钟20 m的速度行驶了10
分钟到达景点C，之后又以同样的速度驶向景点B，该游客从
景点C到景点B需用多长时间(精确到1分钟)?
解:根据题意,得AC=20×10=200(m).
如图所示,过点A作AD⊥BC于点D.
在Rt△ADC中, ,
DC=AC·sin ∠CAD=200·sin 30°=100.
在Rt△ADB中, .
310030cos200cos CADACAD
75tan3100tan BADADBD
- 100 3tan75 100CB DB DC - ∴ . ∴ (分).
例2 海中有一个小岛A，它周围8海
里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航
行，在B点测得小岛A在北偏东60°方
向上，航行12海里到达C点，这时测得
小岛A在北偏东30°方向上，如果渔船
不改变航线继续向东航行，有没有触礁
的危险？
B
A
C
60°
素养考点 2
探究新知
30°
解：过A作AF⊥BC于点F，
则AF的长是A到BC的最短距离.
∵BD∥CE∥AF，
∴∠DBA=∠BAF=60°，
∠ACE=∠CAF=30°，
∴∠BAC=∠BAF－∠CAF
=60°－30°
=30°.
北
东
A
CB
60° 30°
D
E
F
探究新知
又∵∠ABC =∠DBF－∠DBA
= 90°－60°=30°=∠BAC，
∴BC=AC=12海里，
，
故渔船继续向正东方向行驶，
没有触礁的危险．
北
东
A
CB
60° 30°
D
E
F
探究新知
8392.1036
cos30 6 3AF AC ∴ (海里)，
2. 如图所示，A、B两城市相距200km.现计划在这两座城
市间修筑一条高速公路(即线段AB)，经测量，森林保护中
心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向
上．已知森林保护区的范围在以P点为圆心，100km为半径
的圆形区域内，请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越
保护区
(参考数据： ≈1.732， ≈1.414)?
3 2
巩固练习
北
东
解：过点P作PC⊥AB于点C．
则∠APC＝30°，∠BPC＝45°，
AC＝PC·tan30°，BC＝PC·tan45°.
∵AC＋BC＝AB，
∴PC · tan30°＋PC · tan45°＝200，
即 ，
解得 PC≈126.8km＞100km.
答：计划修筑的这条高速公路不会
穿越保护区．
C
巩固练习
2003
3 PCPC
解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根据实际
情况灵活运用相关知识，例如，当我们要测量如图所示大坝
或山的高度h时，我们无法直接测量，我们又该如何呢？
h
h
αα
l
l
知识点 2
探究新知
【思考】如图，从山脚到山顶有两条路AB与BC，
问哪条路比较陡？
如何用数量来刻画哪条路陡呢？
A
B
C
探究新知
坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母 α 表示。
坡度（坡比）：坡面的铅直高度h和水平距离l的比叫做
坡度，用字母 i 表示，如图，坡度通常写成
的形式。
tanhi l
h
l
坡度越大
坡角越大
坡面越陡
探究新知
α
水平面
坡面
（1）斜坡的坡度是 ，则坡角α =____度.
（2）斜坡的坡角是45° ，则坡比是 _____.
（3）斜坡长是12米，坡高6米，则坡比是_______.
α
l
h
30
1 : 1
1: 3
1: 3
巩固练习
3.完成下列各题
例3 如图，防洪大堤的横截面是梯形 ABCD，其中
AD∥BC，α=60°，汛期来临前对其进行了加固，改造
后的背水面坡角β=45°．若原坡长AB=20m，求改造后
的坡长AE．(结果保留根号)
探究新知
素养考点 1
解：过点A作AF⊥BC于点F，
在Rt△ABF中，
∠ABF =∠α=60°，
则AF=AB·sin60°= (m)，
在Rt△AEF中，∠E=∠β=45°，
则 (m).
故改造后的坡长AE 为 m.
10 3
10 6sin 45
AFAE
10 6
F
探究新知
4. 如图，某防洪指挥部发现长江边一处防洪大堤 (横断面为梯形ABCD) 急需加固，背水坡的坡角为
45°，高10米．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：沿背水坡面用土石进行加固，并使
上底加宽 2米，加固后背水坡EF的坡比 ．求加固后坝底增加的宽度AF.
(结果保留根号)
A B
CDE
F
45°
巩固练习
3:1i
3:1i
A B
CDE
F
45°
GH
解：作DG⊥AB于G，EH⊥AB于H，
则GH=DE=2米，EH=DG=10米.
10= 10 3tan
EHFH F i
∠
(米)，
10 3 2FG FH HG (米).
又∵AG=DG=10米，
故加固后坝底增加的宽度AF为 米. 10 3 8
巩固练习
10 3 2 10 10 3 8AF FG AG ∴ (米).
3:1i
例4 如图，一山坡的坡度为i=1:2.小刚从山脚A出发，沿
山坡向上走了240m到达点C.这座山坡的坡角是多少度？小
刚上升了多少米（角度精确到0.01°，长度精确到0.1m）？
i=1:2
探究新知
素养考点 2
在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=26.57°，
AC=240m，
解：用α表示坡角的大小，由题意可得
因此 α≈26.57°.
答：这座山坡的坡角约为26.57°，小刚上升了约107.3
m．
从而 BC=240×sin26.57°≈107.3（m）．
因此sin 240
BC BC
AC
，
1tan 0.52
，
探究新知
BA
C
i=1:2
5. 如图，小明周末上山踏青，他从山脚处的B点出发时
，测得坡面AB的坡度为1 : 2，走 米到达山顶A处
．这时，他发现山的另一坡面AC的最低点C的俯角是
30°．请求出点B和点C的水平距离．
520
A
CB
D
30°
答案：点B和点C的水平距离为 米. 4 0 2 0 3
巩固练习
E
1.（2018•徐州）如图，一座堤坝的横截面是梯形，根据图中给出
的数据，求坝高和坝底宽（精确到0.1m）参考数据：
，
巩固练习
连 接 中 考
414.12
732.13
连 接 中 考
巩固练习
解：在Rt△CDE中，∵ ，
∴ ，
DC
DEC sin
)(7142
130sin mDCDE
CD
CEC cos
∴EF=AD=6m，AF=DE=7m∵四边形AFED是矩形，
答：该坝的坝高和坝底宽分别为7m和25.1m．
在Rt△ABF中，∵∠B=45°， ∴BF=AF=7m，
∴BC=BF+EF+EC≈7+6+12.12=25.12≈25.1（m）
12.12124.1237142
330cos DCCE ，
2.（2018•重庆）如图，AB 是一垂直于水平面的建筑物，某同
学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走 20 米到达点C，
再经过一段坡度（或坡比）为 i=1：0.75、坡长为10 米的斜坡
CD 到达点 D，然后再沿水平方向向右行走40 米到达点 E（A，
B，C，D，E均在同一平面内）．在E处测得建筑物顶端A的仰
角为24°，则建筑物AB的高度约为（参考数据：
sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°=0.45）（ ）
A．21.7米 B．22.4米
C．27.4米 D．28.8米
A
巩固练习
连 接 中 考
1. 如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，C岛在B岛
的北偏西40°方向，则从C岛看A，B两岛的视角
∠ACB等于 ． 90°
基 础 巩 固 题
课堂检测
2. 如图，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A处观测到
灯塔M在北偏东60°方向上，航行半小时后到达B处，此时观
测到灯塔M在北偏东30°方向上，那么该船继续航行到达离灯
塔距离最近的位置所需的时间是（ ）
A. 10分钟 B. 15分钟
C. 20分钟 D. 25分钟
B
课堂检测
基 础 巩 固 题
3. 如图，海上B、C两岛分别位于A岛的正东和正北方向，一艘
船从A岛出发，以18海里/时的速度向正北方向航行2小时到达C
岛，此时测得B岛在C岛的南偏东43°方向，则A、B两岛之间的
距离为 ． (结果精确到0.1海里，
参考数据：sin43°=0.68， cos43°=0.73，
tan43°=0.93)
33.5海里
课堂检测
基 础 巩 固 题
水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB
的坡度i=1∶ 3，斜坡CD的坡度i=1∶ 2.5，求：
(1) 斜坡CD的坡角α (精确到 1°)；
A D
B C
i=1:2.5 23
6
α
i=1:3
解： 斜坡CD的坡度i = tanα = 1 : 2.5=0.4，由计算器可
算得α≈22°.故斜坡CD的坡角α 为22°.
课堂检测
能 力 提 升 题
解：分别过点B、C作BE⊥AD于E ，CF⊥AD于F ，
由题意可知BE=CF=23m ， EF=BC=6m.
在Rt△ABE中， 3 3 23 69 mAE BE .
(2) 坝底AD与斜坡AB的长度 (精确到0.1m).
E FA D
B C
i=1:2.5 23
6
α
i=1:3
1
3
BEi AE
，
课堂检测
能 力 提 升 题
在Rt△ABE中，由勾股定理可得
2 2 2 269 23 72.7 mAB AE BE .
在Rt△DCF中，同理可得 1
2 5
CFi FD .
，
故坝底AD的长度为132.5m，斜坡AB的长度为72.7m.
∴AD=AE+EF+FD=69+6+57.5=132.5(m)
FD=2.5CF=2.5×23=57.5(m)，
课堂检测
A D
B C
i=1:2.5 23
6
α
i=1:3
E F
能 力 提 升 题
解：作DE⊥AB于E ， CF⊥AB于F ，
由题意可知DE＝CF＝4 (米)，CD＝EF＝12 (米)．
一段路基的横断面是梯形，高为 4 米，上底的宽是12 米，
路基的坡面与地面的倾角分别是45°和30°，求路基下底的宽
(精确到0.1米， ， ).
45° 30°
4米
12米
A B
CD732.13 414.12
在Rt△ADE中， 4 tan 45 ,DEi AE AE
E F
课堂检测
拓 广 探 索 题
在Rt△BCF中，同理可得
因此 AB＝AE＋EF＋BF≈4＋12＋6.93≈22.9 (米)．
答： 路基下底的宽约为22.9米．
4 4tan 45AE (米).
4 6.93tan30BF
(米).
45° 30°
4米
12米
A B
CD
E F
课堂检测
拓 广 探 索 题
解直角三角
形的应用
坡度问题
方向角问题
坡角
坡度(或坡比)
tanhi l
课堂小结
课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习
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