资料简介
第一课时
第二课时
第三课时
人教版 数学 八年级 下册
第一课时
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数学家曾建议用这个图作为与“外星人”联系的信号.
导入新知
你知道这是
为什么吗？
1. 了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理
的内容，会用面积法证明勾股定理.
2. 能用勾股定理解决一些简单问题.
素养目标
3. 通过利用勾股定理解决简单问题，体会数形结
合的思想.
相
传
两
千
五
百
年
前
，
一
次
毕
达
哥
拉
斯
去
朋
友
家
作
客
，
发
现
朋
友
家
用
砖
铺
成
的
地
面
反
映
直
角
三
角
形
三
边
某
种
数
量
关
系
，
同
学
们
，
我
们
也
来
观
察
一
下
图
案
，
看
你
能
发
现
什
么
数
量
关
系
？
探究新知
知识点 1
B
2.由这三个正方形A，B，
C的边长构成的等腰直
角三角形三条边长度之
间有怎样的特殊关系？
【思考】1.三个正方形A，B，C 的面积有什么关系？
SA+SB=SC
探究新知
（图中每个小方格是1个单位面积）
A中含有____个小方格，即
A的面积是 个单位面积．
B的面积是 个单位面积．
C的面积是 个单位面积．
9
9
18
9
A
B
C
图1结论：图1中三个正方形A，
B，C的面积之间的数量关系
是: SA+SB=SC
【讨论】1.三个正方形A，B，C 的面积有什么关系？
探究新知
【讨论】2. SA+SB=SC在图2中还成立吗？
A
B
C
图2
结论：仍然成立。
A的面积是 个单位面积．
B的面积是 个单位面积．
C的面积是 个单位面积．25
16
9
（图中每个小方格是1个单位面积）
探究新知
你是怎样得到
正方形C的面积
的？与同伴交
流交流．
A
B
C问题2 式子SA+SB=SC能用直角三
角形的三边a、b、c来表示吗?
问题4 那么直角三角形三边a、b、
c之间的关系式是:
a
b
c
c
b
a
C
B
A
至此，我们在网格中验证了:直角三角形两条直角边上的
正方形面积之和等于斜边上的正方形面积，即SA+SB=SC
a2 + b2 = c2
a2 + b2 = c2
问题1 去掉网格结论会改变吗？
问题3 去掉正方形结论会改变吗？
探究新知
命题1：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b,斜边长为c，
那么a2+b2=c2.
a
b
c
猜想：
拼图证明
是不是所有的直角三角形都具有这样的结论呢？光靠实验和
猜想还不能把问题彻底搞清楚.
这就需要我们对一般的直角三角形进行证明．下面我们就一
起来探究，看一看我国古代数学家赵爽是怎样证明这个命题的．
探究新知
以直角三角形的两条直角边a、b为边作两个正方形，把两
个正方形如图1连在一起，通过剪、拼把它拼成图2的样子.你能
做到吗？试试看.
赵爽拼图证明法：
c
图1
ab
黄实
图2
c
小组活动：仿照课本中赵爽的思路，只剪两刀，将两个连体正方
形，拼成一个新的正方形.
探究新知
黄实
b
b
a
a
c
b
a
b a
b a
〓
c
M NP
剪、拼过程展示：
探究新知
“赵爽弦图”
黄实
c
a
b
探究新知
∵S大正方形＝c2，
∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，
证明：
22 2 214 .
2
c ab b a a b
毕达哥拉斯证法：请先用手中的四个全等的直角三角形按图
示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧.
探究新知
a
a
a
a
b
b
b
b
c
c
c
c
∴a2+b2+2ab=c2+2ab，
∴a2 +b2 =c2
.
证明：∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab,
S大正方形=4S直角三角形+ S小正方形
=4× ab+c2
=c2+2ab，
1
2
探究新知
a
a
b
b
c
c
∴a2 + b2 = c2
.
美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”.
如图，图中的三个三角形都是直角三角形，
求证：a2 + b2 = c2
.
证明： ∵ ))((
2
1 babaS 梯形
2
2
1
2
1
2
1 cababS 梯形
探究新知
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别
为a、b,斜边为c，那么
2 2 2a b c
即直角三角形两直角边的平方和等于
斜边的平方.
a
b
c
勾
股
弦
a
b
c
表示为：Rt△ABC中，∠C=90°
则
222 cba
探究新知
A
B
C
C B
A
勾股定理给出了直角三角形三边之间的关
系，即两直角边的平方和等于斜边的平方.
cb
a
a2 + b2 =c2
a2=c2－b2 b2 =c2-a2
探究新知
22 bca
22 bac
22 acb
公式变形
1.求下列图中字母所表示的正方形的面积.
=625
225
400
A
225
81
B=144
巩固练习
在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，
下半部分称为“股”.我国古代学者把直角三角形较短的直角边
称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.
勾 股
勾2+股2=弦2
探究新知
小贴士
例1 如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°.
（1）若a=b=5,求c;
（2）若a=1,c=2,求b.
解：(1)据勾股定理得
(2)据勾股定理得
C A
B
利用勾股定理求直角三角形的边长素养考点 1
c
b
a
探究新知
2 2 2 25 5 50 5 2;c a b
2 2 2 22 1 3.b c a
2. 设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c.
（1）已知a=6，c=10，求b；
（2）已知a=5，b=12，求c；
（3）已知c=25，b=15，求a.
解：由勾股定理得52+122=c2
c=13
解：由勾股定理得62+b2=102
b=8
解：由勾股定理得a2+152=252
a=20
a
c
b
巩固练习
a
b
c
（1）若a：b=1：2 ，c=5,求a;（2）若b=15，∠A=30°,求a,c.
例2 在Rt△ABC中， ∠C=90°.
解：(1)设a=x,b=2x,根据勾股定理建立方程得
x2+(2x)2=52， 解得 5x ， 5 .a
(2) 30 , 15 ,A b 2 .c a
因此设a=x,c=2x,根据勾股定理建立方程得 (2x)2-x2=152，
解得 5 3 .x 5 3 10 3 .a c ，
提示：已知直角三角形两边关系和第三边的长求未知两边时，
要运用方程思想设未知数，根据勾股定理列方程求解.
探究新知
勾股定理和方程相结合求直角三角形的边长素养考点 2
5x （舍去）
35x （舍去）
3.求出下列直角三角形中未知边的长度：
6
8
x
5
x
13
解：（1）由勾股定理得：
=36+64
=100
x2=62+82
x=10
∵ x2+52=132
∴ x2=132-52
=169-25
=144
x=12
（2）由勾股定理得：
巩固练习
1.（2018•滨州）在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦
为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
巩固练习
连 接 中 考
A
2.（2019•毕节市）如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若
EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面积为（ ）
A． B．3 C． D．5 3 5
B
1. 若一个直角三角形的两边长分别为3和4，
则第三边的长为（ ）
A.7或1 B. C. 5或
D.15或122.若一个直角三角形的斜边长为17，一条直角边长为15，则另
一直角边长为（ ）
A.8 B.40 C.50 D.36
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，若a︰b=3︰4，c=100，则
a= _____，b = ______.
13
C
A
60 80
课堂检测
基 础 巩 固 题
7
A
B
C
D
7cm
4．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角
形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A，B，C，D的面
积之和为___________cm2 ．49
课堂检测
基 础 巩 固 题
在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长.
解：本题斜边不确定，需分类讨论：
当AB为斜边时，如图，
当BC为斜边时，如图，
4
3A C
B
4
3
C A
B
2 24 3 7;BC
2 24 3 5.BC
图 图
提示：当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或直角边
时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜边，这种情况下
一定要进行分类讨论，否则容易丢解.
课堂检测
能 力 提 升 题
已知∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=3,BC=4.求CD的长.
解：由勾股定理可得
AB2=AC2+BC2=25，即 AB=5.
根据三角形面积公式，
∴ AC×BC= AB×CD.
∴ CD= .
A
D
BC
3
4
1
2
1
21 2
5
提示：由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的
积等于斜边与斜边上高的积，它常与勾股定理联合使用．
课堂检测
拓 广 探 索 题
勾股定理
内 容 在Rt△ABC中， ∠C=90°,a,b为
直角边，c为斜边，则有a2+b2=c2.
注 意
在直角三角形中
看清哪个角是直角
已知两边没有指明是直角边还
是斜边时一定要分类讨论
课堂小结
证 明
第二课时
返回
这节课我们就来学习用勾股定理解决实际问题.
导入新知
波平如镜一湖面，3尺高处出红莲.
亭亭多姿湖中立，突遭狂风吹一边.
离开原处6尺远，花贴湖面像睡莲.
请君动脑想一想，湖水在此深几尺？
2. 能应用勾股定理解决简单的实际问题.
1. 能应用勾股定理计算直角三角形的边长.
素养目标
3. 从实际问题中构造直角三角形解决生产、生活中
的有关问题.
一个门框的尺寸如图所示，一块
长3 m，宽2.2 m的长方形薄木板能否
从门框内通过？为什么？
已知条件有哪些？
探究新知
知识点 1
【思考】
1.木板能横着或竖着从门框通过吗？
2.这个门框能通过的最大长度是多少？
不能
3.怎样判定这块木板能否通过木框？
求出斜边的长，与木板的宽比较.
探究新知
小于AC即可
解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，
AC2=AB2+BC2=12+22=5．
AC= ≈2.24．
因为AC大于木板的宽2.2 m，所
以木板能从门框内通过．
5
探究新知
1.如图，池塘边有两点A，B，点C是与BA方向成直角的AC
方向上一点，测得BC=60 m，AC=20m.求A，B两点间的距
离（结果取整数）.
解:
巩固练习
2 2AB BC AC
22 2060
240
≈57m
如图，一架2.6米长的梯子AB 斜靠在一竖直的墙
AO上，这时AO 为2.4米．
（1）求梯子的底端B距墙角O多少米？
（2）如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5
米，那么梯子底端B也外移0.5米吗？
知识点 2
探究新知
C
O DB
A
（2）在Rt△COD中，根据勾股定理，
OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15.
解：（1）在Rt△AOB中，根据勾股定理，
OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1.
OB=1.
探究新知
答：梯子的底端B距墙角O为1米.
答：梯子底端B也外移约0.77米.
77.115.3 OD
77.0177.1 OBODBD
2.我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题，原文是：今
有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，
水深、葭长各几何？请用学过的数学知识回答这个问题.
译：有一个水池，水面是一个边
长为10尺的正方形，在水池正中
央有一根芦苇，它高出水面一尺.
如果把这根芦苇拉向水池一边的
中点，它的顶端恰好到达池边的
水面。这个水池的深度与这根芦
苇的长度分别是多少？ A
B C
巩固练习
A
B C 解：设AB=x,则AC=x+1，
有 AB2+BC2=AC2，
可列方程，得 x2+52=（x＋1）2 ，
解方程得x=12.
因此x+1=13
巩固练习
答：这个水池的深度是12尺，
这根芦苇的长度是13尺.
巩固练习
连 接 中 考
C
1.（2018•东营）如图所示，圆柱的高AB=3，底面直径BC=3，
现在有一只蚂蚁想要从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食，则它
爬行的最短距离是（ ）
A． B． C． D．13 23 2
43 2 213
解析：把圆柱侧面展开，展开图如图所示，点A、C的最短距离
为线段AC的长．
2
43)
2
3(3
2
22
在Rt△ADC中，∠ADC=90°，CD=AB=3，AD
为底面半圆弧长，AD=1.5π，所以AC= ，
故选：C．
巩固练习
连 接 中 考
5
2.（2019•南京）无盖圆柱形杯子的展开图如图所示．将一根长
为20cm的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至
少有_____cm．
解析：由题意可得：杯子内的筷子长度最长为： ＝15，
则筷子露在杯子外面的筷子长度最少为：20﹣15＝5（cm）．
22 912
1.求出下列直角三角形中未知的边.
2 2BC AC ，1 3BC AC ，
AC=8 AB=17
课堂检测
基 础 巩 固 题
A
B
C
6 10
A
B
C
8 15
A
B
C
2
30° AB
C
2
45°
2.直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形面积为7和8，
则以斜边为边长的正方形的面积为 .15
课堂检测
基 础 巩 固 题
3.如图，在平面直角坐标系中有两点A(5，0)
和B(0，4)，求这两点间的距离.
解：在Rt△AOB中，∵OA=5，OB=4
41∴A、B两点间的距离为 .
∴AB2＝OA2+OB2＝52+42＝41
41∴AB= .
4.一木杆在离地面3米处折断，木杆顶端落在离木杆底端4米处.
木杆折断之前有多高？
解：由题意可知，在Rt△RPQ中，
∵PR=3，PQ=4，
∴RQ2＝PR2+PQ2＝32+42＝25
∴RQ＝5，PR+RQ＝3+5＝8
∴木杆折断之前有8m高.
课堂检测
基 础 巩 固 题
R
P Q
5.如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两庄，DA⊥AB于A，
CB⊥AB于B，已知DA=15km, CB=10km，现在要在铁路AB上建一
个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应
建在离A站多少km处？ C
A E B
D
x 25-x
解：设AE= x km，
根据勾股定理，得
AD2+AE2=DE2
BC2+BE2=CE2
又 ∵ DE=CE
∴ AD2+AE2= BC2+BE2
即 152+x2=102+（25-x）2
答：E站应建在离A站10km处.
∴ x=10
则 BE=（25-x）km
15
10
课堂检测
基 础 巩 固 题
在△ABC中，若AC=15，BC=13，AB边上的高CD=12，则
△ABC的周长为( )
A.32 B.42
C.32或42 D.以上都不对
C
解析：如图①，CD在△ABC内部时，AB=AD+BD=9+5=14，此时，
△ABC的周长=14+13+15=42，如图②，CD在△ABC 外部时，
AB=AD-BD=9-5=4，此时，△ABC的周长=4+13+15=32.综上所述，
△ABC的周长为32或42.故选C.
课堂检测
能 力 提 升 题
如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着
正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是（ ）.
A.3 B . C.2 D.1
A
B
A
BC
2
1
提示： 由于蚂蚁是沿正方体的外表面爬行的，
故需把正方体展开成平面图形（如图）.
B
5
课堂检测
拓 广 探 索 题
2
1
化非直角三角形为直角三角形
将实际问题转化为直角三角形模型
课堂小结
勾股定理
的应用
第三课时
返回
欣赏下面海螺的图片：
在数学中也有这样一幅美丽的“海螺型”图案，
如第七届国际数学教育大会的会徽.
导入新知
这个图是怎样
绘制出来的呢？
2. 能利用勾股定理在数轴上作出表示无理数的点.
1. 会用勾股定理解决简单的实际问题，建立数
形结合的思想.
素养目标
3.灵活运用勾股定理进行计算，并会运用勾股定理
解决相应的折叠问题.
在八年级上册中，我们曾经通过画图得到结论：斜边和一
条直角边分别相等的两个直角三角形全等．学习了勾股定理后，
你能证明这一结论吗？
知识点 1
探究新知
已知：如图，在Rt△ABC 和Rt△A′B′ C′中，
∠C=∠C′=90°，AB=A′B ′，AC=A′C′ ．
求证：△ABC≌ △ A′B′ C′ ．
A
B C
A
BC′
′
′
2 2BC AB AC ，= -
2 2B C A B A C ．= -′ ′ ′ ′ ′ ′
证明：在Rt△ABC 和Rt△A ′B′ C′中，∠C=∠C′=90°，
根据勾股定理，得
A
B C
A
BC′
′
′
∵ AB=A′B′ ,
AC=A′C′ ,
∴ BC=B′C′ ．
∴ △ ABC≌ △A ′B′ C′ （SSS）．
探究新知
-1 0 1 2 3
问题1 你能在数轴上表示出 的点吗？ 呢？2 2
用同样的方法作 呢？3, 4, 5, 6, 7
探究新知
知识点 2
提示：可以构造直角三角形作出边长为无理数的边，就能在数
轴上画出表示该无理数的点.
【讨论】根据上面问题你能在数轴上画出表示 的点吗？1 3
1
13
2
13
3
13? ? ?
√ √
问题2 长为 的线段能是直角边的长都为正整数的直角三
角形的斜边吗？
13
探究新知
0 1 2 3 4
步骤：
l
A
B
C
1.在数轴上找到点A,使OA=3;
2.作直线l⊥OA,在l上取一点B，使AB=2;
3.以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴交于C
点，则点C即为表示 的点.1 3
3
13
2
O
探究新知
也可以使OA=2，
AB=3，同样可
以求出C点.
探究新知
方法点拨
利用勾股定理表示无理数的方法:
（1）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正
数的直角三角形的斜边.
（2）以原点为圆心，以无理数斜边长为半径画弧与数轴
存在交点，在原点左边的点表示是负无理数，在原点右边
的点表示是正无理数.
0 1 2 3 4
l
A
B
C
1
17 ?
探究新知
利用勾股定理在数轴上确定无理数的点 素养考点 1
例1 在数轴上作出表示 的点.17
作法：
（1）在数轴上找到点A，使OA=1；
（2）过点A作直线垂直于OA，在直线上取点B,
使AB=4，那么OB= ；
（3）以原点O为圆心，以OB为半径作
弧，弧与数轴交于点C，则OC= .
如图，在数轴上，点C为表示 的点.
17
17
17
1.如图，点A表示的实数是 （ ）
2.如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以
点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴于点M，则点M
表示的数为（ ）
A.2 B. 5 1 C. 10 1 D. 5
C
A . 3 B . 5 C . 3 D . 5
D
巩固练习
在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请
在给定网格中以A出发分别画出长度为 的线段AB．2 5, 8，
2AB 5AB 8AB
B B
B
探究新知
知识点 3 利用勾股定理在网格上做长度为无理数的线段
A . A . A .
A
【想一想】如图为4×4的正方形网格,以格点与点A为端
点,你能画出几条边长为 的线段?10
探究新知
小结：勾股定理与网
格的综合求线段长时，
通常是把线段放在与
网格构成的直角三角
形中，利用勾股定理
求其长度.
例2 如图是由4个边长为1的正方形构成的田字格，只用没有刻
度的直尺在这个田字格中最多可以作出多少条长度为 的线段？5
解：如图所示，有8条.
素养考点 1 利用勾股定理在网格上作线段
探究新知
一个点一个点地
找，不要漏解.
3.如图，在5×5正方形网格中，每个小正方形的
边长均为1，画出一个三角形的长分别为 .2 2 1 0、、
A
B
C
解：如图所示.
巩固练习
A′
B′
如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折
叠，使点B落在CD边上的B′处，点A的对应点为A′，且B′C＝3，
求AM的长.
解：连接BM，MB′.设AM＝x，
在Rt△ABM中，AB2＋AM2＝BM2.
在Rt△MDB′中，MD2＋DB′2=MB′2.
∵MB＝MB′，∴AB2＋AM2＝MD2＋DB′2，
即92＋x2＝(9－x)2＋(9－3)2，
解得x＝2.即AM＝2.
知识点 4 利用勾股定理在折叠问题中求线段的长度
探究新知
探究新知
方法点拨
折叠问题中结合勾股定理求线段长的方法:
(1)设一条未知线段的长为x(一般设所求线段的长为x)；
(2)用已知线段或含x的代数式表示出其他线段长；
(3)在一个直角三角形中应用勾股定理列出一个关于x的
方程；
(4)解这个方程，从而求出所求线段长.
4. 如图，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的
F点处，若AB=8cm，BC=10cm，求EC的长.
DA
B C
E
F
解：在Rt△ABF中,由勾股定理得 BF2=AF2
－AB2=102－82=36，
∴BF=6cm.∴CF=BC－BF=4.
设EC=xcm，则EF=DE=(8－x)cm ，
在Rt△ECF中,根据勾股定理
得x2+ 42=(8－x)2
，
解得 x=3. 即EC的长为3cm.
巩固练习
（2018•吉林）如图，在平面直角坐标系中，A（4，0），
B（0，3），以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的负
半轴于点C，则点C坐标为_________．
巩固练习
连 接 中 考
(-1，0)
1.小明学了利用勾股定理在数轴上作一个无理数后，于是在数轴
上的2个单位长度的位置找一个点D，然后点D做一条垂直于数轴
的线段CD，CD为3个单位长度，以原点为圆心，以到点C的距离
为半径作弧，交数轴于一点，则该点位置大致在数轴上（ ）
A.2和3之间 B.3和4之间
C.4和5之间 D.5和6之间
B
课堂检测
D
基 础 巩 固 题
2.如图，网格中的小正方形边长均为1，△ABC的三个
顶点均在格点上，则AB边上的高为_______.
8 13
13
课堂检测
基 础 巩 固 题
3.如图，OP＝1，过P作PP1⊥OP且PP1＝1，得OP1＝ ；再过P1作
P1P2⊥OP1且P1P2＝1，得OP2＝ ；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，
得OP3＝2；…依此法继续作下去，得OP2012＝______.
课堂检测
2013
2
3
基 础 巩 固 题
4.如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，
点D落在点D′处，求重叠部分△AFC的面积.
解：易证△AFD′≌ △CFB(AAS)，
∴D′F=BF，
设D′F=x，则AF=8-x，
在Rt△AFD′中，AF2=D′F2+AD′2,
(8-x)2=x2+42，
∴S△AFC= AF•BC=10．
1
2
课堂检测
基 础 巩 固 题
∴AF=AB-FB=8-3=5，解得x=3.
5.如图，数轴上点A所表示的数为a，求a的值.
解：∵图中的直角三角形的两直角边为1和2，
∴斜边长为 ，即-1到A的距离是 ，
∴点A所表示的数为 .
2 22 1 = 5 5
5 1
提示：求点表示的数时注意画弧的起点不从原点起，因而
所表示的数不是斜边长.
课堂检测
基 础 巩 固 题
在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为 ,求这
个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形
网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC
（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图所示．这样
不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．
1 1 1 73 3 1 2 2 3 1 3
2 2 2 2ABCS △ .
5 1 0 1 3、 、
解：
能 力 提 升 题
课堂检测
解：如图,
若△ABC三边的长分别为 (a＞0)，请利用图中
的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，
并求出它的面积．
5 ,2 2 , 17a a a
22 2 5 ,AB a a a
2 22 2 2 2 ,BC a a a
22 4 17 ,AC a a a
∴△ABC即为所求，
21 1 1=2 4 2 2 2 4 3 .
2 2 2ABCS a a a a a a a a a △
A
B
C
课堂检测
拓 广 探 索 题
利用勾股
定理作图
或计算
在数轴上表示出
无 理 数 的 点
利用勾股定理解决
网 格 中 的 问 题
利用勾股定理
解决折叠问题
及其他图形的
计算
通常与网格求线
段长或面积结合
起来
通常用
到方程
思想
课堂小结
课后作业
作业
内容
教 材 作 业
从课后习题中选取
自 主 安 排
配套练习册练习
第一课时
第二课时
（1）
（2）
（3）
（4）
（5） （6） （7） （8）
（13）
（12）
（11）
（10）
（9）
人教版 数学 八年级 下册
第一课时
返回
按照这种做法真能得到一个直角三角形吗？
古埃及人曾用下面的方法得到直角：
用13个等距的结,把一根绳子
分成等长的12段,然后以3个结，
4个结，5个结的长度为边长，
用木桩钉成一个三角形，其
中一个角便是直角.
导入新知
1. 掌握勾股定理逆定理的概念并理解互逆
命题、互逆定理的概念、关系及勾股数.
2. 能证明勾股定理的逆定理，能利用勾股定
理的逆定理判断一个三角形是直角三角形.
素养目标
据说，古埃及人曾用如图所示的方法画直角.
这种方法对吗？
探究新知
知识点 1
3
4
5
三边分别为3，4，5，
满足关系：32+42=52，
则该三角形是直角三角形．
探究新知
问题1 用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？
0180
150
120
90
60
30
7
24
25
5
1312 17
8
15
是
做一做：下列各组数中的两数平方和等于第三数的平方，分
别以这些数为边长画出三角形(单位：cm).
① 5，12，13； ② 7，24，25； ③ 8，15，17．
探究新知
下面有三组数分别是一个三角形的三边长a, b, c:
①5,12,13; ②7,24,25; ③8,15,17.
问题2 这三组数在数量关系上有什么相同点？
① 5,12,13满足52+122=132,
② 7,24,25满足72+242=252,
③ 8,15,17满足82+152=172.
问题3 古埃及人用来画直角的三边满足这个等式吗？
∵32+42=52，∴满足.
a2+b2=c2
探究新知
问题4 据此你有什么猜想呢?
由上面几个例子，我们猜想：
命题2 如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么
这个三角形是直角三角形.
探究新知
我觉得这个猜想不
准确，因为测量结
果可能有误差.
我也觉得猜想不严
谨，前面我们只取
了几组数据，不能
由部分代表整体.
已知：如图，在△ABC中，AB=c，BC=a，CA=b，
并且
A
B
b
c
a
b
1A
1B 1C
证明：作∆A1B1C1
在△ABC和△A1B1C 1中，
11
11
11
BAAB
ACCA
CBBC
Ca
222 cba
求证：∠C=90°
使∠C1=90°
根据勾股定理，则有
∠C=∠ 1C =90°
探究新知
B
A
B1C1=a，C1A1=b
A1B1
2=B1C1
2+C1A1
2=a2+b2
∵a2+b2=c2 ∴A1B1 =c， ∴AB=A1B1
≌∴∆ABC ∆A1B1C1
符号语言：
在△ABC中，
若a2 + b2 = c2
则△ABC是直角三角形
探究新知
如果三角形的三边长a、b、c满足 a2 + b2 = c2，
那么这个三角形是直角三角形.
勾股定理的逆定理：
bc
CaB
A
探究新知
方法点拨
勾股定理的逆定理是直角三角形的判定
定理，即已知三角形的三边长，且满足两条
较小边的平方和等于最长边的平方，即可判
断此三角形为直角三角形 ，最长边所对应
的角为直角.
例1 下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是,
那么哪一个角是直角？
(1) a=15 ， b=8 ，c=17;
解：(1)∵152+82=289，172=289，
(2) a=13 ，b=14 ，c=15.
(2)∵132+142=365，152=225，
总结：根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三
角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方.
探究新知
素养考点 1 利用勾股定理的逆定理判断直角三角形
∴152+82=172， 根据勾股定理的逆
定理，这个三角形是直角三角形，且∠C是直角.
∴132+142≠152， 不符合勾股定
理的逆定理，∴这个三角形不是直角三角形.
1.下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是( )
A. 1,2,3 B. 2,3,4
C. 4,5,6 D.
2.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是( )
A.三个内角比为1：2：1 B. 三边之比为1：2：
C.三边之比为 D. 三个内角比为1：2：3
D
C
D
C
巩固练习
3,2,1
5
5:2:3
例2 若△ABC的三边a,b,c，且a+b=4,ab=1,c= ，
试说明△ABC是直角三角形.
14
解：∵a+b=4,ab=1,
∴a2+b2=(a+b)2-2ab=16-2=14.
又∵c2=14,
∴a2+b2=c2,
∴△ABC是直角三角形.
探究新知
素养考点 2 勾股定理的逆定理和乘法公式判断三角形
3.若△ABC的三边 a,b,c 满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c.
试判断△ABC的形状.
解：∵ a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，
∴ a2－6a+9+b2－8b+16+c2－10c+25=0.
即 (a－3)²+ (b－4)²+ (c－5)²=0.
∴ a=3, b=4, c=5，
即 a2+b2=c2.
∴△ABC是直角三角形.
巩固练习
探究新知
知识点 2 勾股数
如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2那么这个三角形是直
角三角形.满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.
常见勾股数：
3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，
40，41；10，24，26等等.
勾股数拓展性质：
一组勾股数，都扩大相同倍数k(k为正整数)，得到一组新数，
这组数同样是勾股数.
4.下列各组数是勾股数的是 ( )
A.3，4，6 B.6，7，8
C.0.3，0.4，0.5 D.5，12，13
D
巩固练习
方法点拨：根据勾股数的定义，勾股数必须为正整数，先
排除小数，再计算最长边的平方是否等于其他两边的平方
和即可.
命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边为
c,那么a2+b2=c2.
命题2 如果三角形的三边长a 、b 、c满足a2+b2=c2,那么
这个三角形是直角三角形.
看下边的两个命题：
探究新知
知识点 3 互逆命题和互逆定理
你发现了什么？
命题1：直角三角形 a2+b2=c2
命题2： 直角三角形a2+b2=c2
题设 结论
它们是题设和结论正好相反的两个命题.
发现1 两个命题的条件和结论如下所示：
发现2 两个命题的条件和结论有如下联系：
探究新知
归纳总结：一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，
也可能不成立.如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，
那么它也是一个定理，我们称这两个定理互为逆定理.勾股
定理与勾股定理的逆定理为互逆定理.
题设和结论正好相反的两个命题，叫做互逆命题，其
中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题.
探究新知
5.说出下列命题的逆命题．这些命题的逆命题是真命题吗？
（1）两条直线平行，内错角相等；
逆命题：内错角相等，两直线平行．真命题．
（2）对顶角相等；
逆命题：相等的角是对顶角．假命题．
（3）线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．
逆命题：到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平
分线上．真命题． 任何一个命题都有逆
命题；原命题是真命题，其
逆命题不一定是真命题．
巩固练习
1. （2019•威海模拟）已知M、N是线段AB上的两点，AM
＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再
以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC
，BC，则△ABC一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
巩固练习
连 接 中 考
B
1.下列各组数是勾股数的是 ( )
A.3，4，7 B.5，12，13
C.1.5，2，2.5 D.1，3，5
2.将直角三角形的三边长扩大同样的倍数,则得到的三角形
( )
A.是直角三角形 B.可能是锐角三角形
C.可能是钝角三角形 D.不可能是直角三角形
B
A
课堂检测
基 础 巩 固 题
3.写出下列命题的逆命题，并判断其逆命题的真假性.
(1)如果两个角是直角，那么它们相等.
(2)在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
(3)如果 ，那么a≥0.2 2( )a a
解：(1)如果两个角相等，那么这两个角是直角.假命题.
(2)在角的内部，角的平分线上的点到两边的距离相等.真命题.
(3)如果a≥0，那么 .真命题.2 2( )a a
课堂检测
基 础 巩 固 题
4.若△ABC的三边a,b,c满足 a:b: c=3:4:5，试判断
△ABC的形状.
解：设a=3k,b=4k,c=5k(k＞0),
∵(3k)2+(4k)2=25k2,(5k)2=25k2,
∴(3k)2+(4k)2=(5k)2,
∴△ABC是直角三角形，且∠C是直角.
课堂检测
基 础 巩 固 题
A,B,C三地的两两距离如图所示，A地在B地的正东方向，
C地在B地的什么方向？
解：∵AB2+BC2＝122+52
=144+25=169，
AC2=132=169，
∴AB2+BC2=AC2，
∴△ABC为直角三角形，且∠B=90°，
由于A地在B地的正东方向，所以C地在B地的正北方向.
课堂检测
能 力 提 升 题
如图，在正方形ABCD中，F是CD的中点，E为BC上一点，
且CE＝ CB，试判断AF与EF的位置关系，并说明理由．
解：AF⊥EF.理由如下：
设正方形的边长为4a, 则EC＝a，BE＝3a，CF＝DF＝2a.
在Rt△ABE中，得AE2＝AB2＋BE2＝16a2＋9a2＝25a2.
在Rt△CEF中，得EF2＝CE2＋CF2＝a2＋4a2＝5a2.
在Rt△ADF中，得AF2＝AD2＋DF2＝16a2＋4a2＝20a2.
在△AEF中，AE2＝EF2＋AF2，∴△AEF为直角三角形，且AE为斜
边．∴∠AFE＝90°，即AF⊥EF.
1
4
课堂检测
拓 广 探 索 题
勾股定理
的逆定理
内 容
作 用
从三边数量关系判定一个三角
形是否是直角形三角形.
如果三角形的三边长a 、b 、c满
足a2+b2=c2，那么这个三角形是直
角三角形.
注 意 最长边不一定是c， ∠C也不一
定是直角.
勾股数一定是正整数
课堂小结
勾股数
互 逆 命 题 和 互 逆 定 理
第二课时
返回
N
EP
Q
R 12
工厂生产的产品都有一定的规格要求，如图所
示：该模板中的AB、BC 相交成直角才符合规定。
你能测出这个零件是否合格呢？(身边只有刻度尺)
A
B C
导入新知
在军事和航海上经常要确定方向和位置，从而常需要使用
一些数学知识和方法，其中勾股定理的逆定理经常会被用到，
这节课让我们一起来学习吧.
导入新知
2. 进一步加深对勾股定理与其逆定理之间关系的
认识.
1. 应用勾股定理的逆定理解决实际问题.
素养目标
3. 将实际问题转化成用勾股定理的逆定理解决的数
学问题.
12
如图，某港口P位于东西方向的海岸线上. “远航”号、“海
天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行,“远航”号
每小时航行16海里,“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口
一个半小时后分别位于点Q,R处，且相距30海里.如果知道“远航”
号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
N
EP
Q
R
探究新知
知识点 1
【思考】1.认真读题，找已知是什么？
“远航”号的航向、两艘船的一个半
小时后的航程及距离已知，如下图.
12
N
EP
Q
R 16×1.5=24
12×1.5=18
30
3.由于我们现在所能得到的都
是线段长，要求角，由此我们
想到利用什么思想？
要解决的问题是求出两艘
船航向所成角.
勾股定理逆定理
探究新知
【思考】2.需要解决的问题是什么？
转化的思想
4.知道线段长度，通过线段长度来求角的度数，我们可以
利用什么转化呢？
解：根据题意得
PQ=16×1.5=24(海里),
PR=12×1.5=18(海里),
QR=30海里.
∵242+182=302，即PQ2+PR2=QR2,∴∠QPR=90°.
由“远航”号沿东北方向航行可知∠1=45°.
∴∠2=45°，即“海天”号沿西北方向航行.
N
EP
Q
R 12
探究新知
方法点拨：解决实际问题的步骤：①标注有用信息,明确已知和
所求；②构建几何模型(从整体到局部)；③应用数学知识求解.
1.在寻找马航MH370航班过程中，两艘搜救舰艇接到消息，在
海面上有疑似漂浮目标A、B. 接到消息后，一艘舰艇以16海里/
时的速度离开港口O(如图所示)向北偏东40°方向航行，另一艘
舰艇在同时以12海里/时的速度向北偏西一定角度的航向行驶，
已知它们离港口一个半小时后相距30海里，问另一艘舰艇的航
行方向是北偏西多少度？
巩固练习
解：由题意得，OB＝12×1.5＝18海里，
OA＝16×1.5＝24海里，
又∵AB＝30海里，
∴182＋242＝302，即OB2＋OA2＝AB2，
∴∠AOB＝90°.
∵∠DOA＝40°，
∴∠BOD＝50°.
则另一艘舰艇的航行方向是北偏西50°.
巩固练习
如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，已知AD=3cm，
AB=4cm，CD=12cm，BC=13cm，求四边形ABCD 的面积.
解：连接BD.
在Rt△ABD中,由勾股定理得 BD2=AB2+AD2，
∴BD=5cm.又∵ CD=12cm，BC=13cm,
∴ BC2=CD2+BD2，∴△BDC是直角三角形.
∴S四边形ABCD=SRt△BCD－SRt△ABD= BD•CD－ AB•AD
= ×(5×12－3×4)=24 (cm2)．
1
2
1
21
2
C
B A
D
探究新知
知识点 2
2.如图，在四边形ABCD中，AC⊥DC，△ADC的面积为30
cm2，DC＝12 cm，AB＝3cm，BC＝4cm，求△ABC的面积.
解: ∵ S△ACD=30 cm2，DC＝12 cm.
∴ AC=5 cm.
又∵
∴△ABC是直角三角形, ∠B是直角.
∴
D C
B
A
巩固练习
如图，是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方
形，他在挖完后测量了一下，发现AB＝DC＝8m，AD＝BC＝
6m，AC＝9m，请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格？
解：∵AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，
∴AB2＋BC2＝82＋62＝64＋36＝100.
又∵AC2＝92＝81，
∴AB2＋BC2≠AC2，∴∠ABC≠90°，
∴该农民挖的不合格．
知识点 3
探究新知
3. 一个零件的形状如图所示,按规定这个零件中∠A和
∠DBC都应为直角,工人师傅量得这个零件各边的尺寸如
图所示,这个零件符合要求吗?
D
A B
C
4
3
5
13
12
D
A B
C
图 图
巩固练习
在△BCD中，
∴△BCD 是直角三角形，∠DBC是直角.
因此，这个零件符合要求.
解：在△ABD中，
∴△ABD 是直角三角形，∠A是直角.
D
A B
C
4
3
5
13
12
图
巩固练习
AB2+AD2=32+42=25=52=BD2
BD2+BC2=52+122=169=132=CD2
（2018•长沙）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》
里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五
里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的
是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问
这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里
=500米，则该沙田的面积为（ ）
A．7.5平方千米 B．15平方千米
C．75平方千米 D．750平方千米
巩固练习
连 接 中 考
A
B
B
课堂检测
基 础 巩 固 题
1.五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他
们摆成两个直角三角形，其中摆放方法正确的是 （ ）D
A. B.
C. D.
2.如图是医院、公园和超市的平面示意图，超市在医院的南偏东
25°的方向，且到医院的距离为300 m，公园到医院的距离为
400 m，若公园到超市的距离为500 m，则公园在医院的 ( )
A.北偏东75°的方向上 B.北偏东65°的方向上
C.北偏东55°的方向上 D.无法确定
B
基 础 巩 固 题
课堂检测
3.如图，某探险队的A组由驻地O点出发，以12km/h的速度前进，
同时，B组也由驻地O出发，以9km/h的速度向另一个方向前进，
2h后同时停下来，这时A，B两组相距30km．此时，A，B两组
行进的方向成直角吗？请说明理由.
解：∵出发2小时，A组行了12×2=24(km)，
B组行了9×2=18(km)，
又∵A，B两组相距30km，
且有242+182=302，
∴A，B两组行进的方向成直角．
基 础 巩 固 题
课堂检测
A
O B
4.在城市街路上速度不得超过70千米/时，一辆小汽车某一时刻
行驶在路边车速检测仪的北偏东30°距离30米处，过了2秒后
行驶了50米，此时小汽车与车速检测仪间的距离为40米. 问：
2秒后小汽车在车速检测仪的哪个方向?这辆小汽车超速了吗?
车速检测仪
小汽车
30米
30°
北
60°
解：小汽车在车速检测仪
的南偏东60°方向或北偏
西60°方向.
25米/秒=90千米/时>70千米/时
∴小汽车超速了.
2秒后
50米
40米
基 础 巩 固 题
课堂检测
如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，
CD＝12，AD＝13,求四边形ABCD的面积.
分析：连接AC，把四边形分成两个三角形.先用勾股定理求出AC
的长度，再利用勾股定理的逆定理判断△ACD是直角三角形.
A
D
B
C
3
4
13
12
能 力 提 升 题
课堂检测
解：连接AC.
在Rt△ABC中，
在△ACD中，
AC2+CD2=52+122=169=AD2，
∴△ACD是直角三角形，
且∠ACD=90°.
∴S四边形ABCD=SRt△ABC+SRt△ACD=6+30=36.
2 2 2 23 4 5,AC AB BC
能 力 提 升 题
课堂检测
A
D
B
C
3
4
13
12
如图，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5且周长为36cm，点P从点
A开始沿AB边向B点以每秒2cm的速度移动，点Q从点C沿CB边向点
B以每秒1cm的速度移动，如果同时出发，则过3s时，求PQ的长．
解：设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm，∵周长为36cm，
即AB+BC+AC=36cm，
∴AB=9cm，BC=12cm，AC=15cm.
∵AB2+BC2=AC2，∴△ABC是直角三角形，过3秒时，
BP=9-3×2=3(cm)，BQ=12-1×3=9(cm)，
在Rt△PBQ中，由勾股定理得 2 23 9 3 10(cm).PQ
课堂检测
拓 广 探 索 题
∴3x+4x+5x=36， 解得x=3.
P
C
BA
Q
勾股定理的逆
定理的应用
应 用
航海问题
方 法
认真审题,画出符合题意的图
形,熟练运用勾股定理及其逆
定 理 来 解 决 问 题
与勾股定理结合解决不规
则图形等问题
课堂小结
课后作业
作业
内容
教 材 作 业
从课后习题中选取
自 主 安 排
配套练习册练习
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