天天资源网 / 初中数学 / 教学同步 / 人教版（2012） / 七年级下册 / 第八章 二元一次方程组 / 人教版七年级下册数学第8章二元一次方程组课件
资料简介
8.1
二元一次方程组
人教版
数学
七年级 下册
篮
球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得
2
分，负一场得
1
分
.
如果某队为了争取较好名次，想在全
部
10
场
比赛中
得
16
分
，那么这个队胜负场数应分别是多少
?
用学过的一元一次方程能解决此问题吗？
这可是两个未知数呀？
导入新知
1.
了解二元一次方程（组）及其
解的定义
.
2.
会
检验
一对数值是不是某个二元一次方程组的解
.
素养目标
3.
能根据简单的实际问题
列出
二元一次方程组
.
2
x
+(10
－
x
)
=16
篮
球联赛中
,
每场比赛都要分出胜负
,
每队胜一场得
2
分
,
负一场得
1
分
.
如果某队为了争取较好名次
,
想在全
部
10
场
比赛中
得
16
分
,
那么这个队胜、负场数应分别是多少
?
【
思考
】
你
能设一个未知数
(
比如设胜
x
场
,)
,
根据题意列出一元一次方程吗？
胜
负
合计
场数
积分
(10
－
x
)
10
(10
－
x
)
x
16
2
x
探究新知
知识点
1
二元一次方程的概念
x
+
y
=10
2
x +y
=16
【
思考
】
你
能设两个未知数
(
比如设胜
x
场
,
负
y
场
)
,
根据题意列出方程吗？
胜
负
合计
场数
积分
y
10
y
x
16
2
x
探究新知
篮
球联赛中
,
每场比赛都要分出胜负
,
每队胜一场得
2
分
,
负一场得
1
分
.
如果某队为了争取较好名次
,
想在全
部
10
场
比赛中
得
16
分
,
那么这个队胜、负场数应分别是多少
?
x
+
y
=10
2
x+ y
=16
1.
这
两个方程是一元一次方程吗？为什么？
2.
这
两个方程有什么共同特点？
①
含有两个未知数；
②
含有未知数的项的次数都是
1.
二元一次方程
含有
两个未知数
,
并且含有
未知数的项的次数都
是
1
的方程
叫做
二元一次方程
.
3.
二
元一次方程与一元一次方程有什么相同和不同之处？
不同
:
相同
:
含未知数
个数不同
都是
一次方程
探究新知
观察思考
(
3
)
(
1
)
3
y
-2
x
=
z
+5
(
4
)
(
5
)
(
2
)
(
6
)
3
- 2
xy
=1
是
不是
不是
不是
不是
不是
例
1
判
断下列方程是否为二元一次方程：
(
7
)
4
x
+
π
=0
(
8
)
2
x
=1-3
y
不是
是
探究新知
素养考点
1
二元一次方程的判断
探究新知
方法点拨
判断一个方程是否为二元一次方程的方法：
一
看原方程是否是整式方程且只含有
两个
未知数
；
二
看整理化简后的方程是否具备两个未知数的
系数都不为
0
，
且含未知数的项的
次数都是
1
.
(
8
)
4
xy
+5=0
(
1
)
x
+
y
=11
(
3
)
x
2
+
y
=5
(
2
)
m
+1=2
(
4
)
3
x
－
π=11
(
5
)
－
5
x
=4
y
+2
(
6
)
7+
a
=2
b
+11
c
二元一次方程
不是二元一次方程
1.
判断下列方程是不是二元一次方程？
巩固练习
(
7
)
例
2
已知
|
m
－
1|
x
|
m
|
＋
y
2
n
－
1
＝
3
是二元一次方程，
则
m
＋
n
＝
________
．
解析
：
根据题意得
|
m
|
＝
1
且
|
m
－
1|≠0
，
2
n
－
1
＝
1
，解得
m
＝－
1
，
n
＝
1
，
所以
m
＋
n
＝
0
.
0
探究新知
素养考点
2
根据二元一次方程的定义求字母的值
方法小结
：
由方程是二元一次方程可知：
(
1
)
未知数的系数不为
0
；
(
2
)
未知数的次数都是
1
.
2.
（
1
）
若
x
2m-1
+5
y
3n-2m
=7
是二元一次方程，则
m
=____
，
n
=___
.
2
m
-1=1
1
3
n
-2
m
=1
1
巩固练习
（
2
）
如果
是二元一次方程，那么
k
的值是
( )
A. 2
B. 3
C. 1
D. 0
B
x
+
y
= 16
像
这样
,
把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起就组成了一个
二元一次方程组
.
篮球联赛中
,
每场比赛都要分出胜负
,
每队胜一场得
2
分
,
负一场得
1
分
.
某队为了争取较好名次
,
想在全部
16
场比赛中得到
28
分
,
那么这个队胜负场数分别是多少
?
解
：
设该队胜
了
x
场
，负了
y
场
,
根据题意可得方程：
2
x
+
y
= 28
等量关系
:
胜的场数
+
负的场数
=
总场数
胜场积分
+
负场积分
=
总积分
探究新知
二元一次方程组的定义
知识点
2
在这两个方程中
,
x
的含义相同吗
?
y
呢
?
下列哪些是二元一次方程组？
(
1
)
x+y
= 2
(
2
)
x-y
=1
x
= y
(
3
)
x
=0
(
4
)
z=x+1
y=
1
2
x-y=
5
(
5
)
x
-3
y
=8
(
6
)
3
x
=5
y
xy
=6
2
x
-
y
=0
(
是
)
(
是
)
(
不是
)
(
不是
)
(
是
)
(
不是
)
探究新知
通过上面问题，你认为二元一次方程组有哪些特征？
把具有相同未知数的两个一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组
.
请你说说二元一次方程组有哪些特点？
①
方程组中
共
有
2
个不同未知数；
②
方程组有
2
个一次方程；
③
一般用大括号把
2
个方程连起来。
x
+
y
= 16
2
x
+
y
= 28
x
+
y
= 2
x
–
y
= 1
探究新知
例
3
在方程组
程组的有
(
)
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
D
中，是二元一次方
探究新知
素养考点
1
二元一次方程组的判断
提示
：三个要素：
含有两个未知数
含有未知数的项的次数为
1
整式方程
3.
下列方程组中，哪些是二元一次方程组_______________
（
3
）
（
5
）
（
6
）
巩固练习
x
y
满足课堂开始篮球联赛问题中的方程 ，且符合问题的实际意义的值有哪些？把它们填入表中
.
【
思考
】
如
果不考虑方程表示的实际意义，还可以取哪些值？这些值是有限的吗？
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
0
y
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
x
,
y
还可取到小数
,
如
x=
0.5
,y=
9.5
;
有无数组这样的值
.
知识点
3
二元一次方程的解的定义
探究新知
适合一个二元一次方程的一组未知数的值
,
叫做这个
二元一次方程的一个解
.
探究新知
判断一对数值是不是二元一次方程的解
,
只需把这对数值分别代入方程的左右两边
,
若
左边
=
右边
,
则这对数值
是
这个方程的解
;
若
左边
≠
右边
,
则这对数值
不是
这个方程的解
.
温馨提示
:
一般情况下
,
二元一次方程有无数组解
,
但若对其未知数取值附加某些条件
,
那么也可能只有有限个解
.
6.
判断给
出的
x
、
y
的值是否
是方程的解
(
1
)
2
x
-3
y
=6
( ) (
2
)
5
x
+2
y
=8
( )
×
√
5.
二元一次方程的解有什么特点
?
7.
在
中
,
是方
程
x
+
y
=22
的解
的有
(
填序号
) .
①
使
二元一次方程两边的值相等的
两个未知数的值
叫做二元一次方程的解
.
一般有
无数多
个
.
4.
什么叫二元一次方程的解？
巩固练习
②
③
④
⑤
0
16
2
1
3
6
4
5
7
9
8
12
10
13
15
14
15
16
11
0
2
1
3
6
4
5
7
9
12
10
13
14
11
8
1.
方程
x+ y
= 16
中
,
符合实际意义的
x , y
的值有哪些
?
把它们填入表格中
.
x
y
x
y
20
28
22
26
24
0
2
1
3
6
4
5
7
9
8
12
10
13
14
11
0
2
8
4
6
10
14
16
18
12
2.
再找出方程
2
x
+
y
= 28
的
符合实际意义的解
,
并用表格罗列
.
12
4
4
12
探究新知
知识点
4
二元一次方程组的解的定义
二
元一次方程组中各个方程的公共解
,
叫做这个
二元一次方程组的解
.
【
思考
】
上
表中哪对
x
，
y
的值还满足方程
2
x
+
y
=28
②？
x
=12
，
y
=4
还满足方程②．也就是说
,
它是方程
x+y=
16
①与方程②的
公共解
，记作
探究新知
8.
填表
:
使
每对
x
,
y
的值是方程
3
x
+
y
=5
的解
．
9.
已知下列三对数值
________
是方程
x
+
y
=7
的解
;
________
是方程
2
x
+
y
=9
的解
，
_______
是方程组 的解．
x
-2
0
0.4
2
y
-0.4
-1
0.5
2
11
5
3.8
-1
1.8
2
1
x
=2
y
=5
x
=1
y
=7
x + y
=7
2
x
+
y
=9
x
=2
y
=5
1.5
x
=1
y
=6
x
=2
y
=5
x
=1
y
=7
,
,
x
=2
y
=5
x
=1
y
=6
巩固练习
解
：
把
代
入到方程组
,
得：
解
得
a
=2,
b
=11
.
x
= 1
y
=-2
例
4
已
知二元一次方程
组
的解是
求
a
与
b
的值
.
探究新知
素养考点
1
利用二元一次方程组的解求字母的值
10.
若
是方程
x
-
ky
=1
的解
,
则
k
的值为
.
解析
：
将
代
入原方程得
-
2
-3
k
=1
，解得
k
＝
-1
.
｛
x
=-2
,
y=
3
-1
巩固练习
｛
x
=-2
,
y=
3
引导学生读懂数学书课题研究成果配套课件
课件制作：吴秀青
例
5
对
下面的问题，列出二元一次方程组，并根据问题的实际意义，找出问题的解
.
加工某种产品需经两道工序，第一道工序每人每天可完成
900
件，第二道工序每人每天可完成
1200
件
.
现有
7
位工人参加这两道工序，应怎样安排人力，才能使每天第一、第二道工序所完成的件数相等？
探究新知
素养考点
2
根据实际问题列二元一次方程组
引导学生读懂数学书课题研究成果配套课件
课件制作：吴秀青
分析
：
第一道工序的人
数＋
_______________
＝总人数；
第一道工序的件数＝
________________.
设安排第一道工序
x
人，第二道工序
y
人，用方程把这些条件表示出来：
___________.
x+y=
7
900
x
=1200
y
第二道工序的人数
第二道工序的件数
解
：
所以可列方程组为
探究新知
是该问题的解
.
11.
根
据以下对话，可以求得小红所买的笔和笔记本的价格分别是（
）
哦
……
我忘了！只记得先后买了两次，第一次买了
5
支笔和
10
本笔记本花了
42
元钱，第二次买了
10
支笔和
5
本笔记本花了
30
元钱．
小红，你上周买的笔和笔记本的价格是多少啊？
D
A.0.8
元
/
支，
2.6
元
/
本
B.0.8
元
/
支，
3.6
元
/
本
C.1.2
元
/
支，
2.6
元
/
本
D.1.2
元
/
支，
3.6
元
/
本
设小红所买的笔和笔记本的价格分别为
x
元和
y
元
,
可
列
将选项代入判断是否是方程组的解
.
巩固练习
（2019•天津）方程组 的解是（ ）
A
．
B
．
C
．
D．
巩固练习
连接中考
D
1
.
方程
3
x
＋
y
＝0,2
x
＋
xy
＝1,3
x
＋
y
－2
x
＝0，
x
2
－
x
＋1＝0
中，二元一次方程的个数是
(
)
A. 1
个
B. 2
个
C. 3
个
D. 4
个
B
基础巩固题
课堂检测
2.
下列方程组中是二元一次方程组的是 ( )
C
课堂检测
A.
B.
C.
D.
基础巩固题
3.
解为 的方程组是 ( )
D
课堂检测
A.
B.
C.
D
.
基础巩固题
4.
小刘同学用
10
元钱购买了两种不同的贺卡共
8
张，
单
价分别是
1
元与
2
元．设他购买了
1
元的贺卡
x
张，
2
元的贺卡
y
张，那么可列方程组
(
)
A
.
B.
C
.
D.
D
基础巩固题
课堂检测
1.
已知
是方程
2
x
-4
y
+2
a
=3
的一组解，则
a
=____.
2.
若方程
2
x
2
m
+3
+3
y
3
n
-7
=0
是关于
x
、
y
的二元一次方程，则
m
=______
，
n
=______
；
x
=3
，
y
=1
-1
能力提升题
课堂检测
把
一根长
13m
的钢管截成
2m
长或
3m
长两种规格的钢管，怎样截不造成浪费？你有几种不同的截法？
解
：设截成
2m
长的钢管
x
根，
3m
长的钢管
y
根
,
则
2
x
+3
y
=13
,
∵
x,y
均为非负整数，
∴
或
∴
有
2
种不同的截法
.
3m
长
1
根、
2m
长
5
根以及
3m
长
3
根、
2m
长
2
根
.
x=
5
，
y
=1
x=
2
，
y=
3
拓广探索题
课堂检测
认识二元一次方程组
二元一次方程及二元一次方程组的
定义
二元一次方程
及
二元一次方程
组的
解
根据实际问题
列二元一次方程组
课堂小结
课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习
8.2
消元
——
解二元一次方程组
第一课时
第二课时
人教版
数学
七年级 下册
代入消元法解二元一次方程组
第一课时
返回
篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜
1
场得
2
分，负
1
场得
1
分．某队在
10
场比赛中得到
16
分，那么这个队胜负场数分别是多少？
(
1
)
如
果设胜的场数
是
x
，则负的场数
是
10-
x,
可得一元一次方程
；
(
2
)
如
果设胜的场数
是
x
,
负的场数
是
y
,
可得二元一次方程组
那么怎样解这个二元一次方程组呢？
导入新知
1.
掌握
代入消元法
解二元一次方程组的步骤
.
2.
了解解二元一次方程组的
基本思路
.
素养目标
3.
初步体会
化归思想
在数学学习中的运用
.
一
个苹果和一个梨的质量合计
200g
,
这个苹果的质量加上一个
10g
的砝码恰好与这个梨的质量相等
,
问苹果和梨的质量各是多少
g
？
探究新知
知识点
1
代入消元法解二元一次方程组
+
＝
200
x
y
＝
+ 10
x
y
+10
+
＝
200
x
x
探究新知
x
+ y = 200
y
=
x
+ 10
(
x
+10)
x
+(
x
+10) = 200
①
②
x
= 95
y
= 105
∴
方程组 的解是
y
=
x
+ 10
x
+
y
= 200
x
= 95
，
y
=105
.
将未知数的个数由多化少，逐一解决的思想，叫做
消元思想
.
转化
探究新知
求方程组解的过程叫做
解方程
组
.
解二元一次方程组的基本思路“
消元
”
二元一次方程组
一元一次方程
消元
转化
用“
代入
”的方法进行“
消元
”，这种解方程组的方法称为
代入消元法
，简称代入法
.
代入法
是解二元一次方程组常用的方法之一
.
探究新知
例
1
解方程组
2
x+
3
y=
16 ①
x+
4
y=
13 ②
解
：
由② ，得
x=
13
-
4
y
③
将③代入① ，得
2（13
-
4
y
）
+
3
y=
16
26
–
8
y +
3
y =
16,
-
5
y=
-10,
y=
2
将
y=
2
代入③ ，得
x=
5
.
所以原方程组的解是
x=
5
y=
2
探究新知
素养考点
1
利用代入消元法解二元一次方程组
探究新知
归纳总结
解二元一次方程组的步骤：
第一步
：在已知方程组的两个方程中选择一个适当的方程，将它的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来
.
第二步
：把此代数式代入没有变形的一个方程中，可得一个一元一次方程
.
第三步
：解这个一元一次方程，得到一个未知数的值
.
第四步
：回代求出另一个未知数的值
.
第五步
：把方程组的解表示出来
.
第
六步
：检验
(
口算或在草稿纸上进行笔算
),
即把求得的解代入每一个方程看是否成立
.
1.
用代入法解下列方程组：
解
：
把①代入②，得
3
x
+2
（
）
=_
解这个方程，得
x
＝
.
把
x
＝
代入①，得
y
=
__
∴
原方程组的解是
2
x
-3
8
2
2
2
1
1
巩固练习
①
（
1
）
②
2
-1
巩固练习
（
2
）
①
②
2
x
-5
2
2
x
-5
-1
解
：
由①，得
y
=
…
③
把
③代入②，得
3
x
+4
（
）
=
解这个方程，得
x
＝
把
x
＝
代
入③，得
y
=
∴
原方程组的解是
2
2
例
2
根
据市场调查，某种消毒液的大瓶装（
500 g
）和小瓶装（
250 g
）两种产品的销售数量（按瓶计算）比为
2:
5
．
某厂每天生产这种消毒液
22.5t
，这些消毒液应该分装大、小瓶两种产品各多少瓶？
分析
：
等量关系：
(
1
)
大
瓶数
小瓶数
(
2
)
大
瓶所装消毒液
小瓶所装消毒液
总生产量．
探究新知
素养考点
2
利用二元一次方程组解答实际问题
解
：
设这些消毒液应该分装
x
大瓶、
y
小瓶
.
根据题意可列方程组：
③
①
由 得：
把 代入 得：
③
②
解得：
x
=
20000
把
x
=20000
代入 得：
y
=
50000
③
答
：
这些消毒液应该分装
20000
大瓶和
50000
小瓶
.
①
②
î
í
ì
=
+
=
22500000
250
500
2
5
y
x
y
x
探究新知
二元一次方程组
消去
一元一次方程
变形
代入
解得
解得
用
代替
，消去未知数
50 000
y
=
代入消元法的
思路
探究新知
探究新知
方法点拨
用代入消元法解二元一次方程组时，尽量选取未知数系数的
绝对值是
1
的方程进行变形；若未知数系数的绝对值都不是
1
，则选取系数的
绝对值较小
的方程变形
.
累死我了
真的
?!
他们各驮多少包裹
?
巩固练习
2.
根据对话解答问
题
.
你还累
?
这么大的个才比我多驮两个
.
哼
,
我从你背上拿来一个
,
我的包裹数就是你的
2
倍
!
解：
设马驼了
x
个包裹，骆驼驼了
y
个包裹，由题意得：
解得
：
答：
马驼了
5
个包裹，骆驼驼了
7
个包裹
.
巩固练习
解
：
，
由
①得，
x
＝
y
+1 ③
，
把
③
代入②得，
y
+1+3
y
＝
9
，解得
y
＝
2
，
把
y
=2
代入
x
=
y
+1
得
x
=3.
故原方程组的解为 ．
巩固练习
连接中考
①
②
（2019
•广州）解方程组：
1.
二元一次方程组 的解是（
）
D
课堂检测
基础巩固题
A
．
C
．
B
．
D.
2.
下列是用代入法解方程组
①
②
的开始
步骤，其中最简单、正确的是（ ）
A
.
由①，得
y=
3
x-
2
③
，把③代入②，得
3
x
=11-2(3
x
-2)
.
B
.
由
①
，得 ③，把③代入②，得
.
C
.
由②，得 ③，把③代入①，得
.
D
.
把②代入
①
，得
11-2
y
-
y
=2
，
(
把
3
x
看作一个整体
)
D
课堂检测
基础巩固题
3.
把下列方程分别用含
x
的式子表示
y
，含
y
的式子表示
x
：
（
1
）
2
x
－
y
＝
3
（
2
）
3
x
＋
2
y
＝
1
课堂检测
基础巩固题
解
:
（
1
）
（
2
）
4.
解方程组
3
x+
2
y=
14 ①
x-y=
3
②
所以原方程组的解是
x=
4
y=
1
解
：
由②变形得
x
=
y
+3
③
将
③代入① ，得
3（
y+
3）
+
2
y=
14
3
y+
9
+
2
y=
14
将
y=
1
代入②，得
x=
4
5
y=
5
，
y=
1
课堂检测
基础巩固题
篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，胜一场得
2
分
.
负一场得
1
分，某队为了争取较好的名次，想在全部
20
场比赛中得到
35
分，那么这个队胜负场数分别是多少？
解
：
设胜的场数是
x
，负
的场数是
y
,
可
列方程组：
由
①得
y
=20-
x
. ③
将
③
代入
②
,
得
2
x+
20-
x
=35
.
解得
x
=15
.
将
x
=15
代入
③
得
y
=5
.
则这个方程组的解是
答：
这个队胜
1
5
场，负
5
场.
①
②
能力提升题
课堂检测
李
大叔去年承包了
10
亩地种植甲、乙两种蔬菜，共获利
18000
元，其中甲种蔬菜每亩获利
2000
元，乙种蔬菜每亩获利
1500
元，李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩？
解
:
设甲、乙两种蔬菜各种植了
x
、
y
亩，依题意得：
x
+
y
=10
①
2000
x
+1500
y
=18000
②
由①得
y
=10-
x
. ③
将
③
代入②
,
得
2000
x+
1500(10-
x
)=18000
.
解得
x
=6
.
将
x
=6
代入
③
，得
y
=4
.
答：
李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了
6
亩、
4
亩
.
拓广探索题
课堂检测
解二元一次方程组
基本思路“
消元
”
代入法
解二元一次方程组的一般步骤
课堂小结
加减法解二元一次方程组
第二课时
返回
一
个长方形的周长是
50cm
，长比宽多
5cm
,
设长为
xcm
,
宽为
y
cm
，可列出的二元一次方程组是
x
–
y
= 5 ①
2
x
+ 2
y
= 50 ②
上面方程组的两个方程中，
y
的系数有什么关系？
利用这种关系你能发现新的消元方法吗？
导入新知
2.
熟练
运用消元法解简单的二元一次方程组
.
1.
掌握用
加减消元法
解二元一次方程组的步骤
.
素养目标
3.
培养学生的
分析能力
，能迅速根据所给的二元一次方程组，选择一种简单的方法解方程组
.
怎样解下面的二元一次方程组呢？
①
②
探究新知
知识点
1
加减法解二元一次方程组
把②变形得：
代入①，不就
消去
x
了
！
小彬
探究新知
把②变形得
可以直接代入①呀！
小明
探究新知
（
3
x
＋
5
y
）
+
（
2
x
－
5
y
）＝
21 + (
－
11)
3
x
+5
y
= 21
2
x
－
5
y
= -11
和
互为相反数
……
按小丽的思路，你能消去
一个未知数吗？
小丽
分析：
，
①
. ②
①
左边
+ ②
左边
= ①
右边
+ ②
右边
探究新知
探究新知
把
x
＝
2
代入①，得
y
＝
3
，
的解是
所以
x
＝
2
3
x
+5
y
+2
x
－
5
y
＝
10
5
x
+0
y
＝
10
5
x
＝
10
2
x
-5
y
=7
，
①
2
x
+3
y
=-1. ②
参考小丽的思路，怎样解下面的二元一次方程组呢？
分析
：
观察方程组中的两个方程，未知数
x
的系数相等，即都是
2
．所以把这两个方程两边分别相减，就可以消去未知数
x
，得到一个一元一次方程．
探究新知
解
：
由
②
－①得：
8
y
＝－
8
y
＝－
1
把
y
=-1
代入①，得
2
x
－
5
×
（
-1
）＝
7
解得：
x
＝
1
所以原方程组的解是
探究新知
上面这些方程组的特点是什么？
解这类方程组的基本思路是什么？主要步骤有哪些？
主要步骤
：
特点
：
基本思路
：
写解
求解
加减
二元
一元
.
加减消元：
消去一个元；
分别求出两个未知数的值；
写出原方程组的解
.
同一个未知数的系数
相同或互为相反数
.
探究新知
例
1
解下列二元一次方程组
解：
由②
-①
得
：
解得：
把
代入①，得：
注意
:
要检验哦
!
解得：
所以方程组的解为
方程①、②中未知数
x
的系数
相等
，可以利用两个方程
相减
消去未知数
x
.
探究新知
素养考点
1
加减法解系数相等的二元一次方程组
①
②
3
x
+2
y
=23
5
x
+2
y
=33
1.
解方程组
解
：
由
②－
①得
:
将
x
=5
代
入①得：
15+2
y
=23
y
=4.
所以原方程组的解是
x
=5
y
=4
2
x
=10
x
=5.
与前面的代入法相比，是不是更加简单了！
巩固练习
3
x +
10
y
=2.8
①
15
x -
10
y
=8
②
解
：
把 ①+②得:
18
x
＝10.8
x
＝0.6
把
x
＝0.6
代入①，得：
3×0.6+10
y
＝2.8
解得:
y
＝0.1
例
2
解
方程组
所以这个方程组的解是
x
=0.6
y
=0.1
探究新知
素养考点
2
加减法解系数为相反数的二元一次方程组
互为相反数
相加
同一未知数的
系数
_
时，把两个方程
的两边分别
！
①
②
解
:
由①
+②
得
:
把
x
＝
2
代入①，得：
y
=3
x
=2
所以原方程组的解是
5
x=
10
2.
解二元一次方程组
:
巩固练习
像上面这种解二元一次方程组的方法
,
叫做
加减消元法
,
简称
加减法
.
当
方程组中两个方程的某个未知数的
系数互为相反数或相等
时
,
可以把方程的两边分别
相加
(
系数互为相反数
)
或相减
(
系数相等
)
来
消去这个未知数
,
得到一个
一元一次方程
,
进而求得二元一次方程组的解
.
探究新知
例
3
用
加减法解方程组：
①
②
解
:
①
×
2
得
:
4
x
- 6
y
＝
8 ③
③
+
②
得
：
7
x
＝
14
x
＝
2
把
x
＝
1
代入①，得
：
y
＝
0
∴原方程组的解是
x
＝
2
y
＝
0
｛
探究新知
素养考点
3
加减法解找系数最小公倍数的二元一次方程组
同
一未知数的系数
时，
利等
式的性质，使得未知数的系数
.
不相等也不互为相反数
相等或互为相反数
找系数的最小公倍数
探究新知
3.
用加减法解方程组
:
①
②
①
×3
得：
所以原方程组的解是
解
：
③-④
得
:
y
=2
把
y
＝
2
代入①，
解得
:
x
＝
3
②
×2
得
：
6
x
+9
y
=36 ③
6
x
+8
y
=34 ④
巩固练习
解
：
②
×4
得：
所以原方程组的解为
①
4.
解方程组：
②
③
①
＋③得：
7
x
= 35
，
解得：
x
= 5.
把
x
= 5
代入
②得，
y
= 1.
4
x
-4
y
=16
巩固练习
例
4
2
台大收割机和
5
台小收割机均工作2h共收割小麦
3.6 hm
2
，3
台大收割机和
2
台小收割机同时工作
5
h
共收割小麦
8
hm
2
.
1
台大收割机和
1
台小收割机每小时各收割小麦多少公顷
？
分析：
题目中存在的两个等量关系：
2
×（
2
台大收割量+
5
台小收割量）=______
5
×（
3
台大收割量+
2
台小收割量）=______
3.6
hm
2
8
hm
2
知识点
2
列二元一次方程组解实际问题
探究新知
3.6
整理，得
解
：
设一台大收割机和一台小收割机每小时各收割小麦
x
hm
2
和
y
hm
2
.根据题意，得
②-①，得
_
____
_____
解得
x
=_______
把
x
=_____ 代入①，得
y
=_______
∴这个方程组的解为
答
：
一台大收割机和一台小收割机每小时分别收割小麦
0.4hm
2
和
0.2hm
2
4
x
+10
y
15
x
+10
y
8
11
x
=4.4
0.4
0.4
0.2
0.2
0.4
探究新知
3.6
3
x
+2
y
8
2
x
+5
y
①
②
探究新知
归纳总结
利
用二元一次方程组解决实际问题的基本步骤是：
（
1
）依题意，找
________
关系；
（
2
）根据等量关系设
_______
；
（
3
）列
__________
；
（
4
）解
__________
；
（
5
）检验并作答
.
等量关系
未知数
方程组
方程组
5.
一条船顺流航行，每小时行
20km
，逆流航行，每小时行
16km
，求轮船在静水中的速度与水的速度
.
巩固练习
解
：
设轮船在静水中的速度为
x
km/h
，水流的速度为
y
km/h
由题意得：
解得
答
：
轮
船在静水中的速度为
18km/h
，水流的速度为
2km/h
.
1.
（2019•贺州）
已知方程组
，则
2
x
+6
y
的值是（ ）
A
．﹣2
B．2
C．﹣4
D．4
巩固练习
连接中考
2.
（2019•菏泽）已知
是方程
组
的解 ，
则
a
+
b
的值是（ ）
A．﹣1 B．1
C．﹣5
D．5
C
A
1.
方程组 的解是
．
①
②
2.
用加减法解方程组
6
x
+7
y
=
－
19①
6
x
-5
y
=17 ②
应用（ ）
A.①-②
消去
y
B.①-②
消去
x
C. ②- ①
消去常数项
D.
以上都不对
B
基础巩固题
课堂检测
（
1
）
（
2
）
解
：
①－
②得
2
x
=4
，
x
=2
把
x
=2
代入②得
2+2
y
=4
，
2
y
=2
y
=1
所以方程组的解是
解
：
①
+
②
得
4
x
=12
，
x
=3
把
x
=3
代入②得
3+
y
=4
，
y
=1
所以方程组的解是
3.
解方程组
课堂检测
基础巩固题
4.
已知
x
、
y
满足方程组
求代数式
x
－
y
的值．
解
：
②
-
①得
2
x
－
2
y
＝－
1
－
5
，
得
x
－
y
＝－
3
.
①
②
课堂检测
基础巩固题
①
②
解
方程组
解
：
由
① + ②，得 4(
x
+
y
)=36
所
以
x
+
y
=9 ③
由
① - ②，得 6(
x
-
y
)=24
所
以
x
-
y
=4 ④
解由
③④
组成的方程组
解得
法二
：
整理得
能力提升题
课堂检测
2
辆大卡车和5辆小卡车工作2小时可运送垃圾36吨，3辆大卡车和2辆小卡车工作5小时可运输垃圾80 吨
,
那么1辆大卡车和1辆小卡车每小时各运多少吨垃圾？
解
：
设
1辆大卡车和1辆小卡车每小时各运
x
吨和
y
吨垃圾
.
根据题意可得方程组：
化简可得：
①
②
②
-
①得
11
x
=44
，解得
x
=4
.
将
x
=4
代入①可得
y
=2
.
因此这个方程组的
解
.
答：
1辆大卡车和1辆小卡车每小时各运
4
吨和
2
吨垃圾
.
课堂检测
拓广探索题
解二元一次方程组
基本思路“
消元
”
加减法解二元一次方程组的一般
步骤
课堂小结
课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习
8.3
实际问题与二元一次方程组
第一课时
第二课时
人教版
数学
七年级 下册
利用二元一次方程组解答实际问题
第一课时
返回
悟空顺风探妖踪，千里只行四分钟
.
归时四分行六百，风速多少才称雄？
导入新知
1.
能够根据具体的
数量关系
，列出二元一次方程组
解决简单
的实际问题
.
2.
学会利用二元一次方程组解决
几何、行程
问题
.
素养目标
3.
经历用方程组解决实际图形问题的过程
，
体会方程组是刻画现实世界的有效
数学模型
.
养
牛场原有
30
只大牛和
15
只小牛，
1
天约用饲料
675 kg
；一周后又购进
12
只大牛和
5
只小牛，这时
1
天约用饲料
940 kg
.
饲养员李大叔估计每只大牛
1
天约需饲料
18
到
20 kg
，每只小牛
1
天约需饲料
7
到
8 kg
.
你认为李大叔估计的准确吗？
探究新知
知识点
1
列二元一次方程组解答较简单问题
问题
1
：
题中有哪些未知量，你如何设未知数？
未知量
:
每头大牛
1
天需用的饲料
;
每头小牛
1
天需用
的
饲料
.
问题
2
：
题中有哪些等量关系？
(
1
)
30
只大牛和
15
只小牛一天需用饲料为
675kg
;
(
2
)
(
30+12
)
只大牛和
(
15+5
)
只小牛一天需用饲料为
940kg
.
设未知数：
设每
头
大牛和每
头
小牛平均
1
天各需用饲料为
x
kg
和
y
kg
，
探究新知
解
:
设每
头
大牛和小
牛
平均
1天各需用
饲料为
x
kg
和
y
kg
，
根据等量关系，列方程组：
答
:
每
头
大牛和每
头
小牛
1
天各需用饲料为
20kg
和
5kg
，饲养员李大叔估计每天大牛需用饲料
18
到
20
千克，每
头
小牛一天需用
7
到
8
千克与计算有一定的出入
.
+
= 675,
+
= 940.
30
x
15
y
42
x
20
y
解方程
组，得：
x
=
,
y
=
.
20
5
探究新知
例
1
医
院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品
,
每克甲原料含
0.5
单位蛋白质
和
1
单位铁
质
,
每克乙原料含
0.7
单位蛋白质和
0.4
单位铁质
,
若病人每餐需要
35
单位蛋白质和
40
单位铁质
,
那么每餐甲、乙原料各多少克恰好满足病人的需要
?
素养考点
1
探究新知
列二元一次方程组解答数量问题
解
:
设每餐甲、乙原料各
x
克，
y
克
.
则有下表
:
甲原料
x
克
乙原料
y
克
所配的营养品
其中所含蛋白质
其中所含铁质
0.5
x
x
0.7
y
0.4
y
35
40
探究新知
根据题意
,
得方程组
化简
,
得
①- ②,
得
5
y
=150
y
=30
把
y
=30
代入①
,
得
x
=28
答
：
每餐甲原料
28
克
,
乙原料
30
克恰好满足病人的需要
.
0.5
x
+0.7
y
=35
，
x
+0.4
y
=40.
5
x
+7
y
=350
， ①
5
x
+2
y
=200.
②
探究新知
探究新知
归纳总结
用二元一次方程组解决实际问题的步骤：
(
1
)审题
：
弄清题意和题目
中的_________；
(
2
)设元：
用
___________表示
题目中的未知数；
(
3
)列方程组：
根
据___个等
量关系列出方程组；
(
4
)解方程组：
利
用__________法或___________
解出未知数的值；
(
5
)检验并答：
检验所求的解是否符合实际意义，然后作答.
数量关系
字母
2
代入消元
加减消元法
1
.
某
高校共有
5
个大餐厅和
2
个小餐厅，经过测试：同时开放
1
个大餐厅和
2
个小餐厅，可供
1680
名学生就餐；同时开放
2
个大餐厅和
1
个小餐厅，可供
2280
名学生就餐
.
（
1
）求
1
个大餐厅和
1
个小餐厅分别可供多少名学生就餐？ （
2
）若
7
个餐厅同时开放，请估计一下能否供应全校的
5300
名学生就餐？请说明理由
.
巩固练习
解
:
(
1
)
设
1
个大餐厅和
1
个小餐厅分别可供
x
名
,
y
名学生就餐，
x
+2
y
=1680
2
x
+
y
=2280
解得
:
x
=960
y
=360
(
2
)
若
7
个餐厅同时开放，则有
5×960+2×360=5520
答
：
(
1
)
1
个大餐厅和
1
个小餐厅分别可供
960
名
,
360
名学生就餐
. (
2
)
若
7
个餐厅同时开放，可以供应全校的
5300
名学生就餐
.
5520>5300
依题意得
巩固练习
据
统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比
1:2
．现要把一块长
200m
、宽
100m
的长方形土地，分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，使甲、乙两种作物的总产量的比是
3:4
？
请提取数学信息
探究新知
知识点
2
列二元一次方程组解答几何问题
转换成数学语言
：
已知：长方形
ABCD
，
AB=CD=
200m
，
AD=BC=
100m
，
长方形
ABCD
分割为两个小长方形，长方形
1
和长方形
2
分别种甲、乙作物，甲、乙单位面积产量的比是
1:2.
A
D
C
B
这里研究的实际上是
什么问
题？
把一个长方形分成两个小长方形有哪些分割方式？
方法
1
竖着画，把长分成两段，则宽不变
方法
2
横着画，把宽分成两段，则长不变
长方形的面积分割
我们可以画出示意图来帮助分析
动手试着画一画
探究新知
目标：甲、乙两种作物的总产量的比是
3:4
问题分析
竖着画，把长分成两段，则宽不变
A
D
C
F
B
E
1.
大长方形的长
=200m
2.
甲、乙两种作物总产量比
=3:4
等量关系式有几个？
探究新知
方法
1
竖着画，把长分成两段，则宽不变
A
D
C
F
B
E
1.
大长方形的长
=200m
2.
甲、乙两种作物总产量比
=3:4
设
AE
＝
x
m
，
BE
＝
y
m
.
先求出两种作物的面积
S
AEFD
=
100
x
S
EFCB
=
100
y
再写出两种作物的总产量
甲：
100
x
×1
乙：
100
y
×2
则列方程为
100
x
:200
y
=3:4
总产量
=
？
1 : 2
x
y
200m
100
如何设未知数呢
？
则列方程为
x
+
y
=200
单位面积产量
×
面积
探究新知
方法
1
竖着画，把长分成两段，则宽不变
A
D
C
F
B
E
根据题意列方程组为
100
x
:200
y
=3:4
x
y
200m
100
m
x
+
y
=
200
解得
x
=120
y
=80
你觉得该如何答题比较完整呢？
甲种作物
乙种
作物
解
：
过点
E
作
EF
⊥
AB
，交
CD
于点
F.
设
AE
＝
x
m
，
BE
＝
y
m
.
答：
将这块土
地分为长
120m,
宽
100m
和长
100m,
宽
80m
的
两个小长方形分别种植甲、乙两种作物
.
探究新知
方法
1
解法一
横着画，把宽分成两段，则长不变
A
D
C
B
E
x
y
F
x
+
y
=100
乙种作物
甲种作物
解
：
过点
E
作
EF
⊥
BC
，交
BC
于点
F
.
设
DE
＝
x
m
，
AE
＝
y
m
.
200
x
:400
y
=3:4
200
y
200
x
x
=60
y
=40
解得
根据题意列方程组为
200m
100
m
答
：
将这块
土地分为长
200m,
宽
60m
和长
200m,
宽
40m
的
两个小长方形分别种植甲、乙两种作物
.
探究新知
方法
2
解法二
例
2
某
校现有校舍
20000m
2
计划拆除部分旧校舍，改建新校舍，
使校舍
总面积增加
30%.
若建造新校舍的面积为被拆除的旧校舍面积的
4
倍，那么应该拆除多少旧校舍，建造多少新校舍？（单位为
m
2
）
解
：
设应拆
除旧校舍
x
m
2
，建造新校舍
y
m
2
拆
20000
m
2
新建
素养考点
1
探究新知
列二元一次方程组解答几何问题
由题意得：
解得：
答
：
应该拆除
2000m
2
旧校舍，建造
8000m
2
新校
舍
.
2.
8
块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，每块小长方形地砖的长和宽分别是多少
?
（单位
cm
）
60
x
+
y
=60
x
=3
y
解
:
设小长方形地砖
的长为
x
,
宽为
y
,
由题意
,
得
解此方程组得：
x
=45,
y
=15.
答
:
小
长方形地砖的长为
45cm,
宽为
15cm.
巩固练习
小
华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路
.
假设他始终保持平路每分钟走
60m
，下坡路每分钟走
80m
，上坡路每分钟走
40m
，则他从家里到学校需
10min
，从学校到家里需
15min.
问小华家离学校多远？
知识点
3
列二元一次方程组解答行程问题
探究新知
分析：
小华到学校的路分成两段，一段为平路，一段为下坡路
.
平路：
60 m/min
下坡路：
80 m/min
上坡路：
40 m/min
走平路的时
间+走下坡路的时间=________，
走上坡路的时间+走平路的时间= _______．
路程
=
平均速度×时间
10
15
探究新知
方法一
（直接设元法）
平路时间
坡路时间
总时间
上学
放学
解：
设
小华家到学校平路长
x
m，下坡
路
长
y
m.
根据题意，可列方程组：
解方程组，得
所
以小
明家到学校的距离为
700m.
探究新知
方法二
（间接设元法）
平路
距离
坡路距离
上学
放学
解：
设小华下坡路
所花时间为
x
min,
上坡路所花时间为
y
min
.
根据题意，可列方程组：
解方程组，得
所
以小
明
家到学校的距离为
700m.
故 平路距离：
60×
（
10-5
）
=300
（
m
）
坡路距离：
80×5=400
（
m
）
探究新知
例
3
张
强与李毅二人分别从相距
20
千米的两地出发，相向而
行
.
若
张强比李毅早出发
30
分钟，那么在李毅出发后
2
小时，他们相遇；如果他们同时出发，那么
1
小时后两人还相距
11
千
米
.
求
张强、李毅每小时各走多少千米？
探究新知
素养考点
1
列二元一次方程组解答行程问题
2
y
千米
张强
2.5
小时走的路程
李毅
2
小时走的路程
11
千米
0.5
x
千米
2
x
千米
(
1
)
A
B
x
千米
y
千米
(
2
)
A
B
解：
设张强、李毅每
小时各走
x, y
千米，由
题意得
答
：
张
强、李毅每小时各走
4
,
5
千
米
.
分析
：
如下图（
1
）、（
2
）所示
探究新知
3.
巴广高速公路在
5
月
10
日正式通车，从巴中到广元全长约
126 km
，
一辆小汽车、一辆货车同时从巴中、广元两地相向开出，经过
45
分钟相遇，相遇时小汽车比货车多行
6
km
，设小汽车和货车的速度分别为
x
km/h
、
y
km/h
，则下列方程组正确的是（ ）
巩固练习
A
.
B.
C.
D.
D
（
2019
•舟山）中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹
x
两，牛每头
y
两，根据题意可列方程组为（ ）
A
．
B．
C
．
D
．
巩固练习
连接中考
D
1.
某校春季运动会比赛中，八年级（
1
）班、（
5
）班的竞技实力相当，关于比赛结果，甲同学说：（
1
）班与（
5
）班得分比为
6:5
；乙同学说：（
1
）班得分比（
5
）班得分的
2
倍少
40
分．若设（
1
）班得
x
分，（
5
）班得
y
分，根据题意所列的方程组应为（
）
课堂检测
基础巩固题
B.
C.
D.
D
2.
一只蛐蛐
6
条腿，一只蜘蛛
8
条腿，现有蛐蛐和蜘蛛共
10
只，共有
68
条腿，若设蛐蛐有
x
只，蜘蛛有
y
只，则列
出方程组为
______________
．
x+y
=10
6
x
+8
y
=68
解析
:
根据蛐蛐和蜘蛛共
10
只，可得
x
＋
y
＝
10
;
蛐蛐和蜘蛛共有
68
条腿，可
得
6
x
＋
8
y
＝
68
.
课堂检测
基础巩固题
3.
某电脑经销商计划同时购进一批电脑机箱和液晶显示器，若购进电脑机箱
10
台和液晶显示器
8
台，共需资金
7 000
元；若购进电脑机箱
2
台和液晶显示器
5
台，共需资金
4 120
元．则每台电脑机箱和液晶显示器的进价各多少元？
课堂检测
基础巩固题
解
：
设每台电脑机箱和液晶显示器的进价分别为
x
元和
y
元
，
答
：
每台电脑机箱和液晶显示器的进价分别是
60
元、
800
元．
解得
则
4.
A
市至
B
市的航线长
1200
km
，一架飞机从
A
市顺风飞往
B
市需
2
小时
30
分，从
B
市逆风飞往
A
市需
3
小时
20
分
.
求飞机的平均速度与风速
.
课堂检测
基础巩固题
解
：
设飞机的平均速度为
x
km/h
,
风速为
y
km/h
,
根
据题意可列方程组
解得：
x =
420
，
y =
60.
答
：
飞机的平均速度为
420km/h
，风速为
60km/h
.
我
国的长江由西至东奔腾不息，其中九江至南京约有
450
千米的路程，某船从九江出发
9
个小时就能到达南京；返回时则用多了
1
个小时
.
求此船在静水中的速度以及长江水的平均流速
.
解
：
设轮船在静水中的速度为
x
千米
/
时，长江水的平均流速为
y
千米
/
时
.
答
：
轮船在静水中的速度为
47.5
千米
/
时，长江水的平均流速为
2.5
千米
/
时
.
能力提升题
课堂检测
解得：
即
甲
、乙两人都从
A
地到
B
地，甲步行，乙骑自行车，如果甲先走
6
千米乙再动身，则乙走 小时后恰好与甲同时到达
B
地；如果甲先走
1
小时，那么乙用 小时可追上甲，求两人的速度．
拓广探索题
课堂检测
解
：
设甲的速度为
x
千米/时，乙的速度为
y
千米/时
,
则
答
：
甲的速度为
4
千米/时，乙的速度为
12
千米/时
.
解得：
二元一次方程组的应用
应用
步骤
简单实际问题
行程问题
路程
=
平均速度×时间
审题：
弄清题意和题目中
的
数量关系
设元：
用
字母
表
示题目中的未知数
列方程组
:
根
据
2
个
等量关系列出方程组
检验
作答
解
方程
组：
代入法；
加减法
.
几何问题
课堂小结
列二元一次方程组解答较复杂问题
第二课时
返回
1
．把长方形纸片折成面积相等的两个小长方形，有哪些折法？
2
．把长方
形纸片折成面积之比为
1
：
2
的两个小长方形， 又有哪些折法？
导入新知
2.
进一步
经历和体验
方程组解决实际问题的过程
.
1.
学会运用二元一次方程组解决
较复杂
的实际问题
.
素养目标
如图，长青化工厂与
A
，
B
两地有公路、铁路相连．这家工厂从
A
地购买一批每吨
1 000
元的原料运回工厂，制成每吨
8 000
元的产品运到
B
地
.
公路运价为
1. 5
元
/(
t·km
)
，铁路运价为
1.2
元
/(
t·km
)
，这两次运输共支出公路运费
15000
元，铁路运费
97 200
元．这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？
素养考点
1
知识点
1
列二元一次方程组解答较复杂问题
列二元一次方程组解答
运费问题
探究新知
问题
1
要求“这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？”我们必须知道什么？
销
售款与产品数量有关，原料费与原料数量有关，而公路运费和铁路运费与产品数量和原料数量都有关．因此，我们必须知道
产品的数量和原料的数量
．
销售款
原料费
运输费（公路和铁路）
产品数量
原料数量
探究新知
问题
2
本题涉及的量较多，这种情况下常用列表的方式来处理，列表直观、简洁．本题涉及哪两类量呢？
一类是公路运费，铁路运费，价值；
另一类是产品数量，原料数量．
探究新知
产品
x
吨
原料
y
吨
合计
公路运费
(
元
)
铁路运费
(
元
)
价值
(
元
)
问题
3
你能完成教材上的表格吗？
产品
x
吨
原料
y
吨
合计
公路运费
(
元
)
1.5×20
x
1.5×10
y
1.5(20
x
+10
y
)
铁路运费
(
元
)
1.2×110
x
1.2×120
y
1.2(110
x
+120
y
)
价值
(
元
)
8 000
x
1 000
y
探究新知
问题
4
你发现等量关系了吗？如何列方程组并求解？
探究新知
是原方程组的解．
解
：
先化简，得
②
①
由①，得
代入③ ，得
③
代入② ，得
探究新知
问题
5
这个实际问题的答案是什么？
销售款：
8 000×300=2 400 000
；
原料费：
1 000×400=400 000
；
运输费：
15 000+97 200=112 200
．
2400000-400000-112200=1887800
这批产品的销售款比原料费与运输费的和多
1 887 800
元．
探究新知
思考：
（
1
）在什么情况下考虑选择设间接未知数？
当
直接将所求的结果当作未知数
无法列出方程
时，考虑选择设间接未知数．
（
2
）
如何更好地分
析数
量关系比较复杂的实际问题？
探究新知
实际问题
设未知数、找等量关系、列方程（组）
数学问题
[
方程(组)
]
解方程（组）
数学问题的解
双检验
实际问题的答案
探究新知
1.
一批货
物要运往某地，货主准备用汽车运输公司的甲乙两种货车，已知过去两次租用这两种货车的情况如下表
(
两次两种货车都满载
)
：
第一次
第二次
甲种货车的车辆数（辆）
2
5
乙种货车的车辆数（辆）
3
6
累计运货吨数（吨）
15.5
35
现
租用该公司
3
辆甲种货车和
5
辆乙种货车一次刚好运完这批货，如果按每吨付运费
30
元计算，你能算出货主应付运费多少元吗？
巩固练习
解
:
设甲、乙两种货车每辆每次分别运货
x
吨、
y
吨
，
解得
x
=4
，
y
=2.5
.
2
x
+ 3
y
=15.5
，
5
x
+ 6
y
=35.
总运费为：
30
×
(3
x
+ 5
y
)=30
×
(3
×
4+ 5
×
2.5)=735(
元
).
巩固练习
第一次
第二次
甲种货车的车辆数（辆）
2
5
乙种货车的车辆数（辆）
3
6
累计运货吨数（吨）
15.5
35
答
:
货
主应付运
费
735
元
.
例
2
某
牛奶加工厂现有鲜奶
9
吨
,
若在市场上直接销售鲜奶
,
每吨可获利润
500
元
,
若制成酸奶销售
,
每吨可获利润
1200
元
,
若制成奶片销售
,
每吨可获利润
2000
元
.
该厂生产能力如下
:
每天可加工
3
吨酸奶或
1
吨奶片
,
受人员和季节的限制
,
两种方式不能同时进行
.
受季节的限制
,
这批牛奶必
须在
4
天内加工并销售完毕
,
为此该厂制定了两套方案
:
方案一
:
尽可能多的制成奶片
,
其余直接销售鲜牛奶
方案二
:
将一部分制成奶片
,
其余制成酸奶销售
,
并恰
好
4
天
完成
(
1
)
你认为哪种方案获利最多
,
为什么
? (
2
)
本题解出之后
,
你还能提出哪些问题
?
素养考点
2
探究新知
列二元一次方程组解答
利润问题
其余
5
吨直接销售
,
获利
500×5=2500
(
元
)
∴
共获利
:
8000+2500=10500
(
元
)
方案二
:
设生产奶片用
x
天
,
生产酸奶用
y
天
另：设
x
吨鲜奶制成奶片
,
y
吨鲜奶制成酸奶
x+y
=4
x
+3
y
=9
x+y
=9
方案一
:
生产奶片
4
天
,
共制成
4
吨奶片
,
获利
2000×4=8000
1.5×1×2000+2.5×3×1200
=
12000
(
元
)
∴
共获利
:
1.5×2000+7.5×1200
=
3000+9000=12000
(
元
)
∴
共获利
:
探究新知
x
=1.5
y
=2.5
解得：
x
=1.5
y
=7.5
解得：
2.
北
京和上海都有某种仪器可供外地使用
,
其中北京可提供
10
台，上海可提供
4
台
.
已知重庆需要
8
台，武汉需要
6
台，从北京、上海将仪器运往重庆、武汉的费用如下表所示
.
有关部门计划用
8000
元运送这些仪器，请你设计一种方案，使武汉、重庆能得
到所
需仪器，而且运费
正好够用
.
运费表
单位：（元
/
台）
终点
起点
武汉
重庆
北京
400
800
上海
300
500
巩固练习
解
:
设从北京运往武汉
x
台，则运往重庆
(10-
x
)
台，
设从上海运往武汉
y
台，则运往重庆
(4-
y
)
台，
解方程组得
x
=4
，
y
=2
.
x
+
y
=6
，
400
x
+ 300
y+
800
(10-
x
)
+ 500
(4-
y
)
=8000.
运费表
单位：（元
/
台）
终点
起点
武汉
重庆
北京
400
800
上海
300
500
答
:
从北京运往武汉
4
台，运往重庆
6
台，从上海运往武汉
2
台，
运往重庆
2
台
.
巩固练习
例
3
某
车间每天能生产甲种零件
600
个或乙种零件
300
个，
或丙种零件
500
个，甲、乙、丙三种零件各
1
个就可
以配
成一套，要在
63
天内的生产中
,
使生产的零件全
部成
套，问甲、乙、丙三种零件各应生产几天？
素养考点
3
探究新知
列二元一次方程组解答
配套问题
解
：
设甲零件生产
x
天，乙零件生产
y
天，则丙零件生产
（
63-
x-y
)
天，根据题意，得
所以
63-
x-y
=18
.
答
：
甲、乙、丙三种零件各应生产
15
天、
30
天和
18
天
.
解得
3
.
某
车间有
22
名工人，每人每天可以生产
1 200
个螺钉或
2 000
个螺母
.
1
个螺钉需要配
2
个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应各安排多少名工人生产螺钉和螺母？
分析
：
将题中出现的量在表格中呈现
产品类型
所需人数
生产总量
螺钉
x
螺母
y
螺母总产量是螺钉的
2
倍
人数和为
22
人
1200
x
2000
y
巩固练习
解
：
设生产螺钉的
x
人，生产螺母的
y
人
.
依题意，可列方程组：
解方程组，得
答：
设生产螺钉的
10
人，生产螺母的
12
人
.
巩固练习
提示
：
解决配套问题要弄清
：
（
1
）
每套产品中各部分的比例；
（
2
）
生产各部分的工人数之和
=
工人总数
.
（2019
•邵阳）某出租车起步价所包含的路程为
0～2km
，超过
2km
的部分按每千米另收费．津津乘坐这种出租车走了
7km
，付了
16
元；盼盼乘坐这种出租车走了
13km
，付了
28
元．设这种出租车的起步价为
x
元，超过
2km
后每千米收费
y
元，则下列方程正确的是（ ）
A
．
B．
C
．
D
．
巩固练习
连接中考
D
1
.
小
明家去年结余
5000
元，估计今年可结余
9500
元，并且今年收入比去年高
15
％
，支出比去年低
10
％
，求去年的收入与支出各是多少？
解
：
设去年收入
x
元，支出
y
元，根据题意，得
答
：
去年小明家收入
20000
元，支出
15000
元
.
基础巩固题
课堂检测
解得
2.
某工地挖掘机的台数和装卸机的台数之和为
21
，如果每台挖掘机每天平均挖土
750
m
3
，每台装卸机每天平均运土
300
m
3
，要使挖出的土及时运走，
问挖掘机有多少台？装卸机有多少台？
解
：
设挖掘机
x
台，装卸机
y
台，根据题意列出方程组得
解得
答
：
挖掘机有
6
台，装卸机有
15
台
.
基础巩固题
课堂检测
3.
一个工厂共
42
名工人
,
每个工人平均每小时生产圆形铁片
120
片或长方形铁片
80
片
.
已知两片圆形铁片与一片长方形铁片可以组成一个圆柱形密封的铁桶
.
你认为如何安排工人的生产
,
才能使每天生产的铁片正好配套
?
解
：
设生产圆形铁片的工人
x
人，生产长方形铁片的工人
y
人
，
解得
答
：生产圆形铁片的工人
24
人，生产长方形铁片的工人
18
人
.
课堂检测
基础巩固题
根据题意列方程组得
某
村
18
位农民筹集
5
万元资金，承包了一些低产田地
.
根据市场调查，他们计划对种植作物的品种进行调整，改种蔬菜和荞麦
.
种这两种作物每公顷所需的人数和需投入的资金如下表：
作物品种
每公顷所需人数
每公顷投入资金
/
万元
蔬菜
5
1.5
荞麦
4
1
在现有情况下
,
这
18
位农民应承包多少公顷田地
,
怎样安排种植才能使所有人都参与种植
,
且资金正好够用？
能力提升题
课堂检测
作物品种
种植面积
/
公顷
需要人数
投入资金
/
万元
蔬菜
x
5
x
1.5
x
荞麦
y
4
y
y
合计
-----
18
5
将题中出现的量在表格中呈现
解
：
设蔬菜种植
x
公顷
,
荞麦种植
y
公顷
根据题意可列出方程组：
解得
：
能力提升题
课堂检测
故，承包田地的面积为：
x
+
y
=4
公顷
人员安
排为：
5
x
=5×2=10
(
人
)
；
4
y
=4×2=8
(
人
)
答
：
这
18
位农民应承包
4
公顷田地，种植蔬菜和荞麦各
2
公顷，并安排
10
人种植蔬菜，
8
人种植荞麦，这样能使所有人都参与种植且资金正好够用
.
能力提升题
课堂检测
李
大叔
销售牛肉干，
已知甲客户购买了
12
包五香味的和
10
包原味的共花了
146
元，乙客户购买了
6
包五香味的和
8
包原味的共花了
88
元
.
（
1
）现在老师带了
200
元，能否买到
10
包五香味牛肉干和
20
包原味牛肉干？
解
：
设五香味每包
x
元，原味每包
y
元
.
依题意，可列方程组：
解得
所以老师带
200
元能买到所需牛肉干
.
拓广探索题
课堂检测
解
：
设刚好买五香味
x
包，原味
y
包
.
（
2
）现在老师想刚好用完这
200
元钱，你能想出哪些牛肉干的包数组合形式？
因
为
x
，
y
为非负整数
拓广探索题
课堂检测
1
.
在很多实际问题中，都存在着一些等量关系，因此我们往往可以
借助列方程组
的方法来处理这些问题
.
3
.
要注意的是，处理实际问题的方法往往是多种多样的，应根据具体问题灵活选用
.
通过本课时的学习，需要我们掌握：
2.
这种处理问题的过程可以进一步概括为：
课堂小结
课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习
8.4
三元一次方程组的解法
人教版
数学
七年级 下册
1.
解二
元一次方程组有哪几种方法？
2.
解
二元一次方程组的基本思路是什么？
二元一次方程组
代入
加减
消元
一元一次方程
化
二元
为
一元
化归转化思想
代入消元法和加减消元法
消元法
【
思考
】
若
含
有
3
个未知
数的方程组如何求解？
导入新知
1.
了解三元一次方程组的
概念
.
2.
能解简单的三元一次方程组，在解的过程中进一步
体会“消元”思想
.
素养目标
3.
会解
较复杂
的三元一次方程组
.
问
题
：
1
．题目中有几个条件？
2
．问题中有几个未知量？
3
．根据等量关系你能列出方程组吗？
小明手头有
12
张面额分别是
1
元、
2
元、
5
元的纸币，共计
22
元，其中
1
元纸币的数量是
2
元纸币数量的
4
倍．求
1
元、
2
元、
5
元的纸币各多少张？
探究新知
知识点
1
三元一次方程组的概念
1
元
2
元
5
元
合
计
（三个量关系）每张面值
×
张数
=
钱数
5
z
12
22
1
元纸币的数量是
2
元纸币数量的
4
倍，即
x=
4
y
探究新知
面值
张数
钱数
x
y
z
x
2
y
注
分析
：
在这个题目中，要我们求的有三个未知数，我们自然会想到设
1
元、
2
元、
5
元的纸币分别是
x
张、
y
张、
z
张，根据题意可以得到下列三个方程
:
x
+
y
+
z
=12,
x
+2
y
+5
z
=22,
x
=4
y
.
探究新知
对
于这个问题
的解必
须同时满足上面三个条件，因此，我们把三个方程合在一起写成
这
个方程组中含有
个未知数，每个方程中含未知数的项的次数是
.
三
1
探究新知
含
有
三
个不相同的未知数，且每个方程中含未知数的项的
次数都是
1
，并且一共有
三个方程
，像这样的方程组叫做
三元一次方程组
．
探究新知
由此，我们得出
三元一次方程组
的定义
探究新知
例
1
下
列是三元一次方程组的是
( )
A.
B
.
C.
D.
素养考点
1
三元一次方
程组的
判断
D
1.
下列方程组不是三元一次方程组的
是(
)
A.
B.
C.
D.
D
提示
：
组成三元一次方程组的三个一次方程中，不一定要求每一个一次方程都含有三个未知数．
巩固练习
类似二元一次方程组的解，三元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个
三元一次方程组的解
.
怎样解三元一次方程组呢？
①
②
③
能不能像以前一样“消元”，把“三元”化成“二元”呢？
知识点
2
探究新知
三元一次方程组的解法
例
2
解
三元一次方程组
①
②
③
解
：
②
×3
＋③，得
11
x
＋
10
z
=35
④
①
与④组成方程组
解这个方程组，得
探究新知
素养考点
1
三元一次方程组的解法
分析：
方程①中只含
x
,
z
,
因此
,
可以由②③消去
y
,
得到一个只含
x
,
z
的方程
,
与方程①组成一个二元一次方程组
.
把
x
＝
5
，
z
＝
-2
代入②，得
因此，三元一次方程组的解为
你还有其它解法吗？试一试，并与这种解法进行比较
.
探究新知
例
2
解
三元一次方程组
①
②
③
解
三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行
，把
转化为
，使解三元一次方程组转化为解
，进而再转化为解
.
三元一次方程组
二元一次方程组
一元一次方程
消元
消元
消元
“三元”
“二元”
二元一次方程组
一元一次方程
探究新知
2.
解方程组
解
：
由方程②得
x
=
y
+1
④
把
④分别代入①③得
2
y
+
z
=22
⑤
3
y
-
z
=18
⑥
解
由⑤⑥组成的二元一次方程组，得
y
=8,
z
=6
把
y
=8
代入④，得
x
=9
所
以原方程组的解是
x
=9
y
=8
z
=6
①
②
③
类似二元一次方程组的“消元”
,
把“三元”化成“二元”
.
巩固练习
例
3
在
等
式
y=ax
2
＋
bx
＋
c
中
,
当
x
=－1
时
,
y
=0
;
当
x
=2
时
,
y
=3
;
当
x
=5
时
,
y
=60
.
求
a
,
b
,
c
的值
.
解
:
根据题意，得三元一次方程组
a
－
b
＋
c
= 0
， ①
4
a
＋
2
b
＋
c
=3
， ②
25
a
＋
5
b
＋
c
=60. ③
②
－①， 得
a
＋
b
=1
④
③
－①，得
4
a
＋
b
=10 ⑤
④
与⑤组成二元一次方程组
a
＋
b
=1
，
4
a
＋
b
=10.
探究新知
素养考点
2
三元一次方程组求字母的值
a
＋
b
=1
，
4
a
＋
b
=10.
a
=3
，
b
=-2.
解这个方程组，得
把
代入①，得
a
=3
，
b
=-2
c
=-5,
a
=3
，
b
=-2
，
c
=-5.
因此
探究新知
3.
已知
是
方程组
的解,则
a+b+c
的值是
____________
.
3
巩固练习
例
4
幼
儿营养标准中要求每一个幼儿每天所需的营养量中应包含
35
单位的铁、
70
单位的钙和
35
单位的维生素
.
现有一批营养师根据上面的标准给幼儿园小朋友们配餐，其中包含
A
、
B
、
C
三种食物，下表给出的是每份（
50g
)
食物
A
、
B
、
C
分别所含的铁、钙和维生素的量（单位）
食物
铁
钙
维生素
A
5
20
5
B
5
10
15
C
10
10
5
素养考点
3
探究新知
利用三元一次方程组解答实际问题
解
：
(
1
)
由该食谱中包含
35
单位的铁、
70
单位的钙和
35
单位的维生素，得方程组
③
①
②
（
1
）如果设食谱中
A
、
B
、
C
三种食物各为
x
、
y
、
z
份，请列出方程组，使得
A
、
B
、
C
三种食物中所含的营养量刚好满足幼儿营养标准中的要求
.
（
2
）解该三元一次方程组，求出满足要求的
A
、
B
、
C
的份数
.
探究新知
(
2
)
②
-
①
×
4
,
③
-
①
,
得
⑤
①
④
⑤
+
④
,
得
⑥
①
④
通过回代，得
z=
2
,y=
1
,x=
2
.
答：
该食谱中包含
A
种食物
2
份，
B
种食物
1
份，
C
种食物
2
份
.
探究新知
4.
某农场300名职工耕种51公顷土地,计划种植水稻,棉花和蔬菜,已知种植农作物每公顷所需的劳动力人数及投入的设备资金如下表:
巩固练习
农作物品种
每公顷需劳动力
每公顷需投入资金
水稻
4人
1万元
棉花
8人
1万元
蔬菜
5人
2万元
已知该农场计划在设备上投入67万元,应该怎样安排三种农作物的种植面积,才能使所有的职工都有工作,而且投入的资金正好够用?
解:
设安排
x
公顷种水稻,
y
公顷种棉花,
z
公顷种蔬菜.
依题意,得
答:
安排
15
公顷种水稻,
20
公顷种棉花,
16
公顷种蔬菜.
巩固练习
解得：
(201
9
·黑龙江
模拟
)小明妈妈到文具店购买三种学习用品,其单价分别为2元、4元、6元,购买这些学习用品需要56元,经过协商最后以每种单价均下调0.5元成交,结果只用了50元就买下了这些学习用品,则小明妈妈的购买方法有
( )
A.6种 B.5种 C.4种 D.3种
解析：
设
分别购买学习用品的数量为
x
,
y
,
z
.
由题意
得 ,
即 ①
-②得:
y
+2
z
=16,所以
y
=16-2
z
③,所以满足
x
、
y
、
z
之间关系的取值可以是:
当
y
=2时,
z
=7,
x
=3.当
y
=4时,
z
=6,
x
=2
.
当
y
=6时,
z
=5,
x
=1
.所以小明妈妈有3种不同的购买方法.
巩固练习
连接中考
D
1.
方程
，
3
x
＋
y
＝0,2
x
＋
8
y
＝1,3
x
＋
y
－2
x
＝0，
x
2
－
x
＋1＝0
中，
二元一次方程的个数是(
)
A
. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
B
基础巩固题
课堂检测
2.
若
x
＋
2
y
＋
3
z
＝
10
，
4
x
＋
3
y
＋
2
z
＝
15
，
则
x
＋
y
＋
z
的值为（
）
A.2
B.3
C.4
D.5
解
析
:
通过观察未知数的系数，可采取两个方程相加得，
5
x
+5
y
+5
z
=25
，所以
x
+
y
+
z
=5
.
D
基础巩固题
课堂检测
3.
解方程组
则
x
＝
_____
，
y
＝
______
，
z
＝
_______
.
x
＋
y
－
z
＝
11
，
y
＋
z
－
x
＝
5
，
z
＋
x
－
y
＝
1.
①
②
③
解析：
通过观察未知数的系数，可采取①
+②
求出
y
，
②
+ ③
求出
z
，最后再将
y
与
z
的值代入任何一个方程求出
x
即可
.
6
8
3
基础巩固题
课堂检测
若
|a
－
b
－
1
|
＋
(
b
－
2
a
＋
c
)
2
＋
|
2
c
－
b|
＝
0
，
求
a
，
b
，
c
的值．
解：
因为三个
非负数的和等于
0
，所以每个非负数都为
0.
可
得方程组
解
得
能力提升题
课堂检测
解：
设原三位数百位、十位、个位上的数字分别为
x
、
y
、
z
.
由题意，得
答：
原三位数是
368
.
一
个三位数，十位上的数字是个位上的数字的 ，百位上的数字与十位上的数字之和比个位上的数字大
1
.
将百位与个位上的数字对调后得到的新三位数比原三位数大
495
，求原三位数．
拓广探索题
课堂检测
解得：
三元一次方程组
三元一次方程组的
概念
三元一次方程组的
解法
三元一次方程组的
应用
课堂小结
课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习
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